Базисность по Риссу системы собственных и присоединенных функций одного интегрального оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

\

X

1 + С' _, Их)<У|- ,(0<С;<1). (2)

1 + Iogx 'J \р)

ТЕОРЕМА 2. Пусть функция Ч* удовлетворяет условию (2) и последовательность {рк) ограничена числом р. Если N-произвольная последовательность чисел вида

и = £((р*2м-1 ~ч)тк2,А-1 +(р*2_,-2 +... + (р*2( -?/)т*2( ),

i=i

где

к]>к2> ■■■> k2s, in j = ,т0= 1,

О<qt<pk,k = k2i,k2i +1 ,...,k2i_x -1, для которых sup £„ = +оо, то для любой функции а(?) -I 0 при t 4- 0 сущест-

вует функция / е Лц, q такая, что отношение —г—ц-— неограниченно.

II/ Нч-,9

Доказательство теоремы 2 является очень длинным, ему будет посвящена отдельная статья.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М, Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах Баку: Элм, 1981.

2. Lukomskii S. F. Convergence of Fourier series in Lorents spaces // East J. on Approximations. 2003. Vol. 9, № 2. P. 229 - 238.

УДК 517.984

И. А. Мельников

БАЗИСНОСТЬ ПО РИССУ СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА*

Исследуется вопрос о базисности по Риссу в пространстве /-2[0Д] системы собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) интегрального оператора

А/= I А(\-х,е)/(0сЬ + а)А(х30/(0Л, *е[0,1], (1) о о

где а - произвольная постоянная, а | < 1.

" Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).

74

Предполагаем, что для некоторого натурального п при 0 < ? < х < 1 существуют и непрерывны производные

причем

дх'дг5 д>

А(х,0, 7 = 0,1,...,«, 5 = 0,1,

дх'

А(х,0

= 5

У = 0,1,...,«,

(2)

где 8,- I — символ Кронекера.

Операторы вида (1), (2) при а = 0 и более общего вида впервые были рассмотрены А. П. Хромовым в работе [1]. Базисность по Риссу с.п.ф. таких операторов была установлена В. П. Курдюмовым и А. П. Хромовым в работе [2]. Данная статья распространяет метод из [2] на случай [ а | < 1.

1. Вспомогательная задача. Для определенности будем считать п = 2к.

ТЕОРЕМА 1. Оператор А~1 существует, причем представляет собой интегро-дифференциальный оператор вида

-2—У М--Т~ , -

а -1 а -1

у(п)0~х) +

а2 -1

а -1

„0.-1)

(1-х)

с граничными условиями 1

а -1

(а>>(А)(0) + (-1)*+У*>(1))= 0, к = ОД,.. „и -1,

(3)

(4)

(1 1 > , В = ГЭ. 0Л

-ъ . 0 Р2,

где N1 - некоторый интегральный оператор. Введем следующие обозначения:

р,= -I--, р2--Ц, г =

а +1 а -1

Исследуя задачу на собственные значения для оператора А, можно свести исследование с.п.ф. оператора к исследованию с.п.ф. действующего в пространстве 1?2[ 0, вектор-функций размерности два интегро-дифференциального оператора Ь, порождаемого выражением

Ьу(х) = В/п\х) + (,х), у е 4[0,1]

и граничными условиями

,2Гп И

ик{У)=ркУ{к\о)+е/4)ф=о,

(5)

(6)

где N - некоторый интегральный оператор в Ь2[Рк и 0 - матрицы

с постоянными коэффициентами. Связь между операторами Ь и А определяется в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 2. Если у(х) является собственной функцией оператора А для характеристического значения X, то г/(х) = Е^1(у(^- + .т),>'(^-х))7 , хе[0,^-], является собственной функцией оператора £ для собственного значения X.

Обратно, если и(х) является собственной функцией оператора , то у(х) = - хД при хе[0,|] и у(х) = (Ги(х - у)) при хе[|,1] является

собственной функцией оператора А .

2. Исследование вспомогательной задачи. Сначала рассмотрим интегральный оператор действующий в пространстве и порожденный дифференциальным выражением

Ьйу = Ву(и> (7)

и граничными условиями (6).

ЛЕММА 1. Пусть Дод = (I - ХЕ)"] — резольвента оператора Ц

о >

т = 1,2,..., - все собственные значения оператора 10, Гт - замкнутые контуры в X-плоскости, каждый из которых содержит одно и только одно собственное значение Хт, I - произвольный набор достаточно больших натуральных чисел. Тогда справедлива и равномерна по / оценка

X (8)

те/ Гт

где норма берется в пространстве ¿¡[О,^] ■

Имеет место следующая связь между резольвентой оператора Ь

(9)

где К = О" И^сИсЫ. Это позволяет получить для Ях оценку,

аналогичную лемме 1.

ЛЕММА 2. Пусть теперь Хт, т = 1,2,..., - все собственные значения оператора ¿, Гт - замкнутые контуры в ¡^-плоскости, каждый из которых содержит одно и только одно собственное значение Хт. Тогда справедлива оценка

Г

те1 г

<С,

(10)

равномерная по I.

3. Базисы Рисса из собственных и присоединенных функций. Нам

понадобятся следующие факты.

ЛЕММА 3. Все достаточно большие по модулю собственные значения оператора I однократны. Положим

¿'О-*,)—---: К^. (11)

27и г

1 т

ЛЕММА 4. Если Дх) е 122[0±] и Е(Ю/= ^ = 1,2,...,то /(х) = 0 почти всюду.

Основным результатом работы является следующая теорема. ТЕОРЕМА 3. Система с.п.ф. оператора А образует базис Рисса

а пространстве /^[ОД].

Доказательство. Пусть система {X*}" записана в каком-нибудь наперед заданном порядке. Представим частные суммы ряда Фурье по системе с.п.ф. оператора £ в виде сумм операторов (11). По лемме 2 такие суммы равномерно ограничены. По лемме 4 система с.п.ф. оператора Ь полна в 122[0,\]. Отсюда по теореме Банаха - Штейнгауза и по лемме 3

следует, что система с.п.ф. оператора Ь образует в пространстве

базис безусловной сходимости, а следовательно, система с.п.ф. оператора А образует базис Рисса в пространстве ¿^[0,1]. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 6. С. 932 - 942.

2. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Мат. заметки. 2004. Т. 75, вып. 1. С. 97-110.

УДК 512+519.7

А. В. Месянжин

К ВОПРОСУ ОБ ОДНОВРЕМЕННОЙ ТРИАНГУЛЯЦИИ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ФАКТОРА ПОЛИНОМИАЛЬНОГО КОЛЬЦА ПО НУЛЬМЕРНОМУ ИДЕАЛУ В ЗАДАЧЕ ПОИСКА КОРНЕЙ ИДЕАЛА

Пусть / - нульмерный идеал полиномиального кольца Я = А."х„] над алгебраически замкнутым полем К нулевой характеристики. Коммутативное фактор-кольцо Л// изоморфно кольцу линейных

операторов ' \ И е Я/1], осуществляющих умножение на факторизован-