CC BY
13
Спонтанное нарушение симметрии при конфайнменте атомов
с условием Робина
К. А. Свешниковa, П. К. Силаев, А. В. Толоконниковb
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой теории и физики высоких энергий.
Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: a costa@googol.bog.msu.ru, b tolokonnikov@physics.msu.ru Статья поступила 24.05.2016, подписана в печать 11.07.2016.
В работе исследованы свойства основного состояния атома водорода в сферической вакуумной полости при общих граничных условиях «невылетания» (исчезновения потока через границу полости). Показано, что, в отличие от запирания атома потенциальным барьером, в данном случае в зависимости от параметров полости атом может как находиться в устойчивом равновесии в центре полости, так и смещаться из центра к периферии, т. е. имеет место эффект спонтанного нарушения сферической симметрии. Построены фазовая диаграмма эффекта и зависимость смещения и энергии связи основного состояния атома от параметров полости. При этом деформационные свойства электронной ВФ для несимметричного искажения оказываются настолько нетривиальны, что ненулевое смещение возникает и в случае отталкивания электрона от границы полости.
Ключевые слова: конфайнмент, условия 3-го рода, условия Робина, спонтанное нарушение симметрии.
УДК: 539.186.3. PACS: 31.15.ve.
Введение
В связи с развитием современных технологий в последнее время все более активно ведутся теоретические и экспериментальные исследования кон-файнмента атомных систем в вакуумных полостях различной геометрии [1-3], в частности эндоэдраль-ного конфайнмента атомов и молекул в фуллере-нах [4, 5], захвата атомов и молекул в углеродных нанотрубках и цеолитах [6], растворенного в металлах типа палладия и титана водорода [7, 8], вещества под высоким давлением [9].
Начиная с работы Мишеля и де Боера [10] основное внимание до настоящего времени уделялось свойствам атомов и молекул, удерживаемых в полости частично или полностью непроницаемым потенциальным барьером [11-15]. Однако в общем виде условие «невылетания» частицы из полости П означает, что на ее границе X исчезает лишь нормальная компонента тока вероятности
njL = °>
где
h
j = (ф* у Ф - Ф VФ*).
J 2mi v 7
(1)
(2)
близко к границе полости с ненулевой вероятностью. Если А = 0, т.е. если контактное взаимодействие частицы с окружением полости на границе X отсутствует, то условие (3) становится граничным условием Неймана
(n V )Ф(г)|геЕ = 0,
(4)
которое не только не означает удержания частицы внутри полости П, но и наоборот, может соответствовать ситуации, когда частица является принципиально делокализованной, как в модели щелочного металла Вигнера-Зейтца [11]. Поэтому состояние «невылетания» квантовых частиц в полости с условием Неймана на границе представляет особый интерес, т. к. в упорядоченных структурах однотипные вакуумные полости могут образовывать пространственную решетку. Если же А ^то, то условие (3) превращается в граничное условие Дирихле
Ф(г) | reE = 0
(5)
Общий вид линейного по Ф соотношения, удовлетворяющего (1), задается граничным условием 3-го рода (Робина)
[(п V) + А(г)] Ф(г)|гёе = 0, (3)
где А(г) — вещественная функция, имеющая смысл контактного взаимодействия частицы с границей полости. При этом условие (3) не предполагает исчезновения тангенциальной к X компоненты , поэтому частица может находиться сколь угодно
которое моделирует удержание частицы непроницаемым потенциальным барьером.
В большинстве работ, посвященных удержанию атомов и молекул в полости правильной геометрии (сфера, эллипсоид, многогранники), предполагается, что они находятся в геометрическом центре полости [1, 3, 16-19]. Это, разумеется, верно при условии Дирихле (5), но для случая общего граничного условия Робина за счет взаимодействия с границей и нетривиальных деформационных свойств электронной ВФ исходная симметрия может спонтанно нарушаться, причем для случая как притяжения к границе полости (А <0), так и отталкивания (А >0). В настоящей работе такой эффект спонтанного нарушения исходной сфериче-
15 ВМУ. Физика. Астрономия. № 1
скои симметрии задачи рассматривается на примере основного состояния атома водорода в сферической полости с граничным условием (3). В частности, рассматриваются параметры полости, при которых положение атома в центре полости перестает быть устойчивым и возникает его смещение относительно центра полости. Построена фазовая диаграмма эффекта и найдена зависимость величины смещения от параметров полости. Специальное внимание уделяется методам численного анализа задачи, так как в определенных диапазонах значений параметров полости для корректного расчета эффекта смещения требуется учет вклада от угловых моментов вплоть до п ~ 1000, а также «длинная» арифметика, позволяющая учитывать изменение амплитуд колебания осциллирующих подынтегральных функций на десятки порядков.
1. Вариационный подход для эффекта смещения
Смещение ядра атома водорода, находящегося в сферической полости радиуса Я с граничным условием (3), относительно ее центра возникает уже при рассмотрении вариационной задачи со специальным выбором пробной функции. Пусть контактный потенциал на границе полости X задается постоянной Л, тогда исходная задача сферически симметрична. Допустим, что ядро атома смещено на вектор a относительно центра полости, тогда в адиабатическом приближении соответствующее УШ для электронной ВФ в системе координат центра полости имеет вид
У 2т |г - _\)
Ф = ЕФ,
а условие (3) запишется в виде
(дТ + Л)
Ф
= 0.
(6)
(7)
т=Я
Далее для удобства сравнения различных результатов используем универсальные единицы, где Н = с = 1, волновое число и энергия выражаются в единицах массы электрона т, а расстояния — в единицах его комптоновской длины 1/т (тогда ав = 1/а ^ 137).
Соответствующий (6), (7) энергетический функционал с условием нормировки (Ф|Ф) = 1 имеет вид
Е [Ф] =
> Ф'2 -1Т-_
|Ф|
Л + 2
|Ф|2. (8)
Теперь положим а = (0,0, а) и, учитывая аксиальную симметрию задачи, пробную функцию выберем в виде разложения по многочленам Лежандра
N
Ф=
п=0
С
^п
72П
Яп(г)Рп(ео8 в),
(9)
где радиальные функции аналогичны нижним водородным уровням с орбитальным моментом п
Яп(г) = с1пГпе-^г, 4 =
/
2п + 1 (27п)2п+3
2 Г(2п+3,0,27пЯ)' (10)
Здесь Сп и 7п — вариационные параметры, а Г(а, г0, г1) = Г(а, г0) — Г(а, г1), где Г(а, г) — верхняя неполная гамма-функция.
Подстановка анзаца (9) в условие (7) позволяет однозначно определить параметры 7п:
л
1п = Я + Л,
после чего функционал (8) приобретает вид
(11)
N N
^ ^ С'пСт {¡К$пт — 2а!СПт + Л^бпт — Е5пт) = 0,
п=0 т=0
(12)
где ¡^ и ¡х — кинетический и поверхностный члены
¡К =
сп
(2 п + 1)(27п )2п +1
4Г(2п + 3,0, 27пЯ) — пГ(2п + 2,0, 27пЯ) +
+ п(2п + 1)Г(2п + 1,0, 27пЯ)
, х = сп
¡п 2 п + 1
д2 п+2е-21и Я
(13)
а кулоновское слагаемое ¡ Ст раскладывается по 3] -символам в следующем виде:
/ \ 2 п+т ( ,\
С
¡ Ст =
т
п тк
+т
V
к= т 0 0 0
I'
тк
(п т к\ 000
(14)
Г(к + п + т + 3,0, (7п + 1т)а)
+
ак+1(^п + 7т)к+п+т+3 + ак Г(п + т — к + 2, (7п + Чт)а, (7п + 7т)Я)
а (1п + 1т)п+т-к+2
Задача поиска энергии основного состояния сво-
дится к нахождению нуля функции сшивки вида
] (Е) = Ы\1К 5пт — 2а1 Ст + Л1^5пт — Е 5п
(15)
для фиксированных значений параметров полости Я, Л и а .В настоящей работе поиск нуля ] (Е) осуществлялся посредством метода Брента-Деккера с относительной ошибкой < 10-8, а параметр обрезания по количеству гармоник N = 10.
На рис. 1 штриховой линией изображено поведение энергии основного состояния атома как функция смещения ядра относительно центра полости Е = Е(а) для параметров полости Я = 600 и Л = 0.2 а. Соответствующую этому набору параметров полости точную энергию Е0 основного состояния атома, расположенного в центре полости, можно найти [20, 21], решая уравнение вида
[а/7 + (Л — 7)Я — 1]Фя + [1 — а/7]Фй (+) = 0, (16)
х
х
Значения Е0 — Ет^ (эВ) как функция R и А
Д А/а 200 400 600 800 1000 1200 1400
0.5 —0.473 —0.388 — 1.669 —2.839 —3.279 —3.362 —3.362
0 1.425 4.673 4.005 2.169 0.512 —0.843 — 1.963
—0.5 4.530 11.312 12.968 12.078 9.977 8.086 6.505
— 1 8.001 16.233 17.719 17.241 16.213 15.082 13.998
— 1.5 11.221 19.188 19.890 18.887 17.494 16.1 14.822
А = 0.2а
Рис. 1. Зависимость энергии основного состояния Е от а. Штриховая линия — вариационный подход, сплошная — точное численное решение
где
ФД = Ф(Ь,2,27Д),
Фд (+) = Ф(Ь + 1,2,27Д), (17)
7 = V —2Ео, Ь = 1 — а/7,
а Ф(Ь, с, г) — вырожденная гипергеометрическая функция 1-го рода (функция Куммера). Для Д = 600 и А = 0.2а энергия Е0 = —13.88 эВ, минимум вариационной кривой ЕтШ = Е(ат;п) достигается при атш = 451.97 и равен — 14.97 эВ, что однозначно свидетельствует о наличии смещения ядра атома относительно центра полости. Обратим внимание, что при этом А >0, т.е. ненулевое смещение атома имеет место и в случае отталкивания электрона от границы полости. Казалось бы, в этом случае атом должен находиться в центре полости, но деформационные свойства электронной ВФ оказываются настолько нетривиальны, что и при А >0 энергетический минимум соответствует ненулевому смещению атома из центра полости.
Рис. 1 также показывает, что анзац (9) дает только качественно правильные результаты для эффекта смещения. Результаты численных расчетов Е0 — Ет;п для различных значений параметров полости представлены в таблице, из которой следует, что наличие смещения и величина Е0 — Ет;п существенно зависят от параметров полости д и А. Для А = 0.5а эффект смещения в исследуемом диапазоне Д € [200, 1400] не наблюдается, но уже для А = 0 значение Е0 — ЕтШ = 4.673 эВ при Д = 400, и с уменьшением А это значение увеличивается, достигая величины 19.890 эВ при А = —1.5а
и Д = 600. При этом данные в таблице показывают, что для фиксированного А (за исключением А = 0.5, когда пробная функция (9) уже неадекватно воспроизводит свойства основного состояния) с уменьшением Д величина Е0 — Ет;п ^ 0, а соответствующая минимуму ВФ основного состояния стремится стать сферически симметричной.
2. (Квази)точный анализ эффекта смещения
Использование анзаца (9) для описания эффекта смещения не позволяет получить характеристики основного состояния атома с достаточной для полноценной картины происходящего точностью. Точное численное решение задачи реализуется следующими способами. Спектральная задача для электронной ВФ имеет два актуальных представления:
7Дг"
дг + А
а
|Т—а")
Ф = Е Ф,
Ф
(18)
= 0,
г=Д
когда начало координат находится в центре полости, либо
—1 Л, — = Е ф,
+в двоф+Аф
= 0,
где
ге + а с08 0' а 8т 0' А =-—-, В = —
Д
Дп
Е
(19)
(20)
когда начало координат совмещено с ядром атома. Здесь г и г' — радиусы-векторы электрона из центра полости и из ядра атома соответственно, а
ге = VД2 — а2(1 — С082 0') — а С08 0'
(21)
— расстояние от ядра атома до границы полости в «штрихованной» системе отсчета, связанной с ядром. Конкретный выбор системы координат определяется из соображений эффективности для каждого набора параметров Д, А и а.
Начнем с первого варианта, когда начало координат совмещено с центром полости. Снова положим а = (0,0, а), чтобы иметь аксиально симметричную задачу, и будем искать решение (18) в виде
ф = £ МОРп(со8 в).
(22)
Г=ГЕ
Подставляя (22) в (20), получим бесконечную систему уравнений для радиальных функций ип(г)
Hkuk(r) + 2^Bkl(r)ui(r) = 0, k, l = 0, 1,2.....
где
Hk =
d2 k(k + 1)
dr 2
+ 2E,
(23)
(24)
а функции Бы (г) определяются при помощи 3/-сим-волов в виде
Bki (r) = (2k + 1) х
(25)
Ыр (гп/ап+\ г < а,\ р I п\ Х ап/гп+х, г > а) \0 0 0
Граничное условие модифицируется следующим образом:
Яи'к(Я) + (ХЯ - 1)ик(Я) = 0, Ы = 0,1,2,.... (26)
Система (23)-(26) эффективно решается численно при помощи метода стрельбы с обрезанием по числу гармоник N. В данной работе стрельба производится посредством явного адаптивного метода Рунге-Кутты 5(4)-го порядка с относительной ошибкой < 10-12 из центра полости и от границы полости в промежуточную точку г = а, где осуществляется сшивка. Систематическая ошибка, связанная с обрезанием по числу гармоник, поддерживается в пределах 5% от Е0 - Ет;п. Соответствующий параметр обрезания колеблется в пределах N е [18,32] в зависимости от параметров Я, X и а.
Рассмотрим теперь вариант, когда начало координат совмещено с ядром атома. Тогда ищем решение (19) в виде
Ф = V Pn(COS в').
(27)
В результате подстановки (27) в (19) радиальные функции un(r') приобретают вид
un(r')= r'n+1e-Yr'Ф(п + 1 - a/Y, 2n + 2,2jr'),
Y = V-2E,
(28)
а граничное условие из (19) превращается в бесконечный набор алгебраических уравнений
Y^CnDkn = 0, k, n = 0, 1,2,....
(29)
где коэффициенты Dkn являются интегралами вида
Dkn =
^dz(\A(u<n(r') - ^ -1
+ Bun(r')Pk(z)P1(z)
+ Xun(r')
Pk(z)Pn(z) +
z = cos в'. (30)
Поиск энергии основного состояния сводится к нахождению нуля функции сшивки ёе! \Окп\ после обрезания по числу гармоник N. В настоя-
щей работе численное интегрирование реализуется методом Гаусса-Кронрода с применением длинной арифметики и относительной ошибкой < 10-18. Использование длинной арифметики необходимо, так как подынтегральные функции в (30) представляют собой осциллирующие функции, амплитуда колебаний которых может изменяться на десятки порядков. Проверка результатов расчетов проводилась с использованием численного решения системы (23)-(26). Систематическая ошибка, связанная с обрезанием по числу гармоник, поддерживается в тех же пределах, как и у предыдущего варианта, причем соответствующий параметр обрезания колеблется в пределах N G [12, 16] в зависимости от параметров R, X и a.
Результат численного расчета E (a) для R = 600 и X = 0.2 a, когда начало системы отсчета совмещено с ядром атома, а параметр обрезания по числу гармоник N = 12, показан на рис. 1. В отличие от вариационной задачи из разд. 1, предел E (a) при a — 0 совпадает с соответствующим E0, энергетический минимум хорошо выражен и смещен относительно центра полости существенно сильнее: Emin = -18.31 эВ при amin = 533. При a — R наблюдается заметный рост E(a), что отвечает эффективному потенциалу для ядра атома с достаточно высоким для того, чтобы ядро оставалось внутри полости, барьером у границы полости. Причем, благодаря массивности ядра M/m ~ 2000, протон будет находиться фактически в минимуме эффективного потенциала E(a).
Параметры полости R и X, при которых атом начинает смещаться из центра полости, находятся по соответствующему знаку d2E(a)/da2 при a — 0. В результате возникает зависимость Xcrit (R), показанная на рис. 2.
Х/а l.Or
0.9
0.8
0.7
Эффекта нет
Эффект есть
400 600 800 д 1000
Рис. 2. Зависимость Хсгц от Я
Исследуем теперь свойства основного состояния атома в полости, фиксируя значение Я и изменяя X. При этом будем рассматривать значения X, соответствующие масштабам реальных микропустот: если рассматривать более реалистичный подход к описа-
2
r
r' =rs
нию границы полости [20, 21], то вместо контактного потенциала на границе следует рассматривать потенциальную оболочку конечной ширины й, в которую может туннелировать находящийся в полости электрон и взаимодействовать в ней с окружением полости. В простейшем случае взаимодействие электрона с окружающей средой задается потенциалом, который можно аппроксимировать константой У0, т. е. предполагается, что взаимодействие электрона с ядром полностью экранируется. Такой потенциал используется, в частности, при описании захвата атомов внутри фуллеренов [5]. При этом величина V должна так зависеть от ширины оболочки й, чтобы при предельном переходе й ^ 0 такая потенциальная оболочка преобразовывалась в контактное взаимодействие
(31)
п2
Уой Л, й ^ 0.
2т
Соответствующие реальным микрополостям значения составляют У0 ~ 10 эВ и й ~ ав [8, 22], что отвечает Л ~ а. На рис. 3 показана зависимость Е0 — Етп от Л при фиксированных й, из которой следует, что с уменьшением значения Л величина Е0 — Етш существенно растет — в рассматриваемом диапазоне Л е [—1.2а, 0.8а] значение Е0 — Ет;„ меняется на 3 порядка для й = 300, 500, 700, 900. С другой стороны, рис. 3 демонстрирует, что в пределе Л ^ ЛсгИ величина Е0 — ЕтШ ^ 0.
эВ
25
Я = 300
---Я = 500
ХЧ 15 Х- X ---- Я ~ 700
-------- Л - 900
^5^
А/
а
Рис. 3. Зависимость Е0 — Етш от Л/а
— — — ——— — -03 ...
ЧОч\,
\ ч\
Я = 300 0.7 х NN
---д = 500 \ \
---- я- 700 0.6 \ \ \ \
-------- д- 900 0.5
0.4
0.3
-А/,
а
Рис. 4. Зависимость хтш от Л/а
Результаты для смещения ядра атома относительно центра полости и ее границы приведены на рис. 4 в виде зависимости хт;п = атШ/й от Л для фиксированных значений й. Из рисунка видно, что в пределе Л ^ ЛсгИ эффект смещения пропадает, однако с уменьшением значения Л величина смещения существенно растет. В рассматриваемом диапазоне значений Л величина атп меняется в пределах от 70.84 до 275.08 для й = 300, от 280.48 до 476.13 для й = 500, от 463.76 до 676.34 для й = 700, от 649.82 до 876.28 для й = 900. Такой эффект обусловлен тем фактом, что сферически симметричная для Л ^ Лсгц волновая функция с уменьшением значения Л < Лсгц начинает все больше деформироваться за счет увеличения вклада гармоник с п >0, что ведет к значительному росту величины ат;п. При этом для максимальной эффективности численного анализа расчеты для параметров полости й и Л таких, что хтт < 0.6, велись с использованием второго варианта решения, а для хт;п ^ 0.6 — первого. Причем параметр обрезания по числу гармоник N в обоих вариантах подбирался индивидуально для каждого набора й и Л. Как правило, чем больше значение хт;п, тем большее количество гармоник N требуется для приемлемой точности расчетов. Этим и обусловливаются указанные выше пределы изменения N. Отметим также, что в области Л ~ Лс„ь когда Е0 — ЕтШ ^ 0, для достижения необходимой точности на основании вычислений с различными N подбиралась специальная гладкая экстраполяцион-ная функция, позволяющая корректно учитывать вклады моментов вплоть до п ~ 1000.
Исследуем теперь свойства основного состояния атома в полости, фиксируя значение Л и изменяя й. На рис. 5-7 показаны зависимости Е0 — ЕтШ, хтШ и й — атш от й при фиксированных Л. Из рисунков явно видно, что при й < й*, где й* удовлетворяет для текущей Л соотношению Л = Лсгц(й*), эффект смещения отсутствует, а волновая функция сферически симметрична. В частности, для Л = 0.6а соответствующее значение й* = 200.88. При незначительных отклонениях от й* эффект смещения минимален, что хорошо видно на рис. 6, и обусловливается малым вкладом в волновую функцию от гармоник с п > 0. С ростом й эффект смещения быстро нарастает, так как вклад от гармоник с п > 0 в волновую функцию растет, причем с уменьшением Л скорость роста хтШ увеличивается. При этом значения й — атп достигают своего минимума: для Л = 0.6а он составляет 129.19 при йтш = 370.50, для Л = 0 — 55.57 при йтп = 547.03, для Л = —0.6а — 33.31 при йтШ = 788.33, для Л = —1.2а — 23.61 при йтп = 727.46. А значения Е0 — Етш для Л = 0.6а, 0, —0.6а достигают своего максимума, его значение составляет 0.84 эВ при йтах = 514.92, 7.18 эВ при йтах = 581.37 и 19.55 эВ при йтах = 857.35 соответственно. Для случая с Л = —1.2а в исследуемом диапазоне
Яо-25
20
15
10
5
- Л = 0.6а
--А = 0
—- Л = -0.6а ----- Л =-1.2а
/ / ^
Я
200
400
600
800
1000
Рис. 5. Зависимость Е0 — Ет-т от Я
200
400
600
800
1000
150
100
50
200
400
600
800
—- Я 1000
Рис. 7. Зависимость Я — атш от Я
Я е [100, 1000] максимумов не наблюдается. Далее с увеличением Я и соответствующим уменьшением кривизны границы полости Е0 — Ет;п выходит на асимптотическое значение, отвечающее режиму, когда атом находится над плоскостью с граничным условием (3) на расстоянии, определяемом X. В свою очередь Я — ат1п с увеличением Я также стремится к асимптотическому значению, соответствующему расстоянию от атома до плоскости, причем тем быстрее, чем меньше X. Задача об атоме над плоскостью требует отдельного исследования, поскольку при этом друг на друга накладываются две различные симметрии — сферическая кулоновская и цилиндрическая, связанная с плоскостью, и поэтому в данной работе подробно рассматриваться не будет.
Еще раз отметим, что при исследовании динамики ядра в адиабатическом приближении Е(а) выступает в роли эффективного потенциала. Причем за счет большой массы протон будет находиться фактически в минимуме этого потенциала, и, как следствие, приведенные выше результаты для энергетического минимума электронной ВФ будут справедливы и для положения атома в полости как целого.
Заключение
Вышеприведенный анализ эффекта спонтанного нарушения сферической симметрии при общем граничном условии «невылетания» (3) показывает, что, в отличие от запирания потенциальным барьером, когда существенную роль играет только «упругость» электронной ВФ по отношению к равномерному сжатию, в данном случае в гораздо большей степени проявляются нетривиальные деформационные свойства ВФ при несимметричном искажении за счет взаимодействия с границей полости. Как следствие, рассмотренные в работе свойства основного состояния атома водорода оказываются существенно различными в зависимости от параметров полости. В частности, в рассмотренных в работе диапазонах для X и Я атом может находиться как в центре полости, так и на ее периферии. Причем для определенных значений Я и X соответствующая энергия связи атома в результате эффекта смещения может достигать значений, превышающих энергию связи атома в центре полости на десятки эВ, а в пределе Я ^ Я* энергия связи и расстояние от атома до границы полости стремятся к значениям, определяемым задачей об атоме над плоскостью с граничным условием (3), а отнюдь не к сферически симметричной конфигурации, которую можно было бы предположить на основе исходной симметрии задачи. Можно также заранее утверждать, что более сложные системы типа молекулярного иона водорода в полости с граничным условием (3) ведут себя еще менее тривиально, а соответствующие результаты будут изложены в отдельной работе.
Заметим также, что спонтанное нарушение симметрии и в атомной системе с конечным числом степеней свободы, как и для теоретико-полевых/статистических систем, происходит по тому же общему сценарию от возникновения ненулевого квазисреднего (в данном случае это смещение атома из центра полости) до голдстоуновских мод, которые представляют собой колебания спонтанного квазисреднего в направлениях, отвечающих его изменениям под действием группы симметрии (в данном случае БО(3)). В свою очередь, эти моды трансформируются в групповые (коллективные) переменные, которые соответствуют вращательным степеням свободы атома как целого. В результате стационарные состояния атома становятся состояниями вращения относительно центра полости с квантовыми
Рис. 6. Зависимость хт|П от Я
числами JM] полного углового момента, а исходная симметрия тем самым восстанавливается, поскольку в таких состояниях смещение атома становится равномерно «размазанным» по всем направлениям.
Список литературы
1. Sen K.D., Pupyshev V.I., Montgomery Jr. H.E. // Adv. Quant. Chem. 2009. 57. P. 25.
2. Ley-Koo E. // Adv. Quant. Chem. 2009. 57. P. 79.
3. Sen K.D. // Electronic Structure of Quantum Confined Atoms and Molecules. Springer, 2014.
4. Ren Y.X., Ng T.Y., Liew K.M. // Carbon. 2006. 44. P. 397.
5. Dolmatov V.K., Baltenkov A.S., Connerade J.-P., Man-son S.T. // Radiation Physics and Chemistry. 2004. 70. P. 417.
6. Yurenev P.V., Scherbinin A.V., Pupyshev V.I. // Int. J. of Quantum Chemistry. 2006. 106. 2201.
7. Caputo R, Alavi A. // Mol. Phys. 2003. 101:11. P. 1781.
8. Fukai Y. // The Metal-Hydrogen System. Basic Bulk Properties. 2nd ed. B.: Springer, 2005.
9. Dutt R, Mukherjee A., Varshni Y.P. // Phys. Lett. A. 2001. 280. P. 318.
10. Michels A, deBoer J, Bijl A. // Physica. 1937. 4. P. 981.
11. Wigner E., Seitz F. // Phys. Rev. 1933. 43. P. 804.; Ibid. 1934. 46. P. 509.
12. Jaskolski W. // Phys. Rep. 1996. 271. P. 1.
13. Diaz-Garcia C., Cruz S.A. // Int. J. of Quantum Chemistry. 2008. 108. P. 1572.
14. Zicovich-Wilson C., Jaskolski W., Planelles J. // Int. J. of Quantum Chemistry. 1995. 54. P. 61.
15. Ley-Koo E., Cruz S.A // J. Chem. Phys. 1981. 74(8).
16. Свешников К.А., Толоконников А.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2015. № 3. С. 17. (Sveshni-kov K.A., Tolokonnikov A.V. // Moscow University Phys. Bull. 2015. 70. N 3. P. 181.)
17. Scherbinin A.V., Pupyshev V.I. // Russ. J. Phys. Chem. 2000. 74. P. 292.
18. Al-Hashimi M.H., Wiese U.-J. // Annals of Physics.
2012. 327. P. 2742.
19. Connerade J.P., Lyalin A.G., Semaoune R. et al. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2001. 34. P. 2505.
20. Свешников К.А., Толоконников А.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2013. № 1. С. 14. (Sveshni-kov K.A., Tolokonnikov A.V. // Moscow University Phys. Bull. 2013. 68. N 1. P. 13.)
21. Sveshnikov K., Roenko A. // Physica B: Cond. Mat.
2013. 427. P. 118.
22. Theory of Confined Quantum Systems. Adv. Quant. Chem. 57-58 / Ed. by J.R. Sabin, E.J. Brandas. Amsterdam: Elsevier, 2009.
Confinement of atoms with Robin's condition: spontaneous symmetry breaking K. A. Sveshnikova, P. K. Silaev, A.V. Tolokonnikov b
Department of Quantum Theory and High Energy Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a costa@googol.bog.msu.ru, b tolokonnikov@physics.msu.ru.
The properties of the ground state of the hydrogen atom in a spherical vacuum cavity with general boundary "not going out" conditions (i.e., when the probability current through the boundary vanishes) are studied. It is shown that in contrast to the confinement of an atom by a potential barrier, in this case depending on the parameters of the cavity, the atom could be in stable equilibrium at the center of the cavity or shift towards its periphery: spontaneous breaking of spherical symmetry occurs. The phase diagram of the shift and the dependence of the shift value and the binding energy of the ground state of the atom on the cavity parameters are presented. At the same time, the deformation properties of the electron wave function (WF) for an asymmetric distortion are so nontrivial that a non-zero shift occurs even when an electron is repulsed from the cavity boundary.
Keywords: confinement, third type boundary condition, Robin boundary condition, spontaneous symmetry
breaking.
PACS: 31.15.ve.
Received 24 May 2016.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2017. 71, No. 1. Pp. 29-35.
Сведения об авторах
1. Свешников Константин Алексеевич — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-16-47, e-mail: costa@googol.bog.msu.ru.
2. Силаев Петр Константинович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-16-47, e-mail: silaev@bog.msu.ru.
3. Толоконников Андрей Владимирович — мл. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-16-47, e-mail: tolokonnikov@physics.msu.ru.
