CC BY
105
УДК 621.383
А.В. Алексеев, Г.А. Попов
ОБ ОЦЕНКЕ ИЗЛУЧАЕМОЙ МОЩНОСТИ В СИММЕТРИЧНЫХ СЛАБОНАПРАВЛЯЮЩИХ ПЛАНАРНЫХ ВОЛНОВОДАХ СО СТУПЕНЧАТЫМ ПРОФИЛЕМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Дана оценка величины излучаемой мощности слабонаправляющего симметричного планарного волновода со ступенчатым профилем показателя преломления, возникающей при механическом воздействии на волновод. Приведен расчет численных значений энергетических характеристик
направляемых мод, дана оценка минимального внешнего механического усилия, необходимого для уверенной регистрации мощности излучаемых мод.
Планарный волновод, излучаемая мощность, растяжение волновода
A.V. Alekseev, G.A. Popov
ABOUT THE ESTIMATION OF RADIATED POWER IN SYMMETRIC PLANAR WAVEGUIDES WITH STEP-INDEX REFRACTIVE PROFILE
Operation is devoted an estimation value of radiated power in symmetric planar waveguide with step-index refractive profile, arising at mechanical effect on a waveguide. Calculation of numerical values power characteristics of launched modes is resulted; the estimation of minimum external mechanical effort necessary for confident registration of power radiated modes is given.
Planar waveguide, radiated power, expansion of waveguide
Введение. В работе рассматривается процесс излучения мощности в симметричных планарных волноводах со ступенчатым профилем показателя преломления и возбуждением волновода плоским ламбертовским монохроматическим источником излучения. В качестве воздействия, приводящего к возникновению процесса излучения мощности, рассматривается внешнее сжимающее усилие. Решение указанной задачи представляет интерес для создания датчиков механических напряжений на основе интегрально-оптических устройств, а также при рассмотрении мероприятий по защите информации в волоконно-оптических линиях связи.
1. Выражения для энергетических характеристик направляемых мод. Рассмотрен про-странственно-установившийся режим в волноводе. При этом характеристики всех мод, за исключением энергетических, практически не зависят от параметров источника излучения, а определяются только физическими параметрами волновода. Поэтому нет необходимости учитывать дополнительные поправки, связанные с набегом фазы световой волны при движении от источника до торца волновода.
Рассмотрим распределение падающей энергии между направляемыми модами в симметричном изотропном планарном волноводе, у которого показатели преломления сердцевины пс и оболочки по в рассматриваемом диапазоне длин волн являются вещественными. Введем декартову систему координат, в которой ось г совпадает с осью волновода, а ось x перпендикулярна границам раздела сердцевины и оболочки и направлена от нижней оболочки волновода в сторону верхней. За начало координат примем точку, лежащую на нижней границе сердцевины и оболочки торца волновода. Как известно, компоненты электромагнитного поля направляемых мод, распространяющихся вдоль оси г , зависят от значения постоянной распространения (ПР) в и
описываются выражением аналогичным, [3, 4]: Fkj (x, г,t) = Ф[ (.x)el(wt~вг*, где j = x, у, г, k - номер моды, Ф>1 (x) - компоненты векторной профильной функции, определяющие распределение мо-дового поля по толщине волновода. Для планарных волноводов решения распадаются на два типа - ТЕ и ТМ моды. Для ТЕ мод в качестве компоненты Fky (x) понимается компонент электрического поля ey , а для ТМ мод - компонент магнитного поля hy. В этом случае функция Фу (x) симметричного волновода выводится аналогично [4, 5]:
Таблица 1
Компоненты фу (х) направляемых мод
четные моды нечетные моды
С| II 2 о е7сХ, х < 0 со&(кс(х - й /2)) ?^— ,0 < х < а со&\кса /2) е7с(а - х, х > а ФУ (х) = Вк- еГсх, х < 0 8ш(кс(а/2-х)) ,0 < х < а $т(ксй /2) - ег*(а - х), х > а
где Вк - константа, нормированная на вводимую в волновод мощность излучения, й - толщина сердцевины, кс = ^к2п2 - в , уо = ^в2 - Кн] - поперечные компоненты волнового вектора в сердцевине и оболочке соответственно, ко = 2п/ Л, Л - длина волны оптического излучения.
Анализ характеристического уравнения возможен только на основе численных методов. Общая направляемая мощность волновода представляется в виде суммы мощностей направляемых мод, являющихся решениями характеристического уравнения. Решая это уравнение, можно найти набор дискретных значений ПР, удовлетворяющих направляемому распространению света к0по < в < к0пс. Условию отсечки для ТЕ и ТМ мод в этом случае соответствует минимальное значение ПР, одинаковое для всех направляемых мод и равное в = копо.
Получив набор значений ПР для ТЕ и ТМ мод, можно найти энергию, которую несет каждая мода. Энергия к -й моды описывается выражением [2]:
Рк = 0,5
2 -1
л * | Ег х к[ • гйА | ек х к* • гйЛ = 0,5 •
Л™ Л™
I(вхну - Еунх)йх • |(еуну - еуну)йх
(1)
где г - единичный вектор в направлении оси г, знак
означает комплексное сопряжение,
Е{ - распределение полного поперечного электрического поля на торце световода, а ек и к*к - распределения поперечных электрического и магнитного полей к -й моды. При проведении вычислений рассмотрен слабонаправляющий волновод (пс ~ по), для которого источник света расположен в среде, аналогичной сердцевине световода.
С учетом характеристических выражений мод, а также соотношений табл. 1 выведены выражения для знаменателей в (1), сведенные в табл. 2.
Таблица 2
Интегральные выражения направляемых мод
*
ТЕ моды чет- ные I (еку) йх -™ [В^/сов^М /2)] • (й/2 +1/ Го )
не- чет- ные [В^Дш^М/2)] • (й/2 + 1/Го)
.о д о н чет- ные I к )2 х в32 а | п^ш2(ксй/2) | п2ссо$2(ксй/2)
£2 00 О О о К 1 2 псУо п0у0
нечет- ные I ( ( ))2 -™(п(х)) В2 В4 га 1 посо82(кса/2) (п^ш2(кса/2)''
п^ ып2(ксй /2) ч 2 псГо поГо
2. Расчет численных значений мощностей направляемых мод. Рассмотрим пример торцевого возбуждения направляемых мод протяженным плоским ламбертовским источником света (модель плоского светодиода), толщина которого (вдоль оси у ) бесконечно мала. Считаем, что оси симметрии источника и волновода совпадают с осью г, а также полагаем параллельность их торцов. Тогда, оценив интенсивность светового потока для каждого эле-
мента торца на основе стандартных формул [7] с использованием геометрических соотношений между элементами торцов источника и сердцевиной волновода, после интегрирования по всем элементам получаем следующее выражение для амплитуды Е{(х) напряженности электрического поля на торце световода:
|Et (x) = Л
1 +
2 > -3/2
dxu
J
где A = [2B0 /(cnc2£0l)J , B0 - яркость источника, L - расстояние между торцами, d4 - толщина источника. Для отыскания значений компонент Ex и Ey необходимо учесть поляризацию, падающего на торец излучения. Ниже при расчетах рассмотрена линейная поляризации под углом 45°, т.е. Ex = Ey = Et / V2.
Для получения численных значений энергий, переносимых каждой модой, необходимо знать яркость источника света. Определим ее, задавшись типом источника, например, светодиод типа SLED DXP0019, полная излучаемая мощность P которого равна 90 мкВт, а
п/2
ширина равна dи = 25мкм. Полную мощность источника определим так: P = B0 J cos OddJ dxu,
-п/2 0
где dи - ширина источника. Из этого выражения следует, что яркость В0 такого источника
равна 1,8 Вт /(м2ср). Таким образом, на основе имеющихся исходных данных и выражений табл. 1, 2, можно оценить количество мод и энергию, которые они несут для планарного волновода, ширина которого, для примера, совпадает с диаметром многомодового световода d = 50мкм, используемого в технике связи, и длине волны оптического излучения X = 1,4 мкм. Показатели преломления сердцевины и оболочки приняты равными пс = 1,51 и по = 1,5 соответственно. Нами создан программный модуль для расчета вышеуказанных характеристик. В табл. 3 сведены результаты численных расчетов (моды нумеруются с нуля).
Таблица 3
Характеристики направляемых мод высокого порядка
тип номер ПР в , м 1 Энергия, нВт тип номер ПР в , м 1 Энергия, нВт
ТЕ 12 6733863,65 13,66 ТМ 12 6733B54 13,B5
10 6745475,2 92,55 10 6745453,64 92,B1
При принятых значениях параметров волновода общее количество направляемых мод равно 26. Условие отсечки направляемой моды к0но = 6,732 106м_1. Нечетные моды равны нулю ввиду параллельности торцов источника и световода. Численные расчеты показывают, общее значение направляемой энергии составляет примерно 59,34 мкВт.
3. Энергетические характеристики излучаемых мод при сжатии световода. Рассмотрим изменение условий отсечки для мод в случае, когда оболочка световода становится анизотропной. Это возможно, например, при приложении внешней нагрузки к световоду. Оптическое волокно изготавливается путем вытягивания плавленого кварца, который имеет изотропную сингонию. При механической деформации изотропного световода в области воздействия деформации наблюдается искусственная анизотропия (эффект фотоупругости) [6]. Будем считать, что приложение одностороннего сжатия приводит к деформации только оболочки, при этом оптическая ось в анизотропной оболочке будет направлена вдоль оси деформации. Тогда изменение показателя преломления оболочки при использовании теории Поккельса [7] и закона Г ука будет описываться выражениями:
1/2
d
I
0
d
(2)
где п0 - показатель преломления изотропной недеформированной оболочки волновода, выбранный выше равным 1,5; р11 = 0,27 и р12 = 0,121 - упругооптические коэффициенты изотропного кварца [1]; Рг - внешняя нагрузка, приложенная вдоль оси г , К = 7,3 1010Н / м2 - модуль Юнга кварцевого стекла [1], ц = 0,168 - коэффициент Пуассона [1].
В [1] рассматривается планарный волновод с параметрами, близкими к существующим многомодовым волокнам. Поэтому в качестве верхнего значения, ограничивающего применение сжимающего усилия, принята вышеуказанная величина тестового усилия на
разрыв оптического волокна, которая, согласно [8], составляет примерно 0,7 ГН / м2.
Оценим значение необходимой нагрузки для уверенной регистрации излучения. Отсечка ТЕ моды т -го порядка определяется значением показателя преломления оболочки:
ражением, аналогичным для показателя преломления п0 ТЕ-мод, так как нагрузка направлена вдоль оси г. На основе (2) оценивается значение нагрузки, требуемой для наступления отсечки ТЕ и ТМ мод. Оценим величину излучаемой энергии.
Известно, что в анизотропной среде могут распространяться волны со строго определенными разрешенными состояниями поляризации - ортогонально плоскости главного сечения и в этой плоскости. В нашем случае ТЕ-мода ведет себя как обыкновенная волна, а ТМ-мода, поляризованная в плоскости главного сечения, - как необыкновенная волна. При выбранных расположениях оптической оси и падающего луча обыкновенный и необыкновенный лучи лежат в одной плоскости вместе с падающим лучом. Отметим, что углы падения ТЕ и ТМ моды на оболочку световода связаны соответствующими ПР мод выражениями <р]ГЕ1ГМ =п /2-агс^в / к0пс). Используя закон преломления Снеллиуса, можно найти направления волновых нормалей ТЕ и ТМ волн. При этом следует учитывать, что необыкновенный показатель преломления (главное значение показателя преломления анизотропной оболочки
вдоль оси г ) равен пе(об) = п7а , а обыкновенный показатель преломления п0(об) = п^ = п% ,
которые определяются выражением (2). С помощью уравнения нормалей Френеля [6] можно найти показатель преломления необыкновенной (ТМ) волны, который зависит от угла между волновой нормалью и оптической осью. Зная эти величины, можно отыскать направление лучей необыкновенной и обыкновенной волн. Доля излучаемой из оболочки оптической мощности определяется формулами Френеля.
Минимальное усилие, которое необходимо приложить к световоду, для уверенной регистрации излучения определяется чувствительностью приемника. В настоящее время самые чувствительные оптические приемники построены на основе лавинных фотодиодов (ЛФД), лучшие из которых в оптическом диапазоне 1,3...1,6 мкм имеют следующие показатели: умножаемый темновой ток Iтемн = 0,1 нА , экстраполированный к М = 10 [9]. Используя зависимости, приведенные в [9] получим, что при комнатной температуре пороговая мощность ЛФД составляет Рпор = 2 -10-14 Вт. Итак, в случае, если выводимая оптическая мощность будет превышать указанную величину пороговой мощности, оптический приемник сможет регистрировать передаваемое излучение, а значит, передаваемую информацию.
С использованием вышесказанного, нами рассчитаны энергии излучения, которые возникли при отсечке направляемых мод высшего порядка. Результаты сведены в табл. 4.
Условием отсечки ТМ-моды будет являться равенство
, т.е. при в = к0пх0. Отсечка ТМ моды т -го порядка определяется вы-
Таблица 4
Характеристики излучаемых мод
Тип моды Номер направляемой моды (высокого порядка) Требуемая нагрузка Р, ГН / м2 Коэффициент пропускания й Излучаемая мощность после первого преломления в оболочку, нВт Угол выхода луча,град
ТЕ 12 0,489 0,446 6,092 89,05
10 2,734 0,662 61,22 88,537
ТМ 12 0,489 0,451 6,251 89,046
10 2,734 0,664 61,604 88,541
Как видно из табл. 4, вывести из волновода без его разрушения возможно только самые первые излучаемые моды (соответствующие направляемые ТЕ и ТМ моды высшего порядка). Их мощность превосходит указанное значение эффективной темновой мощности современных фотоприемников, а потому эти моды легко могут быть детектированы.
Выводы. Согласно приведенным результатам расчетов, в настоящее время уже принципиально возможно осуществить реальный съем данных, переносимых направляемыми модами планарного волновода. Действительно, как показывают расчеты, величина излучаемой мощности самых первых мод составляет порядка 6 нВт. В то же время существующие лавинные фотодиоды, например, типа С30733Е [9] имеют нижний предел измерения примерно
2 -10-5 нВт . Отметим, что съем и регистрация этих данных могут осуществляться как в позитивных целях - использование планарных волноводов как элементов датчиковой аппаратуры, так и в злонамеренных целях - в этих случаях излучаемая энергия является каналом утечки информации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бусурин В.И. Волоконно-оптические датчики: Физические основы, вопросы расчета и применения / В.И. Бусурин, Ю.Р. Носов. М.: Энергоатомиздат, 1990. С. 256.
2. Снайдер А. Теория оптических волноводов / Дж. Лав, А. Снайдер. М.: Радио и связь, 1987. С. 656.
3. Санников Д.Г. Режимы отсечки в планарных волноводах с усилением (поглощением) / Д.Г. Санников, Д.И. Семенцов // Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. Вып. 20. С. 42-49.
4. Бутусов М.М., Волоконная оптика и приборостроение / М.М. Бутусов, С.Л. Галкин. Л.: Машиностроение, 1987. С. 328.
5. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы / Х.-Г. Унгер. М.: Мир, 1980. С. 656.
6. Бутиков Е.И. Оптика / Е.И. Бутиков. М.: Высшая школа, 1986. С. 512.
7. Нарасимхамурти Т. Фотоупругие и электрооптические свойства кристаллов / Т. На-расимхамурти. М.: Мир, 1984. С. 624.
8. Портнов Э.Л. Оптические кабели связи: Конструкции и характеристики / Э.Л. Портнов. М.: Горячая линия-Телеком, 2002. С. 232.
9. Рудницкий В.Б. Нижний предел измерения средней мощности оптического излучения инфракрасного диапазона / В.Б. Рудницкий, В.Р. Сумкин, В.А. Шеховцева // Фотон-экспресс. Спецвыпуск. 2005. №6. С. 109-112.
Алексеев Андрей Викторович -
аспирант кафедры «Информационная безопасность» Астраханского государственного технического университета
Попов Георгий Александрович -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Информационная безопасность» Астраханского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 25.09.09, принята к опубликованию 25.11.09
