CC BY
37
пространство абсолютно непрерывных функций и: [0, Т] —> Лг с квадратично суммируемой производной (й € ЬТ2). Обозначим 0(5) = Ф(з) + J Ф(т)С'г(т, в) (1т, где п х п-матрица Ф определя-
Гт
ется представлением вектор-функционала £, (.х = Фж(0) + / Ф(8)х{з)(1з. Пусть, далее, С: Ьт2 —■►
Jo
кегЛ - оператор Грина вспомогательной задачи С\и = г, Хи = 0; оператор В определим равенством В = ВС. Критерием разрешимости задачи (1)-(4) является обратимость матрицы М = т
[6*0] (в) [#*0] (я)^ (т - символ транспонирования). Эффективная проверка условия
беЬМ ф 0 требует построения достаточно точного приближения С(£, з) для матрицы Коши С(£, я) с гарантированной оценкой погрешности.
В докладе представлены приемы и алгоритмы такого построения [3, 4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Максимов В. П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения.
1977. Т. 13. № 4. С. 601-606.
2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.
3. Maksimov V.P., Munembe J.S.P. On the question of enclosing solutions of linear functional differential systems //
Memoirs on Diff. Equat. and Math. Phys. Tbilisi: GSI, 1997. № 12. P. 149-156.
4. Румянцев A.H. Доказательный вычислительный эксперимент в исследовании краевых задач. Пермь: Изд-во
Перм. ун-та, 1999. 174 с.
АВТОКОЛЕБАНИЯ ПРИ ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ РЕЗАНИЕМ
© В.Н. Матвеев (Ярославль)
Постановка задачи. Пусть при перемещении резца вдоль обрабатываемой поверхности отделяемая стружка вытесняется плоскостью резца в направлении оси ОХ. В работах [1 - 2] показано, что колебания резца в плоскости ХОУ могут быть описаны следующей системой уравнений:
х"{г) + ац'(0 + а2хЦ) = -к^хЦ - ;)» (1)
V + у V + у + X
у"(*) + + @2 2/(0 = -к2ьх(г---^Ц). (2)
V + X
Здесь х(£), ?/(£) - отклонения, соответственно, координат ж и у от положения равновесия (х(£) -изменения толщины снимаемого слоя); с*1, а2, (32 ~ коэффициенты демпфирования и жесткости
вдоль соответствующих осей. Правая часть в (1) есть отклонение проекции силы резания на ось ОХ - она пропорциональна скорости резания V. Запаздывание в (1) вызвано тем, что в срезаемом материале перед резцом возникает микротрещина длины ц\, а также усадкой стружки на величину
/г2 при трении последней о резец. Запаздывание в (2) также вызвано последней причиной. При этом считается, что усилие, связанное с продолжением трещины или образованием ее в новом месте, мало по отношению к силе трения стружки о резец. Ставятся задача об исследовании на устойчивость нулевого положения равновесия системы (1 - 2) в зависимости от скорости резания г, задача о выяснение условий возникновения автоколебаний в зависимости от коэффициентов системы (1-2) и задача приближенного расчета автоколебаний.
Основные результаты.
Будем называть зонами неустойчивости те значения параметра V, при которых нулевое положение равновесия теряет устойчивость.
Теорема. Зон неустойчивости конечное число. Границы зон неустойчивости определяются из уравнений: _________________________
кх сое(т2т/х) + у/к% сое2(т2т/х) -I- 4а2г|т
у2т — 9 2 ’ V3)
2т
к\ cos(T2m+ifi) + yjk\ cos2(T2m+i/x) + 4a2r|m+1
^2т + 1 — 0 о » (^)
2m+ 1
m = 0,1,..., n.
Здесь /г = /ii + д2, a Tj есть j-й корень уравнения
■ r \ QlT «гп(г|х) = —,
причем при 0 < г’ < Го нулевое решение системы устойчиво.
Пусть теперь v = г’о(1 -Не) , £ > 0. Тогда при достаточно малых a i и/i в системе возникают колебания вида
x(t) = ./-^-cos u;nt,
где 62 > 0, а 4п = тпуп.
Отметим, что величина 62 имеет тот же порядок, что и ц. Это означает, что даже при малых е в системе могут возникнуть колебания с заметной амплитудой, которая возрастает с увеличением скорости резания. Отмечено также, что увеличение коэффициента «1 не приводит к увеличению зоны спокойного резания. При определенных соотношениях между с*1 и /г возможно возникновение автоколебаний на докритических режимах резания. В этом случае может возникнуть ситуация, когда наряду с устойчивым нулевым положением равновесия рождается устойчивый предельный цикл вида
~^2 + \/£>2 ~ 4б4е ж(£) = у----------^---------со8и;п£,
где V = г’о(1 — е), а 64 < 0.
Такую ситуацию называют обычно жестким режимом возбуждения автоколебаний. Не приводя громоздких формул для вычисления Ь2 и 64, отметим, что для исследования задачи ис пользовался метод, развитый в [4] .
ЛИТЕРАТУРА
1. Элъясберг М.Е. Об устойчивости процесса резания металлов // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 9.
2. Элъясберг М.Е. Основы теории автоколебаний при резании металлов // Станки и инструменты. 1962. № 10.
3. Кедров С.С. Колебания металлорежущих станков. М.: Машиностроение, 1978.
4. Колесов Ю.С. Гармонические автоколебания дифференциальных уравнений п-го порядка с последействием //
Вестн. Ярослав, ун-та. Ярославль, 1974. Вып. 7.
