CC BY
6
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
АТОМНО-ДИСКРЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ СПЛАВА СЛОЖНОГО ХИМИЧЕСКОГО СОСТАВА Баранов М.А. Email: [email protected]
Баранов Михаил. Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической механики и механики машин,
Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова, г. Барнаул
Аннотация: рассмотрены проблемы, возникающие при моделировании состояния многокомпонентных сплавов, реализации вычислительных алгоритмов и последующей интерпретации результата. В частности, предлагается сосредоточить внимание лишь на фазе, превалирующей по объёму и наиболее склонной к пластической деформации. Как правило, это неупорядоченный многокомпонентный кристалл с большим числом систем скольжения. Адекватность описания взаимодействий атомов различных сортов достигается путём объединения положительных качеств первопринципного и эмпирического подходов. Эффективность применения предложенных мер продемонстрирована на примере магниевого сплава. Ключевые слова: атом, взаимодействие, фаза, механическое свойство.
АTOMIC-DISCRETE SIMULATION OF ALLOY STATE OF COMPLEX CHEMICAL COMPOSITION Baranov M.A.
Baranov Michail Alexandrovich - Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, DEPARTMENT OF THEORETICAL MECHANICS AND MACHINE MECHANICS, I.I.POLZUNOV'S ALTAI STATE TECHNICAL UNIVERSITY, BARNAUL
Abstract: the problems arising at simulation of multicomponent alloy state, realizations of computing algorithms and subsequent interpretation of the result have been considered. In particular, it is offered to concentrate attention only on the volume prevailing phase, which is most inclined to plastic deformation. As a rule, it is the disordered multicomponent crystal having great number of sliding systems. The adequacy of different atomic interactions description is reached by association of positive qualities of ab-initio and empirical approaches. The efficiency of application of the offered measures is shown on the example of the magnesiun alloy.
Keywords: atom, interaction, phase, mechanical property.
УДК 538.915; 539.6; 541.2
Введение
Создание материалов с заданным набором показателей механических свойств (ПМС) и бесчисленные возможности варьирования как состава, так и технологий создания материалов и, в частности, режимов термообработки, оставляют актуальной задачу предвидения их свойств. Атомно-дискретное моделирование состояния веществ представляется в качестве современного инструмента решения подобной задачи. Состояние сплавов определяется множеством факторов. Это их химический и фазовый состав, распределение частиц по объёму образца, степень наклёпа мягких фаз, размеры и форма зёрен и содержащихся в них частиц и многое другое. Каждый из этих факторов заслуживает пристального изучения. Предвидеть же их одновременное воздействие на механические свойства (МС) практически нереально. Ирония заключается в том, что ПМС невозможно рассчитать. Их предписано измерять с соблюдением установленных норм [1]. В этой связи остаётся лишь
косвенный способ их предвидения - путём установления корреляции между рассчитанными параметрами состояния уже созданных материалов их ПМС. Принимая во внимание то, что любое МС - это, по сути, отклик материала на внешнее механическое воздействие в виде пластической деформации, имеет смысл сосредоточиться лишь на фазе, наиболее склонной к таковой. Для сплавов сложного химического состава - это неупорядоченная фаза (НФ), выделяющаяся непосредственно из расплава. Её высокая податливость объясняется плотноупакованной решёткой узлов с большим числом систем скольжения, что делает её «самым слабым звеном» материала в целом. Общепризнанно, что упрочнение материала в целом достигается на мезоуровне - вследствие присутствия в нём более прочных частиц карбидов, нитридов, интерметаллидов и др. [2]. Однако эти твёрдые частицы содержатся внутри НФ. Принимая это во внимание, а также высокую объёмную долю, максимальную податливость и связующую функцию НФ, её правомерно рассматривать как основную фазу (ОФ) материала. Упрочнение же ОФ достигается вследствие геометрических искажений её кристаллической решётки, обусловленных неупорядоченным расположением различных атомов по узлам. В качестве обобщённого параметра состояния ОФ имеет смысл рассматривать величину среднего смещения атомов относительно положений узлов совершенной решётки. Ниже предпринята попытка атомно-дискретного моделирования равновесной конфигурации ОФ в магниевых сплавах.
Взаимодействие атомов
Центральная проблема, неизбежно возникающая при выполнении атомно -дискретного моделирования сложных соединений - это адекватное количественное описание взаимодействий атомов. Традиционно для этого применяется эмпирический подход [3]. В его рамках параметры правдоподобной потенциальной функции находятся из эмпирических данных об исследуемых же веществах. Преимущество эмпирического подхода заключается в его простоте. Однако для его применения к многокомпонентным соединениям требуется большое количество экспериментальных данных, которых просто нет. Альтернативой является первопринципный подход, предполагающий воссоздание математического образа электронных оболочек на основе периодического закона и решения уравнения Шрёдингера [4]. Однако возникающие при этом математические сложности и неизбежность большого количества физических приближений практически исключают возможность применения первопринципного подхода к описанию многокомпонентных соединений.
Выход из сложившейся ситуации видится в аппроксимации не межатомного потенциала, а функции распределения (ФР) электронной плотности. Важнейшее требование к ФР - это возможность точного аналитического представления электростатических интегралов перекрытия, которые, в конечном счёте, и становятся составляющими межатомных потенциалов. Подобный подход реализован в [5-8].
Электронная плотность в оболочках атомов подразделялась на внутреннюю и периферийную составляющую. Внутренние электроны предполагались столь локализованными, что на наблюдаемых расстояниях между атомами они полностью экранировали часть заряда ядра. Внешняя же оболочка представляла собой размытую сферу. Это размытие достигалось путём размещения на каждом дифференциально -малом элементе поверхности опорной сферы заряда dql, распределённого по закону Гаусса. Последующее интегрирование по поверхности сферы позволяло воспроизвести ФР периферийных электронов:
Р1 ,= —^-з • ^[ехр(-а?(Я - )2) - ехр(-а?(Я + К О2)] (1) 4(л/ л)3 Я 1 г
где q1 - заряд сферы, Я1 - её опорный радиус, а1 - параметр гауссова распределения, имеющий смысл степени локализации заряда вблизи сферы, R -
расстояние от центра сферы. Взаимодействие атомов 1 и 2 в целом сводится к электростатическому взаимодействию периферийных оболочек и компенсируемых ими частей зарядов ядра [9]
Фс(я1;я2,«1,«2= (ядро 1 + оболочка 1) х (ядро 2 + оболочка 2) =
(2)
^^ - Я1Я2 • В(а1,К1,г) - Я1Я2 • ё(а2,К2,г) + Я1Я2 • Ь(аД1Д2,г)
где г - расстояние между ядрами;
БКД^Г) = * К(г + Я^ег^аДг + Я^) -«1(1 - Я^ег^аДг - Кх))] + (3)
2 а^г у '
+ [ехР(-а1(г + Я1)2) - ехр(-«2(г - Я,)2)]
2ы я« Кг
- точное аналитическое выражение для энергии кулоновского взаимодействия единично заряженной размытой сферы 1 с единичным точечным зарядом
Ь(а, К, К, г) = —^-[(а2а2 + -1) • ег^аа) - (а2Ь2 + -1) • ег^аЬ) -
1 2 8а2КИ 2г 2 2 ...
-(а 2с2 + 1)ег£(ае) + (а М2 + 1)eгf(аd)] ^^—[ааехр(-а 2а2) -
8л/ла 2К^г - аЬ • ехр(-а2Ь2) - ас • ехр(-а2с2) + аd • exp(-а2d2)]
- точное аналитическое выражение для энергии кулоновского взаимодействия двух размытых единично заряженных сфер 1 и 2 при их взаимном перекрытии
а 1 а о
где а = ■ 1 1 = (5)
Л/«1 + а2
- параметр «взаимной локализации» перекрывающихся сфер;
а = г + К + Я2; Ь = г + К - К; с = г - Я1 + Я2; d = г - К - Я2; (6)
- алгебраические значения, имеющие размерность расстояний.
Принципиальным результатом подобного подхода является то, что параметры аь
Яь ql периферийных оболочек ФР автоматически становятся и параметрами потенциала. Именно данное обстоятельство позволяет определить конфигурации распределений периферийных электронов непосредственно из экспериментальных данных [9]. Результаты последующего расчёта параметров решётки, энергий связи и модулей всестороннего сжатия нескольких десятков сплавов со сверхструктурой В2 оказались близкими к имеющимися экспериментальным данным [10].
Модель
Модельный блок многокомпонентного кристалла представлялся в виде параллелепипеда размером 17х17х17 элементарных ГПУ ячеек. Атомы различных сортов в соответствии с составом ОФ располагались хаотически по узлам модельного блока. По два слоя элементарных ячеек на каждой грани блока образовывали его внешнюю часть. Все остальные - внутреннюю часть. Взаимодействие атомов описывалось системой ранее построенных потенциалов. Под внутренней энергией модельного блока понималась энергия взаимодействия всех атомов внутренней области со всеми другими атомами блока. Вначале при условии сохранения идеального взаиморасположения узлов находилось равновесное значение параметра решётки путём минимизации внутренней энергии блока. Полученная конфигурация принималась за стартовую. Затем положения атомов внешней области фиксировались, а атомам внутренней области предоставлялась возможность смещаться в направлениях действующих на них сил вплоть до достижения равновесия. В качестве степени искажённости решётки правомерно рассматривать среднеквадратичное смещение атомов относительно стартовых положений, а в качестве меры
г
стабильности - значение энергии связи блока в пересчёте на один атом. Ранее подобный подход применялся к описанию сплавов на основе ГЦК решётки узлов [11].
Результаты моделирования
Атомно-дискретное моделирование выполнено для основной фазы сплава МЛ-5 в предположении, что её химический состав идентичен составу сплава в целом: 90,75% Mg, 8,00% М, 0,25% Si, 0,1% Fe, 0,3% Mn, 0,10% 0,5% Zn [12].
Рассчитанные равновесные значения: параметр решётки а0=3,15 А, энергия связи ES=1.608 эВ, среднеквадратичное смещение Sm=0,0548 А. Одна из бесчисленных равновесных конфигураций ОФ представлена на рисунке 1. Векторы смещений атомов из своих стартовых положений для наглядности увеличены в 50 раз. Присутствие атомов железа, кремния, марганца и меди в образце, конечно же, учитывалось, но из-за малости наблюдаемой области, они оказались вне поля зрения.
Рис. 1. Конфигурационное состояние ОФ магниевого сплава Заключение
На примере атомно-дискретного моделирования состояния конкретного сплава показана эффективность применения подхода, сочетающего в себе положительные качества эмпирического и первопринципного подходов к описанию состояния соединений сложного химического состава.
Список литературы /References
1. ГОСТ 1497-84. Металлы. Методы испытаний на растяжение.
2. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф., Иванчин А.Г. Структурные уровни деформации твёрдых тел. // Известия ВУЗов. Физика, 1982. № 6. С. 5-27.
3. Экштайн В. Компьютерное моделирование взаимодействия частиц с поверхностью твёрдого тела. // М. Мир, 1995. 320 с.
4. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела // М. Мир, 1979. Т. 1. 400 с.
5. Baranov M.A. Two-Center Overlap Integrals - it is Simply // Международный научно-исследовательский журнал. 2014. Часть 1. № 4 (23). С. 5-8.
6. Баранов М.А. Взаимодействие распределённых по Гауссу облаков заряда как элементов электронных оболочек. // Международный научный журнал «Символ науки», 2015. Часть 1. № 9. С. 9-15.
7. Баранов М.А. Взаимодействие зарядов в виде размытой сферы и гауссова облака как элементов электронных оболочек. // Международный научный журнал «Символ науки», 2016. Часть 1. № 1. С. 28-33.
8. Баранов М.А. Взаимодействие зарядов в виде неконцентричных размытых сфер как элементов электронных оболочек. // Международный научный журнал «Символ науки», 2016. часть 4. № 3. С. 11-18.
9. Баранов М.А. Взаимосвязь свойств кристаллов с распределением периферийных электронов в оболочках образующих их атомов. // Международный научный журнал «Символ науки», 2017. Часть 2. № 2. С. 15-21.
10. Баранов М.А. Показатели свойств кристаллов со сверхструктурой В2 в рамках модели электронных оболочек в виде размытых сфер // Фундаментальные проблемы современного материаловедения, 2017. Т.14. № 4. С. 470-474.
11. Baranov M.A., Shcerbakov V.M. Simulation of Multicomponent Crystal States as Tool of Forecasting and Programming of Mechanical Properties of Alloys. // Journal of Material Science and Engineering A., 2011. V. 1. N 3. P. 398-407.
12. ГОСТ 2856-79. Сплавы магниевые литейные.
АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ БЕСКОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Шмойлов В.И. Email: [email protected]
Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: рассматриваются алгоритмы суммирования бесконечных последовательностей. Алгоритмы позволяют устанавливать комплексные значения расходящихся в классическом смысле бесконечных последовательностей, составленных из вещественных элементов. Отмечается, что суть r/ф-алгоритма, как и его обобщений, состоит в замене осциллирующих процессов представленными вещественными элементами, комплексными числами, модули и аргументы которых определяются предложенными алгоритмами, причём аргументы комплексных чисел определяются долей «подходящих дробей» с отрицательными значениями. Рассмотрены примеры применения r/ф-алгоритма, R/ф-алгоритма и каскадного R/ф-алгоритма. Эти алгоритмы позволили решить ряд важных задач, в частности, установить, что БСЛАУ с вещественными матрицами могут иметь, в зависимости от коэффициентов матриц, комплексные решения.
Ключевые слова: непрерывные дроби, расходящиеся последовательности, r/ф-алгоритм, R/ф-алгоритм, каскадный R/ф-алгоритм.
ALGORITHMS FOR DETERMINING VALUES DIFFERENT IN CLASSICAL MEANING OF INFINITE SEQUENCES
Shmoylov V.I.
Shmoylov Vladimir Ilyich - Research Fellow, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: аlgorithms for summation of infinite sequences are considered. Algorithms allow one to establish complex values of divergent in the classical sense of infinite sequences composed of real elements. It is noted that the essence
