CC BY
35
УДК 519.23: 631.41: 004 Забуга Галина Алексеевна,
д. б. н., профессор кафедры «Техносферная безопасность», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8-95-00-68-34-87, e-mail: zabuger@rambler.ru Темникова Елена Александровна, к. т. н., ст. преподаватель кафедры «Информационные системы и защита информации»,
Иркутский государственный университет путей сообщения,
e-mail: temnikova_ea@bk.ru Ефимова Наталья Васильевна, д. м. н., профессор, ведущий научный сотрудник, Восточно-Сибирский институт медико-экологических исследований,
e-mail: medecolab@inbox.ru Гребенщикова Валентина Ивановна, д. г.-м. н., главный научный сотрудник, Институт геохимии им. А. П. Виноградова СО РАН,
e-mail: vgreb@igc.irk.ru
АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЫ НА ПРИМЕРЕ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ТЕРРИТОРИИ
G. A. Zabuga, E. A. Temnikova, N. V. Efimova, V. I. Grebenshchikova
AUTOMATION FOR CALCULATION OF THE CORRELATION MATRIX EIGENVALUES THE EXAMPLE OF ENVIRONMENTAL AREA'S ASSESSMENT
Аннотация. Принято считать, что одним из наиболее перспективных методов для определения неявных закономерностей, существующих в изучаемых явлениях, является метод главных компонент. Результаты компонентного анализа позволяют определить признаки, существенно влияющие на исследуемый объект или процесс. Для оценки эффективности метода главных компонент были использованы статистические данные о содержании тяжелых металлов, различающихся по своей величине на несколько порядков. В результате анализа была получена информация об экологическом состоянии территории в интегральном виде, выявлены тяжелые металлы, которые в рамках алгоритма «свертывания» информации из 1170 значений выступали в качестве наиболее значимых загрязнителей.
Было выделено четыре основных типа задач, решаемых с помощью метода главных компонент: выявление скрытых закономерностей в объекте исследования и его описание числом главных компонент, которое значительно меньше числа первоначальных значений (признаков), а это свидетельствует о том, что главные компоненты адекватно отражают исходную информацию в сжатой форме; выявление признаков, наиболее тесно связанных с данной главной компонентой; построение по полученным главным компонентам уравнения регрессии для дальнейшего прогнозирования ситуации (процесса).
Для автоматизации расчета собственных чисел и векторов корреляционной матрицы разработано специальное программное приложение.
Ключевые слова: метод главных компонент, анализ статистических данных, собственные числа и векторы корреляционной матрицы, автоматизированная система, тяжелые металлы, экологическое состояние территории.
Abstract. One of the most promising methods to determine the implicit laws existing in the phenomena studied, is the principal components method. Component analysis results make it possible to determine the signs of a significant effect on the investigated object or process. For analysis of the principal components method's effectiveness statistical data on the content of heavy metals, which differ in several orders of magnitude, were used. The analysis provided information on the environmental state of the territory in an integrated form, revealed heavy metals, which as a part of the algorithm of «collapse» of information from the 1170 values have served as the most significant pollutants.
Four basic types ofproblems have been allocated to be solved with the help of the principal components method: identifying hidden patterns in the object of study and its description by the number ofprincipal components, which is considerably less than the number of initial values (attributes), which indicates that the main components adequately reflect the original information in compressed form; identification of signs most closely associated with this main component; building regression equation on the main components derived to predict the future situation (process).
To automate the calculation of eigenvalues and eigenvectors of the correlation matrix a special software application is developed.
Keywords: method ofprincipal components, analysis of statistical data, eigenvalues and vectors of the correlation matrix, automated system, heavy metals, ecological state of the territory.
Введение
В настоящее время большая часть исследований проводится с применением математического аппарата теории вероятностей и математической статистики, где особое внимание уделяется корреляционному и регрессионному анализу, позволяющим прогнозировать функционирование и развитие различных процессов и явлений [1].
Исследование и оценка экологического состояния экосистем, в том числе на основе измерений содержания тяжелых металлов (ТМ) в почве и/или биотических компонентах, требуют всестороннего анализа полученных результатов [2, 3]. Для этого используются различные подходы, в числе которых «индексы состояния» [2], комплексные, многокритериальные и интегральные оценки [3], расчет специальных коэффициентов, создание
В)
вычислительная техника и управление
а)
10-100 "100-200 200-300 1^00-4001 -МО-500 э 00-600
б)
г)
10-100 ■ 100-200 2 00-3 00 ■ 3 00^1-00 400-500 ■ 500-600 I 600-700
Рис. 1. Концентрации тяжелых металлов (мг/кг) в точках 2 (а), 3 (б), 4 (в) и 5 (г) отбора проб почвы (1), подстилки (2), листьев березы (3), травостоя (4) и хвои сосны (5)
интегральных карт с перечнем покомпонентных и посистемных составляющих [4] и другие. Вместе с тем один из путей «свертывания информации» может быть связан с использованием методов интерпретации многомерных данных, к числу которых относится метод главных компонент (МГК) - математический аппарат многомерного статистического анализа [5].
Объект исследования
В работе исследовали возможность и эффективность применения метода главных компонент к массиву данных о содержании ТМ в растительных объектах и почве урботерритории г. Ангарска с целью последующей оценки ее экологического состояния.
Объект исследования может быть охарактеризован с помощью набора параметров (показателей), в данной работе это - показатели концентраций тяжелых металлов в надземном и подземном ярусах урбобиоценозов, которые были получены
при отборе проб в 26 точках территории г. Ангарска. Визуализация характера распределения концентрации ТМ в зависимости от вида проб представлена на рис. 1 по четырем, приближенным к источникам, точкам отбора. В большинстве своем в исследованных точках отмечались наиболее высокие концентрации никеля, марганца, хрома, кобальта и мышьяка.
Порядок реализации метода
При анализе содержания тяжелых металлов в надземном и подземном ярусах урбобиоценозов существенно увеличивается количество изучаемых элементов пространства. В данной работе содержание ТМ было определено в 130 элементах, в результате чего получен существенный по объему массив данных. Поэтому возникает потребность «свертывания», т. е. описания объекта меньшим числом обобщенных показателей - главных компонент.
Для всего массива данных, или матрицы исходных данных Х, полученной с учетом точек отбора проб и элементов пространства урбоэкоси-стемы, получили, что размах колебаний значений минимума и максимума концентрации ТМ был крайне высоким (табл. 1), а измеряемый признак (содержание ТМ) имел значения, отличающиеся в некоторых случаях на порядки. Как видим из табл. 1, наиболее высокая концентрация была у цинка, а наиболее существенные различия между минимальным и максимальным содержанием ТМ -у свинца (в 6917 раз).
По матрице исходных данных вычислили средние значения, стандартные отклонения (табл. 1), а затем составили матрицу стандартизованных значений Z. Стандартизованные значения каждого х- были получены по формуле:
zj =
xij - xj
5
(1)
их для тех же четырех точек территории г. Ангарска, что и на рис. 1.
Далее для характеристики объекта исследования многомерными случайными признаками была определена корреляционная матрица Я, учитывающая тесноту линейной стохастической связи, по формуле:
2 • 2Г
Я=--, (2)
п -1
Г7Т
где / - транспонированная матрица стандартизованных значений [6].
Коэффициенты корреляции были рассчитаны через ковариацию (соу) по формулам:
соу( X , хк)
'jk
= cov(z , zk) = ■
5 CT,
jk
cov( x , xk) =
X(x j- xj)(xik- xk)
n -1
(3)
(4)
где х- - значения концентрации тяжелых металлов, полученные в результате замеров (отбора проб); х^
- средние значения концентрации отдельных тяжелых металлов (по столбцам); о,- - стандартное отклонение.
Матрица стандартизованных значений представляла собой произведение количества проб на количество параметров (число исследованных химических элементов). Количество проб определяло в матрице стандартизованных значений количество строк (п), а количество измеряемых характеристик (р) - число переменных, образующих размерность признакового пространства. В нашем случае матрица стандартизованных значений содержания ТМ в элементах урбоэкосистемы имела параметры: п х р = 130 х 9. В табл. 2 представлен фрагмент матрицы стандартизованных значений, показывающий
Корреляционная матрица представлена в табл. 3. Из этой таблицы видно, что по некоторым признакам были получены сильные корреляционные связи. Это, согласно требованиям [5], позволяло представить результаты определения содержания ТМ в пределах урботерритории г. Ангарска в пространстве существенно меньшей размерности, чем девятимерное пространство исходных переменных. Следует отметить, что наличие в системе признаков очень тесных корреляционных связей и присутствие в корреляционной матрице внедиаго-нальных значений, близких по абсолютной величине к единице, принципиально важное обстоятельство при использовании методов факторного анализа многомерных данных, включая и метод главных компонент [7].
Т а б л и ц а 1
Размах колебаний концентрации тяжелых металлов, средние значения и стандартные
Статистические характеристики Концентрация химических элементов, мг/кг
Cu Zn Cd Pb Cr Mn Co Ni As
max 115,00 1075,00 0,50 415,00 100,00 1020,00 14,90 66,00 8,30
min 0,14 0,24 0,007 0,060 0,60 9,80 0,04 0,5 0,00
Средние(x.) 14,29 87,36 0,09 16,82 32,64 320,75 4,85 21,93 1,75
Стандартное отклонение (oj) 17,46 109,97 0,09 41,08 34,73 277,28 5,52 21,93 2,33
1=1
вычислительная техника и управление
Т а б л и ц а 2
Стандартизованные значения zij матрицы этих значений Z, составленной по данным о содержании
Место отбора Виды проб Си Zn са РЬ Сг Мп Со N1 ЛБ
1 1 0,34995 -0,06690 1,26331 -0,00782 1,93947 2,52184 1,82115 1,73623 2,55423
2 0,29842 -0,03962 1,15968 -0,07841 1,88188 1,87267 1,82115 1,82744 2,68310
3 -0,50320 0,18771 0,22700 -0,40653 -0,88902 -0,43548 -0,85402 -0,77204 -0,74477
4 -0,50320 -0,60338 -0,24970 -0,40799 -0,88902 -0,98366 -0,76527 -0,87237 -0,74477
5 -0,69788 -0,39424 -0,66422 -0,40409 -0,89823 -0,36335 -0,81417 -0,97726 -0,74477
2 1 -0,41159 -0,23966 0,33063 0,29645 1,04693 0,57434 0,62575 0,50490 1,13669
2 0,44157 -0,00324 1,57420 0,49118 1,30605 0,93499 0,31784 0,91535 0,66418
3 -0,46312 0,87878 0,08192 -0,39947 -0,88902 -0,57974 -0,83772 -0,84956 -0,74134
4 -0,42304 -0,52155 -0,77822 -0,40409 -0,83604 -1,05579 -0,77070 -0,89517 -0,74477
5 -0,60054 -0,55792 -0,67459 -0,39241 -0,89132 -1,01973 -0,78700 -0,90429 -0,75336
3 1 -0,41159 -0,28513 0,12337 0,07007 1,59397 1,11531 1,22345 1,14337 1,05078
2 0,78512 0,13315 2,40324 0,78327 1,01814 0,61040 0,31784 0,55051 2,81196
3 -0,50893 0,15134 -0,61241 -0,40142 -0,83144 -0,32007 -0,83228 -0,81764 -0,74134
4 -0,34860 -0,49427 -0,72640 -0,40409 -0,83374 -0,96924 -0,76708 -0,91341 -0,73876
5 -0,56619 -0,42152 -0,60204 -0,38803 -0,83604 -0,81055 -0,78700 -0,92709 -0,68893
4 1 -0,05658 -0,22148 0,53789 0,17474 1,53639 0,79073 1,51324 1,46260 0,62122
2 5,76661 4,20683 3,23229 0,29645 1,24847 0,57434 1,22345 1,55381 1,00782
3 -0,47457 0,95152 -0,55023 -0,39947 -0,89363 -0,60859 -0,85402 -0,91797 -0,72158
4 -0,37723 -0,52155 -0,59168 -0,40190 -0,82683 -1,02694 -0,81236 -0,85868 -0,74220
5 -0,58336 -0,33969 -0,62277 -0,38024 -0,83374 -0,69514 -0,78700 -0,91341 -0,64168
5 1 0,29842 -0,13964 0,95241 0,19908 1,50759 1,11531 1,82115 1,28018 0,70713
2 1,24318 0,53324 4,26859 1,24576 1,39243 0,61040 1,22345 1,28018 1,26556
3 -0,45739 0,18771 -0,66422 -0,39777 -0,88441 -0,98366 -0,87032 -0,92253 -0,74005
4 -0,45739 -0,53973 -0,80931 -0,39557 -0,80610 -1,06661 -0,79787 -0,82676 -0,71427
5 -0,81812 -0,79434 -0,91294 -0,40945 -0,93969 -1,15677 -0,87756 -1,00006 -0,75336
Т а б л и ц а 3
Коэффициенты корреляции (^к) корреляционной матрицы Я_
Си Zn Са РЬ Сг Мп Со N1 ЛБ
Си 1 0,4573 0,2494 0,3316 0,4911 0,3551 0,4790 0,5353 0,5911
Zn 0,4573 1 0,1649 0,3326 0,1974 0,2497 0,2238 0,2377 0,3294
са 0,2494 0,1649 1 0,0663 0,2678 0,2044 0,2252 0,2013 0,2680
РЬ 0,3316 0,3326 0,0663 1 0,3827 0,3451 0,4178 0,4312 0,4435
Сг 0,4911 0,1915 0,2564 0,3826 1 0,8190 0,9356 0,9572 0,7833
Мп 0,3551 0,2498 0,2021 0,3466 0,8169 1 0,8204 0,8561 0,7142
Со 0,4790 0,2239 0,2237 0,4189 0,9498 0,8189 1 0,9577 0,8299
N1 0,5353 0,2377 0,2013 0,4312 0,9718 0,8590 0,9597 1 0,8045
ЛБ 0,5911 0,3294 0,2680 0,4435 0,7837 0,7154 0,8308 0,8045 1
Метод главных компонент базируется на замене взаимно коррелированных признаков на некий фактор, который обуславливает значимую тен-
денцию в поведении исследуемой системы, обеспечивающую эффективность исследовательских процедур за счет получения некоррелированных пере-
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
менных, сжатия многомерной информации и построения соответствующих гипотез. Исходя из этого, МГК позволяет оптимизировать представление исследуемых объектов в пространстве меньшей размерности за счет объяснения полной дисперсии переменных.
Дальнейшее преобразование корреляционной матрицы было нацелено на поиск оптимального векторного подпространства, наглядно отражающего исследуемую информацию. Наилучшее представление свойств многомерных данных может быть получено при проектировании его в системе евклидовых пространств, базисные векторы которых ортогональны и их норма равна единице. В итоге матрица Я размерностью 9 * 9 оказалась квадратной (табл. 3).
Автоматизированная система расчета собственных чисел и векторов матрицы М Собственные числа и собственные векторы этой матрицы были найдены с помощью специально разработанного программного приложения, позволяющего снизить трудоемкость вычислений и вероятность ошибки при расчетах. Кроме того, интерфейс программы понятный и доступный, чего не скажешь об интерфейсах большинства существующих на рынке программных продуктов по статистическому анализу ^а^йса, StatgrapЫcs и др.), требующих от пользователя дополнительных навыков и знаний. Еще одной причиной для разработки собственного приложения стало то, что все эти статистические комплексы являются платными.
Разработанная компьютерная программа считывает большие массивы данных из ехсе1-файла и обрабатывает в соответствии с описанным ниже алгоритмом.
На первом этапе составили характеристический полином матрицы. Для этого вычитали Х из
элементов, стоящих на главной диагонали исходной матрицы, и находили её определитель (рис. 2) по следующему выражению: Р(Х) = -Х9 + 9-Х8 - 25,583-Х7 + 34,241-Х6- 24,437-Х5+ + 9,596 •Х4- 2,024 •Х3 + 0,213 •Х2- 0,009 •Х + 0,00013.
На втором этапе нашли (рассчитали) корни характеристического полинома, которые были собственными числами (Х) матрицы Я (рис. 3).
1 Метод главных компонент I Ь . ® \щ£Ьт\
| | Собственные числа матрицы Собственные векторы |
1
Собственные числа матрицы Я
Ь 1=0,0220
И2=0,0500
ИЗ=0.1Э61
И4=0.23е8
И5=0,5229
И6=0.6508
Ь7=0.Э523
Ь8=1.1999
ИЭ=5.1717
И -Ц
Рис. 3. Собственные числа матрицы, рассчитанные с помощью автоматизированной системы
Затем для каждого собственного значения Х1, Х2, ..., Хп были определены собственные векторы Х1, Х2, ..., Хп. Для нахождения собственных векторов каждого /-го собственного числа были решены системы линейных уравнений вида:
Ях/ = Х/Х/.
(5)
Каждую такую систему уравнений оказалось возможным преобразовать к виду:
Ях/ - Х/Ех/= 0.
(6)
Полученная в результате преобразования система линейных уравнений оказалась вырожденной и имела нетривиальное решение, поскольку определитель матрицы этой системы был равен нулю. Отметим, что, исходя именно из этого обстоятельства, ранее были найдены и собственные числа:
Рис. 2. Характеристическая матрица, полученная автоматизированной системой
вычислительная техника и управление
Бе^Д - Х,Е) = 0. (7)
На завершающем этапе, составив и решив системы линейных уравнений для каждого собственного числа Ь, нашли совокупность всех собственных векторов исходной матрицы. Составляющие собственных векторов являются нагрузками на исходные переменные, позволяющими на их основании анализировать вклад каждого признака в значение соответствующей главной компоненты. Следует отметить, что сумма квадратов составляющих собственного вектора равна единице, это позволяет судить по величине квадрата коэффициента при каждой составляющей о ее вкладе в значение главной компоненты.
Наиболее высокие значения составляющих собственных векторов отмечались, прежде всего, для мышьяка, никеля, марганца и кадмия. Это свидетельствует о том, что именно данные химические элементы, попадающие с выбросами в пределы ур-ботерритории г. Ангарска, аккумулировались в исследуемых средах (ассимилирующих органах березы и сосны, травостое, подстилке и почве) и были главными компонентами, загрязняющими по вертикали и горизонтали данное пространство [8]. Подобная картина, по-видимому, отражает специфику выбросов источников загрязнения, связанных с промышленной зоной г. Ангарска. Так, с восточной и юго-восточной стороны городскую территорию окружают ТЭЦ, работающие на угле, а, как известно, процесс сжигания угля, прежде всего, служит источником поступления в биосферу тяжелых металлов, в том числе и тех, которые, согласно МГК, выступали в качестве маркеров загрязнения.
Заключение
Применение метода главных компонент позволяет, за счет анализа корреляционных связей и соответствующих математических преобразований, существенно сократить размерность крупных массивов многомерных статистических данных [9], адекватно отражая исходную информацию в сжатой форме, с целью дальнейшего анализа и выявления закономерностей результатов, на примере мониторинговых исследований, проведенных на территории г. Ангарска, которые позволили определить характер влияния и накопления тяжелых металлов на рассматриваемой территории. Были выявлены химические вещества, которые выступали главными загрязнителями надземных и подземных ярусов биологических сообществ исследуемой ур-
ботерритории. В порядке убывания квадрата коэффициента собственного вектора исследованные в пространстве урбосреды элементы располагались следующим образом: Л8 - N1 - Мп - Cd - Со - Сг -2п - Си - РЬ.
Результаты исследований свидетельствуют о техногенной природе образования и накопления тяжелых металлов, как результата деятельности промышленных комплексов.
В дальнейшем по полученным главным компонентам будут выведены уравнения регрессии, которые позволят спрогнозировать и проанализировать дальнейшее развитие ситуации (процесса загрязнения и накопления ТМ на территории города).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Киселев Н.И. Минимаксный метод оценки главных компонент // Вопросы региональной экономики. 2011. № 1 (6). С. 114-128.
2. Воробейчик Е.Л., Садыков О.Ф., Фарафонтов М.Г. Экологическое нормирование загрязнений наземных экосистем (локальный уровень) // Екатеринбург : Изд-во УИФ Наука, 1994. 280 с.
3. Дмитриев В.В. Интегральные оценки состояния сложных систем в природе и обществе // Биосфера. 2010. Т.2 № 4. С. 507-520.
4. Калманова В.Б. Выбор и обоснование методов оценки экологического состояния урбанизированных территорий // Региональные проблемы. 2010. Т.13. № 2. С.67-71.
5. Вахромеев Г.С., Давыденко А.Ю. Моделирование в разведочной геофизике. М. : Недра, 1987. 194 с.
6. Котова Г.С. Определение социально-экономической эффективности программного инвестирования метода главных компонент // Изв. Орен-бур. гос. аграр. ун-та. 2007. Т. 2. №14-1. С. 75-80.
7. Добрынина Н.Ф. Метод главных компонент в статистической модели управления преподавательским составом кафедры // Современные наукоемкие технологии. 2008. № 4. С. 95-96.
8. Оценка экологического состояния урботеррито-рии / Г.А. Забуга и др. // Экология урбанизированных территорий. 2016. № 2. С. 13-18.
9. Киселев Н.И. Альтернативные методы оценки главных компонент // Прикладная эконометрика. 2010. № 3 (19). С. 129-139.
