CC BY
42
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 3 (2013)
УДК 511
БЕСКВАДРАТНЫЕ ЧИСЛА В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ап]
Д. В. Горяшин (г. Москва)
Аннотация
В работе доказывается асимптотическая формула для числа бесквад-ратных чисел вида [ап], п ^ N, где а — алгебраическое число или иррациональное, имеющее ограниченные неполные частные.
Ключевые слова: бесквадратные числа, числовая последовательность, асимптотическая формула, тригонометрические суммы.
An asymptotic formula for the number of squarefree integers of the form [an] is proved in the paper, where a is an algebraic number or a number with restricted partial quotients.
Keywords: squarefree numbers, Beatty sequence, asymptotic formula, exponential sums.
Пусть а > 1 — иррациональное число и пусть S(a,N) равно количеству бесквадратных чисел вида [ап], п ^ N. Оно равно значению суммы
где ц(и) — функция Мебиуса. Разными авторами исследовалось асимптотическое поведение величины Б при N —— то с теми или иными ограничениями на число а.
Так, в работе [1] доказано, что если а — иррациональное число конечного типа (например, имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим), то
SQUAREFREE NUMBERS IN THE SEQUENCE [ап]
D. V. Goryashin (Moscow)
Abstract
S = S(а,N) = V2([ап]),
n^N
С другой стороны, в работе [2] доказана асимптотическая формула для средних значений мультипликативных функций для почти всех значений а. В применении к мультипликативной функции у2 (и) эта теорема дает
5 = 6 N + ОШ 3 +е) п2
для почти всех а. При этом, в отличие от работы [1], метод данной статьи не позволяет указать какие-либо конкретные значения а, для которых верно это равенство.
Настоящая статья посвящена доказательству следующего результата.
Теорема 1. Пусть иррациональное число а > 1 имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим. Тогда при N ^ ж справедлива асимптотическая формула
Б = ^ у2([аи]) = N + О (ЛШ5 1п5 Ш) ,
и^М
где Л = тах т(т).
1^ш^М 2
2
Заметим, что имеет место оценка Л = тах т(т) ^ NььN ^ N£ для
1^ш^М 2
сколь угодно малых е > 0.
Доказательство теоремы. Равенство т = [аи] равносильно тому, что аи — 1 < т < аи, Ш < и < Ш + а, т. е. {Ш} > 1 — а. Пусть функция ш(х) задана на полуинтервале (0; 1] следующим образом:
1, если 1 — 1 < х < 1;
’ а ’
ш(х) = ^ 2, если х = 1 — а или х = 1;
0, в противном случае;
и продолжена периодически на всю числовую ось. Тогда
Е у2([а'п])= Е у2(т) = Е у2(т)ш (т) .
и^М ш^аМ ш^аМ
{т }>1-1 ^ а J а
Поскольку ш(х) = - + р(х + -) — р(х), где р(х) = 2 — {х}, получаем
Еу2([аи]) = 1 Е у2т) + Е у2(т) (р №+) — р (т))
к<М ш^аМ ш^аМ ' ' ' '
Первое слагаемое в правой части дает главный член асимптотики:
1 Е у2(т) = ащсМ+О(^) = шN+О(^]-
ш<аМ '
Рассмотрим теперь второе слагаемое. Обозначим их через
' т + 1\ ( т'
У(тП р I
ш<аМ
Я = Рр^) — кт))
<т <" пи ЛГ ' ' ' '
и воспользуемся следующей леммой о разложении функции р(х) в ряд Фурье (см.[3]).
Лемма 1. При всех Р ^ 2 для функции р(х) = 2 — {х} имеет место разложение
р2шкх
р(х)= Е ^+О(г(х)),
где
г(х)= Р2 . 2 = Е «ке2^ + О (Р) , Ск « ^е-*>-.
VI + р2 ™ пх К | Ч <р р V Р / Р
Применяя эту лемму к сумме Я, получаем:
' т + 1\ ( тЛ
У (т) I р I
ш<аМ
я = £*■ ('(т^)—р (т))
<у-у-> <' г\< ЛГ \ \ / /
у2(т) У , -Г-^- е2пг-а — П +
. ш^аМ 1^ | кI ^Р
\ш<аМ \ \ / /
Е
„2пг — 1
е а 1
2п!к
1^|к|^Р ш^аМ
у (т)е + О\ } у2 (т)[ г
Считаем, что 2 ^ Р ^ N (значение Р в зависимости от N выберем позднее) Первая сумма оценивается следующим образом:
____ „2жг— 1 ____
Е 6 ‘ — 1 Е у2(т)
2пгк
1^|к|^Р ш^аМ
2/ \ 2пг кЖ
2т)е2п^ -
«1 Е 1
п ^ к 1<|к|<р
2/ \ 2пг кЖ
2 т)е -
ш<аМ
Далее,
Е уЧт)г(гт+-1) = Е у2(т) ( Е
ш^аМ ^ ' ш^аМ \1^|к|^Р
к т+1
_ ^2пгк------
Ск е -
2жгкг' — ~ + о
1п Р
(Щ
У Ск е
1*|к|*Р 1п Р ш*аМ
2”к - Е Р2(т)е2" “Ж + о(Р 1п2 лА
-> * аМ ' '
Поскольку «к ^ 1пРр, отсюда получаем оценку
ш*аМ
р
1*|к|*Р 1п Р
2 / \ 2пг “Ж
(т)е -
ш*аМ
а^, 2 ,т + р 1 п2 N.
Таким же образом оценивается и вторая сумма в остатке. Положим Р = л/аМ. Тогда последнее слагаемое равно О(\/аN 1п2 N). Итак, требуется оценить тригонометрические суммы
1
1*к*Р
2( т^е^пг^кш
ш*аМ
Р
1*к*Р 1п Р
2( т)е‘2пг^кш
ш*аМ
где А = а. Нам потребуются следующие две леммы об оценке тригонометрических сумм.
Лемма 2. При У ^ 1
?/"" * тт(У т)
у*г
где ||А| = тт({А}, 1 — {А}) — расстояние от числа А до ближайшего целого числа.
Лемма 3. Пусть А = ^ , (а, 4) = 1, Ч ^ 1, Щ * 1. Тогда при Х,У ^ 1
/ 1 \ ХУ
У2 т1п у тл-г < — + (Х + ч) 1п 2ч-
х*х V ИАхМ Ч
Рассмотрим сначала сумму Ш1. Воспользуемся формулой у2(т) = ^ у(^):
Ц\ = £
1
1*к*Р
(5] у(д:)
ш*аМ \^2|ш
_2пг\кш
Е
1*к*Р
1
Е у(в:)
й*у/ аМ г*
0,2
*
к
к
к
* ^2 к ^ \у(
1*к*Р а*ЕаМ
г*
*
Ек е
1*к*Р а*л/аМ
Г*
02
Разобьем внешние суммы по к и по й каждую на ^ 1п N сумм по промежуткам вида (К; 2К] и (В; 2В] и соответственно, где 2К * Р, 2В * л/аМ. Тогда получим оценку
1
Wl In2 N ma^
ЫККР/2 k
l^D^VON/2 K<k^2K D<d^2D
Е
2niXkrd2
r<
d2
In2 N max W(K, D).
ЫК^.Р/2 i^D^VaN/2
Далее в зависимости от величин К и В рассмотрим два случая: КВ * (а^1/3 и КВ> (а^1/3.
Случай 1. Пусть выполнено неравенство КВ * (аN)1/3. Применяя лемму 2, оценим сумму Ш(К, В) следующим образом:
— sr^ ■ {aN 1 \
Е k тт[d , \\\kd2\\)
'Ь<ГОЪГ Г>^Й<ГО Г) V 11 11 /
k
K<k42K D<d^2D
Е Е min
K<k<2K D<d^2D
aN
kd21 \\\kd21|
aN 1
^ L L min{KD,ЩЩ
( aN 1
K<k<2K D<d<2D
^ Y, (Y,4min
KD2<m^8KD2 d2\m ' d<2D
\KD2’ \\\m\\
.
Воспользуемся неравенством 1 ^ t (m) ^ A = max т (m) и леммой 3:
d2\m l<,m<,N2
d<2D
aN
1
min
KD2<m^8KD2
(kd2’ \\\m\\
< A In N ( — + KD2 + q
q
)
Если число а (а значит и А = а) имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим, то знаменатель Ч подходящей дроби к А можно выбрать так, чтобы были выполнены неравенства (аN)2-£ ^ 4 * (а^ 2. Учитывая также неравенства КВ * (аN)1/3 и В * VаN, получаем
Ш(К, В) < Л Ь N )1/2+£ + ^)5/6 + ^)1/2) < Л(аN)5/61п N.
Случай 2. Пусть теперь выполнено неравенство КВ > (аN)1/3. Возведем сумму Ш(К, В) в квадрат и воспользуемся неравенством Коши:
1
W2к.т«K kd y, Е
K<k^2K D<d^2D
r<
d2
1
= В е2пг\к(г'-т")а2
К<к*2К В<(1*2В 1*Г т''*-]2 ’ '"'в,2
Выделим во внутренней сумме слагаемые, соответствующие . = г". Получим
( \
^ ^ ^ аN + ^ ^ е2пг\к(т' -т'')в?
уК<к*2К 0<4*20 й К<к*2К 0<4*20 1*т'=т''*—^ у
«^ +В Е Е Е
<
e2niXk(r/-r! /)d2
К
К<к*2К и<й*‘2и 1*г' =г''* ^
'"'в2
Для оценки полученной тройной суммы изменим в ней порядок суммирования:
е2пгХк(т'—т'')а!2 _
Е Е Е
K<k^2K D<d^2D i^r/=r//^oN-
e
^ ^ ^ ^ ^ ^ e2niXk(r/-r//)d2 ^
ыу =r//<0^2 D<d^min(2D,yaiN)yaiN) K<k^2K
1
||A(r' — r")d?\\
l^r =r//<aN D<d^min(2D,y/afty/°N)
« D - JS. N JL..............(K' и)* D £,( £ ’>.....................(К'\я)-
D2 '' '' D2 ,xin
s=0 d^2D
Снова пользуясь неравенством ^2 1 ^ т(v) ^ A = max т(v) и леммой 3,
d2\v l<'v<'N 2
d^2D
получим
W2(K D) < aN + A ,
K D2 V q
*
Следовательно,
W2(K,D) ^ aN + ADaN- (aNK + aN + q) In N *
K D2 q
лт ( (aN)2 (aN)2 aNq)
A Xn N[aN + -qD- + -Щ- + kd)-
ШКВ) «да + /ЧВ + /КВ + ^.
Аналогично случаю 1, знаменатель Ч подходящей дроби к А можно выбрать так, чтобы были выполнены неравенства (аNK) 2-£ « 4 * (аNK) 2. С учетом неравенства КВ > (аN)1/3 в этом случае получим
Ш(К, В) « (/Оы + ^)/4+1 + ) « Л^)5/61п N.
V К1 - §л/В л/КБ 4К^В)
W2
Итак, в обоих случаях для суммы Ш1 получаем оценку
Ш1 « 1п2 N тах Ш(К, В) « Л(aN)5/61п3 N.
1*К*Р/2 1*0*ЕаМ/2
Сумму Ш2 оценим следующим образом:
1п Р
P ^
l<k<P ln Р
m<aN
«in2 p E 1
l<k<P ln P
m<aN
Для суммы в правой части, очевидно, справедлива та же оценка, что и для суммы Wl (отличие от Wl лишь в том, что количество слагаемых во внешней
5 с
сумме по k в ней равно Pin P вместо P). Следовательно, W2 * AN6 in N. Теорема доказана полностью.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Giloglu A.M., Nevans,C.W. Sums of multiplicative functions over a Beatty sequence // Bull. Austral. Math. Soc. 2008. Vol. 78. P. 327—334.
2. Abercrombie A. G., Banks W. D., Shparlinski I.E. Arithmetic functions on Beatty sequences // Acta Arith. 2009. Vol. 136, № 1. P. 81—89.
3. Архипов Г. И., Садовничий В. А., ЧубариковВ. Н. Лекции по математическому анализу. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, 2003.
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Поступило 18.09.2013
