BA’ZI BIOLOGIK JARAYONLARNI TATQIQ QILISHDA FUNKSIONAL-DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI QO’LLASH Текст научной статьи по специальности «Математика»

BA'ZI BIOLOGIK JARAYONLARNI TADQIQ QILISHDA FUNKSIONAL-DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI QO'LLASH

YUSUPOVA A.K.

Farg'ona davlat universiteti dotsenti, f.-m.f.n.,

QURBONOV B.B.

Farg'ona davlat universiteti magistranti

ladyuz@list.ru

f

\ I -.1 II /

d https://doi.org/10.24412/2181-2993-2022-2-177-188

Maqolada fanlararo integratsiya, jumladan matematika va biologiya fanlari orasidagi bog'lanishlar, ya'ni funksional-differensial ANNOTATSIYA tenglamalarni ba'zi biologik jarayonlarni o'rganishga tatbiqlari

keltirilgan. Funksional-differensial tenglamalarga asoslangan Xatchinson modeli, Lotke -Vol'terra modeli, Epidemiyalar modeli, Epidemiyaning Kukaning birinchi va ikkinchi modellari va Marchuk modeli keltirilib o 'tilgan.

Kalit so'zlar : Matematik model, funksional -differensial tenglamalar, logistik tenglama, Xatchinson modeli, Lotke -Vol'terra modeli, Epidemiyalar modeli, Epidemiyaning Kukaning birinchi va ikkinchi modellari va Marchuk modeli.

The article presents interdisciplinary integration, including connections between mathematics and biology, that is, the application of functional-ABSTRACT differential equations to the study of some biological processes.

Hutchinson's model based on functional differential equations, Lotke-Vol'terra model, Epidemic model, Kuka's first and second model of epidemic and Marchuk model are presented.

Key words: Mathematical model, functional differential equations, logistic equation, Hutchinson model, Lotke-Volterra model, Epidemic model, Kuka's first and second models of epidemic and Marchuk model.

KIRISH (Introduction)

Dinamik modellar boilogiyada juda keng qo'llanilib kelmoqda. Bu dinamik modellarda jarayonning kelgusidagi holati nafaqat uning hozirgi holatidan, shuningdek bu jarayonning o'tmishdagi holatiga ham boqliq holda o'rganiladi. Bunday dinamik modellarni matematik tilda ifodalash uchun funksional- differensial tenglamalar qo'l keladi.

Funksional- differensial tenglamalar oddiy differensial tenglamalarning ma'lum ma'noda umumlashmasi bo'lib, bu kabi differensial tenglamalar quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:

177

> www.birunijournal.uz

Bu yerda t erkli o'zgamvchi, ya'ni vaqt, *(t) -vektor funksiya Ba'zi hollarda funksional- differensial tenglamalar

kabi ham yozilishi mumkin.

ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODLAR

Funksional- differensial tenglamalar, [1]da akademik M.S.Salohitdinov, F.N.Nasritdinovlar differensial tenglamalarning fizika, iqtisodiyot, biologiya, kimyo, tibbiyot va boshqa fanlarda uchraydigan ko'plab jarayonlarning differensial tenglamalar yordamida tavsiflanishi ta'kidlab o'tganlar. V.G. Pimenov [2] da tibbiyotda va biologiyada funksional - differensial tenglamalarni qo'llash masalalari yoritilgan bo'lsa, A.K.Yusupova, M.D.Saidaxmedovalar [3] esa biznessda, biologiyadagi, fizikadagi ba'zi masalalarni differensial tenglamalar yordamida izohlash, ularni o'rganishni yoritilganlar. A.K. Yusupova, M. Murodovalar [4] da qadimiy tibbiyot masalalarini matematik usulda yechish yo'llari keltirib o'tilganlar.

NATIJALAR

Xatchinson modeli. Logistik tenglama.

ko'rinishdagi tenglama logistik tenglama deb ataladi.

Davriylikni hisobga olgan biologiyadagi birinchi modelllardan biri Xatchibson modeli

Bu yerda r- chiziqli o'sishning maltus koeffisenti, t esa yosh ko'rsatkichi, K -populyatsiyaning o'rtacha soni.

> 7 da tenglama echimi davriy tebranishlar ko'rinishida bo'ladi. Ammo bu

natijani analitik ko'rinishda olish oson emas.

Soddalik uchun r = K = 1 deb olsak va boshlang'ich momentni x(0) < 1. Faraz qilaylik vaqtning qandaydir (birinchi) momentida = 1 bo'lsin. U

holda t < t1 deyishga asos sifatida x(t1-r)<l va ulardan x(t±j > 0 kelib chiqadi. Echim osuvchi bo'lishi to x(t - t) < 1 bo'lguncha davom etadi.

t2 = t1 + z dan keyin x(t) ning kamayishi boshlanadi. Agar t juda kichik bo'lmasa t3 momentdan boshlab yana x(t ) < 1 bo'ladi. Yechimning

178

tebranuvchanlik xarakteriga ega ekanliligiga hisob-kitoblar orqali ishonch hosil qilish mumkin.

Juda ko'p biologik modellarda Xatchinson tenglamasining umumlashgan

ko'rinishlaridan foydalaniladi. Masalan Yu. S. Kolesov (1) tenglama ko'plab

turdagi hayvonlar sonining o'zgarishini yaxshi ifoda etishini qayd etgan. Olimning bu

fikrga kelishiga asos sifatida bu kabi hayvonlar yashashlarining o'rtachasi t dan

ortmasligi bo'lgan. Agar bus hart busilsa u holda

«1jrCt=T1]-HiEje&:=TaX

X = r(l

k

-)x

tenglamaga o'tish lozim. Bu yerda ct^ va a2 'ar mos yosh guruxlarining

populyatsiya soni o'sishiga qo'shgan hissasidir. Agar t± = 1 t2 = 2 bo'lsa

ozoq

umr ko'ruvchi hayvonlar bu populyatsiyadagi hayvonlar soni tebranishini kamayishini ko'rsatadi. Agar t1 = 2 va t2 = 3 bo'lsa , u holda uzoq umr ko'ruvchi hayvonlarning sonidan qat'iy nazar populyatsiyadagi hayvonlar sono tebranishini o'sishiga olib keladi.

Xatchinson tenglamasining boshqa umumlashini olish uchun kech qolishlarning taqsimot qonunini kiritish orqali , ya'ni quyidagi

tenglamaga o'tish orqali erishish mumkin. Lotke -Vol'terra modeli Matematik ekologiyaning asosiy masalalaridan biri populyatsiyalarning o'zaro ta'sirini o'rganish va uning matematik modelini tuzishdan iboratdir. Bunda Lotke -Vol'terra modeli ishlatiladi. Bu modelda kech qolishlarning taqsimotiga ega sistema bilan ish ko'riladi. Bu modelda

Bu yerda x(t)f y(t) lar mos ravishda populyatsiyadagi qurbonlar va yirtqichlar soni. Avvalgi modellarda kech qolishlar , yani o'tmishdagi holatlar hisobga olinmaganligi uchun oddiy differensial tenglamalar sistemasi hosil bo'lgan:

179

va bu sistema yaxshi o'rganilgan , ya'ni ular qo'zmas nuqta atrofidagi chiziqlar sirlini ifodalaydi

Vengersky va Kanningemlar quyidagi sistemani o'rganganlar :

Bu yerda t bitta populyatsiya vakilining o'lishi vaqti bilan va katta yoshdagi yitqichlar soni o'sishi vaqtining o'rtacha farqi.

Kech qolishlarni hisobga olgan yirtqich-qurbon matematik modeli turlicha bo'lib, ular turli biologik ma'nolarga ega. Ba'zi adabiyotlarda kech qolish sifatida yirtqichlarning och qolish natijasida o'lishlari tezligi olingan.

Ba'zi modellarda bir nechta kech qolishlar qatnashadi. Masalan Kolesovaning modeli

Bu modelda quyidagi shartlar bor yirtqichlar bor yoki yo'qligi hisobga olinmaydi.

Epidemiyalar modeli Epidemiyalar nazariyasidagi ko'plab masalalarda populyatsiya infeksiya

manbai bo'lgan individumlar va izolyatsialangan individiumlar guruxlariga bo'linadi.

,

Sistema uchun x+y+z= Iva integral

shartlarni qanoatlantiradi. Bu sistema inkubatsion davrni ifodalaydi. t oo da uning yechimi doimiyga intiladi. Soddalashgan modellar

x

f. t—T

f(s,x(s))ds

integral tenglama yordamida ifodalanadi. Bu tenglamani o'rganishda kech qolishlar parameter sifatida qaraladi.

Epidemiyaning Kukaning birinchi modeli

180

Epidemiyaning Kukaning ikkinchi modeli

Ikkita kech qolish quyidagi model bilan ifodalanadi, ya'ni vabo modeli quyidagi ko'rinishga ega:

Immunalogiyadagi modellar

Immunalogiyadagi matematik modellar kech qolgan argumentli differensial tenglamalar orqali ifodalanadi. B.F. Dibrov, M.A.Lifshisa va M.V.Volkenshteyn maqolalarida chetdan kirgan antigen (Ar) tufayli vujudga kelgan immun reaksiyalarning turlicha modellari ko'rib chiqilgan. Maxsus antitelalar (At) lar ishlab chiqish tezligi B-limfositlar yaratgan plazmali hujayralar soniga proporsional bo'ladi. B-limfositlar Ar tomonidan tr vaqt awal yaratilgan. Analogik ravishda immunal hotira hujayralarning paydo bo'lishi B-limfositlar Ar tomonidan xm vaqt awal yaratilgan. Natijada hosil bo'lgan model tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi :

Bu yerda x B -limfositlar soni, g - antigenlar soni, a - maxsus At lar soni, 9(t)

- Hevisayd funksiyasi , P, I, h, Am, Ar, K,Q,R, E lar doimiy bo'lib, ular x, g ,a larning o'zaro ta'siri, populyatsiyaning o'lishi va ko'payishini xarakterlovchi doimiylardir. Bu model va uning umumlashmalari uchun immun jarayonining dinamikasi boshlang'ich holatiga , immun sistemani xarakterlovchi paramertlar qiymatlariga va Ar larga bog'liq bo'ladi. Reaksiya rejimini aniqlovchi muhim paramertlardan biri kech qolishlar davrining uzunligi zr dir. Etarlicha kichik Tr larda

Ar statsionar holatda va At maxsus holat bo'ladi. ir lar o'sishi statsionar holat turgunligini buzadi va avtotebranishlarning paydo bo'lishiga sabab bo'ladi. Tr larning yanada o'sishi At

Larning cheksiz o'sishiga , ya'ni organizmning o'lishiga olib keladi. Kech qolishlarning davomiyligi immune jarayonlarini boshqarishning samarali usullaridan bo'lib xizmat qiladi.

181

Etarlicha kichik tr larda inveksion kasalliklar bilan kasallanish ehtimolini oshiradi. Ainmo Tr ning kichik o'sishi bu ehtimollikning etarlicha kamayishiga olib keladi. Tr kattalashgani sari Ar dozadan bog'liklik jarayonidagi farqlarni oshiradi.

Marchuk modeli

"Infersion kasallik " termini deganda biosenoz a'zolari ortasidagi o'zaro aloqalar tushuniladi. Bunda patagenlik mexanizmiga ko'ra bitta bakteriya bir organizmdan ikkinchisiga o'tishi va ikkinchi organism esa himoyalanish uchun pathogen harakatlarga qarshilik qilishi mumkin. Organizmning infersiyalardan himoyalanish asosiy usullaridan biri immunitet sistemasidir. Infersion kasalliklarni ham chaqiruvchi genetik antigen (chet moddaning) organizmga kirishiga qarshi immun reaksiyasining mohiyati maxsus moddalar (antitel , killer -hujayralar) ni ishlab chiqarishdan iborat bo'lib, ular antigenlarni yo'q qiladilar yoki ularni neytrallashtiriladi. Yuqoridagilardan kelib chiqib infeksion kasalliklarni kasallik qo'zg'atuvchi populyatsiyalar va organizmning immun sistemasi o'rtasidagi konflikt sifatida qarash mumkin. Va buning natijasida kasallikning asosiy xarakteristikalarini ajratib ko'rsataylik.

Modeida kasallanish jarayoni quyidagicha izohlanadi. Faraz qilaylik t = t0 momentda organizmga boshlang'ich V0 viruz kirgan bo'lsin. Bu viruslar organism hujayralarida ko'payishni boshlaydilar. Ularning bir qismi qonga o'tadi , qonda immunokompetent hujayralar bilan o'zaro ta'sirga kirishadi (modelda ular antitelalar deb ataladi). Natijada immune sistemaning stimulyatsiyasi ro'y beradi. Organizmdagi stimulyatsiyadan biroz t vaqt o'tgach organizmda plazmatik hujayralar klonlari paydo bo'ladi, ular o'z navbatida viruslarga qarshi antitelalar ishlab chiqaradilar . Antitelalar viruslarni o'rab oladilar va bu jarayonlarning nisbiy kinetikasiga qarab kasallik jarayoni o'zgaradi. Agar viruslar organismdagi organlar zararlantira olsalar , u holda organizmning umumiy holati yomonlashadi. Buning oqibatida esa immune sistemasining ishlashi ham yomonlashadi. Va antitelalarni ishlab chiqarish susayadi , buning oqibatida esa kasallikni yengish ehtimoli kamayadi.

Modelda quyidagi o'zgaruvchilar qatnashadi : V - viruslar konsentratsiyasi (patogen antigenlar ko'payishi); F(t) antitelalar konsentratsiyasi ( viruzlarni neytrallashtiruvchilar : immunoglobulinlar, hujayralar reseptorlari), C(t) - plasma hujayralari konsentratsiyasi : tashuvchi populyatsiya, antitelalar produsentlari ( immunokompetent hujayralar , immunoglobulinprodusentlari); m(t) - zararlangan organning xarakteristikasi (masssasi, zararlangan hujayralar soni).

Bu model nochiziqli differensial tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi

182

www.birunijournal.uz

V(f) = <ß-YF(t)V(f) C(t)^(jn)aV(t - t)F(t - t) - //,(C(t) - C F(t) = pCiO <jif + i/rK{t)F(t)

(1)

m CO = aV{t) - f.imm(t)

Bu sistema kichik vaqt oraliqida jarayon har bir komponentasining "tug'ilishi" va "o'lishi" o'rtasidagi balansga asoslangan. Sistemadagi birinchi tenglama organizmdagi viruslar soninig o'zgarishini ifodalaydi. Ikkinchi tenglama plazmali hujayralarning dinamikasini izohlaydi. Bu tenglamani tuzishda plazmali hujayralar kaskadli populyatsiyasi shakllanishi haqidagi sodda gipotezaga asoslanadi. Uchinchi tenglama antitelalar ishlab chiqarish jarayonining balansi asosida , ularning antigenlar bilan o'zaro ta'siri asosida va ularning tabiiy o'lishi asosida tuzilgan. Tertinchi tenglama zararlangan organning nisbiy xarakteristikasidir. Bu tenglamalar uchun boshlang'ich shartlar sifatida

(1) va (2) lar birgalikda viruzli kasallik modelidir.

Bu kabi soda matematik modellarning turli variatsiyalari bor. Ular immun sistemasi faoliyatining o'ziga xos muxim xususiyatlari, jumladan subklinik, o'tkir va xronik kasalliklarni, shuningdek tana haroratining oshishini, kasalliklarning asoratlarini, biostimulyatsiyasi mexanizmini izohlash imkonini beradi.

Limfositar xoriomeningit viruzlari (LCMV) bilan eksperimental infersiyalar sichqonlar ustida amalga oshiriladi. Bu tajribalar immunologik qonuniyatlarni o'rganish uchun zarur bo'ladi. Bu tajribalar asosida virusli antigenlarni prezentasiyalash tamoyil (prinsip) lari kasf qilingan. Shuningdek virusli infeksiyalar va organizmning immune sistemasining o'zaro munozabatlarining biologik mexanizmi o'rganildi. Xususan , virus infeksiyasini lokalizatsiyasi, dozasi kinetikasi organizmning immune sistemasiga nochiziqli ta'sir ko'rsatishi tadqiq qilingan. Viruslar replikatsiyasining yuqori templari T-limfositlarni yo'qolishi va infeksion jarayonning xronik davomiyligiga olib keladi. [3] da LSMV infeksiyasining matematik modeli qurilgan. Bu modelda kech qolishlarni hisobga olgan nochiziqli differensial tenglamalar sistemasi yordamida stitotoksin T -limfmositlar ( CTL) ning ko'payish va differensiallanish jarayonlarini faollashishi, shuningdek birinchi marta T -limfositlarning virus -indysiyalashgan anopto'zi o'rganilgan.

t7(t0) = V0 , C(t0) = C0/m(t0) = m, -T < s < 0 da

(2)

LSMV -model

183

www.birunijournal.uz

Bu tenglama V(t) - viruslar populyatsiyasi zichligi o'zgarishi tezligi, CTL -avvalgi davrdagi Ep(t) lar E(t) laming CTL effektlari va virus yuklama W(t) larni model[8-25] ichida izoxlaydi:

ß - viruslar replikatsiyasi tezligi konstantasi; i - taloqdagi viruzlar konsentratsiyasining maksimal qiymati;

- effektorlar ta'sirida viruslarni neytralizatsiya qilish konstantasi; . - CTL - avvalgi avlodning tabiiy halokati tezligi konsentratsiyasi;

E:.- taloqdagi CTL - avvalgi avlodning zararlanishishidan avvalgi gomeostatik

konsentratsiyasi ;

- CTL - avvalgi avlodning stimulyatsiyasi tezligi konsentratsiyasi;

í - CTL - avvalgi avlodning bo'linishi tezligi rosa ikki marta kamayishiga olib

keladigan viruzlarl bilan zararlanganlik darajasi

i - CTL - avvalgi avlodning bo'linish sikli davomiyligi; :v_.r- CTL - avvalgi avlod uchun apoptozi tezligi konstantasi; - CTL - avvalgi avlod uchun virus -indusirallangan apoptozi shakllanishi jarayoni davomiyligi;

- CTL - avvalgi avlod differensiasialanishi tezligi konstantasi;

effektorlardagi CTL - avvalgi avlod differensiallanishini ikki marta kamayishiga olib keladigan viruzlar bilan zararlanganlik darajasi;

¿V—effektorlar ta'sirida CTL larning o'lishi tezligi konstantasi;

- CTL -effektorlari uchun apoptoz tezligi konstantasi -¿ J - CTL -effektorlari tabiiy o'limi tezligi konstantasi;

Vit) = ßV{t){l-^)-YvEE(t)V{t)

K CO = (e; - ev CO) + bvgv (W)V(t - T-)ev (t - t)

aAPV(t TA)V(t)Ep(t) È CO = bdgE(W)V(t - t)Ev(t r) bEVV(t)E(t) --aAEV(t - TAW(t)E (t) - aEE{t) W {t) = bwV{t)-awW{t)

v

Bu yerda

184

Ь-- - viruzlar bilan zararlanganlik tezligi konstantasi;

- viruzlar bilan zararlanganlik tezligining kamayishi konstantasi. Birinchi tenglama konkret organ yoki butun organizmdagi viruslar populyatsiyasi o'zgarishi tezligini ifodalaydi, bu o'zgarishi tezligi viruzlar ko'payish jarayoni tezligi va ularni CTL effektorlar tomonidan neytrallash jarayoniga bog'liq. Ikkinchi tenglama CTL avvalgi avlodlarining dinamikasini ifodalaydi. Uchinchi tenglama CTL -effektorlar dinamikasini izohlaydi. Bu holda effektordagi avvalgi avlod diferensiatsiya jarayoni nochiziqli virus indusiralashgan apoptoz ta'sirida yuz bergan o'limlar yarayoni , viruzlar bilan zararlanish yarayoni va viruzlar konsentratsiyasidan nochiziqli bog'liq. Bunda CTL lar o'limi, differensiallanishi, bo'linish jarayonlari albatta hisobga olinadi.

To'rtinchi tenglama CTL larni differensiallanishi, v abo'linish tezligiga ta'sir ko'rsatuvchi viruzlarning organizmga antigen zararlantitishini izohlaydi.

REFERENCES

1. М.С.Салохитдинов, Г.Н.Насритдинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент "Узбекистон" 1994 й. (M.S. Salokhitdinov, G'.N. Nasritdinov. Ordinary differential equations. Tashkent "Uzbekistan" 1994 )

2. Б.Г.Пигменов. Функционально -дифференциальные уравнения в биологии и медицине. Екатеринбург. 2008 г. B. G. Pigmenov. Functional and differential equations in biology and medicine. Yekaterinburg. 2008

3. Юсупова, А. К., & Сайдахмедова, М. Д. (2022). ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В РАЗЛИЧНЫХ СФЕРАХ ЖИЗНИ. SO 'NGIILMIY TADQIQOTLAR NAZARIYASI, 1(2), 110-115.

4. А.К Юсупова, М.Муродова. Старинные медицинские задачи решаемые математическими методами. Тиббётда ахборот технологияларини ривожланиш истикболлари. Республика конференцияси. Фаргона 2020 й. ( A.K Yusupova, M.Murodova. Old meditsinskie zadachi solving mathematical methods. Prospects for the development of information technologies in medicine. Republican conference. Fеrgаna , 2020 )

5. A.K Yusupova. Fanlararo aloqaning ayrim masalalari to'g'risida. Замонавий узлуксиз таълим сифатини ошириш : Инновация ва истикболлар Халкаро илмий-амалий масофавий конференция. 24 апрель 2020 ТДПУ 2020 йил 24 апрель. 533-534 betlarro A. K. Yusupova. About some issues of interdisciplinary communication. Improving the quality of modern continuing education: Innovation and prospects International scientific-practical distance conference. April 24, 2020 TDPU April 24, 2020. Pages 533-534

185

www.birunijournal.uz

6. Баракаев , Юсупова А.К.Назария билан амалиётнинг узаро боFликлилигига эришиш оркали математика укитиш самарадорлигини ошириш. Наманган давлат университети хабарномаси 2020 йил 4 сон. Barakaev Е, Yusupova A.K. Improving the effectiveness of teaching mathematics by achieving the interdependence of theory and practice. Bulletin of Namangan State University 2020 issue 4

7. A.K Yusupova. Publicibu macibu un metodiskais materials publikacijas " A VERSATILE TEACHER" elektroniskaja tiessaistes zurnala/ Latvijas Respublika Engures regions, Durbes iela 4, Jurmala № 2 (08) 2020

8. Samatov, B. T. (2020). The strategy of parallel pursuit for differential game of the first order with Gronwall-Bellman constraints. Scientific Bulletin of Namangan State University, 2(4), 15-20.

9. Тажиахматович, C. Б. (2021). ЗАДАЧА УБЕГАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОГРАНИЧЕНИЕМ ГРОНУОЛЛА-БЕЛЛМАНА. CENTRAL ASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES, 2(6), 1-5.

10. Ne'matov, I., & Axmedov, O. (2021). BOULE FUNCTION AND ITS INTERPRETATION. Scientific Bulletin of Namangan State University, 3(3), 8-12.

11. Axmedov, O. U., & Abdumannopov, M. M. (2022). GRONUOLL-BELLMAN CHEGARALANISHLI BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL O'YIN UCHUN PARALLEL QUVISH STRATEGIYASI. FORMATION OF PSYCHOLOGY AND PEDAGOGY AS INTERDISCIPLINARY SCIENCES, 1(10), 324-326.

12. Muhammadsodiq, A. (2022). Game Theory as a Theory of Conflicts. International Journal of Culture and Modernity, 17, 123-126.

13. Ahmedova, U. Y. Q., & Axmedova, M. U. B. Q. (2021). Vatanim Surati. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 7(11), 877-883..

14. Farkhodovich, T. D. (2022). Critical Thinking in Assessing Students. Spanish Journal of Innovation and Integrity, 6, 267-271.

15. Qizi, A. U. Y., & Qizi, A. M. U. B. (2021). Research On Hydronyms and Their Importance.

16. Уринов, А. К., & Абдуманнопов, М. М. ОБ ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УЧЕНЫЙXXI ВЕКА, 4.

17. Абдуманнопов, М. МАВ^УМ АРГУМЕНТЛИ БЕССЕЛЬ ФУНКЦИЯСИ КДТНАШГАН УЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМА УЧУН ИНТЕГРАЛ ШАРТЛИ МАСАЛА..

186

18. Абдуманнопов, М. ИККИНСНИ ТАРТИБЛИ ОДДИЙ ДИФФЕРЕНTSИАЛ ТЕНГЛАМА УСНУН БИTSАДЗЕ-САМАРСКИЙ ВА БИРИНСНИ ТУР ИНТЕГРАЛ SHАРТЛИ МАСАЛА.

19. Абдуманнопов, М. М. ИНТЕГРАЛ ОПЕРАТОР КАТНАШГАН ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ИНТЕГРО ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМА УЧУН ИНТЕГРАЛ ШАРТЛИ МАСАЛА. КАРШИДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТЕ, 121.

20. Abdumannopov, M. (2017). ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMA UCHUN INTEGRAL SHARTLI BIR MASALA HAQIDA Abdumannopov MM Farg'ona davlat universiteti. TOSHKENT SHAHRIDAGI TURIN POLITEXNIKA UNIVERSITETI, 57.

21. ABDUMANNOPOV, M. (2018). Problem with Bitsadze-Samarski and integral conditions for an ordinary differential equation. Scientific journal of the Fergana State University, 1(3), 10-13..

22. ABDUMANNOPOV, M. (2019). Problem with integral condition for integro differential equation with constant coefficient of Bessel's function included imaginary argument. Scientific journal of the Fergana State University, 1(6), 21-24.

23. Urinov, A. K. (2019). A PROBLEM OF BITSADZE-SAMARSKI FOR AN INTEGRAL-DIFFERENTIAL EQUATION. Scientific-technical journal, 22(1), 110113.

24. Мадрахимов, А. Э. (1981). Оценки функции концентрации для линейной комбинации порядковых статистик. Изв. АН Узб., Серия физ.-мат. наук, (5), 1217.

25. Мадрахимов, А., & Кукиева, С. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК. FarDU. ILMIYXABARLAR, 5.

26. Madrahimov, A. E. (2019). Estimation of the function of consentration for an ordered statistics. Scientific journal of the Fergana State University, 2(4), 6-12.

27. МАДРАХИМОВ, А., & СТАТИСТИК, П. (1979). Пусть X, X,..., x,— выборка объема п из независимых и оди-Х. Izvestiia: Seriia fiziko-matematicheskikh nauk.

28. Kodirov, K. R., & Nishonboyev, A. S. (2020). COMPETENCE-BASED APPROACH IN TEACHING SOME ELEMENTS OF MATHEMATICS LESSON DESIGN METHODOLOGY. Scientific Bulletin of Namangan State University, 2(9), 390-394.

29. Кодиров, К., & Йигиталиев, Й. (2020). ФИНАНСОВАЯ ГРАМОТНОСТЬ С ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКОЙ. Экономика и социум, (4), 435-438.

30. Кодиров, К., & Йигиталиев, Й. (2020). МАТЕМАТИКА ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ. Экономика и социум, (4), 442-444.

187

31. Кодиров, К., & Йигиталиев, Й. (2020). МАТЕМАТИКА С ИГРАМИ. Экономика и социум, (4), 439-441.

32. Кодиров, К., & Йигиталиев, Й. (2020). ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. Экономика и социум, (4), 428-430.

33. Кодиров, К., & Йигиталиев, Й. (2020). МАТЕМАТИКА ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ. Экономика и социум, (4), 442-444.

34. Komiljon, K., & Yuldoshali, Y. Subadditive measure on projectors of von neumann algebra. International Journal on Integrated Education, 3(1), 26-28.

35. Komiljon, K., Yuldoshali, Y., & Begzod, S. Communication of sab additive measures on Jordan banach algebra. International Journal on Integrated Education, 3(1), 29-31.

36. Кодиров, К., & Йигиталиев, Й. (2020). Топология сходимости по мере на-алгебрах. Экономика и социум, (1), 491-495.

188

www.birunijournal.uz