Бесстробовый алгоритм оценки параметров близких траекторий Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДИОТЕХНИКА^^)

УДК.621.391

БЕССТРОБОВЫЙ АЛГОРИТМ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ БЛИЗКИХ ТРАЕКТОРИЙ

САВАНЕВИЧВ.Е., ЛОГАЧЕВ С.В., ПУГАЧА.В.

Предлагается класс алгоритмов оценки параметров движения объектов, входящих в компактную группу, основанный на решении задач расщепления смеси вероятностных распределений. Получаются уравнения максимального правдоподобия для оценки параметров полиномиальной траектории. Для случая линейной траектории производится анализ влияния условий наблюдения, конструкции устройств первичной обработки и параметров компактной группы объектов на точность получаемых оценок; определяются основные закономерности работы алгоритмов.

Классические алгоритмы [1] траекторной (вторичной) обработки локационной информации ориентированы на обработку информации об одиночных движущихся объектах в условиях разреженного потока целей.

Данные алгоритмы широко применяются при обнаружении и сопровождении объектов с достаточно высокой локационной контрастностью. При этом количество ложных отметок фиксируется на низком уровне путем установления порога в устройствах первичной обработки, обеспечивающего условную вероятность ложной тревоги в элементарном объеме разрешения порядка 10-5-10-6.

Применение указанных алгоритмов для оценок параметров движения в условиях плотного потока объектов осуществляется путем формирования групп отметок, предположительно принадлежащих одной траектории, и последующего формирования оценки параметров траектории, содержащейся в группе информации. При этом формирование групп отметок производится путем стробирования и селекции отметок в стробах. Следовательно, качество оценивания напрямую зависит от ошибок идентификации, селекции отметок и на этапе обработки уже сформированной подвыборки не может быть улучшено.

В этой связи существенное значение имеют методы создания алгоритмов, инвариантных к перестановке измерений в стробах или, что равнозначно, в группах отметок. Известно [2] бесстробовое решающее правило вторичной обработки, предписывающее перебор всех возможных гипотез о сочетании отметок с учетом их пропусков и выделение гипотезы с максимальным весом. Число таких гипотез приближенно определяется соотношением N и (S!)k _ 1, где S — среднее число отметок на цикл обзора; k — число анализируемых циклов обзора, и для S = 5, k = 5 превышает 200 миллионов. Понятно, что использо-

вание данного подхода существенно повышает качество оценок, но проанализировать такое количество гипотез не представляется возможным.

В статье предлагается метод синтеза алгоритмов, инвариантных к перестановке отметок в стробах, основанный на решении задачи расщепления смеси распределений [3, 4]. При этом поток отметок представляется как результат полигауссовской аппроксимации полей правдоподобия в зоне обзора наблюдательного средства [6]. Сама возможность применения такой аппроксимации основана на предположении, что полезный сигнал от объекта будет находиться вблизи одного из локальных максимумов поля правдоподобия зоны обзора.

Итак, пусть на Т циклах обзора сформировано N отметок, причем на l-м цикле имеет место Ni отметок:

T

I N = N, l = 1

где l — номер цикла обзора.

Координаты i-й отметки на l-м цикле обзора

описываются векторной величиной Xii .

Вероятность появления данной, конкретной совокупности отметок с учетом их некоррелированности как от обзора к обзору, так и между параметрами разных отметок на одном обзоре можно представить в виде

_ T Nl _ _

P(x) = п П P(Xli|©),

_ l = 1i = 0

где © — матрица параметров движения объектов, j -й столбец которой содержит информацию о параметрах движения j-го объекта; P(xli| ©) — вероятность появления “объекта” на l-м цикле обзора в окрестности точки с координатами Xi, при условии, что объектовая обстановка в зоне обзора наблюдательного средства описывается матрицей © .

Поиск оценки максимального правдоподобия

векторного параметра © осуществляется путем решения системы уравнений:

TN

д T l — —

— П ПP(xlii©) = о.

l = 1 i = о

Последнее выражение при условии P(xli| ©) ф 0 не трудно преобразовать к виду

т N, _ _

т ^ сР(Хц|©) _1 _

l = 1i = 1 3© P(xli| ©)

(1)

Очевидно, что величину P(xH| ©) в предположении малости окрестности точки dxH с координатами xli можно представить как

P(xli| ©) = f(xli| © )dxli = f(xli| ©)dx,

4

РИ, 1999, № 2

где f(xii) — соответствующая плотность распреде-

ления. Естественно, что размер окрестности dx в (1) может быть сокращен.

Теперь следует обратить внимание на плотность

распределения f(xii). Из сущностных соображений поставленной задачи очевидно, что она должна включать как слагаемые по числу объектов, соответствующие положению каждого объекта в момент времени t, соответствующий l-му циклу обзора, так и слагаемое, ответственное за появление ложной отметки po.

Последнее слагаемое в свою очередь также выполняет роль учетчика возможного пропуска сигнала от j-го объекта на l-м цикле обзора. Не трудно показать [6], что po = 1 - D, где D — вероятность обнаружения сигнала в устройствах первичной обработки от одного из Q объектов в окрестности точки x .

Итак, плотность распределения координат отметок с учетом пропусков сигналов и появления ложных объектов при нормальной модели ошибок измерения координат можно аппроксимировать полигауссовским распределением:

f(xiii©) = p0i + 2 PJiNxjii(mJi(©);2jHX (2)

Q 2 J = і

где Nx.,. (mji(®);E jii) = jii j

(2<)R/2det( E Jii)

exp <j- y(mji(© j) - xii) E^ji1i(mji(© j) - xli)k

1

pji — “относительный” вес j-й траектории на l-м цикле обзора; ©. — вектор параметров движения j-

го объекта; mji( © j) — математическое ожидание

координат отметки, соответствующей j-му объекту

на l-м цикле обзора; Е — корреляционная матрица jii

оценки координат поля правдоподобия [6]; R — размерность зоны обзора.

С учетом того, что в сомножителе 9P(xii | ©) / 3© каждый раз остается только одно из слагаемых выражения (2), а также помня о том, что exp‘(x) = =x‘exp(x), перепишем одно из уравнений системы (1) в виде

т NipjiN(mii(©j);Еji) д

l=1i=1 f(xii|0) 3© jk

- 2 A xJli ^ji1 A xjli J = 0

где Д xjii = mji(© j) - xH), или, с учетом того, что матрица симметрична,

T n, _

22^ jiiА x i=ii=i

т у_і 5Аxjli jii Л jii

з©

= 0,

jk

(3)

здесь Л jii =

pjlN(mji(© j); E j,.) f(xii| ©)

> 0 .

Выражение (3) по сути сводит задачу определения параметров движения объектов к совокупности задач определения параметров движения объекта и предшествующей этой совокупности задаче расщепления отметок путем введения весовых множителей Л j,.. Иными словами, имеет место нечетная классификация [4]. Все отметки в той или иной мере (в зависимости от значения соответствующего Л j,.)

участвуют в формировании оценки параметров движения каждого из Q объектов, т. е. речь идет не о безусловной принадлежности отметки той или иной траектории, а лишь о степени ее относительной согласованности с данной траекторией. Можно сказать, что отметка расщепляется на ряд подотметок по числу объектов, с учетом возможного наличия ложных с одними и теми же координатами, но

разными весами. Под отметки и их веса X j,. в свою

очередь поступают на вход Q взаимно независимых процедур определения параметров движения j-го объекта.

Для дальнейшего упрощения математических выкладок будем полагать, что ошибки измерения различных координат одного объекта независимы.

Следовательно, задача определения параметров движения j-го объекта сводится к R взаимно независимым задачам определения параметров движения j -го объекта вдоль одной из координат.

При этом Е jii есть диагональная матрица для любых j, i и l, а выражение (3) примет вид

т Nl х jii

22 j Ax.

3Ax.

Jii

Jii 3©.

= 0,

(4)

l=1i=1CT Jii J“ ^jk

или в матричной форме с учетом уравнений, соответствующих K-параметрам движения j-го объекта вдоль одной координаты:

ВтX jN71Axj = 0 , J J J J

(5)

где

BT =

3Ax

3©

^j =

J11 c;axJtNt

J1 3©J1

J11 5AxJtNt

jk 50jk J

f x J11 0 . 0 N

0 X J12 . 0

0 0

( 1

N J1 =

CT

J11

0

CT

J12

0

JtNt 7

AxJ = xJ -xJ(®j); xJ = (xjn,xj12,--,xjTNT);

т

РИ, 1999, № 2

5

X (® j) _ (xj11(® j)>xj12(® j)’-"’XjTNT (® j))-Нетрудно показать, что для полиномиальной модели траектории

xj(© j) = В© j.

С учетом сказанного выше выражение (5) можно переписать в виде

Вт ^jN ^Xj = ВТ IjN j1Bj © j или © j = (Вт IjN _1вт IjN y^. (6)

Оценка параметров матрицы © осуществляется путем последовательного использования (Q раз) системы уравнений (6).

Следует обратить внимание на один важный частный случай использования (6). При больших “расстояниях” между объектами в зоне обзора смесь вероятностных распределений (2) распадается на Q независимых компонент. Весовые коэффициенты получат свои предельные значения:

^jli -

1, для i = j, 0, для i Ф j.

При этом оценки параметров траекторий каждого из Q объектов можно получить, используя процедуру:

© j = (BTN J1Bj) ^BjN-1x. (7)

Выражение (7) является частным случаем процедуры (6) и представляет собой традиционный локационный алгоритм оптимальной оценки параметров траектории для одиночного объекта [ 1].

В дальнейшем конкретизируем систему уравнений оценки параметров траекторий близких объектов для случая линейной траектории вдоль каждой из координат зоны обзора:

xl = x0 + Vxtp

где x0 — положение объекта на начальный момент времени tj =0; Vx — скорость объекта вдоль координаты x; ti — время измерения на момент l-го цикла обзора; xl — положение объекта на l-м цикле обзора.

Для сокращения объема математических выкладок будем считать, что относительные веса отметок от любого из объектов известны, а дисперсии оценок координат положения объектов на любом из циклов обзора известны и одинаковы. Следует отметить, что снятие указанных ограничений не представляет существенных трудностей [5]. Итак, производные, входящие в (1), могут быть представлены в виде:

gP(xiil ® j)

^oj L

Pj

V2Hexp

= pjNxii(xoj + Vjtii; °2)

xli ~ xoj ~ j і.

(8)

^(xnl © j) cV,

=pjNxli(xoj + Vjtii; ^ )

1 Г 1

2 tli(xli xoj Vjtli)

O2

где Nx(m; ct 2) =-

-exp

(9)

(x - m)2 k tii — вре-

VUct I 2ct 2

мя формирования i-й отметки на l-м цикле обзора.

С учетом выражений (8) и (9), в предположении, что дисперсия ошибок измерения координат объек-

тов не равна нулю, подсистема уравнений максимального правдоподобия для одного объекта и одной координаты имеет вид

' T Nl

ЕЕ^ jli(xli - xoj - Vjtli) = °; і=1і=1

" T Nl (10)

EE^ jlitli(xli - xoj - Vjtli) = °

J=1i=1

„ pjNxli(xoj + Vjtli;CT )

здесь Ajli =-----Q----------------------.

p о + E pjNxli (xoj + Vjtli;^2)

j=1

Решение подсистемы уравнений (10) удобно представить в виде

DC - BDt

x . =________L •

oj AC - B2 ;

Vj =

Dt - xojB

C

T Nl

где A = EE^jli;

l=1i=1

T Nl

T Nl

T Nl

B = EE^jlitli; С =EE^uiti2i;

l=1i=1 T Nl

l=1i=1

jli li’

D = EE^jlixli; Dt = EE^jlitlix

l=1i=1

l=1i=1

jli1

Типичный пример целевой обстановки в зоне обзора, в которой желательно применение разработанного алгоритма, приведен на рис. 1. В соответствии с некими начальными приближениями, а в последующем по информации прошлой итерации, каждая отметка расщепляется на три (по числу траекторий с учетом возможного наличия ложных отметок) путем формирования весовых коэффициентов Xjli. В дальнейшем сформированные суботметки участвуют в оценке параметров траектории, к которой они причислены в той степени, что им предписана значениями Xjli. Данный процесс повторяется, пока либо Xjli, либо оценки © от итерации к итерации практически перестают изменяться.

В принципе после окончания итерационного процесса можно разделить “целые” отметки по траекториям в соответствии с каким-либо правилом (например по максимуму (по j) X jli) и использовать еще раз процедуру оценивания уже без привлечения процедуры расщепления.

Таким образом, видно, что операция стробирования либо отсутствует полностью, либо в отличие от классических процедур вторичной обработки [1] она следует за процедурами оценки параметров движения каждой отдельно взятой траектории.

Хочется особо подчеркнуть, что все же оценки параметров движения по R взаимно независимым координатам связаны между собой через весовые коэффициенты Xjli .

Рис.1. Вариант целевой обстановки

6

РИ, 1999, № 2

В R-координатном случае коэффициенты X по разным координатам объединяются между собой:

R

Ш rjli

Л jli - ~QR •

rjli

j=0r=1

Потом они, уже единые X, подставляются в процедуры “независимой” оценки параметров траектории по каждой из независимых координат.

Иными словами, “степень” отнесения (расщепления) отметки определяется на основе всех имеющих место координат (факторов).

В целях анализа точности получаемых оценок для случая линейной траектории было проведено статическое моделирование, результаты которого сведены в графики, представленные на рис. 2-11.

Графики, изображенные на рис. 2, 3, отражают зависимость дисперсий оценок координаты и скоро -сти от числа целевых фотонов в кадре mk для одного объекта при различных вариантах первичной обработки (1 — определение координат отметки по центру области ПЗС-матрицы, в которую попали целевые фотоны; 2 — определение координат отметки итерационным алгоритмом [5]). Графики приведены для размера дискрета ПЗС-матрицы Д = ст . Видно, что при малом числе фотонов (mk < 5) точность оценок параметров траектории практически не зависит от варианта реализации процедур обработки. Вместе с тем с увеличением числа целевых фотонов в кадре выигрыш в точности второго варианта все более ощутим и для mk = 20 составляет примерно 1,5 раза.

Выявленная зависимость подтверждает известный тезис о том, что при малом количестве экспериментальных данных нет смысла использовать громоздкие прецезионные алгоритмы их обработки, ибо они не дают ощутимого выигрыша по отношению к самым простым эвристическим алгоритмам. Вместе с тем с увеличением числа целевых фотонов значение используемых процедур первичной обработки резко возрастает.

На рис. 4, 5 приведены зависимости дисперсий оценок координаты и скорости от числа фотонов в

Рис. 2. Зависимость Рис. 3. Зависимость дисперсии оценки коор- дисперсии оцеНКН динаты от числа целевых скор°сти от чисёа

фотонов в кадре для целевых фотонов в одного объекта кадре для одного

объекта

кадре для одного объекта при различных размерах дискрета ПЗС-матрицы (Д / ст = 2, 3, 5). Для формирования отметок использовался итерационный алгоритм первичной обработки [5]. Графики (рис. 3, 4) свидетельствуют о том, что с увеличением размеров дискрет ПЗС-матрицы зависимость точности оценок параметров траектории от числа фотонов ослабевает. Так, при увеличении числа фотонов в 10 раз (от 2 до 20) для размеров дискрета Д / ст = 5 точность оценок увеличивается чуть более чем в 2 раза, в то время как для размеров дискрета Д = 2 она возрастает в Vl0 раз.

Следует обратить внимание на тот факт, что уменьшение дискрета в 2,5 раза (от Д / ст = 5 до 2) с точки зрения точностных характеристик исследуемого алгоритма эквивалентно увеличению количества целевых фотонов в 10 раз.

На рис. 6,7 приведены графики зависимостей дисперсии оценок координаты и скорости для одного объекта от числа кадров Т для различных вариантов первичной обработки. Зависимости получены для размера дискрет Д / ст = 5 и mk = 50. Особенно существенно объем выборки влияет на прецезион-ный, второй вариант обработки. Так, уменьшение выборки в 10 раз (от 100 до 10 кадров) ухудшает точность традиционного алгоритма (кривая 1) вдвое, в то время как точность итерационного (кривая 2) — вл/Ї0 раз.

На рис. 8-11 представлены зависимости суммы дисперсий оценок координат от расстояния между двумя объектами для различных параметров объектов, наблюдательного средства и времени наблюдения. График на рис. 8 приведен для размера дискрет Д / ст = 3 и числа целевых фотонов: 1-mk= 20, 2 - mk = 50. График на рис. 9 — для Д / ст = 1 и числа целевых фотонов 1 - mk = =20, 2 - mk=20. Анализ полученных зависимостей позволяет сделать вывод о том, что степень улучшения точностных характеристик с уве -

Рис. 4. Зависимость дисперсии оценки координаты от числа целевых фотонов в кадре для одного объекта при различных размерах дискрета ПЗС-матрицы

Рис. 5. Зависимость дисперсии оценки

скорости от числа целевых фотонов в кадре для одного объекта при различных размерах дискрета ПЗС-матрицы

РИ, 1999, № 2

7

личением числа целевых фотонов ослабевает с увеличением размера дискрет ПЗС-матрицы.

Проанализировав зависимости, представленные на рис. 10, 11, можно сделать вывод о том, что особенно ярко эффект улучшения точности оценок при уменьшении размеров дискрет проявляется при увеличении количества анализируемых кадров. Так,

О 20 40 60 80 100 Т Рис. 6. Зависимость дисперсии оценки координа- для одинак°вог° числа ты от числа кадров для цеёевых фотонов ш^ = одного объекта 50 при Т=5 (рис. 10) уменьшение размера дискрета от д / ст = 5 до 3 позволяет для расстояния между объектами Ay =1 повысить точ-ностьлишь незначиталь-но. В то же время, для Т=50 при техже условиях (рис. 11) такое же уменьшениедискретапо-зволяет повысить точность оценок более чем вдвое.

Выводы. Разработанный алгоритм оценки параметров траекторий объектов(6)является естественным обобщением классического алгоритма оценки параметров одной траектории (7). В отличие от последнего он не требует предварительного формирования группы отметок, принадлежащих тому или иному объекту. Главным достоинством алгоритма (6) является его способность с приемлемым качеством функционировать в условиях плотного потока объектов.

Исключительно в таких условиях его применение является целесообразным. Вместе с тем итерационный характер

процедуры (6) является Рис. 8. Зависимость неизбежной платой за суммы дисперсий

расширение условий оценок координат от применимости алгорит- расстояния между

мов оценки параметров двумя объектами дёя

Д / ст = 3

Рис. 7. Зависимость дисперсии оценки скорости от числа кадров для одного объекта

движения как процедур вторичной обработки.

Литература: 1. Кузьмин С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации. М.: Радио и связь, 1986. 352 с. 2. Левин Б.Р., Тегина Н.В., Юдицкий АИ. Алгоритм различения траекторий движущихся объектов и оценки их координат // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27, № 10. С. 1942-1948. 3. Миленький А.В. Классификация сигналов в условиях неопределенности. М.: Сов. радио, 1975. 328 с. 4. Прикладная статистика. Классификация и сниже -ние размерности: Справочное издание / Под ред. С.А. Айвазяна. М.: Финансы и статистика, 1989. 606 с. 5. Саваневин В.Е. Определение координат статистически зависимых объектов на дискретном изображении // Радиоэлектроника и информатика. 1999. № 1. С.4-8. 6. Теория обнаружения сигналов / Под ред. П.А. Бакута. М.: Радио и связь, 1984. 440 с.

Поступила в редколлегию 12.05.99 Рецензент: д-р техн. наук Поповский В. В

Саваневич Вадим Евгеньевич, канд. техн. наук, доцент ХВУ. Адрес: Украина, 61072, Харьков, ул. Тобольская, 38-а, кв. 33, тел. 32-16-38.

Логачев Сергей Владимирович, адъюнкт Харьковского военного университета. Адрес: Украина, 61177, Харьков, ул. Золочевская, 26, кв. 68, тел. 70-31-12.

Пугач Андрей Витальевич, адъюнкт Харьковского военного университета. Адрес: Украина, 61033, Харьков, пл.Сво-боды, 6.

2

Рис. 9. Зависимость суммы дисперсий оценок координат от расстояния между двумя объектами для Д / ст = 1

2

Рис. 10. Зависимость суммы дисперсий оценок координат от расстояния между двумя объектами для 5 кадров

Рис. 11. Зависимость суммы дисперсий оценок координат от расстояния между двумя объектами для 50 кадров

8

РИ, 1999, № 2