CC BY
21
УДК 517.524 DOI: https://doi.org/10.34680/2076-8052.2021.2(123).43-46
АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ КАК ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО НЕЛОКАЛЬНОЙ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ
В.В.Учайкин
AUTOMODELITY AS A CHARACTERISTIC PROPERTY OF NONLOCAL ANOMALOUS DIFFUSION
V.V.Uchaikin
Ульяновский государственный университет, vuchaikin@gmail.com
Краткое (на популярном уровне) изложение связи между негауссовым семейством устойчивых законов и самоподобием описываемых ими нелокальных процессов. Характеристическое свойство самоподобия позволяет расположить баллистическую, броуновскую и Леви-модель движения в логически связанную цепочку с характеристическими показателями a = 1,2 и 0 < a < 2, определяющими степени дифференциальных операторов, которые описывают эти движения. Семейство моделей, порождаемых дробными значениями a, характеризуется специфическим свойством нелокальности, отражающимся в физической интерпретации в терминах фрактальность, если речь идет о пространственной производной, и эредитарность — в случае дифференцирования по времени.
Ключевые слова: диффузия, случайные блуждания, устойчивые законы, дробные производные
Для цитирования: Учайкин В.В. Автомодельность как характеристическое свойство нелокальной аномальной диффузии // Вестник НовГУ. Сер.: Технические науки. 2021. №2(123). С.43-46. DOI: https://doi.org/10.34680/2076-8052.2021.2(123).43-46
A brief presentation of the relationship between a non-Gaussian family of stable laws and the self-similarity of the nonlocal processes described by them. The characteristic property of self-similarity makes it possible to arrange the ballistic, Brownian, and Levy-models of motion in a logically connected chain with characteristic exponents a = 1,2 and 0 < a < 2, which determine the degrees of differential operators describing these movements. The family of models generated by fractional values of a is characterized by a specific property of nonlocality, which is reflected in the physical interpretation in terms of fractality, if we are talking about the spatial derivative, and heredity, in the case of time-differentiation. Keywords: diffusion, random walks, stable laws, fractional derivatives
For citation: Uchaikin V.V. Automodelity as a characteristic property of nonlocal anomalous diffusion // Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences. 2021. №2(123). P.43-46. DOI: https://doi.org/10.34680/2076-8052.2021.2(123).43-46
1. Автомодельность
На первый взгляд, нет ничего общего между динамическим типом движения, когда частица движется по гладкой кривой (например, по прямой) в пространстве, и стохастическим типом, когда траектория представляет собой чрезвычайно нерегулярную, всюду изломанную линию (пример — броуновская траектория). Однако общее, по крайней мере, между прямой и броуновской кривой, есть. Для обоих типов движения нет больших и малых времен, они автомодельны. Прямая остается прямой на всех масштабах, как и броуновская траектория остается броуновской.
Автомодельность (самоподобие, масштабная инвариантность, скейлинг — это все синонимы автомо-дельности) — особая симметрия системы, состоящая в том, что изменение масштабов одних переменных может быть скомпенсировано преобразованием масштабов других [1]. Постоянная Н, называемая показателем Хер-ста, определяет порядок автомодельности.
В терминах случайной переменной X(t) (для простоты ограничиваемся одномерным процессом) свойство автомодельности формулируется в виде й
X (о=^х (1),
или
й и
X а)=анх (4
при а > 0 и любом фиксированном t. Вообще, случайный процесс {X(0,Т} называется автомодельным, если автомодельны распределения всех его конечномерных векторов:
(X К),..., X (а^ ))= (анХ (tl),..,аHX (^)) Для автомодельности же однородного марковского процесса достаточно автомодельности одномерного распределения.
Автомодельность одновременной плотности распределения р(х,() выражается соотношением
р(х, 0 = t ~нр(хГн ,1). В баллистическом движении со скоростью V
X (0 = vt
и
X а) = Ш = ан X (4 н = 1. В броуновском движении с коэффициентом диффузии К
X (о=4-шо
и
X а) = л/ 2ШО = ан X (4 н = 1/2. В представлении плотности это свойство выражается соотношением:
р(х, ^ =—и х2/4Й = Г н р(хГ н ,1).
На самом деле существует целое семейство автомодельных процессов, по отношению к которому баллистическое и броуновское движения оказываются частными случаями.
2. Леви-процессы
Определим теперь ¿-процесс как однородный марковский процесс с а-автомодельным одномерным распределением
р(х, ^ = tа я ^(хГ1'а),
где а = ПН, а я(а)(х) — неизвестная пока плотность распределения.
Очевидно, что такая замена не может привести к сужению класса рассматриваемых процессов: броуновское движение удовлетворяет этому условию и остается в классе Ь с а = 2. Появятся ли при этом какие-то новые процессы? Ответ на этот вопрос связан с тем, существуют или нет отличные от гауссова распределения р(х^) Ь-процесса, удовлетворяющие условию автомодельности.
Рассмотрим два момента времени: t и t + т. Случайные координаты Ь-процесса частицы в эти моменты связаны соотношением
Х^ + т) = Х(0+ Х(т).
При условии Х(0) = 0 случайные величины Х(Г) и Х(т) являются приращениями процесса в непересекающихся интервалах (0^) и (^ + т) и, стало быть, независимы. Плотность распределения их суммы дается сверткой плотностей слагаемых:
/•X)
р(х, t + т) = р(х, t) * р(х, т) =1 р(х - х', t) р(х', т)4х'.
•1-х
Удобно от плотностей перейти к характеристическим функциям
0 = {ехр^Х(0}) = Г е11ар(х, t)dx,
•1-х
для которых операция свертки превращается в произведение
р(к, t +т) = р^, t)pp(k, т), а условие автомодельности принимает вид
^ = Р(а)(^ а ).
3. Устойчивые законы
Полученные выше соотношения приводят к функциональному уравнению
р(а) (k(t + т)17 а)= р(а)У ^(¿т17 а)1 определяющему класс строго устойчивых законов, называемых далее для краткости просто устойчивыми. Характеристические функции р(а)^) выражаются в элементарных функциях и могут быть записаны в нескольких формах [2].
Как отмечалось выше, винеровский процесс входит в класс Ь-процессов. Он характеризуется нормальным распределением с плотностью
g (2)м=-1
2л/л
и характеристической функцией
-exp(- x2/4)
~(2)(k) = Г eikxg(x;2)dx = exp(-k2).
J-x
Чтобы найти характеристические функции остальных членов этого семейства, введем вторую характеристику
y(a)(k) = ln g(a)(k), для которой свойство устойчивости эквивалентно аддитивности
Va)(Clk) + V(a)(c2k) = Va)(ck),
где
c = (c,a+ c2a У a
Распространяя это соотношение на сумму произвольного числа n одинаково распределенных слагаемых (c1 = c2 = ... = cn = 1), полним
ny(a)(k) = y(a)(n17 a k).
Согласно свойству
Va)(—k) = [y(a)(k)]*,
(здесь * означает комплексное сопряжение) достаточно определить функцию y(a)(k) для положительных значений аргумента k > 0. Учитывая ее непрерывность в окрестности начала координат и вытекающее из определения характеристической функции условие
y(a)(0) = 0, приходим к равенству
|y(a)(k)| = const • ka, (k > 0, a > 0), из которого следует, что
y(a)(k) = -ka[c0 - /q].
Характеристическая функция удовлетворяет условию
|~(k)| < 1,
поэтому
Re y(a)(k) < 0,
и вещественная постоянная c0 должна быть положительной. С другой стороны, из условия (0) = — S2)
(здесь S — случайная величина с характеристической функцией ~(k) ) следует, что
[y(a)] " (0) = —S2) + (S2) = —D < 0.
Вычислив вторую производную,
[y(a)(k)]" = -[c0 -/cj]a(a - 1)ka—2, и устремив k ^ 0, можно убедиться, что при a = 2 дисперсия D конечна (вследствие вещественности последней постоянная c должна быть равна нулю), при a < 2 она бесконечна (в этом случае величина c роли не играет), и при a > 2 предельное значение производной равно нулю. Последнее означает, что второй момент функции
Îx 2
x g(x)dx = 0.
-да
Для не сосредоточенного в нуле распределения это может означать только, что произведение x2g(x) является знакопеременным, и, стало быть, g(x) не является плотностью вероятности. Таким образом, область допустимых значений параметра a есть (0,2].
Постоянные c0 и c могут быть представлены в нескольких формах. В одной из них c0 = 1, c! = ptg(arc/2),
где второй вещественный параметр Ре [-1,1] характеризует асимметрию распределения. Таким образом, характеристическая функция одномерного устойчивого закона на положительной полуоси имеет вид:
~(a,p)(k) = exp{- ka[1 - iptg(aV2)]} k > 0.
Аналогичные вычисления для отрицательной полуоси дают
~(a,p)(k) = exp{- (- k)a[1 + /ptg(aV2)]} k < 0.
Объединяя эти формулы в одну, получим: ~(a,p)(k) = exp{- |k|a[1 - iptg(a^2)signk]j; - да < k < да.(Л)
Это стандартное представление устойчивой характеристической функции в форме Л.
Часто используется представление в форме C, получаемое введением в показатель экспоненты масштабного множителя, подобранного таким образом, чтобы характеристическая функция приняла вид
~(k;a, 9) = exp{- |k|a exp[-i(9a^2)signk]j[(C)
Здесь ae[0,2] — характеристический показатель устойчивого закона, а Ре[-1,1] и 9e[-9a,9a], 9a = min{1,2/a -1} — параметры асимметрии.
Задаваемые этими характеристическими функциями устойчивые случайные величины будем обозначать через S (a,p) и S(a,9) соответственно.
4. Обобщенная предельная теорема
Открытие Полем Леви класса устойчивых распределений, возможно, было одним из самых крупных событий в теории вероятностей XX в. Они освободили ЦПТ от ограничения, налагаемого требованием конечности дисперсии, и открыли возможность суммирования случайных величин с бесконечными дисперсиями. Оказалось, что если только существует невырожденное (не сосредоточенное в одной точке) предельное распределение нормированной суммы
(fe ^Xj - An^)jBn при n ^ 0 и подходящим образом
выбранных последовательностях An и Bn > 0, то это распределение обязательно будет устойчивым. При этом Bn = h(n)n11 a, где h(n)-медленно меняющаяся функция (типа логарифма или какой-нибудь его степени), а a — характеристический показатель. Если для случайной величины X с функцией распределения F(x) можно подобрать такие An и Bn, то говорят, что X принадлежит области притяжения устойчивого закона. В противном случае она не принадлежит области притяжения никакого закона: только устойчивые законы обладают областями притяжения.
Чтобы проверить, принадлежит ли области притяжения случайная величина X, надо, прежде всего, вычислить дисперсию или просто второй момент (X2 >. Если он конечен, X находится в области притяжения нормального закона. Если (X 2> = да, необходимо проверить асимптотику «хвостов» распределения X. Если оказывается, что
P(|X| > x) ~ h(x)x~a, x ^ да, то ответ положителен, если же асимптотика имеет иной вид, ответ отрицательный. Мы ограничимся далее лишь случаем «нормального» (не путать с гауссовым!) притяжения, когда h(x) ^ const ^ 0 при x ^ да.
Пусть теперь известно, что X принадлежит области притяжения устойчивого закона. Как узнать его параметры a и Р (или 9)? Ответ на этот вопрос как раз и дает
Обобщенная предельная теорема (ОПТ).
Пусть случайные величины Xj независимы, одинаково распределены и удовлетворяют условиям P(X > x) ~ a+x~a, x ^ да, P(X < -x) ~ ax"", x ^ да, 0 < a < 2, a+ > 0, a_ > 0 и a+ + a_ > 0. Тогда найдутся такие последовательности An и Bn > 0, что при n ^ да
fen= Xj - An )/Bn ~S (a,p),
где Р = (a+ - a_)/(a+ + a_).
Разумеется, существует бесконечное множество последовательностей нормирующих коэффициентов An и Bn с одним и тем же асимптотическим поведением при n ^ да.
5. Аномальная диффузия
Термин «аномальная диффузия» применяется в случае, если ширина диффузионного пакета At увеличивается со временем медленнее или быстрее, чем в нормальном (гауссовом) случае, когда At«t12. В последние десятилетия исследуются разнообразные процессы аномальной диффузии: перенос заряда в аморфных полупроводниках, динамика полимерных систем, диффузия на фрактальных структурах, процессы в квантовой оптике, плазме и т.д. (см [4]).
Хорошо известно, что, несмотря на многообразие конкретных механизмов, приводящих к нормальным диффузионным процессам, главная особенность этих процессов может быть получена в рамках схемы скачкообразного ступенчатого процесса с непрерывным временем (в зарубежной литературе этот процесс обозначается аббревиатурой CTRW — continuous time random walk). Это позволяет надеяться, что CTRW-модель может также описать некоторые общие особенности большого числа различных аномальных процессов без рассмотрения их специфических механизмов.
Простейшая (одномерная) версия CTRW-модели предполагает, что длины различных прыжков Rj, а также времена пребывания в ловушках Tj представляют собой набор взаимно независимых случайных величин. Предполагается, что свободные пробеги имеют распределение со степенным хвостом
P{R > r} да r~a, a > 0, r ^да, распределение времен пребывания в ловушках удовлетворяет условию
P{T >t} даГР, Р>0, r ^да.
Понятие диффузия используется, когда речь идет об асимптотическом поведении этого процесса при t ^ да. Если a > 2 и p >1 мы наблюдаем нормальную диффузию, все остальные значения a и Р приводят к аномальной диффузии с характеристическими показателями a, Р.
Возможно, самый простой способ выйти на асимптотику рассматриваемого процесса, отталкиваясь от трансформанты
~(k = 1 -P(k,A) X[1 - ~(X)p5(k)],
заключается в использовании в качестве р(х) и q(t) самих устойчивых плотностей я(х;а, 6) и я(х;ю,1),
0 < а < 2, ю < 1. Законность такой подстановки обусловлена тем, что каждый устойчивый закон принадлежит своей области притяжения. Тем самым условие теоремы об аномальной диффузии выполняется. В то же время асимптотическое выражение р(х,') определяется только асимптотиками функций р(х) и q(t), а все распределения, принадлежащие фиксированной области притяжения, в том числе и устойчивое, имеют одну и ту же (с точностью до постоянного множителя) асимптотику. Следовательно, выбирая в качестве р(х) и q(t) устойчивые плотности, мы нисколько не теряем в общности.
Согласно тауберовым теоремам, в восстановлении распределения р(х,') при больших х и t основную роль играет поведение трансформанты Фурье—Лапласа р(к, X) в области малых значений аргументов, где
р(к) = р(к;а, 6) = ехр{- \к\а ехр[-/' а6л/ 2 signk ]}~ ~ 1 - |к|а ехр{- i а6л/2 signk}, к ^ 0
и
р(Х) = <р(-/Х;ю,1) = е~х°' ~1 -Xю, X ^ 0.
Несложные преобразования приводят к следующему уравнению для главной асимптотики
Xю ра (к, X) = -| к\а ехр{- i а6л/ 2 signк}рш (к, X) + Xю-1, которое может быть также представлено в виде
Xю р ш (х, X) = Ь(а,р) р ш (х, X) + Xffl-15(x), обобщающем уравнение движения Леви на немарковский тип процесса.
Произведение же Xюра (х, X) и функция Xю-1
являются трансформантами Лапласа дробной производной Римана—Лиувилля
э Df p( x, t ) =
1 d Г1 p(x, x)dx
Г(1 - ю) dt Jo (t - т)"
и обобщенной функции
t ~
Г(1 -ю)
5( x).
Таким образом, главная асимптотическая (при t ^ х) часть распределения р(х,') удовлетворяют уравнению в частных производных дробного порядка
0 Df рш (x,t ) = Z(a,p) рш (x,t) +
Г(1 -ю)
5( x),
которое мы будем называть уравнением аномальной диффузии (АД-уравнением).
6. Обобщенный закон Фика
Многомерный аналог АД-уравнения в изотропном случае включает в себя лапласиан дробного порядка:
o Dff ( х, t ) = - K (-A)a/2 f ( x, t)+ T
Г(1 - ю)
S( x ).
Будучи преобразованным (путем дробного дифференцирования порядка 1 - ю обеих частей) к виду
/ = - К (-А )а/20 D]-a / ( х, t) + 8( х )5(t),
АД-уравнение может быть представлено в виде системы двух уравнений
5/ л- • = К (-А)а/20 D[tГю / (х, t),
первое из которых является уравнением непрерывности, определяющим вектор плотности тока вероятности у, а второе — обобщенным законом Фика, заданным в неявной форме.
При а = 2 и ю = 1 обобщенный закон принимает вид обычного закона Фика
divj = -КА/ (х,4 у = -^га/(х, t).
При а = 2 и ю Ф 1 мы имеем дело с субдиффузионным обобщением:
У = (х, t) = -К 0Д1^га/(х, 0.
Наличие в правой части производной по времени дробного порядка
1 5 г' grad/(х, т)dт
Dl-"gradf (x,t) =
Г(ю) dt Jo"
(t -т)1
отражает влияние памяти процесса на распространение диффузионного пакета: плотность тока в данный момент определяется не мгновенным градиентом плотности в данный момент, а его эволюцией в течение всего предшествующего периода диффузии. Эта особенность обусловлена наличием в среде случайно распределенных ловушек с распределением времени удержания степенного типа. Замедленная таким образом диффузия называется субдиффузией и носит немарковский, но локальный характер.
При а < 2 и ю = 1 имеет место ускоренный режим диффузии, называемый супердиффузией. В этом режиме
= К (-А)а/2 / (х,') и скорость изменения плотности в данной точке определяется не градиентом в ней, а распределением диффундирующей субстанции в большой ее окрестности (влияние больших пробегов с асимптотически степенным характером распределения). Супердиффузия (называемая также диффузией Леви или полетами Леви) — марковский, но нелокальный (поскольку лапласиан в дробной степени является интегральным по пространству оператором). Важно иметь в виду, что не только закон изменения ширины аномального диффузионного пакета, но и сама его форма отличаются от таковых, наблюдаемых в нормальной диффузии.
В случае а < 2 и ю < 1 процесс аномальной диффузии является немарковским и нелокальным.
1. Математическая физика. Энциклопедия / Под ред. Л.Д.Фаддеева. М.: Большая Российская энциклопедия. 1998. 692 с.
2. Uchaikin V.V., Zolotarev V.M. Chance and Stability. Utrecht, The Netherlands: VSP, 1999. 570 p.
3. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. 2003. Т.173. №8. C.847-876.
4. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
References
1. Faddeev L.D. Matematicheskaya fizika. Entsiklopediya [Mathematical Physics. Encyclopaedia]. Moscow, Bol'shaya Rossiyskaya Entsiklopediya Publ., 1998. 692 p.
2. Uchaikin V.V., Zolotarev V.M. Chance and Stability, VSP, Utrecht, The Netherlands, 1999. 570 p.
3. Uchaykin V.V. Avtomodel'naya anomal'naya diffuziya i ustoychivye zakony [Anomalous self-similar diffusion and LeAvy-stable laws]. Uspekhi fizicheskikh nauk, 2003, vol.173, no.8, pp. 847-876.
4. Uchaykin V.V. Metod drobnykh proizvodnykh [Method of Fractional Derivatives]. Ul'yanovsk, Artishok Publ., 2008. 512 p.
0
ю
ю
т
ю
