∑δ-ацп: Синтез одноконтурных структур Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.3.087.92

Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов, В. Н. Ашанин ХЛ-АЦП: СИНТЕЗ ОДНОКОНТУРНЫХ СТРУКТУР

Данная статья является первой из серии статей, посвященных синтезу структур £Л-АЦП. в ней излагаются основные концепции построения £Л-АЦП, приводится пояснение терминологии, используемой в зарубежных источниках. £Л-АЦП рассматриваются как разновидность класса гетерогенных непрерывно-дискретных систем (НДС), включающих как аналоговые, так и цифровые элементы. На простом примере излагается предлагаемая методика синтеза структур £Л-АЦП.

Введение

На рубеже 1980-1990 гг. в области высокоточных АЦП произошла смена поколений. Интегрирующие АЦП (ИАЦП) с промежуточным преобразованием в ШИМ-, ЧИМ- и ФИМ-сигналы были в значительной мере вытеснены ИАЦП с импульсно-разностной модуляцией, получившими краткое наименование £А-АЦП [1, 2]. Их отличительными особенностями являются высокая точность (число разрядов от 16 до 24) и возможность изготовления по технологии цифровых интегральных микросхем, чем обусловлена их сравнительно низкая стоимость. Производством £А-АЦП занимаются зарубежные фирмы («Analog Devices», «Burr-Brown», «Intersil», «Texas Instruments» и др.). Основные концепции построения £А-АЦП (понятия передискретизации, шейпинга шума квантования, децимации), разновидности структур (многоконтурные и каскадные), математические модели изложены в серии статей [3-6]. ^А-АЦП относятся к нелинейным импульсным замкнутым системам, чем обусловлены сложности их анализа и синтеза. В данной и последующих статьях предлагаются методика и примеры синтеза структур ^А-АЦП различной сложности. В основе методики лежит эквивалентность динамических характеристик цифровой (т.е. нелинейной) системы и соответствующей ей линейной импульсной системы при предельном уменьшении ступени квантования.

1. Основные понятия и терминология

Для пояснения терминологии, относящейся к непрерывно-дискретным системам (НДС) и ^А-АЦП, в частности, рассмотрим две функциональные схемы ИАЦП (рис. 1,а и 2,а). Первая соответствует реализации ^А-АЦП, вторая - ИАЦП с промежуточным преобразованием в ЧИМ-сигнал. Схема (рис. 1,а) включает сумматор, интегратор Инт, компаратор (операционный усилитель ОУ) выходного напряжения интегратора с нулевым уровнем, тактируемый триггер ТТ, цифровой фильтр ЦФ, на выходе которого формируется результат преобразования, генератор импульсов дискретизации ГИД, источник опорного напряжения ИОН.

Алгоритм преобразования поясняется временной диаграммой на рисунке 1,б. Всякий раз, как выходное напряжение интегратора пересекает нулевой уровень, происходит переключение полярности опорного напряжения в первый после срабатывания устройства сравнения тактируемый с помощью ГИД момент времени.

а)

^Игид(0

лш

(Ч 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 : : { 11 11 11 11 11 11 ** 1 ! г :

гн ! ! ■ | 1 . ■ | {) \! ! 1 V Л | «и(0 и 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 г а— г 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ^

/ ! 1 \ ! ! Ч(д!! 1 1 1 1 ! \^\ II 1 IX II 1 I ■ II II II II II II II II 1 1 1 I ^ г ] 1 ]

^«цап® (К— ] г

б)

Рис. 1

Диаграмма (рис. 1,б) отображает процессы в ИАЦП для случаев преобразования входного напряжения как положительной, так и отрицательной полярности. Согласно концепции построения ^А-АЦП [1, 2], совокупность узлов ОУ+ТТ, заключенная в прямоугольник, рассматривается как малоразрядный (в данном случае - 1-разрядный) АЦП (МАЦП). По аналогии узлы, заключенные во внешний прямоугольник, уместно называть малоразрядным ИАЦП (МИАЦП). Выходной код МИАЦП в каждый тактируемый импульсами ГИД момент времени поступает на цифровой фильтр. В этой связи принято говорить о передискретизации входного сигнала, поскольку частота импульсов ГИД существенно превышает частоту, минимально необходимую по теореме отсчетов. В простейшем случае цифровой фильтр может быть выполнен в виде сумматора выходного кода МИАЦП. Этот процесс принято интерпретировать [1, 2] как децимацию (прореживание) отсчетов выходного кода МИАЦП, т.е. возврат к дискретизации входного сигнала с частотой, отвечающей теореме отсчетов. Основное назначение ЦФ состоит не только в децимации отсчетов, но и в существенном снижении специфической погреш-

ности ИАЦП. Эту погрешность в зарубежных источниках принято называть погрешностью квантования. При рассмотрении процесса преобразования во временной области ее происхождение более точно выражает название погрешности от краевых эффектов. Действительно, идеальное преобразование предполагает точное равенство интегральных значений входного напряжения и импульсов с выхода ЦАП за время преобразования Тп. Но, как видно из временной диаграммы, имеет место не равное нулю значение разности Аыи = Ыи(гк) - Ыи(гн) выходного напряжения интегратора в начале и конце интервала Тп. Уравнение преобразования с учетом погрешности от краевых эффектов, очевидно, имеет вид

1 \ 1 \ 1 \ и оДТ

— I Ых (})& I Ыцап (1)& = Дыи или — I Ых (})&----------= Дыи , (1)

т т ^ т ^ т

^н ^н ^н

где АТ - разность сумм интервалов времени, соответствующих присутствию на выходе ЦАП значений +ио и -ио. Из уравнения (1) следует

і 'к Д

— Г их (' )сЪ------------------------------------------------------------------------------------^ т. (2)

ДТ =

ио /х ио

1н

Обозначив через их среднее за интервал Тп значение входного напряжения и поделив обе части выражения (2) на шаг дискретизации Тд, для выходного кода ^А-АЦП получим:

их Ди„ т

у0 '

0 ио иоТд

где Ко = Тп/Тд .

Для оценки ее максимального значения предположим, что в момент гн - Тд выходное напряжение интегратора отрицательно и близко к нулю, а входное напряжение равно +ио. Тогда к моменту гн оно достигнет значения

ыи Он ) = 2иоТд/т . (4)

Пусть также в момент гк - Тд выходное напряжение интегратора положительно и близко к нулю, а входное напряжение равно -ио. Тогда к момен-

ту гк оно достигнет значения

ыи Ок) = ~2и оТд/т. (5)

В этом наихудшем случае имеем

Дыи = Ыи (^к) Ыи (^н ) = 4иоТд/т . (6)

Подставив это значение в выражение (3), получим

Ях = Ко ^ - 4. (7)

и о

Таким образом, называть рассматриваемую погрешность погрешностью квантования не совсем корректно, т.к. значение погрешности квантования никогда не превышает единицы младшего разряда выходного кода АЦП.

В зарубежных источниках принято рассматривать проявление этой погрешности в частотной области. При этом ее источником считается некий внешний эквивалентный шум, аддитивно воздействующий на идеальный процесс преобразования, что вполне правомерно, т.к. согласно выражению (3) погрешность от краевых эффектов носит аддитивный характер и, очевидно, является случайной величиной. Эта погрешность в £А-АЦП уменьшается за счет процессов передискретизации и так называемого шейпинга шума. Передискретизация равномерно распределяет энергию шума по полосе частот от о до половины частоты передискретизации 1/(2Тд), которая существенно выше граничной частоты /Т спектра входного сигнала, тем самым уменьшая энергию той части спектра, которая остается в полосе интереса. Заметим, что при рассмотрении во временной области эффект повышения частоты передискретизации (уменьшения шага Тд) более нагляден. Действительно, согласно выражениям (4), (5) и (6) уменьшение Тд приводит к пропорциональному уменьшению величины Аыи. Под шейпингом шума понимается такое преобразование его спектра, при котором часть энергии шума вытесняется из полосы полезного сигнала. Степень вытеснения шума из полосы полезного сигнала зависит от конкретной структуры ^А-АЦП. В работе [3] показано, что эффект вытеснения шума из полосы интереса имеет место даже в случае простейшей одноконтурной схемы типа, приведенной на рисунке 1,а, в которой используется А-модулятор первого порядка (порядок определяется числом интеграторов в его структуре). Более эффективное подавление шума достигается в сложных структурах с использованием А-модуляторов более высоких порядков (многоконтурных и многокаскадных).

Если рассматривать сигнал ыцдп(0 как выходной, то МИАЦП в схеме (рис. 1,а) реализует так называемую Д-модуляцию (или импульсноразностную модуляцию). На рисунке 2,а,б приведены схема и временная диаграмма работы ИАЦП, в которой МИАЦП реализует частотно-импульсную модуляцию. Компаратор (операционный усилитель ОУ) сравнивает выходное

напряжение интегратора с пороговым уровнем ип. При каждом его срабатывании устройство управления УУ формирует импульс стабильной длительности, фронты которого синхронизированы с выходными импульсами ГИД, замыкая ключ. Тем самым на вход интегратора через ключ поступает компенсирующий импульс стабильной вольт-секундной площади. Величина ее обычно выбирается такой, чтобы частота импульсов значительно превышала граничную частоту полосы входного сигнала (это тоже процесс передискретизации).

Выходной код МИАЦП, как и в ^Д-АЦП, суммируется в цифровом фильтре ЦФ в течение времени преобразования Тп (процесс децимации). Цифровой фильтр, как и в ^Д-АЦП, одновременно снижает погрешность от краевых эффектов (Аыи <> о), подавляя часть спектра шума, выходящую за пределы полосы интереса. Таким образом, процессы передискретизации, шейпинга шума, децимации и фильтрации свойственны и данному ИАЦП, и всем ИАЦП с

передискретизацией, реализующим другие виды промежуточной импульсной модуляции (ШИМ и ФИМ). То есть ^Д-АЦП - это всего лишь разновидность ИАЦП. Это никак не означает, что разработчики ^Д-АЦП ограничились только введением новой терминологии. Появление ^Д-АЦП знаменует собой качественно новый этап в развитии ИАЦП и связано это с разработкой новых более сложных (многоконтурных и многокаскадных) структур и применением более сложных алгоритмов цифровой обработки промежуточных сигналов на этапах децимации и цифровой фильтрации.

а)

Рис. 2

2. Структуры гетерогенных (непрерывно-дискретных) систем

Важнейшей и до конца нерешенной задачей теории ИАЦП и ^Д-АЦП является синтез структур с заданными динамическими характеристиками. Первоначально единственным средством изменения динамических свойств ИАЦП было предварительное (перед интегрированием) умножение входного сигнала на определенного вида весовую функцию (ВФ). Поскольку эта операция выполнялась аналоговыми средствами, практическое применение на-

ходили лишь самые простые (ступенчатые и единичные) ВФ. При использовании ступенчатых ВФ задача сводилась к умножению входного сигнала на постоянные коэффициенты. В случае единичных ВФ операция умножения заменялась включением или выключением входного сигнала в соответствии с текущим значением единичной ВФ. С развитием цифровых средств обработки сигналов стал применяться другой способ реализации ВФ, который предполагает выполнение взвешивания на этапе децимации и цифровой фильтрации. В работе [7] было показано, что в случае четно- или нечетно-симметричных ВФ понятия весовой функции и импульсной переходной функции полностью тождественны. Отсюда следует, что управление динамическими свойствами ИАЦП возможно не только прямым умножением входного сигнала (или его промежуточного аналога) на весовую функцию, но и косвенным образом - путем синтеза структуры, импульсная переходная функция которой равна желаемой весовой функции. Впервые этот прием был предложен в работе [8] применительно к так называемым интегрирующим дискретизаторам, представляющим собой разновидность НДС в виде последовательно включенных нескольких интеграторов, охваченных импульсной обратной связью. НДС имеют в своем составе импульсный элемент, функционируют в дискретном времени и описываются разностными уравнениями, т.е. обладают свойствами систем, более известных как импульсные системы. Теория линейных импульсных систем хорошо развита отечественными и зарубежными учеными [9, Ю]. Она позволяет описать движение любой линейной импульсной системы, которая путем эквивалентных топологических преобразований приводится к каноническому виду. Однако это не относится к НДС, в том числе упомянутым интегрирующим дискретизаторам, которые не приводятся к каноническому виду никакими структурными преобразованиями. Последнее определяет специфику анализа и синтеза подобного рода систем. К нелинейной разновидности этих систем в частности относятся ^Д-АЦП.

Одной из нерешенных задач теории ^А-АЦП является создание адекватной модели ^А-модулятора, которая бы давала возможность не только объяснить концепции передискретизации, шейпинга шума и децимации, но и определить параметры реальной схемы, обеспечивающие устойчивость системы и, по возможности, оценить погрешность от краевых эффектов. Важно заметить, что практически все исследователи (в основном зарубежные) искали решение сформулированной проблемы с использованием либо чисто непрерывной, либо чисто дискретной модели ^А-модулятора. В то же время не вызывает сомнений, что ^А-модулятор по самой своей природе является гетерогенной (непрерывно-дискретной) системой, включающей как аналоговые, так и цифровые элементы. Поэтому и модель ^А-модулятора надо строить в классе непрерывно-дискретных систем.

Если в любой известной структуре ^А-АЦП вместо малоразрядного АЦП применить АЦП с высокой разрядностью, в пределе стремящейся к бесконечности, то он превращается в линейную НДС. Задача синтеза подобных структур тоже не является тривиальной, поскольку, как отмечалось, получающиеся структуры НДС никакими эквивалентными топологическими преобразованиями не могут быть приведены к каноническому виду. В этой связи была поставлена и решена задача создания методики синтеза НДС со структурами неканонического вида. Предполагалось, что решение этой задачи будет первым шагом на пути синтеза структур ^А-АЦП с заданными динамическими харак-

теристиками. Была выдвинута гипотеза о том, что после синтеза структуры НДС при вводе в нее АЦП с конечной разрядностью вместо фиксирующего элемента (т.е. трансформации линейной НДС в ^А-АЦП) будут в той или иной степени сохранены динамические свойства исходной структуры. Результаты исследований подтвердили корректность этой гипотезы и перспективу создания новых структурно-алгоритмических решений ^А-АЦП.

При синтезе ^А-АЦП особое внимание уделялось структурам, реализующим ВФ в виде сплайнов. Такие ВФ, с одной стороны, обеспечивают высокую степень подавления внешних помех и снижения погрешности от краевых эффектов (шейпинг шума), а с другой стороны, реализуются с помощью простых, хорошо отработанных современной технологией динамических звеньев в виде активных интеграторов.

Для того чтобы подойти к пониманию гетерогенной структуры в нужном нам смысле (имея в виду ограничение их классом рассматриваемых систем), необходимо договориться о тех основных звеньях (подсистемах), из которых она состоит. На рисунке 3,а показаны чисто непрерывная и чисто дискретная подсистемы с передаточными функциями Н(р) и И(т) соответственно. Первая осуществляет преобразование Л^Л (аналоги-аналог), вторая -преобразование (цифра^цифра). Здесь и далее полагаем, что дискрет-

ная часть реализует цифровую фильтрацию. Само собой разумеется, что цифровое представление информации одновременно означает дискретность этого представления во времени, хотя дискретная система не обязательно предполагает цифровое представление информации.

г)

Рис. 3

Разомкнутая смешанная непрерывно-дискретная система может иметь вид, показанный на рисунке 3,б,в. Причем такая структура может содержать несколько аналоговых и дискретных звеньев или подсистем. Но в лю-

бом случае на стыке двух разнородных подсистем должен стоять интерфейсный элемент - АЦП (ADC - Analog Digital Converter) либо ЦАП (DAC -Digital Analog Converter). В разомкнутых структурах (рис. 3,б,в) параметры трактов преобразования, разделенных интерфейсами в виде ЦАП и АЦП, не могут назначаться независимо друг от друга. При этом нельзя не учитывать ограничения, обусловленные необходимостью обеспечить «прозрачность» всего тракта преобразования для прохождения входного сигнала на выход с допустимыми искажениями. Еще более сильные ограничения на выбор параметров накладываются при переходе к замкнутым гетерогенным структурам. В этом случае при сохранении требования «прозрачности» приходится считаться с ограничениями (как правило, существенно более строгими), обусловленными необходимостью обеспечения устойчивости и заданного поведения системы.

Замкнутые структуры непрерывно-дискретных систем, в частности £-АЦП, отличаются большим многообразием: они могут быть одно- и многоконтурными, последние - согласно-параллельными и встречно-параллельными. Цепи прямого и обратного преобразования могут включать различные сочетания аналоговых и дискретных (цифровых) звеньев. Многообразие конкретных структур создает проблему их анализа и синтеза. В случае замкнутых импульсных систем [9], т.е разновидности гетерогенных систем, в которых отсутствуют цифровые звенья, эта проблема была решена до уровня разработки стройной теории путем приведения разнообразных структур к каноническому виду с использованием правил структурных преобразований. Структурные преобразования остаются полезным приемом при анализе и синтезе рассматриваемого нами класса гетерогенных систем, однако здесь возникает ряд дополнительных проблем, связанных со спецификой разнородного (аналогового и цифрового) представления информации в различных сечениях замкнутого контура. С учетом этого начнем рассмотрение процессов в одноконтурной замкнутой гетерогенной системе.

С методологической точки зрения весьма полезно представить ее в обобщенном виде, показанном на рисунке 3,г. Чтобы понять, что она обобщает, рассмотрим конкретные примеры. На рисунке 4,а показана функциональная схема так называемого интегрирующего дискретизатора (ИД) [8], выходной сигнал uy(nTJX) которого представляет собой дискретные выборки

интегральных значений аналогового входного сигнала ux(t). Учитывая, что УВХ на рисунке 4,а реализованный как последовательно соединенные запоминающая емкость и повторитель П, без изменения функционирования схемы может быть заменен последовательно включенными многоразрядными АЦП и ЦАП, схему (рис. 4,а) можно представить в виде схемы (рис. 4,б). Отличие состоит лишь в том, что во второй схеме выходная информация представлена не только в аналоговой, но и в цифровой форме uy[n]. В таком виде ее соответствие обобщенной схеме (рис. 3,г) представляется очевидным. Действительно, интегратор в схеме (рис. 4) соответствует аналоговому звену схемы (рис. 3,г) с передаточной функцией H(p) = l/(RiCp). Можно считать, что цифровой фильтр неявно присутствует в схеме (рис. 4), если положить, что H(z) = l.

R2

а)

R2

б)

Рис. 4

В общем случае процессы в ИД по схеме (рис. 4,а) описываются линейным разностным уравнением первого порядка. Равенство т = ^2^ = ТД

соответствует выполнению условия конечной длительности переходного процесса, равного порядку разностного уравнения, в данном случае - одному периоду работы импульсного элемента. Для упрощения понимания работы схемы покажем это уникальное свойство импульсной системы, используя временную диаграмму на рисунке 5.

Пусть на вход ИД в некоторый произвольный момент времени tс подан

скачок входного напряжения их(0 = их и пусть в момент t = 0 имеет место

произвольное начальное значение ии[0] выходного напряжения интегратора. Полагаем, что в момент t = 0 это напряжение было запомнено и сохраняется неизменным на выходе УВХ в течение первого шага дискретизации. Принцип суперпозиции позволяет нам рассматривать отдельно процесс установления начальных условий и процесс отработки входного воздействия. К концу первого шага дискретизации, на который приходится скачок входного напряжения, составляющая выходного напряжения интегратора, обусловленная начальным условием, достигнет значения

1Тд Т

иии (Тд) = и и [0] - - [ и и [0№ = и и [0] - и и [0]. (8)

т т

0

При т = Тд из (8) следует, что уже к концу первого шага дискретизации в системе устанавливаются нулевые начальные условия. Следовательно, в момент t = Тд напряжение на выходе интегратора определяется только входным воздействием их(0 в течение предшествующего шага дискретизации. Таким образом, переходный процесс в системе при выполнении условия (7) действительно заканчивается за один шаг дискретизации. Теперь напряжение иих(ТД), сохраняющееся неизменным на выходе УВХ в течение следующего шага дискретизации, служит как бы начальным условием для интегратора, и, как было показано выше, в момент t = 2Тд составляющая выходного напряжения интегратора, обусловленная составляющей иих(ТД) входного воздействия, равна нулю. Отсюда следует, что на каждом текущем шаге дискретизации выходное напряжение УВХ остается постоянным и равным среднему значению входного напряжения за предшествующий шаг дискретизации, т.е.

тТд V Г

иу [т] = — I их ^]Л, (9)

Тд *

^ (т-1)Тд

где у = / Л - масштабный коэффициент.

При изменяющейся входной величине выходное напряжение ИД представляет собой ступенчатую кривую. Уникальное свойство (конечная длительность переходного процесса) рассматриваемой замкнутой импульсной системы позволяет нам представить ее в виде эквивалентной (по динамическим свойствам) разомкнутой импульсной системы, приведенной на рисунке 6.

Пока предлагаем принять на веру адекватность этой модели реальной схеме (рис. 4,а). Надо понимать, что «лобовая» реализация схемы по структуре (рис. 6) невозможна, т.к. предполагает наличие интегратора с бесконечным динамическим диапазоном выходной величины.

Структуру эквивалентной физически реализуемой системы (см.

- рТ

рис. 4,а) можно получить, разместив звено 1 - е д (конечная разность первого порядка) перед интегратором, как это показано на рисунке 7. При этом в реальной системе можно использовать интегратор с конечным динамическим диапазоном выходной величины.

Рис. 7

На рисунках 8 и 9 приведены Зішиїіпк-модели, соответствующие структурам на рисунках 6 и 7, а на рисунке 10 и 11 - осциллограммы, полученные в результате модельного эксперимента при ступенчатом входном воздействии. Входные и выходные сигналы обеих моделей полностью совпадают. Отличие состоит в том, что в модели (рис. 8) на интегратор поступает ступенчатое воздействие, а в модели (рис. 9) - импульс конечной длительности. При синтезе систем более высокого порядка получаемые структуры также могут оказаться физически нереализуемыми.

Рис. 8

Рис. 9

Важно заметить, что модель (рис. 6) ничем не отличается от модели ИАЦП, в котором реализуется простейшая прямоугольная весовая функция (ВФ). В связи с этим напомним, что для класса симметричных ВФ понятия весовая функция и импульсная характеристика (ИХ) тождественны. Это позволяет при синтезе структур НДС (и £-АЦП с многоразрядными АЦП и ЦАП как разновидности НДС) использовать теорию непрерывных и им-

пульсных систем и, в частности, правила структурных преобразований и условия эквивалентности структур.

Рис. 10

Рис. 11

3. Синтез замкнутых структур НДС

Процесс синтеза замкнутых структур НДС, реализующих заданную частотную характеристику, включает последовательное выполнение следующих этапов:

1. Синтез ВФ (например, по заданным требованиям к АЧХ).

2. Получение передаточной функции (ПФ) по ВФ (применением прямого преобразования Лапласа к ВФ с учетом тождества ВФ и ИХ).

3. Синтез разомкнутой структуры, реализующей полученную ПФ.

4. Переход от разомкнутой структуры дискретной части к эквивалентной замкнутой структуре дискретной части.

5. Объединение непрерывных частей прямого и обратного тракта преобразования (с использованием правил структурных преобразований) и приведение структуры к замкнутому виду.

6. Получение схемной реализации, в которой типовые звенья структуры заменяются реальными схемными элементами.

Поясним поэтапно процесс синтеза на несложном примере структуры (рис. 6).

1. В нашем случае ВФ известна: структура (рис. 6) реализует простейшую ступенчатую ВФ (СВФ) вида

— при 0 < г < Т, Т

0 иначе.

(10)

^ Т

Н (Р) = 18 (г)е-ргёг = -Т |е-ргёг = -Т (1 - е-рТ).

2. Передаточную функцию получим прямым преобразованием Лапласа ВФ (10):

Т

' ' 7 ^ (11) РТ \ >

0 0

3. Если положить Т = Тд, то, как нетрудно видеть, передаточная функция (11) реализуется структурой (рис. 6), которую можно преобразовать к виду (рис. 12) путем переноса импульсного элемента на выход интегрирующего звена. В этой структуре звено задержки е~рТ заменено на элемент

сдвига г-1, поскольку период работы импульсного элемента совпадает с длительностью интервала Тд.

Рис. 12

4. Изобразим замкнутую структуру (рис. 13), эквивалентную разомкнутой дискретной части структуры (рис. 12). Передаточная функция дискретной части структуры (рис. 12) равна Нд (г) = 1 - г_1. Передаточную функцию звена обратной связи замкнутой структуры Ндз (г) найдем из условия эквивалентности:

Нд (г) = - 1

откуда

Н Дз (г) =

1 + Н дз (г)

1 - Н д (г) = г

Нд (г) 1 - г

-1

(12)

1

Найдем непрерывное звено Нн (р), дискретизированная импульсная характеристика которого совпадает с импульсной характеристикой дискретного звена Ндз (г). Поскольку идеальный импульсный элемент нереализуем

физически, то учтем данное обстоятельство введением вместо него формирователя прямоугольного импульса. Подобный формирователь имеет передаточную функцию Н (р) = (1 - е рТд)/р .

В соответствии с рисунком 14 имеем

1 - е" рТД

Ннз (р) = Q(р)----------.

р

и»

Рис. 14

Существуют таблицы соответствия передаточных функций Н (р) ^ Н (г) по критерию совпадения дискретизированной импульсной характеристики звена с передаточной функцией Н (р) и решетчатой импульсной характеристики звена с передаточной функцией Н (г). Эти соответствия получены цепочкой преобразований:

Q(г) = г|Г1 (р) •1 - ерР Т Ц, (13)

т.е. сначала выполняется обратное преобразование 171 Лапласа, в результате чего находится оригинал Q(t) и далее г-преобразование Q(г) решетчатой

функции Q[n] = Q(nTД).

Поскольку во всех рассматриваемых структурах ИАЦП в непрерывной части математических моделей присутствуют интегрирующие звенья, то логично ограничить класс функций Q(р) звеньями с передаточной функцией

Qm (р) = 1/(рТд)т . В таблице 1 приведены указанные соответствия для первых 5 степеней т.

Передаточные функции эквивалентной разомкнутой дискретной системы легко находятся для любого Q( р) с использованием пакета Маріє:

> -тШОпМга^):

> д(р):=1/рл4;

Q(Р) :=1

р

> д(г):=81трНГу(г1гап8(ту1ар1асе(д(р)*(1-ехр(-р))/р, р, О,^));

. г3 + 11 г2 + 11 г + 1

б(г) :=-------------------

24 (г - 1)4

(легко убедиться, что полученный результат полностью совпадает с табличным для т = 4, если числитель и знаменатель умножить на г—).

Таблица 1

т <2т ( Р) Qm ( г)

1 1 -1 г

(РТД) 1 - г _1

2 1 г_1(1+ г_1)

(РТД )2 2!(1 - г'1)2

3 1 г _1(1 + 4 г _1 + г _2)

(РТд )3 3!(1 - г_1)3

4 1 г _1(1 + 11г _1 + 11г _2 + г _3)

(РТД )4 4!(1 - г_1)4

5 1 г _1(1 + 26 г _1 + 64 г _2 + 26 г _3 + г_4)

(РТд )5 5!(1 - г_1)5

В нашем случае (т = 1), согласно первой строке таблицы 1, <2і (р) = 1ДрТД). С учетом этого структуру (рис. 13) можно представить в виде, приведенном на рисунке 15.

Рис. 15

5. Пользуясь правилами переноса звеньев через суммирующий элемент, объединим интеграторы в трактах прямого и обратного преобразования, после чего структура (рис. 15) приводится к окончательному виду, представленному на рисунке 16.

6. Схемное исполнение ИД по структуре (рис. 16) очевидно: звено 1/рТД соответствует интегратору в схеме (рис. 4); импульсный элемент и

звено (1 - e рТд )/р (формирователь прямоугольного импульса) могут быть выполнены на аналоговых и цифровых элементах (рис. 4,а,б соответственно).

Заключение

В следующей из серии статей, посвященных синтезу структур ^А-АЦП, будут приведены примеры применения изложенной методики для структур второго и более высоких порядков, преобразование структур НДС в структуры £А-АЦ, а также результаты исследования их Simulink-моделей.

Список литературы

1. Kester, W. Which ADC Architecture is Right for Your Application? / W. Kester // Analog Dialogue. - 2005. - Vol. 39. - № 2. - Р. 11-19.

2. Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design and Simulation. Edited by Steven R. Norsworthy, Richard Schreier, Gabor C. Temes // IEEE Computer Society Press. -1996. - 476 p.

3. Шахов, Э. К. Сигма-дельта АЦП: процессы передискретизации, шейпинга шума квантования и децимация / Э. К. Шахов // Датчики и Системы. - 2006. - № 11. -С. 50-57.

4. Шахов, Э. К. Сигма-дельта АЦП: классификация и математические модели /

Э. К. Шахов // Датчики и Системы. - №12. - 2006. - С. 69-76.

5. Шахов, Э. К. £Д-АЦП: структуры с многоуровневым квантованием и многокаскадные структуры / Э. К. Шахов, В. Н. Ашанин // Датчики и Системы. - 2007. -№ 1. - С. 52-59.

6. Шахов, Э. К. £Д-АЦП: цифровая фильтрация и децимация / Э. К. Шахов, Б. В. Чувыкин // Датчики и Системы. - 2007. - № 2. - С. 44-51.

7. Шахов, Э. К. Интегрирующие развертывающие преобразователи напряжения /

Э. К. Шахов, В. Д. Михотин. - М. : Энергоатомиздат, 1986. - 144 с.

8. Михотин, В. Д. Методы синтеза весовых функций для эффективной фильтрации измерительных сигналов / В. Д. Михотин, Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов // Измерения, контроль, автоматизация. - 1981. - №5 (39). - С. 3-12.

9. Цыпкин, Я. З. Теория линейных импульсных систем / Я. З. Цыпкин - М. : Физматгиз, 1963. - 968 с.

10. Джури, Э. Импульсные системы автоматического регулирования / Э. Джури. -М. : Физматгиз, 1963. - 456 с.