CC BY
32УДК 004.9
автоматизация вычислений в моделях межотраслевого баланса
Нестеренко Геннадий Николаевич
Санкт-Петербургский имени В.Б. Бобкова филиал Российской таможенной академии, доцент кафедры информатики и информационных таможенных технологий, к.т.н, доцент, e-mail: ngn_turm@mail.ru
Размазина Мария Андреевна
Санкт-Петербургский имени В.Б. Бобкова филиал Российской таможенной академии, студент экономического факультета, e-mail: mania_9408@mail.ru
В статье предложены рекомендации, разработанные для автоматизации вычислений характеристик стандартных и оптимизационных моделей межотраслевого баланса
Ключевые слова: математическая модель; компьютерная модель; балансовая модель, алгебра матриц
AUTOMATION OF CALCULATIONS IN MODELS OF INPUTS/OUTPUTS
Nesterenko Gennady N.
Russian Customs Academy St.-Petersburg branch named after Vladimir Bobkov, Associate Professor of Department of Computer Science and IT-supported Information Customs Technologies, PhD, Docent, e-mail: ngn_turm@mail.ru
Razmazina Maria A.
Russian Customs Academy St.-Petersburg branch named after Vladimir Bobkov, Student of Faculty of Economics, e-mail: mania_9408@mail.ru
The article contains recommendations designed to automate the calculation of the characteristics of standard and optimization models of inputs/ outputs
Keywords: mathematical model; computer model; balance model; matrix algebra
Для цитирования: Нестеренко Г.Н., Размазина М.А. Автоматизация вычислений в моделях межотраслевого баланса // Ученые записки Санкт-Петербургского имени В.Б. Бобкова филиала Российской таможенной академии. 2019. № 4 (72). С. 59-63.
В настоящее время программное обеспечение персональных компьютеров позволяет автоматизировать решение многих экономических задач. Так, достаточно хорошо автоматизированы технологии решения задач линейной оптимизации: задачи планирования производства, транспортная задача, сетевые задачи (поиск кратчайшего пути, модель замены оборудования и др.).
Вопросы автоматизации решения моделей межотраслевого баланса в научной литературе незначительно освещены, правда математические модели балансовых задач достаточно проработаны [1; 2; 3ж 4], и известно, что для расчета их параметров требуется довольно большой объем вычислений, однако информационные технологии решения оптимизационных балансовых моделей практически отсутствуют.
В связи с этим поиски технологий, позволяющих автоматизировать решения моделей межотраслевого баланса, следует считать актуальными.
Данная статья посвящена разработке компьютерных моделей, позволяющих автоматизировать решения классических и оптимизационных задач межотраслевого баланса.
Для выработки рекомендаций по автоматизации технологий решения балансовых моделей авторами подробно рассмотрены их математические модели. Поскольку в экономике страны каждая отрасль является, с одной стороны, производителем, а с другой - потребителем определенного набора продуктов, производимых как своей,
так и другими отраслями, возникает сложная задача определения объема производства каждой из отраслей для удовлетворения всех потребностей в продукции.
В математических моделях будут использованы следующие обозначения:
х. - общий объем (валовой выпуск) продукции 1 - отрасли;
х - объем продукции 1 - отрасли, потребляемый ) - отраслью в процессе производства;
у. - объем продукции 1 - отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере (продукт конечного потребления). Введем коэффициенты прямых затрат:
Данные коэффициенты показывают затраты 1 - отрасли на производстве единицы продукции для) - отрасли.
Тогда можно записать следующие соотношения межотраслевого баланса:
В матричном виде данные соотношения примут
вид:
X - АХ + У,
(3)
/х}\
г
Vя/
- вектор-столбец объема
произведенной продукции (вектор валовых выпусков);
- объем продукции конечного
потребления (вектор конечного потребления);
- матрица коэффициен-
тов прямых затрат (или «матрица прямых затрат»).
Система линейных уравнений (2) и матричное уравнение (3) представляют математическую модель межотраслевого баланса (модель В. Леонтьева) [1].
Решение системы (2) известными методами достаточно трудоемко, особенно если число уравнений, (отраслей промышленности) п велико. Удобнее решать эту систему в матричном виде методом обратной матрицы. В таком случае решение матричного уравнения (3) имеет вид:
где (E - Л)-1 - матрица полных затрат.
Если существует обратная матрица (E - Л)-1, т.е. матрица полных затрат, то существует и единственное решение матричного уравнения (4).
Из анализа зависимости (4) следует, что для получения решения данного матричного уравнения необходимо вычислять обратную матрицу, а, следовательно, определитель матрицы |E - Л| и присоединенную матрицу (E - Л)*, что также достаточно трудоемко при числе отраслей более трех, в связи с этим расчеты целесообразно автоматизировать.
Для автоматизации вычислений по формуле (4) возможно использование программного продукта Excel с применением аппарата матричной алгебры. При этом предлагается следующая схема ввода данных (компьютерная модель) (рис. 1).
В диапазоне ячеек A8:B9 находятся элементы матрицы E-A. Для их вычисления необходимо выделить этот диапазон ячеек, после чего в Строке формул ввести формулу =D4:E5-A4:B5 и нажать сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.
В ячейках D8:E9 рассчитываются элементы матрицы полных затрат (E - Л)-1. Для вычисления обратной матрицы (по аналогии с предыдущей операцией) сначала необходимо выделить диапазон ячеек D8:E8, затем вызвать с помощью Мастера функций f операцию вычисления обратной матрицы МОБР, выделить диапазон ячеек A8:B9 и нажать указанное выше сочетание клавиш.
Для нахождения результата решения, т.е. элементов матрицы-столбца валовых выпусков X, подобно предыдущим операциям, выделяем диапазон ячеек данной матрицы I8:I9. Затем необходимо выполнить операцию умножения матрицы полных затрат (E - Л)-1 на уточненную в соответствии с условиями задачи матрицу конечного продукта Y. Для этого, по аналогии с описанным выше нахождением обратной матрицы, необходимо вызвать с помощью Мастера функций f операцию вычисления
А В С D Е F G Н 1 i
1 г БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
3 Матрица А Матрица Е
4
5
б
7 Матрица Е-Д матрица IE-A]'1 матрица y матрицах
а
9
10 11 12
Рис. 1. Компьютерная модель задачи межотраслевого баланса
произведения матриц - МУМНОЖ, выделить диапазоны ячеек Э8:Б9 и С8:С9 с элементами матрицы конечного продукта У и нажать соответствующее сочетание клавиш.
В диапазоне ячеек 18:19 будет получен ответ, т.е. элементы матрицы-столбца валовых выпусков X.
Работоспособность предлагаемой компьютерной модели проверим на одном из типичных примеров задачи межотраслевого баланса.
Задача 1. В таблице приведены данные об исполнении баланса двумя отраслями за отчётный период, усл. ед.:
Таблица
Показатели межотраслевого баланса
Отрасль Потребление Конечный продукт Валовой выпуск
Энергетика Машиностроение
Энергетика 100 160 240 500
Машиностроение 275 40 85 400
Требуется вычислить необходимый объём валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли должно увеличиться в два раза, а машиностроительной - на 20 %.
Решение:
Рассчитываем коэффициенты прямых затрат а.. по формуле (1):
в,, - \ii.J - 1.2,-л) а,, - —Ли -1 Л,-п)
Составляем матрицу прямых затрат A: f 0,2 0,4л ^0,55 ОД/
Л=
Составляем матрицу-столбец конечного продукта У:
для энергетической отрасли у1=2*240=480 усл. ед.;
- для машиностроительной области
y2=85+0,2*85=102 усл. ед.
Тогда имеем
F=(l02)
Составляем компьютерную модель, заполняем схему и производим соответствующие операции матричной алгебры (рис. 2).
Таким образом, чтобы обеспечить повышение объемов производства конечного продукта энергетической отрасли в 2 раза, а машиностроительной на 20 % необходимо валовой выпуск энергетической отрасли увеличить до 945,6 усл. ед., а валовой выпуск машиностроительной - до 691,2 усл. ед.
Таким образом, применение предлагаемой компьютерной модели на основе программного продукта Excel c использованием операций матричной алгебры позволяет автоматизировать решение задач межотраслевого баланса.
Однако на практике, помимо классических задач межотраслевого баланса, часто встречаются так называемые оптимизационные задачи, в которых необходимо найти оптимальное решение. Постановка подобных задач формулируется следующим образом [4].
Рассматривается n-отраслевая балансовая модель с матрицей прямых затрат A=(a.), i,j = 1,2, ... n. Требуется определить оптимальный объём валового выпуска каждой отрасли, при котором будет достигнут максимальный суммарный выпуск конечного продукта в стоимостном выражении, если производственные мощности i - й отрасли ограничивают ее валовой выпуск величиной d, где i =1,2,3, ... n, а цены на конечный продукт задаются вектором
C = (ci' c2,-cr).
Данная задача несколько отличается от рассмотренной ранее задачи, поскольку в результате её решения необходимо найти объемы валовых выпусков X при оптимизации объёмов конечного продукта Y. Она может быть решена на персональном компьютере методами линейного программирования, но при этом требуется ввести большой
^ А в с die F G Н I J
1 2 БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
3 Матрица А Матрица Е
4 0,2 0,4 1 0
5 0,55 0,1 0 1
6 7
Матрица Е-А Матрица (Е-А)"1 Матрица V Матрицах
а 0,3 -0,4 1,8 0,8 480 945,6
9 -0,55 0,9 U 1,6 102 691,2
10 п
Рис. 2. Компьютерная модель межотраслевого баланса для задачи
объем исходных данных в виде линейных неравенств и уравнений, что наряду с временными затратами увеличивает вероятность появления ошибок. Для автоматизации вычислений (по аналогии с предыдущей задачей) применим программный продукт Excel и аппарат матричной алгебры. Математическая модель задачи в матричном виде имеет вид [5]:
= С ■ Y -Hi max
X -{Е - ■ Y (Е-АУ'-YxD У г О
(5)
(6)
Решение:
По приведенной выше математической модели разработаем компьютерную модель данной задачи. Для расчетов по модели, помимо встроенных функций Excel, потребуется надстройка к программному продукту, которая называется «Поиск решения».
Предлагается следующая схема ввода исходных данных (рис. 3).
где 4,,...4) - вектор ограничений объе-
мов валовых выпусков продукции каждой отрасли.
Разработку компьютерной модели, порядка ввода исходных данных и решения рассмотрим на конкретном примере.
Задача 2. Имеется трехотраслевая балансовая модель экономики с матрицей коэффициентов прямых затрат:
А =
Производственные мощности отраслей ограничивают возможности ее валового выпуска числами 300, 200, 500. Необходимо определить оптимальный валовой выпуск всех отраслей, максимизирующий стоимость суммарного конечного продукта, если задан вектор цен на конечный продукт С = (2, 5, 1).
Рис.3. Схема ввода исходных данных
Порядок ввода исходных данных, элементов матриц A, E и вычисления элементов матриц E-A и (E-A)-1 описан выше. Дополнительно необходимо ввести в диапазон ячеек F2:H2 элементы матрицы - строки цен на конечный продукт C, а в диапазон ячеек H17:H19 - элементы матрицы-столбца ограничений возможностей валовых выпусков D. В ячейку H5 необходимо ввести формулу целевой функции (5).
Компьютерная модель данного примера приведена на рисунках 4, 5.
А П С 0 Е F G н 1 J
1 Матрица А Матрица С
2 0,1 0,05 0,2 2 5 1
£U 0 0.15
4 0,2 0,4 0
Ъ ПФ 909]
6 М.1Г|)ИИ.) 1
7 1 0 D
в 0 1 0
9 0 0 1
10
11 Матриц» Eft
12 0,9 ■а,05 ■0,2
13 0,3 1 0,15
14 0,2 ■0,4 1
15
16 Матрица (Е А)' Вектор У Вектор К йекгар D
17 UJ79S6 0,169824 0,271065 232 Í00 300
16 0,431091 1,123449 0,254735 69 200 200
19 0,418027 0, <183 344 1,15610/ 0 140 500
20
Рис. 4. Схема ввода исходных данных задачи 2
Параметры поиска решения
Огт«иэираввть целевою функцию:
До: (Г Мэксину* ^ Цщди С" ^чаченин:
Изменяя ечейки переменных:
А фютвететвш с итфишпчч!
ЕЯ7:1ЕЯ9 >■ 0 А
А
^ЙЗН-а
Имшть
Г/.-'И!
Обовскть
аиберчте нетод реиешн
[7 Сделать перемЕЖ*>|е без агран1+4ЕН№| иеатрицатЕлы-ьр»1
Поиск решения ¿»пе^д зддл аиппексфета^ои *) '¿с&^—рь-
метод реиеьид
Для гладких пелтейии млач «кньзуйте поиск. решения иедиейш мплч «толок ОПГ, для ттпеС^ык 2адан - поиск реиемш лниашх задач отплв^п-четодои, л для ЧЕГ/щна на» - эечлчидатый поиск решения
Страуса
Иэити решете
Рис. 5. Параметры поиска решения
В результате решения получены объемы валовых выпусков 3-х отраслей 300, 200 и 500 усл. ед. соответственно, при которых обеспечивается максимальная стоимость суммарного конечного продукта отраслей в размере 909 усл. ден. ед.
Использование разработанной компьютерной модели позволяет успешно решать не только рассмотренную выше, но и другие типы оптимизационных задач, например, когда на конечный продукт накладываются соответствующие ограничения, в том числе ассортиментные, или ограничения по объему его выпуска как в сторону максимума, так и в сторону минимума.
Таким образом, предлагаемые компьютерные технологии позволяют автоматизировать расчеты параметров как классических, так и оптимизационных балансовых моделей, могут служить основой для решения многочисленных оптимизационных задач, возникающих в моделях межотраслевого баланса. Данные технологии могут найти применение в народном хозяйстве, многоотраслевой экономике для расчета и поддержания пропорций между ее отраслями.
Библиографический список:
1. Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера. 2-е изд., перераб. и доп. М.: ЮНИТИ, 2004. 472 с.
2. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавров /
B.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, И.В. Орлов. М.: Юрайт, 2013. 328 с.
3. Фадеев С.Н. Линейная алгебра: учебное пособие /
C.Н. Фадеев. СПб: Санкт-Петербургский имени В.Б. Бобкова филиал Российской таможенной академии, 2019. 62 с.
4. Красс М.С. Математика в экономике: математические методы и модели: учебник для бакалавров / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов; ответственный редактор М.С. Красс. 2-е изд., испр. и доп. М.: Юрайт, 2019. 541 с.
5. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию / И.Л. Калихман. М.: Высшая школа, 1975. 270 с.
