Автоматизация исследования неленейных непрерывных систем автоматического управления в среде моделирования МАРС Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК УДК 004.94:621.3

Т.Н. Зайченко

АВТОМАТИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В СРЕДЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ МАРС

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Введение

Одним из уровней проектирования сложных систем является функциональное проектирование, математический аппарат которого базируется на теории автоматического управления и регулирования. Наибольшее применение в области автоматизированного моделирования технических систем, в том числе систем автоматического управления (САУ), получила сис-. тема МАТЬАВ/ЗтиНпк [1]. К отечественным разработкам, реализующим моделирование САУ на языке структурных схем, относятся программы МВТУ [2], СХЛЖй'С [3], МИК-АЛ [4] и среда (система) автоматизированного моделирования МАРС (версия для ПЭВМ и операционных систем 1¥т<1оц1$ МТ4, 2000, ХР, 98) [5; 6, с. 24-28], разработанная на кафедре теоретических основ электротехники Томского госуниверситета систем управления и радиоэлектроники (ТУ СУР).

Модели реальных технических систем в большинстве случаев являются нелинейными либо за счет входящих в состав систем нелинейных элементов, либо в связи с имеющими место и требующими отражения в модели нелинейными физическими эффектами. В настоящей статье представлены концепция и инструментальные средства автоматизированного моделирования нелинейных непрерывных САУ с сосредоточенными параметрами в среде моделирования МАРС. С этой целью рассмотрены концептуальная модель автоматизации моделирования нелинейных САУ в системе МАРС, особенности моделей нелинейных элементов САУ и приведены примеры формализованного представления и моделирования САУ.

1, Концептуальная модель автоматизации

моделирования нелинейных САУ

Теоретические основы автоматизации

моделирования нелинейных САУ

Нелинейная САУ содержит нелинейные элементы и линейную часть. Основными нели-

нейными элементами САУ являются однозначные и многозначные статические и динамические нелинейности непрерывного и релейного типа [7, 9]. Исследование линейных САУ осуществляется во временной и частотной областях.

Математический аппарат исследования нелинейных САУ в базируется на преобразованиях Фурье и Лапласа и методе гармонической линеаризации, обеспечивающем получение аналитического вида эквивалентной передаточной функции (ПФ) нелинейного элемента. Так, если линейная часть САУ обладает свойствами фильтра, то для входного сигнала нелинейного звена х = xq + х^; х„ = a sin cot периодический

выходной сигнал у, в котором учтена только первая гармоника, согласно разложению в ряд Фурье имеет вид:

.V - Л/2 + Ay cos cot + i?i sin cot.

Для несимметричных колебаний (х0 ф 0 ; Ад э* 0 ):

У = Fo(xo>a)

q'(a,x0) Я(а, х0) +-------— р

со

В, . А, где д(а) = —, С! (а) = — - коэффициенты гар-а а

ионической линеаризации; а, щ- амплитуда и частота первой гармоники колебаний. Для несимметричных колебаний неприменим принцип суперпозиции [2, 3].

В случае симметричных колебаний (А^ =0;

х0 =0; х-х^) выполняется принцип суперпозиции: результирующая ПФ IV (а, а), р) является произведением ПФ линейной части 1Ул(р) и гармонически линеаризованной ПФ нелинейного звена Шн (а, т, р). В общем случае ПФ нелинейного звена имеет.вид

( ч с/(а,т)

Шн (<з, со, р) ~ д(а, со) +--р .

со

Графическое представление результатов анализа САУ во временной области основывается па методе фазового пространства и визуализации поведения САУ в виде фазовых траекторий и фазовых портретов (совокупность возможных форм переходных процессов в системе при любых начальных условиях), интегральных кривых (фазовая траектория в пространстве, где третья ось — ось времени) [7, 9].

При исследовании свойств САУ в частотной области строятся графики частотных характеристик. Для проверки критериев устойчивости могут использоваться модифицированные комплексные частотные характеристики: IV^,,(_/'©),

где 0'&) = (і®) ’

Іт1¥м(]а>) ~ озїтЖ^^со) для критерия В.М. Попова; -И', (у'ю), для критерия

Л.С. Гольдфарба.

Моделирование САУ предполагается проводить в системе моделирования МАРС. Методической основой системы МАРС является метод компонентных цепей (КЦ) Е.А. Арайса и В.М. Дмитриева [5]. Ее вычислительное ядро ориентировано на моделирование неоднородных технических устройств, в том числе линейных САУ, во временной и частотной областях.

Модель КЦ САУ является системой уравнений, состоящей из моделей входящих в нее компонентов. Базовой моделью компонента является его модель относительно вход-выходных переменных во временной области. При формировании модели КЦ линейной САУ в системе МАРС в частотной области:

- роль независимой переменной играет круговая частота;

- уравнения моделей компонентов формируются автоматически с учетом перехода к комплексному представлению в соответствии с правилами перехода для линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений [5];

- вектор решения модели КЦ содержит действительные и мнимые части потенциальных и потоковых переменных связей;

- модуль и фаза переменных связей рассчитываются на основании действительных и мнимых составляющих.

Библиотека моделей компонентов для информационного и схемотехнического электронного моделирования линейных САУ в системе МАРС для \yindows [6, с. 24-28] бы-

ла представлена в работе [10, с. 1-7]. В настоящей статье рассмотрены вопросы моделирования нелинейных САУ с нелинейностями статического типа.

Концепция моделирования нелинейных САУ

в среде МАРС во временной области

Вычислительное ядро системы МАРС в рамках моделирования во временной области предусматривает формирование и решение моделей КЦ, включающих нелинейные уравнения относительно переменных связей компонента. Поэтому построение и решение модели нелинейной САУ во временной области не имеет методических трудностей и может быть выполнено без применения метода гармонической линеаризации. Для этого требуется построение компонентов в соответствии с их математическими моделями во временной области, представленными в работах [7, 9].

Пример формирования КЦ для решения задачи расчета фазовой траектории САУ иллюстрирует рис. 1, а. Здесь компонент линейных САУ дифференцирующее звено 011 реализует дифференцирование выходной переменной КЦ исследуемой САУ, условно представленной в виде подцепи 2. Для построения фазовой траектории используются компонент преобразователь координат 3 и компонент графического представления результатов 4.

Компонент-график 4 является компонентом стандартной библиотеки моделей визуальных

компонентов системы МАРС [6, с. 24........28],

предназначенным для визуализации результатов моделирования в форме [рафиков. При этом по оси абсцисс графика откладывается независимая переменная (время при анализе во временной области и частота при анализе в частотной), по оси ординат - переменные связей компонентов. Компонент преобразователь координат первоначально был разработан с целью моделирования статических характеристик электронных и электротехнических устройств, для которых по обеим осям графика должны быть отложены переменные связей. Поэтому на вход пх компонента преобразователя координат (рис. 1, б) поступает переменная, которая откладывается по оси абсцисс графика, на вход пу - переменная, являющаяся его ординатой. Выход иг соединяется с входом компонента графического представления результатов.

ш

а

для действительной и мнимой составляющих выходной переменной связи в модели компонента и для моделей других нелинейностей. Таким образом, в качестве- вычислительной модели нелинейного компонента в частотной области будем рассматривать его амплитуднофазовую характеристику вида:

К, (°) = я(а) + /У(°)

пх

б

Рис, 1. КЦ для визуализации фазовой траектории (а) и компонент графического представления результатов (б)

Фазовый портрет может быть рассчитан и построен либо в режиме многовариантного анализа системы МАРС, либо за счет усложнения КЦ путем включения в нее подцепей САУ для различных начальных условий.

Концепция .моделирования нелинейных САУ

е системе МАРС в частотной области

Стандартный метод автоматического формирования модели КЦ в частотной области, реализованный в системе МАРС [5], применим только для анализа линейных систем. Проблема автоматизации моделирования САУ с нелинейными звеньями возникла уже при моделировании линейных непрерывных САУ со звеном запаздывания, являющимся простейшим нелинейным элементом. Данная задача была решена в работе [10], где было предложено второе компонентное уравнение для мнимой составляющей формировать не автоматически, а непосредственно в модели компонента. В связи с изменением структуры модели компонента звена запаздывания по сравнению со стандартной был модифицирован алгоритм формирования модели КЦ в частотной области для нелинейного компонента в части запрещения автоматического формирования уравнения для мнимой составляющей модели. Соответствующие изменения были внесены в программу формирования модели КЦ вычислительного ядра системы МАРС.

Предлагается использовать аналогичный подход раздельного формирования уравнений

Принципы построения модели

нелинейного компонента

В результате анализа математических методов исследования нелинейных САУ и теоретических основ метода КЦ можно сформулировать принципы построения вычислительной модели нелинейного компонента:

1. Адаптивность - учет режима анализа (временная либо частотная область).

2. Реализация моделей во временной области на основании моделей статических характеристик [7, 9].

3. Реализация моделей в частотной области на основании метода гармонической линеаризации.

3.1. Включение в вычислительную модель уравнений для действительной и мнимой составляющих выходного сигнала в соответствии с коэффициентами гармонической линеаризации, приведенными в работах [7,9].

3.2. Определение амплитуды сигнала на входе нелинейного элемента на основании действительной и мнимой составляющих этого сигнала.

3.3. Учет зависимости коэффициентов гармонической линеаризации от амплитуды в параметре /С/, вычислительного ядра системы МАРС, где К), - класс уравнения модели компонента (нелинейное, линейное с постоянными либо переменными коэффициентами).

4. Разработка визуально-технологического аспекта моделей (условных графических обозначений (УГО)) с учетом их реализации в системе-прототипе МАПАВ.

2. Библиотека моделей

нелинейных компонентов САУ

Компонентами, предназначенными для моделирования нелинейных непрерывных САУ с сосредоточенными параметрами являются

компоненты, реализующие математические операции (математические блоки в системе МмЕаЬ [1, с. 174—199]) и типовые нелинейности САУ. Каждый компонент в системе МАРС имев!' свое формализованное представление в виде УГО со связями. Связи компонента являются информационными, а вход-выходные переменные связей - потенциальными.

Раздел компонентов математических блоков Раздел компонентов математических блоков, реализованных в системе МАРС, представлен на рис. 2. В него входят компоненты,

Структура Компоненты ( Сеойст&а з

зр САУ Математические блоки ш Константа 21 Константа комплексная Вектор

Сумматор (2 входа)

Сумматор М-еходобой Сумматор Неходовой со знаками Умножитель (2 входа)

Умножитель ^-входовой со знаками Пропорциональное звено Элементарные функции Тригонометрические функции Модуль Знак,

Округпение Отношение Логические операции Представление комплексных чисел Преобразование комплексного числа Преобразование комплексного числа Поиск минимума/максимума

I И

I

г

0

0

н

Е

ш

из

ЕЗ

<!

"■■-у

И

реализующие простейшие математические операции - алгебраические и логические. Ряд компонентов - элементарные и тригонометрические функции, операции округления, отношения, логические операции - предусматривает выбор типа функции либо операции. Компоненты сумматоры и логические операции имеют произвольное число входных связей. Представленные в данном разделе компоненты, реализующие нелинейные операции, предназначены для моделирования САУ •только во временной области.

Ш'-

-1Й >11

Ч-ЕГЬ <Ж

ес]1

Воо11

Г мэ

Ке!гл | "О Ре1гп , 1 т

а б

Рис. 2. Раздел библиотеки математических операций (а) и УГО компонентов (слева направо и сверху вниз) (б)

Раздел нелинейных компонентов Раздел нелинейных компонентов представлен типовыми статическими нелинейностями, применяющимися при моделировании нелинейных САУ (рис. 3). Компоненты не имеют топологических и математических сложностей, за исключением особенностей математического аспекта, связанных с неоднозначностью, кусочно-линейным и релейным характером нелинейностей.

Это не составляет принципиальных трудностей при реализации вычислительных моделей компонентов. В качестве математических моделей неоднозначных нелинейностей использовались модели, представленные в работах [7, 9].

ГтруктурЗ КС V: Л С

Г~~

П САУ Не/,

J Идеальное ре”е

и

1'""* г;*V-".1О!: 'ч'ё' К^'М-С-'И гч‘. ~»у;:К

ЛК>фт в Гисге^с:

Г* Н-с. Л, "Н~ Г' ОСт о 1

СЗ нел.-ие^-остъ

ы........

Рис, 3, а.

Г

,*133x1

13

/7

<1 О- —г- -о

о---------------------о

у-

У

±г

.л]

Рис. 3, 6.

Рис. 3, Раздел библиотеки нелинейных блоков (а) и УГО компонентов (б)

3, Проверка корректности моделей

Представленные на рис. 4-6 тестовые примерь! демонстрируют способы построения К.Ц САУ и корректность разработанных в настоящей работе моделей звеньев. Проверка корректности разработанных для системы МАРС моделей звеньев нелинейных САУ производилась путем сравнения с результатами аналитических расчетов.

Система МАРС допускает два способа представления результатов моделирования [6, с. 24-28): на панелях измерительных приборов и на графике. Первый способ удобен при организации виртуального эксперимента, а второй - при решении задач научно-исследовательского характера, отладке и тестировании моделей компонентов и алгоритмов анализа, поэтому он применяется в настоящей работе.

Пример 1. Моделирование однозначных нелинейностей. На рис. 4, а изображена КЦ для моделирования типовых однозначных статических нелинейных звеньев во временной области - ограничения 1, релейной без зоны нечувствительности 2, релейной с зоной нечувствительности 3. Входной сигнал х задан источником синусоидального воздействия 4. Для проверки корректности моделей нелинейностей результаты расчетов удобно представить в форме их статических характеристик. Для этого выходные сигналы у\, у2, уг измеряются измерителями потенциальных переменных 5 и совместно с входным сигналом х подаются на входы компонентов преобразователей коорди-

нат 6 и визуализируются в графическом виде компонентом-графиком 7. Результаты расчета характеристик компонентов 1, 2, 3 представлены на рис. 4, б (кривые /, 2, 3 соответственно) и свидетельствуют о корректности моделей.

..(и)

VI

-Ш * 1-....1 У*-1

7

Рис. 4, а.

У\> У2-, Уз

в

ш.

У'

-3

-4

■10

■2 Ю 2 4

Рис. 4. б,

10 X

Рис. 4. Компонентная цепь (а) и результаты моделирования (б) типовых однозначных нелинейностей

Пример 2. Моделирование многозначной нелинейности. На рис. 5, а изображена КЦ для моделирования во временной области многозначной статической нелинейности типа люфт

1. Входной сигнал х, так же как и в предыдущем случае, задан источником синусоидального воздействия 2. Для проверки корректности моделей нелинейности результаты расчетов представлены в виде статической характеристики (рис. 5, б) и во временной области в форме временных диаграмм входного и выходного сигналов (рис. 5, в).

Рис. 5, Компонентная цепь (а) и результаты моделирования (б, в)

Пример 3. Моделирование нелинейной СА У Па рис. 6 представлена КЦ для моделирования нелинейной САУ, состоящей из линейной части

4

с ПФ вида УУя(р)~------------- и нелинейного

Р(Р +1)2

идеального реле с единичными уровнями сигнала на выходе при включенном (у = 1) и выключенном (у = -1) состояниях [9, с. 559].

Аналитические расчеты в соответствии с методом гармонической линеаризации предсказывают существование в данной системе предельного цикла, при котором выходной сигнал опре-

/ \ 8 •

деляется выражением г(/) —нпл/. то есть

71

ожидаемая амплитуда колебаний равна 2,55, а период - 6,28 с [9, с. 559]. Результаты моделирования в системе МАРС (рис. 6, б, в) показали аналогичный результат.

Пример 4. Моделирование нелинейного компонента в частотной области. Данный пример иллюстрирует работоспособность методики моделирования нелинейных САУ в частотной области. На рис. 7, а представлена КЦ для моделирования нелинейного компонента типа реле с зоной нечувствительности (гистерезис), имеющего порог срабатывания

0,5 и единичные сигналы на выходе при включенном (у = I) и выключенном (у = -1)

состояниях. Рассчитанная в системе МАРС амплитудно-частотная РУ и фазо-частотная ср характеристики при различных значениях амплитуды а входного сигнала приведены на рис. 7, б.

Заключение

В настоящей работе рассмотрены теоретические основы автоматизации моделирования нелинейных непрерывных систем автоматического управления с сосредоточенными параметрами в рамках метода КЦ и системы автоматизированного моделирования МАРС.

Сформулированы принципы построения вычислительной модели компонента для моделирования во временной и частотной областях.

Разработана библиотека моделей компонентов для моделирования нелинейных непрерывных САУ в системе МАРС. Выполнены проверки корректности моделей во временной области и работоспособности методики моделирования в частотной области.

Разработанные инструментальные средства, могут быть использованы в научной работе и в учебном процессе при организации виртуальных лабораторных работ по курсу «Теория автоматического управления».

X Мілп’ісміміі і ці гі*ма Упогивие Жгоникш

ш

13-®-

Чи.

^ 1М~1—ГаП—гаГН^-С

1¥л{р)

н

сіу

X, V

\.г I и I

1.4 I

"Ь1.

-и

*2 1 ■и

/>25.1924 у*2.59В39 / ''і

л ул________________________,/ \

\ /'

,,х,_

/ V

\ /

\

\ /

£ 3

12

15 16 21 1

в

Рис. 6. Компонентная цепь (а) и результаты моделирования нелинейной САУ

згЛ с

Л

І/'

Ч-

<и)

1.1

Iі

-і ■ и .

а, ¥

ш

<р, рад

Є.5

;ь 1К :к «■ ;сс к: со, рад

б

Рис. 7. Компонентная цель (а) и результаты моделирования (б) реле с зоной нечувствительности в частотной области

Литература

1. Дьяконов В. Simulink 4. Специальный справочник, СПб., 2002,

2. http://energy. power, bmstu.ru/mvtu/.

3. Имаев Д.Х., Ковальски 3,, Яковлев В.Б. и др, Анализ и синтез систем управления. СПб., Гданьск, Сургут, Томск, 1998,

4. Колганов А.Р., Таланов В.В. Компьютерный комплекс имитационного моделирования динамических систем: Практ. пособие. Иваново, 1997.

5. Арайс Е.А., Дмитриев В.М. Моделирование неоднородных цепей и систем на ЭВМ. М., 1982,

6. Дмитриев В.М., Шутенков А,В., Ганджа Т.В, Архитектура универсального вычислительного ядра для реализации вир-уальных лабораторий II Приборы и системы. Управление, Контроль, Диагностика, 2004. № 2.

7. Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления, М., 1971,

8. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления, М., 1988.

9. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М., 2001,

10. Зайченко Т.Н. Автоматизация моделирования линейных непрерывных САУ в системе моделирования МАРС II Приборы и системы. Управление. Контроль. Диагностика. 2004. № 9.

УДК 537.533

В.А. Бурдовицин

ПРОБОЙ УСКОРЯЮЩЕГО ПРОМЕЖУТКА ПЛАЗМЕННОГО ИСТОЧНИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ФОРВАКУУМНОМ ДИАПАЗОНЕ ДАВЛЕНИЙ

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Потребность в электронных источниках, способных обеспечивать генерацию электронных пучков в предварительном вакууме (форвакууме), обусловлена возможностью распространения электроннолучевых методов обработки материалов в ранее недоступную область. Серьезным стимулом к разработке подобных источников стали сообщения о применении электронных пучков для инициирования плазмохимических реакций [1, с.

46]. Цель настоящей работы состояла в исследовании физических явлений, сопровождающих генерацию плазмы и эмиссию из нее электронов, а также формирование электронного пучка в интервале давлений газа 0,01-0,1 Тогг.

Особенность указанного диапазона давлений состоит в повышенной вероятности электрического пробоя промежутка ускорения электронов. Это обстоятельство и определило круг и задачи исследований.

Схематическое изображение источника электронов представлено на рис. 1. Эмитирующая электроны плазма образуется в разряде с полым катодом 1 и анодом 2. Ускорение электронов осуществляется в промежутке: ускоряющий электрод 3 - эмиссионное окно 4, перекрытое сеткой или диафрагмой с эмиссионными отверстиями. Электроды источника

располагаются на изоляторах 5, 6. Электронный пучок 7 улавливается коллектором и измеряется прибором, включенным в его цепь. Регистрация пробоя производилась по резкому возрастанию тока в цепи питания ускоряющего промежутка и одновременному падению напряжения на промежутке. Дополнительным признаком пробоя служило исчезновение пучка.

Рис. 1. Схема плазменного электронного источника