АТОМ ВОДОРОДА НАД ПЛОСКОСТЬЮ С ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ "НЕВЫЛЕТАНИЯ" Текст научной статьи по специальности «Физика»

Атом водорода над плоскостью с граничным условием «невылетания»

С. А. Артюкова, К. А. Свешников, П. К. Силаев, А. В. Толоконникова Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой теории и физики высоких энергий. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

Поступила в редакцию 17.06.2019, после доработки 19.07.2019, принята к публикации 31.07.2019.

Исследовано поведение электронных уровней атома водорода в пространстве, ограниченном плоской поверхностью, на которой для электронных волновых функций задано условие «невылетания» из объема. Показано, что в процессе адсорбции атомов водорода образцом с чистой гладкой поверхностью, большой энергией сродства и низкой начальной концентрацией водорода внутри может выделяться значительное количество энергии. Результаты получены как с помощью прямого численного счета с использованием метода конечных элементов, так и с помощью вариационных оценок, основанных на подборе пробных функций специального вида.

Ключевые слова: конфайнмент, граничное условие Робена, граничное условие 3-го рода, атом водорода над плоскостью.

УДК: 539.186.3. РЛСБ: 31.15.A-, 32.30.-r, 34.35.+а.

ВВЕДЕНИЕ

Поведение квантовых систем в замкнутых полостях или полуограниченных пространствах, на границе которых электронная волновая функция (ВФ) удовлетворяет какому-либо граничному условию, представляет существенный интерес из-за необычных физических и химических свойств систем в таком состоянии [1-3]. Впервые атомы в полуограниченных пространствах рассматривались в работе [4], где теоретически исследовались квантово-механические свойства примесного донорного атома на плоской границе диэлектрического кристалла, а большая энергия сродства электрона к диэлектрику моделировалась посредством граничного условия Дирихле. Далее атомы рассматривались внутри объемов со специфическими ограничивающими поверхностями, характерными для систем координат, в которых возможно разделение переменных в уравнении Шрёдингера (УШ) с кулоновским потенциалом. К таким поверхностям можно отнести плоскости, эллиптические конусы, плоские углы и т.п [5-18]. При этом граница была либо непроницаемой [5-16], либо полупроницаемой [17, 18].

Поведение атома и иона Не в полуограниченном пространстве с плоской границей [9] было исследовано экспериментально [19, 20] посредством рассеивания на металлической поверхности Не и Не+ с энергиями порядка килоэлектронвольт с последующей оже-нейтрализацией. Такие эксперименты показали, что сдвиг уровней энергии в Не зависит не только от расстояния до границы, но и от кристаллической структуры вещества, формирующего границу. Поэтому для описания таких эффектов необходимо использовать общие граничные условия «невылетания» электрона из объема — условия Робе-на, которые допускают существенно более широкую постановку задачи, в которой не предполагается исчезновение ВФ на границе [21-28]. Кроме того, такие условия позволяют эффективно учесть взаимодействие удерживаемых частиц со средой, отграничивающей полупространство. Специально отметим, что используемый термин — условие «невылета-

ния» — подчеркивает, что такое граничное условие возникает не только при фактическом удержании частиц внутри объема, но может быть обусловлено существенно более широким спектром причин, как это происходит в модели щелочного металла Виг-нера—Зайтца, когда состояние валентного электрона принципиально делокализовано [29, 30].

В настоящей работе в адиабатическом приближении рассматривается поведение атома водорода в полуограниченной области с плоской границей, где на электронную ВФ наложено граничное условие Робена, причем нас будет интересовать случай, когда энергия сродства электрона к границе будет велика.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ АТОМА В ПОЛУОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Если квантовая частица находится в стационарном состоянии в полуограниченном пространстве И с границей £ и не покидает его пределы, то соответствующий энергетический функционал в атомной системе единиц имеет вид

Е[ф]

dr

1

2 |V^|2 + V(г)|ф|

+ da А(г)|ф|2,

(1)

где V(г) — потенциальное поле внутри И, а поверхностный член описывает контактное взаимодействие частицы на границе со средой, ограничивающей полупространство. Конкретные характеристики такого поверхностного взаимодействия задаются вещественной функцией А(г). Примером системы, где взаимодействие со средой возможно задать посредством ¿-потенциала, является модель отрицательного иона фуллерена С- в [31], где для нейтрального фуллерена А = -0.885 На х ав.

Из вариационного принципа с учетом нормировки (Ф1Ф) = /п ¿г|-0|2 = 1 получаем

-1А + V (r)

ф = Еф

(2)

внутри Q и граничное условие [nV + A(r)] ф

0

E-mail: tolokonnikov@physics.msu.ru

на поверхности £, где п — внешняя нормаль к £.

а

Невылетание частицы за пределы полупространства обеспечивается за счет исчезновения нормальной к Е компоненты потока

j = 0, j = 2^(Ф*Уф - фУф*). (4)

При этом тангенциальная компонента j на поверхности Е вполне может быть ненулевой, т. е. частица может находиться сколь угодно близко к Е с заметной вероятностью. Такая же ситуация сохраняется при Л = 0, когда граничное условие (3) становится условием Неймана, а значит, граница продолжает влиять на атом [27, 28]. При Л = +то граничное условие (3) становится условием Дирихле, в этом случае атом будет отталкиваться от поверхности на бесконечность.

Важным обстоятельством является тот факт, что задача об атомарном H в П с плоской границей, на которой электронная ВФ удовлетворяет (3), может частично рассматриваться через предельный переход R ^ то из задачи об атомарном H в сферической полости радиуса R с граничным условием (3) на ее поверхности, причем уровни энергии H в полости будут иметь свои аналоги в П [26]. Полного соответствия здесь нет, так как, в отличие от задачи, когда ядро атома в центре сферической полости с конечным R, в П на любых конечных расстояниях h между ядром и граничной плоскостью орбитальный момент не сохраняется, поскольку симметрия системы цилиндрическая, а следовательно, интегралом движения будет только lz. При этом когда электрон локализован в окрестности ядра и h ^ то, сферическая симметрия восстанавливается и тем самым восстанавливаются состояния свободного H. При Л < 0 у атомарного H в сферической полости конечного радиуса R возникают качественно другие энергетические уровни, когда электрон частично или полностью локализуется в окрестности границы [24]. Эти состояния ортогональны к «нормальным», когда электрон локализуется в окрестности ядра, и составляют вместе с ними полный набор дискретного спектра для атомарного H в полости, но при этом обладают целым рядом принципиально других свойств, которые наиболее ярко проявляются в степенном асимптотическом поведении уровней при R ^ то [24]. Эти уровни имеют свои аналоги в П, когда атомный электрон частично или полностью оказывается локализован у граничной плоскости, и также по своим свойствам качественно отличаются от «нормальных» уровней, которые соответствуют локализации электрона в окрестности ядра. Наиболее явно эта разница проявляется в зависимости этих уровней от h как для конечных расстояний, так и в асимптотике при h ^ то.

Поскольку целый ряд аспектов задачи об одно-электронном атоме с зарядом ядра q, заключенном в сферической полости радиуса R с граничным условием Робена, уже рассмотрен в [21-24], здесь будет лишь уточнен ряд деталей, которые необходимы для последующего анализа поведения атомарного H над плоскостью. Как и в предыдущем примере с фуллереном Сб0, будем считать, что поверхностное взаимодействие задается константой Л, а неподвижное точечное ядро находится в центре полости.

Тогда сферическая симметрия сохраняется и уровни с орбитальным моментом 1 находятся из уравнения

[?/7 + (А - 7)й - 1] Фд + [1 + 1 - 9/7) Фд(6+) = 0,

(5)

где Ф(6, с, г) — конфлюэнтная гипергеометрическая функция 1-го рода (функция Куммера),

Фд = Ф(Ь, с,27Д), Фд(6+) = Ф(6г +1, с,27Д), (6)

при этом

Y :

У-2Ё, bi = l + 1 - q/Y, ci = 2l + 2. (7)

Определение, обозначения и основные свойства функции Куммера следуют работе [32].

Перестройка электронного спектра атома в полости с появлением дополнительных степенных уровней наиболее ярко проявляется при Д ^ то, когда с помощью асимптотического разложения для Фд, Фд(6+) из (5) легко видеть, что, помимо кулоновско-го дискретного спектра свободного атома, в случае поверхностного притяжения А < 0 будет существовать еще и другой набор уровней Е;(Д), имеющий при Д ^ то степенную асимптотику и общее предельное значение Е;(то) = —А2/2:

Е (Д) . А2 + А - 9 + /(/ + 1) - 1 + 9/а .

Е,ХД) ^ - у + -Д- + -Д-+

+ °(Дз), Д ^то. (8)

Заметим, что при А < -9 < 0 эти уровни становятся нижними для любых Д и имеют вид смещенных вниз относительно оси абсцисс гипербол [24]. При этом наинизшим в этом пучке степенных уровней с различными 1 будет в-уровень с 1 = 0, а все остальные с 1 = 0 будут подняты выше пропорционально своей центробежной энергии.

В то же время «нормальные» состояния, возникающие в полости из дискретного спектра свободного атома, имеют при Д ^ то экспоненциальную асимптотику, поскольку главную роль в ее формировании играет приближение аргумента множителя Г-1 (6;), входящего в асимптотику функции Куммера, к полюсу 6; ^ - пг, пг = 0,1,.... При этом для атома водорода в полости с общими граничными условиями Робена вектор Рунге—Ленца самосопряженным оператором более не является [22], поэтому случайное вырождение снимается и такие уровни имеют квантовые числа п = пг + 1 и 1.

Асимптотическое поведение «нормальных» пв-уровней при Д ^ то имеет вид

En0(R) ^ En0 +

Yn0

Л - Yn0

Л + Yn0

Yn0R > 1

(2Yn0R)

2ng-2Y „0Д

(9)

где

Е„0 = -7^0/2, 7п0 = 9/п, п = 1,2 ..., (10)

соответствуют пв-уровням свободного атома, при этом в случае |А| < 7„0 уровни будут приближаться

к своим предельным значениям снизу, а в обратном случае — сверху. В случае А = 7„0 > 0 асимптотика будет иметь вид

2

£„о(Д) ^ E„o + (n - 1)

YnO

(27„оД)2('

n-1)e-27„oR

YnoR > 1,

(11)

при этом для нижнего уровня Ею(Д) с п = 1 экспоненциальная составляющая исчезает, поскольку в этом случае А = 710 = ц и Еш(Д) = Е^ = — д2/2. При А = —7„0 < 0 вместо (9) получим

En0(R) ^ En0 +

1

n + 1

YnO

YnoR > 1,

(27n0 R)2(n+1)e-27„oR, (12)

и, кроме того, происходит совпадение предельной точки уровня Ео(Д) со степенной асимптотикой (8) с соответствующим уровнем свободного атома (10), в результате чего возникает наглядный пример эффекта отталкивания близких уровней под влиянием возмущения фон Неймана—Вигнера [33, 34] — бесконечно близкие при Д — то уровни Е„о(Д) и Ео(Д) будут при уменьшении Д расходиться в разные стороны от их общей предельной точки Е„о- В качестве возмущения здесь выступает кулоновское поле атома, поскольку при Л < 0 и Д ^ aB максимум электронной плотности смещается в сторону границы, где вклад от поля мал по сравнению с эффектами границы. С уменьшением Д вклад кулоновского потенциала растет, поэтому Е„о(Д) будет уходить вверх согласно (12), а Ео(Д) — вниз в соответствии с асимптотикой

Ео(Д) - Е»о - ^ Д + O (Д2)• (13)

Д — то.

Таким образом, нижний уровень одноэлектронного атома в сферической полости с граничным условием Робена будет при Л = q иметь постоянное значение Е^, соответствующее свободному атому, а при Л > —1 вести себя при Д — о согласно [21, 24]:

Ео(Д) = — ^ — q2 + 32Ло + 6Л2 +

R ^ o,

(14)

со сдвигом энергии как вверх, так и вниз в зависимости от знака Л, при этом экспоненциально быстро выходить при Д — то на Е^, а при Л ^ — q < о представлять собой уровень Ео со степенной асимптотикой (8). При этом если Л < q, то максимальная энергия связи, которая может оказаться существенно больше чем Е^, будет достигаться в полости наименьших возможных размеров [21, 24]. И все вышеперечисленные эффекты, кроме последнего, как мы увидим далее, так или иначе будут проявляться и в задаче об атомарном H над плоскостью.

2. ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД В СЛУЧАЕ АТОМА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим теперь трехмерную задачу для основного состояния, где электронная ВФ удовлетворяет на плоскости граничному условию Робена (3)

c A(r) = const. Мы будем использовать два альтернативных метода — численное решение задачи с помощью метода конечных элементов [35] и вариационную оценку с подбором пробных функций специального вида. Учитывая цилиндрическую симметрию задачи, целесообразно перейти в цилиндрическую систему координат (р, у, z), начало которой связано с атомным ядром, а ось z перпендикулярна плоскости, проходит через ядро атома и направлена от атома к плоскости.

Начнем с численной минимизации нормированного функционала

= n1 / dzPdP

z<h

- J

А

+

+ 2 / НрЖ2 (15)

посредством метода конечных элементов. Здесь N = (ф | ф) — коэффициент нормировки. Будем рассматривать функционал (15) на пространственной решетке, заменяя интегралы интегральными суммами по методу трапеций, и будем искать минимум получившейся функции переменных = — (р4, ) (в случае возбужденных уровней добавляется условие ортогональности соответствующих решений волновой функции основного состояния). В качестве эффективной бесконечности задачи выбираются ^ = = Ры = 40 ав. Вычисления показывают, что такой выбор оказывается вполне удовлетворительным, дальнейшее его увеличение не приводит к каким-либо изменениям результатов в пределах достигнутой точности вычислений. Контроль точности реализуется посредством изменения шага решетки. Это позволяет дополнительно увеличить точность путем экстраполяции зависимости полученных результатов от величины квадрата шага решетки в значение квадрата шага, равное нулю. Были использованы четыре последовательные решетки, количество узлов в которых (по обеим координатам) соотносится как 1 : 2 : 3 : 4. Относительная ошибка, полученная путем сравнения результата экстраполяции по первым трем решеткам и результата экстраполяции по всем четырем решеткам, составила величину порядка 10-4 для основного состояния и 10-3 для возбужденных уровней.

Вариационную оценку можно провести исходя из следующих соображений. При выборе пробных функций мы будем учитывать следующее обстоятельство: в окрестности ядра ВФ не сильно изменяется под влиянием границы, особенно при относительно больших Е Поэтому в качестве первого приближения можно использовать ВФ кулоновской задачи для неограниченного пространства. Для улучшения пробных функций, также необходимо принять во внимание и поведение ВФ в окрестности плоскости. Глубина и местоположение минимума энергии основного состояния зависят от А в граничном условии Робена, поэтому необходимо ввести параметр, который будет менять логарифмическую производную ВФ по координате г. С такой задачей вполне может справиться множитель ехр(—Дг), на который и умножаются все используемые далее пробные функции.

. П! -

2

2

n!

2

z

h

z

0.0

-0.5

Я -1.0

Еч

-1.5

0.00

-0.05

-0.10 -0.15

\ - - " ^ " / V/ / 15 Ё

а- X -0.20

. / / ---^гошк^А-О) ---££гоип<1(Л=-0.9) -0.25

--^роип<1(А=—0-3) - ^ГОШ1(1(Л.= —1.2) -0.30

---£§гоиш1(Л=-0.6) -0.35

4 6

К ав

10

£ехс12 (А=-0.3) --- Яехса (Л=-0.6) Дин* 1 (А=—0.3) - Еехей (Я=—0.6)

10

А, ад

Рис. 1. Зависимость первых возбужденных уровней энергии от к. Основное состояние — а, первые два возбужденных

уровня — б

Следуя [27, 28] выберем в качестве пробной функции

6

фи = £ с^Г, (16)

¿=1

где ф1/ — первые шесть водородных функций с = 0 и множителями ехр(—в¿г), после чего будем рассматривать минимизацию функционала

Е

<с|А|е>

<с|В|с>,

(17)

где |с) = |сь с2 , с3, с4 , с5, с6}, а элементы матриц А и В имеют вид

A¿

¿г р ¿р

1 ♦ Ф, Ф

(УФ]г)(УФ]г) — Ф¿ Ф

tr фtr

¿У]

г<к

+

Л 2

+ ^ I рdрфt¡фt;, (18)

Щ =

¿г рв,р фх1 ф].

(19)

г<к

Диагонализируя <с|В|с>, сведем минимизацию функционала (17) к поиску собственных значений а матрицы А:

det А - аЕ

0,

(20)

где

А = В-1/2А В-1/2 =

£ |А)<А|"^ А-

1

Ив] ><в |,

^Г ] ><"] | (21)

а b¿, |в¿> — собственные значения и векторы матрицы В.

Вычисления показывают, что при Л < 1 энергия основного состояния достигает минимума на конечных и ненулевых Н, что соответствует равновесному состоянию на конечном расстоянии от плоскости. В диапазоне 0 < Л < 1 (см. [28]), который соответствует хорошо известному случаю отрицательного

электронного сродства к поверхности [36], равновесные состояния располагаются на таком удалении от плоскости, когда еще можно моделировать поверхность ограничивающей полупространство среды идеализированной плоскостью, т.е. Н ~ ав. При этом соответствующие минимумы имеют глубину порядка 0.1 На. В настоящей работе для нас интерес представляет диапазон Л < 0, соответствующий большой энергии сродства электрона к плоскости, когда энергия связи атома может достигать максимальных значений порядка На. Тот факт, что такой максимум будет располагаться на небольшом расстоянии от плоскости, в данном случае не будет играть существенной роли, поскольку интерес представляет именно оценка энергии связи в зависимости от энергии сродства электрона к плоскости, которая достаточно эффективно иллюстрирует способность плоскости притягивать к себе атом [27]. В рассматриваемом в работе диапазоне —1.5 ^ Л ^ 0 для основного состояния относительная ошибка между результатами вычислений при помощи численной минимизации и при помощи вариационной оценки составляет ~ 10-3.

Результаты вычислений посредством численной минимизации представлены на рис. 1. Из рис. 1, а видно, что с уменьшением Л максимальная энергия связи растет, достигая максимума на все меньшем расстоянии от плоскости. С другой стороны, при Н ^ ав поведение нижних уровней существенно различается: при —0.9 < Л < 0 уровни с ростом Н быстро подходят снизу к значению энергии основного состояния свободного атома Е^, в то время как при Л = —1.2 уровень становится степенным и подходит существенно медленнее к своей предельной точке Е0(то) = —Л2/2. При этом в соответствии с разделом 1 для основного состояния критическое значение Лст^, когда предельная точка степенного уровня совпадает с Е^, равно —1. Аналогичная картина имеет место и для возбужденных уровней, что явно видно из рис. 1, б. Для первых двух возбужденных уровней Лст^ = —0.5 и, как следствие, для экспоненциальных уровней при Л = —0.3 в качестве предельной точки выступает Е20 = —0.125 На, а для степенных уровней при Л = —0.6 предельная точка —Л2/2 = —0.18 На.

б

а

к

2

^ 0.0

Рис. 2. Волновая функция основного состояния (р, %) при Л = -0.9 и Л = 10 ав (а), 3 ав (б);

Л = -1.2 и Л = 10ав (в), 3ав (г)

Рис. 3. Волновая функция первого возбужденного уровня ^ехси (р, %) при Л = -0.3 и Л = 10 ав (а), 5 ав (б), 3 ав (в),

1 ав (г)

Соответствующие электронные ВФ представлены на рис. 2, г. В частности, из рис. 2, а, б видно, что в случае А = —0.9 ВФ нижнего экспоненциального уровня при Н ^ ав локализована в окрестностях ядра и практически воспроизводит ВФ «нормального» основного состояния свободного атома.

В области Н ~ ав, когда притяжения электрон— ядро и электрон—плоскость становятся сопоставимы, проявляется в виде размазанной вдоль границы «капли» дополнительная пучность ВФ, сопоставимая по размеру с пучностью в окрестностях ядра. Такая пучность является результатом вкладов от большого

числа сферических гармоник и при Л ^ Лсгй, когда нижний уровень становится степенным, именно она доминирует над практически неразличимой пучностью в окрестностях ядра при любых конечных К (рис. 2, в, г). При этом пучность в окрестностях ядра никогда не исчезает, а значит, при любых конечных Л и К атом не ионизируется. Аналогичная картина имеет место и для возбужденных уровней, что проиллюстрировано для первого возбужденного уровня на рис. 3, 4. В области К > ав при Л > Лсги в ВФ экспоненциального уровня дают вклад большое число различных сферических гармоник с радиальными компонентами, вид которых аналитически можно установить только в случаях граничных условий Дирихле и Неймана [28], причем в основном ВФ локализована в окрестностях ядра (рис. 3, а). С другой стороны, при Л ^ Лсгй, когда уровень степенной, пучность ВФ в окрестностях ядра несопоставимо мала по сравнению с пучностью в окрестностях плоскости (рис. 4, а). При К ~ ав взаимодействия электрон—ядро и электрон—плоскость сопоставимы и, как следствие, сопоставимы по размеру пучности ВФ в окрестностях ядра и плоскости. Рис. 3, в, г, 4, в, г иллюстрируют ситуацию, когда первые два возбужденных уровня сближаются. По аналогии с диапазоном 0 ^ Л < 1 [28] в этом случае поведение зависимости энергии от К меняется и в области сближения общий профиль ВФ нижнего уровня оказывается таким же, как профиль ВФ верхнего уровня до сближения, и наоборот.

Зависимость максимального значения энергии связи основного состояния Д£^гои^ = Е^гои^ (то) — — Е?гоипй (Ктш) в диапазоне —1.5 ^ Л ^ 0 представлена на рис. 5. Видно, что в этом диапазон такая зависимость нелинейна. При все больших отрицательных

1.1

1.0

0.8

0.7

-1.4

-1.2

-1.0 -0.8 -0.6 Л, Хартри х ав

-0.4

-0.2

0.0

Рис. 5. Зависимость максимального значение энергии связи АЕёГоипй от Л

значениях Л максимальное значение энергии связи достигается при все меньших значениях К ^ ав, когда электронная ВФ локализована в малой окрестности граничной плоскости. Из-за близости ядра к плоскости и, как следствие, необходимости в повышенной детализации сетки в области между ядром и плоскостью прямые численные вычисления затруднены. Более эффективной, за счет аналитической формы, оказывается вариационная оценка посредством специально подобранной пробной функции. Наиболее подходящей пробной функцией в случае, когда ядро локализовано в окрестностях плоскости, является

^оипч = N-1/2 вхр(—|Л|г — аг)

с нормой вида

N = П

|Л| + 2а

4 а2(|Л + а|)2 '

(22)

(23)

где вариационный параметр а > 0. Такой выбор Ф^гоипё вызван тем, что при Л С Лсг^ основной вклад в системе дает взаимодействие электрон—плоскость, пробная функция (22) удовлетворяет граничному условию (3) и имеет эффективно описывающее электронное состояние: форму прилипшей к плоскости и частично размазанной «капли».

В результате подстановки (22) в (15) при условии Н ^ 0 получим для энергии основного состояния оценку в простой форме:

Etr d = -A2 ± -

ground 2 ± 2 |A| ± 2f ,

(24)

где параметр а удовлетворяет следующему уравнению:

4а3 + 4а2(|Л| — 1) + а|Л|(|Л| — 4) — 2Л2 = 0 . (25)

В уравнении (25) один корень действительный, остальные комплексны, откуда следует однозначное выражение для параметра а в виде

I + 4|Л|2 + 161Л | + 16 + 1 — |Л| (26)

а = 6 +-24-+ (26)

где

t = (|Л|3 + 33|Л|2 + 121Л | + 8+

+ 3^3^2|Л|5 + 29 |Л|4 + 24 |Л |3 + 15|Л|2). (27)

Выражение (26) позволяет определить минимальное значение Е^ггоип^. При |Л| > 1

0 8 80 960 ^

f ^2-й±- |AF±O

1

ÑJ

(28)

Таким образом, разность асимптотическим значением ЕдгоипДН ^ то) = —Л2/2 в пределе |Л| > 1 и между Е^.оипё имеет вид

tr ^ _ 640 O

AEground ^ 2 |A| ± |A|2 |A|3 ±

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1

|A|

(29)

В заключение еще раз отметим, что в диапазоне Л < 0 благодаря взаимодействию между атомарным электроном и границей возникают дополнительные уровни с асимптотическим значением —Л2/2 в пределе Н ^ то, которые ортогональны к «нормальным» уровням, когда электрон локализуется в окрестностях ядра, и вместе с ними образуют полный набор дискретного спектра атома Н в полупространстве. Причем приближаются к своим асимптотическим значениям такие дополнительные уровни медленно по степенному закону ~ 1/Н.

Кроме того, вычисления показали, что максимальное значение энергии связи атома Н растет с уменьшением Л. В области Л ^ Лст^ < 0, где численные расчеты затруднены, для нее можно дать оценку снизу в 2 На. При этом в диапазоне Л ^ Лст^,

когда нижний уровень становится степенным, эффективный потенциал становится дальнодействую-щим, а значит, число притягиваемых к границе атомов Н может оказаться значительным. Таким образом, в процессе адсорбции атомов H образцом с чистой гладкой поверхностью, большой энергией сродства и низкой начальной концентрацией Н внутри образца может выделяться значительное количество энергии, тем большее, чем больше энергия сродства, а следовательно, чем больше A смещается в область отрицательных значений. При этом требование гладкости поверхности образца обусловлено рамками рассматриваемой модели, когда граница раздела описывается посредством плоскости. Также отметим, что в процессе абсорбции будут увеличиваться концентрация H внутри образца и, как следствие, значение A, что приведет к изменению свойств эффективного потенциала, в частности, к уменьшения эффективной дальности взаимодействия H и образца.

Также можно предположить, что взаимодействие с поверхностью более сложных квантовых систем (например, ион H+) будет приводить к существенному перераспределению электронных плотностей по сравнению со свободным случаем, что, в свою очередь может, приводить к возникновению новых нетривиальных свойств таких систем и несомненно должно являться предметом дальнейшего изучения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Jaskolski W. // Phys. Rep. 1996. 271. P. 1.

2. Sabin J.R., Brandas E.J. (eds) // Theory of Confined Quantum Systems. Adv. Quant. Chem. 57-58. Elsevier. Amsterdam. 2009.

3. Sen K.D. // Electronic Structure of Quantum Confined Atoms and Molecules. Springer. 2014.

4. Levine J.D. // Phys. Rev. A. 1965. 140. P. 586.

5. Liu Zh, Lin D.L. // Phys. Rev. B. 1983. 28. P. 4413.

6. Babiker M, Tilley D.R. // Proc. R. Soc. A. 1981. 378, N 1774. P. 369.

7. Kovalenko A.F., Sovyak E.N., Holovko M.F. // Int. J. Quant. Chem. 42. 1992. P. 321.

8. Yueh Shan, Tsin-Fu Jiang, Lee Y.C. // Phys. Rev. B. 1985. 31. P. 5487.

9. Cruz S.A., Ley-Koo E., Cabrera-Trujillo R. // Phys. Rev. A. 78. 2008. 032905.

10. Méndez-Fragoso R., Ley-Koo E. // Int. J. Quant. Chem. 2011. 111. P. 2882.

11. Ley-Koo E., Garcia-Castelán R.M.G. // J. Phys. A. 1991. 24. P. 1481.

12. Cruz S. A., Ley-Koo E., Marm J.L., Taylor-Armi-tage A. // Int. J. Quant. Chem. 1995. 54. P. 3.

13. Ley-Koo E., Volke-Sepulveda K.P. // Int. J. Quant. Chem. 1997. 65. P. 269-275.

14. Ley-Koo E., Mateos-Cortes S. // Int. J. Quant. Chem. 1993. 46. P. 609.

15. Ley-Koo E., Mateos-Cortes S. // Am. J. Phys. 1993. 61. P. 246.

16. Chaos-Cador L., Ley-Koo E. // Int. J. Quant. Chem. 2005. 103. P. 369.

17. Shan Y. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1990. 23. L1.

18. Kovalenko A.F., Holovko M.F. // J. Phys. E: At. Mol. Opt. phys. 1992. 25. L233-L236.

19. Wethekam S., Valdes D., Monreal R.C., Winter H. // Phys. Rev. B. 2008. 78. 75423.

20. Monreal R. C., Goebl D., Primetzhofer D., Bauer P. // Nucl. Instr. 2013. B315. P. 206.

4

4

21. Sen K.D., Pupyshev V.I., Montgomery H.E. // Adv. Quant. Chem. 2009. 57. P. 25.

22. Al-Hashimi M.H., Wiese U.-J. //Ann. Phys. 2012. 327. P. 1.; ibid. 2012. 327. P. 2742.

23. Свешников К. А., Толоконников А. В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2013. № 1. С. 14. (Svesh-nikov K.A., Tolokonnikov A. V. // Moscow Univ. Phys. Bull. 2013. 68. P. 13.)

24. Sveshnikov K, Roenko A. // Physica B: Cond. Mat. 427. 2013. P. 118.

25. Свешников К. А., Силаев П. К., Толоконников А. В. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2017. № 1. С. 29. (Sveshnikov K. A., Silaev P. K., Tolokonnikov A. V. // Moscow Univ. Phys. Bull. 2017. 72. P. 29.)

26. Sveshnikov K., Tolokonnikov A. // Eur. Phys. J.D. 71. 2017. P. 193.

27. Artyukova S., Sveshnikov K., Tolokonnikov A. // Int. J. Quantum Chem. 2019. e25965.

28. Артюкова С. А., Свешников К. А., Силаев П. К., Толоконников А. В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2019. N. 4. С. 20. (Artyukova S.A., Sveshnikov K.A., Silaev P.K., Tolokonnikov A. V. // Moscow Univ. Phys. Bull. 2019. 74, N 4. P. 328.)

29. Wigner E., Sietz F. // Phys. Rev. 1933. 43(10). P. 804.

30. Wigner E., Sietz F. // Phys. Rev. 1934. 4б(б). P. 509.

31. Amusia M. Ya., Baltenkov A.S., Krakov B.G. // Phys. Lett. A. 1998. 243. P. 99.

32. Бейтмен Г., Эрдейи А. // Высшие трансцендентные функции. 1. М.: Наука, 1973.

33. von Neumann J., Wigner E.P. // Phys. Z. 1929. 30. P. 465; ibid. 1929. 30. P. 467.

34. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. // Квантовая механика. 3. М.: Наука, 1974.

35. Сьярле Ф. // Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

36. James M.C., Croot A., May P.W., Allan N.L. // J. Phys.: Condens. Matter. 2018. 30. 235002.

A Hydrogen Atom above a Plane with the "Not Going Through" Boundary Condition S.A. Artyukova, K.A. Sveshnikov, P. K. Silaev, A. V. Tolokonnikova

Department of Quantum Theory and High Energy Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University. Moscow 119991, Russia. E-mail: atolokonnikov@physics.msu.ru.

This article studies the behavior of the electronic levels of a hydrogen atom in a space bounded by a flat surface on which a condition of the spatial confinement of electronic wave functions is specified. It is shown that a significant amount of energy can be released during adsorption of hydrogen atoms by a sample with a clean smooth surface, high affinity, and low initial internal hydrogen concentration. The results are obtained using both direct numerical calculation using the finite element method and variational estimates based on the selection of special test functions.

Keywords: confinement, Robin boundary condition, third type boundary condition, hydrogen atom above the plane. PACS: 31.15.A-, 32.30.-r, 34.35.+a. Received 17 June 2009.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2019. 74, No. 5. Pp. 464-472.

Сведения об авторах

1. Артюкова Светлана Александровна — студент; тел.: (495) 939-1647, e-mail: s.artyukova@physics.msu.ru.

2. Свешников Константин Алексеевич — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-1647, e-mail: costa@googol.bog.msu.ru.

3. Силаев Петр Константинович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-1647, e-mail: silaev@bog.msu.ru.

4. Толоконников Андрей Владимирович — мл. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-1647, email: tolokonnikov@physics.msu.ru.