Автоматизация параметрического синтеза цилиндрической протяжки в среде системы компьютерной математики Maple Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 658.012.011.56.005:681.3

АВТОМАТИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРОТЯЖКИ В СРЕДЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE

Д.Л. ТРЕТЬЯКОВ, Т.А. ТРОХОВА

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П.О. Сухого»,

Республика Беларусь

М.Л. ШИШАКОВ

Белорусский государственный университет транспорта, г. Гомель

При автоматизации процесса проектирования технических объектов принято различать два основных этапа синтеза: первый - выбор структурной схемы, выполняемый методами структурного синтеза; второй - определение параметров выбранной схемы по заданным свойствам. На втором этапе, называемом параметрическим синтезом, определяют параметры, характеризующие режимы работы объекта.

Как правило, задача параметрического синтеза технического объекта сводится к поиску выходных параметров, при которых выполняются принятые ограничения, а целевая функция принимает экстремальное значение. Однако специфика проектируемого объекта, отражаемая в его математической модели, и вид выбранной целевой функции приводят к необходимости применения различных поисковых алгоритмов при автоматизации этого процесса. Вместе с тем к настоящему времени накоплен немалый арсенал алгоритмов и их программных реализаций для решения подобного рода задач. Для инженера-проектировщика становится актуальной проблема выбора и применения тех из них, которые в достаточной мере корректно решают требуемые задачи в доступной и понятной для него форме, не требующей чрезмерных знаний математической специфики.

Одним из мощных средств автоматизации решения математических задач в приближенной для восприятия инженера-проектировщика форме является система компьютерной математики Maple, которая содержит модуль линейной оптимизации с использованием симплекс-метода [2]. Указанный модуль был опробован для решения оптимизационной задачи поиска параметров режущего инструмента. В результате апробации создан электронный документ оптимизации параметров протяжки в среде Maple, который показал корректность и высокую эффективность получаемых решений, что позволяет говорить о возможности его применения как в учебном процессе, так и в практическом использовании.

Базовая функция simplex-модуля, решающая проблему минимакса для линейной целевой функции, имеет следующий формат: minimize(<ЦФ>, {<ЛО>,<ТПВ>} ), где ЦФ - линейная целевая функция, для которой определяется минимальное значение; ЛО - линейные ограничения, накладываемые на область допустимых решений в виде множества линейных неравенств по ведущим переменным целевой функции; ТПВ - тип ведущих переменных (необязателен).

Для тестирования корректности задания системы ограничений, определяемых вторым и третьим параметрами описанной выше функции, служит логическая функция feasible со следующими параметрами кодирования: feasible(^0>,<TnB>).

Данная функция возвращает true-значение в случае корректности системы условий и false-значение в противном случае.

Примером применения инструментария оптимизации Maple в решении задач параметрического синтеза может служить задача расчета оптимальных параметров режущего инструмента. Инструмент представляет собой сложную систему большого числа конструктивных параметров различного назначения. Они связаны между собой и не определяются однозначно, так как на них влияют многочисленные, в большинстве противоречивые факторы. Чтобы выбрать лучший вариант конструкции, используя традиционные методы проектирования, конструктору далеко не всегда бывает достаточно личного опыта и интуиции. Вариантная ситуация при проектировании требует решения задачи оптимизации, которая успешно реализуется на основе оптимизационной математической модели инструмента. Оптимизировать можно не только конструкцию инструмента в целом, но и отдельные конструктивные элементы [1].

Основными параметрами протяжек являются подъем az шаг t, высота h зубьев и число зубьев в группе zc, задаваемое значением zc = 1 при профильной схеме резания и zc = 2 или 3 при групповой схеме. Эти параметры зависят от большого числа факторов, что предопределяет сложность их определения.

За критерий оптимизации конструкции протяжки рекомендуется принять ее наименьшую возможную длину [1]. С уменьшением длины снижается стоимость инструмента вследствие экономии дорогостоящего инструментального материала и повышается производительность протягивания. Длина режущей части протяжки зависит от угла 0 наклона образующей конуса, на котором располагаются режущие кромки. Чем больше 0, тем короче протяжка. Это условие можно записать целевой функцией оптимизации, определяющей тангенс угла 0:

Ф = а, /(&с). (1)

Используя это выражение и формулы для расчета протяжек, запишем оптимизационную математическую модель конструкции цилиндрической протяжки в следующем виде: максимизировать целевую функцию

Ф = az /(tzc) ^ max (а)

при следующих ограничениях :

Q; Л р (б)

р Л К ]FX; (в)

р Л л[^1](ri - h)2; (г)

Л2 /(4azl2) > Kmin; (д)

l1/ t > [zmin]; (е)

l2/ t > [ z max ]; (ж)

t > tmin; (з)

h Л 0.17d; (и)

az > azmin; (к)

t > 2.5h (л) ,

гдер = Сржіа2 zmaxKrKcKи/zc - сила резанья; Fx - площадь опасного сечения хвостовика; г1 - радиус предварительного отверстия под протягивание; ё, 11 и 12- диаметр, минимальная и максимальная длина из заданного диапазона размеров протягиваемого отверстия; если протяжка проектируется для конкретного отверстия с длиной I, то следует принять 11 = 12 =

I; [ох], [01] - допустимые напряжения в материале хвостовика и рабочей части протяжки, соответственно (они равны для цельной конструкции протяжки); [^тах], [гтт] -максимальное и минимальное допустимые числа одновременно работающих зубьев; 2тах -максимальное фактическое число одновременно работающих зубьев; tm^n, а2 тт -минимальные допустимые шаг протяжки и подъем на зуб; Ср, Кг, Кс, Ки - постоянная и поправочные коэффициенты силы резания; Я - показатель степени, зависящий от свойств обрабатываемого материала; Q - допустимая тяговая сила станка; Ктт - минимальный допустимый коэффициент заполнения стружечной канавки.

В модели протяжки (2) ограничения-неравенства предусматривают допустимую тяговую силу станка (2.б); прочность протяжки по хвостовику (2.в) и первому зубу (2.г); степень заполнения стружечной канавки (2.д) и целесообразные ее размеры (2.л), учитывающие запас на переточку (2.з), жесткость инструмента (2.и) и его технологичность (2.з, 2.к); минимальный возможный подъем на зуб (2.к); плавность работы протяжки (2.ж) и устойчивое базирование на ней заготовки (2.е); эффективность использования СОЖ (2.ж). Изменяемыми параметрами являются переменные t, а2, h. Математическую модель протяжки следует преобразовать в линейный вид, логарифмируя целевую функцию (2.а) и неравенства-ограничения (2.б-2.л). Для этого следует заменить выражения 2тях = l2/t +1 и Г\ - h степенными зависимостями, найденными методом наименьших квадратов:

1 п / 0.79 ,-0.79 / 7 \ ало 1-3 1 "0.3

Zmax = 1.7 l2 t ; (r 1 -h) = 0.48 n h

и принять следующие обозначения:

z = ^Ф (a); X1 = lg(100az) (б); X2 = lg t (в); X3 = lg h (г).

(3)

(4)

После логарифмирования выражений (2) и преобразований с учетом уравнений (3), (4) получим общую линейную оптимизационную модель протяжки: максимизировать целевую функцию

z = x1 - x2 - (2 + lg zC) ^ max (а)

при выполнении ограничений

У1 = -Xxx + 0.79X2 - (T - lgQ - lg zc) > 0; (6)

У2 = -^ + °.79x2 - (T\ - \g[ux] - lgFx - lg zc) > 0; (в)

y3 = - Xx1 + 0.79x2 - 0.6x3 - (T - lgtcj - 2.6lgr1 + 0.1405 - lg zc > 0; (г)

y4 = - x1 + 2X3 + (1.895 - lgl2 - lgKmm) > 0; (д)

(е)

У5 = - x2 + (lg ll - lg[zmin ]) > 0;

Уб = x2 - (lg l2 - lg[Zmax ]) > 0;

У7 = x2 - lg tmin > 0;

У8 = - x3 - (0.7696 - lg d) > 0;

У9 = xl - lg(l00azmin ) > 0;

yl0 = x2 - x3 - 0.3979 > 0

(ж)

(з)

(и) (к) (л)

(5)

где T1 = 0.2304 + lg Ж+ lg d + 0.79lg l2 + lgCp - 2X + lgKp;

Kp = KKK - суммарный поправочный коэффициент силы резания.

Полученная линейная модель позволяет определить для заданных размеров и материала детали подъем черновых зубьев (секций) az, шаг t и высоту h зубьев.

Ниже приведен документ системы Maple, в котором реализован оптимизационный расчет протяжки.

Расчет рабочей длины протяжки

> restart;

Исходные данные:

-диаметр и длина обрабатываемого отверстия

> d := 12; l := 34.5

-диаметр отверстия после предыдущей обработки

> d1 := 11

Показатель степени X и постоянная Ср

> X := .85; C := 2680

’ p

Поправочные коэффициенты силы резания

> K := .93; K := 1.15; K := 1

g ’г ’ c

Тяговая сила станка, Н (станок 7А510)

> Q := 102000

Минимальное количество одновременно режущих зубьев

> z . := 2

тгп

Минимальный коэффициент заполнения стружечной канавки

> K . := 2.5

тгп

Минимально допустимые шаг протяжки и подъем на зуб (секцию)

> t := 4.5; a . := .015

тгп 5 zm.n

Площадь опасного сечения хвостовика

> F := 61.5

X

Допустимые напряжения в материале хвостовика и рабочей части протяжки, соответственно:

> а := 250; а := 400

X 5 1

При профильной схеме резания

> z := 2

c

Максимальное количество одновременно режущих зубьев

79

l ( l ^

> z :=---------h 1; z , := 1.7

t

тгп

t .

^ тгп j

z := 8.666666667

maxa

z b := 8.497440271

maxb

Принимаем

> z := 8

max

> K := K K K

p g c г

> T1 := .2304 + log10(л dC K ) + .79 log10(l) - 2 X

Свободные члены неравенств оптимизационной модели протяжки

> lr1 := T1 - log10( Qzc)

> lr2 := T1 - log10(axFxzc)

> lr3 := T1 - .1405 - 2.6 log10(dr 1 - log10(G1 zc)

V 2

> lr¥ := 1.895 - log10(lK . )

°10v тгп-'

( l Л

> lr5 :=log10 —

^ тгп j

( l л > lr6 := log10 —

^ max j

> lr7 := log10(t . )

°10v тгп-'

> lr8 := .7696 - log10(d)

> lrP := log10( 100 a . )

°10ч гтгп'

Система неравенств оптимизационной модели протяжки

> y1 := -X x1 + .79 x2 - lr1

> y2 := -X x1 + .79 x2 - lr2

> y3 := -X x1 + .79 x2 - .6 x3 - lr3

> y4 := -x1 + 2 x3 + lr4

> y5 := -x2 + lr5

> y6 := x2 - lr6

> y7 := x2 - lr7

> y8 := -x3 - lr8

> y10 := x2 - x3 - .3979

> yP := x1 - lrP

>with(simplex):

Warning, the protected names maximize and minimize have been redefined and unprotected

Проверка существования области допустимых решений системы неравенств feasible( { 0 < y1, 0 < y2, 0 < y3, 0 < y4, 0 < y5, 0 < y6, 0 < y7, 0 < y8, 0 < yP, 0 < y10 },

u^esM^d)

true

Поиск максимального значения функции оптимизации при заданных ограничениях

> r := maximize(x1 - x2 - (2 + log10(zc)),

{0 < y1, 0 < y2, 0 < y3, 0 < y4, 0 < y5, 0 < y6, 0 < y7, 0 < y8, 0 < yP, 0 < y10 }) r := {x2 = .6532125138, x1 = .2646579050, x3 = .1527085045}

Потенциирование полученных значений параметров функции оптимизации

> assign(r);

> sz := 10(x1 - 2); t := 10x2; h := 10x3

sz := .01839322591 t := 4.500000000 h := 1.421374450

Принимаем

> sz := .018; t :=4.5; h := 1.42

Рабочая длина протяжки 1.04 tz„

> lp :=

С

2 sz

lp := 260.0000000

Рассчитанные параметры протяжки являются наилучшими в сравнении с параметрами, вычисление которых производилось по общепринятой методике. Так, длина режущей части протяжки при оптимизационном расчете составила 260 мм, в то время как при общепринятом расчете - 400 мм. На рис. 1 приведен чертеж протяжки с оптимальными параметрами, выполненный в системе АШоСАО 2000.

Рис. 1. Чертеж протяжки с оптимальными параметрами Литература

1. Руководство по курсовому проектированию металлорежущих инструментов: Учеб. пособие /Под общ. ред. Г.Н. Кирсанова. - М.: Машиностроение, 1986. - 288 с.

2. Аладьев В.З., Шишаков М.Л. Автоматизированное рабочее место математика. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. - 752 с.

Получено 21.03.2002 г.