CC BY
18
ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ НАУКИ
Аттракторный подход к исследованию изменчивости уровня
Баренцева моря Шилов И. О.
Шилов Игорь Олегович /Shilov Igor Olegovich - кандидат географических наук, доцент,
кафедра океанологии, Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург
Аннотация: в статье предлагается подход, базирующийся на теории нелинейных динамических систем для исследования особенностей изменчивости альтиметрического уровня Баренцева моря.
Ключевые слова: Баренцево море, спутниковая информация, альтиметрический уровень моря, теория нелинейных динамических систем, аттрактор изменчивости.
В последнее время все большее число исследований обнаруживают сложное поведение в системе океан-атмосфера, сочетающее в себе признаки детерминированной и хаотической динамики [1, 6]. При всей её сложности и отличии от других систем различной природы (физических, технических, биологических, социальных), она характеризуется общими признаками, среди которых определяющими являются открытость, диссипативность и нелинейность [5]. Указанные особенности позволяют отнести процессы, происходящие в океане, к классу диссипативных нелинейных динамических систем.
Временные ряды, порождаемые диссипативными динамическими системами, зачастую демонстрируют стремление системы выйти на определенный режим функционирования, который проявляется в виде аттрактора (или «странного аттрактора», в более сложном случае) в фазовом пространстве.
Изучение формирования аттракторов океанологических процессов и их свойств позволит выявить соотношение детерминированной и хаотичной динамики, исследовать роль нелинейности (на основе исследования особенностей фазового пространства и фазового портрета), выявить возможности перехода системы на новые режимы функционирования (посредством исследования точек бифуркаций), что важно с точки зрения не только диагноза, но и прогноза процесса.
Основные математические подходы к исследованию свойств аттракторов развиты в теории нелинейных динамических систем и фрактальных множеств [3]. Они представляют широкий набор методов, включая восстановление аттрактора в фазовом пространстве, вычисление показателей Ляпунова, обобщенных размерностей и энтропий. Возможность и эффективность исследования формирования и эволюции пространственных структур, с одной стороны, и порождаемых ими временных рядов, с другой стороны на основе аттракторного подхода, использующего методы нелинейной динамики, применительно к гидрометеорологическим процессам продемонстрирована в работе [7].
В настоящей работе предлагаемый подход, базирующийся на теории нелинейных динамических систем, применялся для исследования особенностей фазового пространства и фазовых портретов изменчивости уровня Баренцева моря, полученных на основе спутниковой альтиметрической информации.
Альтиметрическая информация представлена временными рядами с дискретностью 7 суток и продолжительностью 9 лет: с 1992 по 2011 гг., которые подготовлены на основе спутниковых полей уровня, публикуемых в Интернете в рамках международного проекта AVISO [9]. Временные ряды отклонений уровня сформированы в узлах одноградусной сетки для всей акватории Баренцева моря.
Анализ функции спектральной плотности, рассчитанной в стационарном приближении, свидетельствует о полимодальности рассматриваемого процесса. Характерной чертой спектров является доминирование сезонных колебаний с периодом 12 месяцев. Наряду с годовым ритмом также хорошо выражены полугодовые колебания. В некоторых случаях спектры имеют полимодальный вид, характеризующийся наличием субгармоник годового цикла более высокого порядка. В высокочастотной области (на масштабах меньше сезонных колебаний) спектры имеют вид, соответствующий «цветному» шуму.
Указанные особенности функций спектральной плотности предопределяют сложный характер фазовой картины исследуемого процесса, сочетающего детерминированную и хаотическую составляющие. Временные ряды, соответственно, можно рассматривать, как реализации маломодовой нелинейной динамической системы с хаосом.
Для построения фазовой картины (реконструкции фазовой траектории) динамической системы, порождающей исследуемые временные ряды, использовалась процедура вложения. Основанием для такого подхода является теорема Такенса, в которой была доказана возможность восстановления (реконструкции) фазового портрета аттрактора по временному ряду [10]. Внедренная размерность т и время задержки Т - это параметры, необходимые для корректной реконструкции аттрактора.
На основе расчета корреляционной функции и функции средней взаимной информации определено оптимальное время задержки, для корректной реконструкции аттрактора.
Для оценки внедренной размерности т использовались два подхода: первый, состоит в нахождении ближайших «ложных соседей» на траекториях аттрактора, второй - в вычислении корреляционной размерности (корреляционного интеграла), используя алгоритм Грассерберга-Прокаччиа и оценивая внедренную размерность с использованием теоремы о вложении (Мане) [2, 3]. Второй подход при оценке размерности фазового пространства по экспериментальным данным основан на вычислении корреляционной размерности Б2 через расчет корреляционного интеграла [2].
Размерности фазового пространства, полученные на основе корреляционного интеграла, исследуемых временных рядов лежат в интервале от 5 до 10. Тот факт, что размерность фазового пространства (т) превышает 3, свидетельствует о возможности возникновения хаотичной динамики.
На Рис. 1. представлен пример отображения реконструированного по временному ряду аттрактора на плоскость.
30 ООО 25 ООО 20 ООО 15 000 10 ООО 5 000 О
-5 ООО -10 ООО -15 ООО -20 ООО -25 ООО -30 ООО
-30 000 -20 000 -10 000 0 10 000 20 000 30 000
Рис. 1. Реконструкция аттрактора по временному ряду альтиметрического измерения уровня Баренцева моря в точке с координатами: 73 с.ш.,
Вид всех, рассчитанных по временным рядам альтиметрического уровня Баренцева моря, фазовых траекторий свидетельствует о формировании аттрактора (а не предельного цикла, как в случае чисто детерминированного сигнала). Сложно говорить об упорядоченности фазовой структуры. Возможно, это связано с высоким уровнем зашумленности сигнала, с одной стороны, и полицикличности процесса, приводящего к нелинейным взаимодействиям между модами колебаний, с другой.
Полученные оценки корреляционной размерности говорят о сложности реконструированных аттракторов, которые имеют дробную (фрактальную) размерность.
Более детально свойства аттрактора исследовались на основе использования таких характеристик как корреляционная энтропия и показатели (экспоненты) Ляпунова [2], что позволило оценить хаотичность временных рядов. Расчет корреляционной энтропии показал, что для всех временных рядов с ростом размерности фазового пространства т ее значения монотонно снижаются и стремятся к предельным значениям, которые характеризуют степень хаотичности исследуемого процесса. Полученные результаты свидетельствуют, что временные ряды находятся в режиме странного аттрактора, а присутствующий во временных рядах хаос является слабо детерминированным. Показатели Ляпунова были рассчитаны для различных размерностей фазового пространства, чтобы исследовать устойчивость полученных оценок.
Полученные положительные значения старшего показателя Ляпунова (Х^) свидетельствуют о наличии хаотичности во всех исследуемых рядах. Величина размерности Каплан-Йорке подтверждает фрактальность фазового пространства.
Некоторые временные ряды демонстрировали гиперхаотичность. Об этом свидетельствуют положительные значения второго показателя Ляпунова. Наличие гиперхаотичности во временном ряде приводит к сложному виду фазовой траектории (хаотического аттрактора) в двухмерном пространстве.
Обобщая полученные результаты, следует отметить, что предлагаемый подход к анализу изменчивости уровня Берингова моря, базирующийся на теории нелинейных динамических систем, позволяет установить их динамическую сущность, которая состоит в сочетании детерминистического и хаотичного
поведения. Изменчивость исследуемых временных рядов в большинстве случаев являет пример маломодовой хаотичной динамики.
Литература
1. Дымников В. П., Лыкосов В. Н. Проблемы моделирования климата и его изменений // Институт вычислительной математики РАН. М., 2003.
2. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Изд-во физико-математической литературы, 2001. 296 с.
3. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М. Изд. УРСС, 2000. 250 с.
4. Пригожин И., Гленсдорф П. Термодинамическая теория структур, устойчивости, флуктуаций // М.: Мир, 1973.
5. Сеидов Д. Г. Синергетика Океанских процессов // Л.: Гидрометиздат, 1989. 287 с.
6. Хэнк А. Дийкстра. Нелинейная Физическая океанография // М. Ижевск. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». Институт компьютерных исследований, 2007. 680 с.
7. Шилов И. О. Аттракторный подход к изучению пространственно-временной изменчивости гидрометеорологических процессов и полей // Изв. РГО. Том 143. Вып. 1, 2011. С. 49-67.
8. Шустер Г. Детерминированный хаос. М. Мир, 1988.
9. AVI S O/Altimetry, "AVISO User Handbook for Merged TOPEX/POSEIDON products" // AVI-NT-02-101, Edition 3.0, 1996. [Electronic resource]. URL: http://www.aviso.oceanobs.com/ (date of access: 27.10.2016).
10. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // In Dynamical Systems and Turbulence, edited by D. A. Rand and L.-S. Young. Berlin: Springer, 1981. P. 366-381.
