CC BY
9Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.1.1995
УДК 536.46
Асимптотика стационарной волны горения для
АВТОКАТАЛИТИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ 1-ГО ПОРЯДКА
В настоящей работе излагается конструкция асимптотики стационарной волны горения для автокаталитической реакции первого порядка в конденсированной среде (Ье = 0, Ье - число Льюиса) и в газе (Ье > 0). Выписаны старшие члены асимптотики решения по малому параметру 7, имеющему смысл относительной ширины зоны химической реакции, а также асимптотика безразмерной скорости горения.
1.Введение. В системе координат, связанной с фронтом пламени, задача о стационарной волне горения описывается следующей системой относительно температуры Т и относительной концентрации горючей компоненты а [1]:
где штрих означает дифференцирование по пространственной координате £, А - теплопроводность, с - теплоемкость, р - плотность, О -коэффициент диффузии горючей смеси, ф - тепловой эффект реакции, т - искомая массовая скорость горения. Скорость химической реакции ш задаётся формулой:
Температурная завйсимость к(Т) описывается так называемым законом Аррениуса:
Т. В. Кондратьева, В.М.Холопов
(АТ ')' ~ стТ Ч фи; = 0, (Вра'У — та' — ш = 0,
(1)
(2)
ю — к(Т)<р(а).
© Т.В.Кондратьева, В.М.Холопов, 1995-155
где Е - энергия активации, R - универсальная постоянная, к$ - пред-экспоненциальный фактор. Функция (р(а) характеризует скорость реакции в изотермических условиях. В случае автокаталитической реакции первого порядка (р(а) задается формулой:
<р(а) = (а* - а)а,
где а* - критерий автокаталитичности. При 1 < а* < 2 в интервале а*/2 < а < 1 происходит самоускорение реакции.
Система уравнений (1) - (2) имеет первый интеграл
А Т ' + cm (Г* - Г) + QDpa' - Qma = О, Г* = то + (3)
записанный в предположении
£ = -оо : Г = Го, а = 1. (4)
Это предположение, означающее, что при начальной температуре Т0 скорость реакции равна нулю, требует искусственного выполнения условия к (То) = 0 [2], при котором уравнения (1), (2) сохраняют смысл промежуточной асимптотики [3]. В силу Т 1 = а' = О при £ = -foo температура Г* =То + Q/c оказывается температурой полностью прореагировавшего вещества ( температура горения )
£ = +оо ; Г — I7*, а — 0. (5)
С помощью Т* введем следующие безразмерные переменные и параметры
Г* - Г , , АТ '
< = 7WV = “ = aW'
ДГ 2с Т* - Го ' D/9C т2с
7 = W’ = ~
При этом система (1) - (2) с учетом (3), (4) и (5) примет вид:
Наряду с неизвестными функциями р(1;) и а^) в системе (б) - (7) искомой является и величина и> - безразмерная скорость горения. Наличие лишнего граничного условия позволяет в принципе ее определить. Будем предполагать малость параметра 7 и с его помощью будем строить приближенное асимптотическое решение задачи. Этот параметр имеет ясный физический смысл. Легко убедиться, что при уменьшении температуры горения Т* на величину КГ^/Е скорость реакции к{Т) уменьшается в е й 2,718 раз. Этот интервал температур, отнесенный к характерному интервалу Т* —.То = Р/с, и составляет величину 7. Таким образом, 7 имеет смысл относительной ширины зоны химической реакции. Требование малости 7 согласуется с представлениями о фронте пламени.
Переход от системы (1) - (2) к системе (6) - (7) предполагает монотонность температурного профиля Т(£). Существование такого решения для системы (1) - (2) (и единственность при Ье < 1) доказаны в работе [4]. Для частного случая Ье — 1 существование и единственность решения исследовались многими авторами ( смотри, наприме'р, [1,2] ). В особом случае Ье = О эти вопросы и оценки скорости подробно обсуждаются в работе [5].
То обстоятельство, что правая часть уравнения (6) сосредоточена в малой (порядка 71п 1/7) окрестности точки < = 0, а вне этой окрестности экспоненциально мала при 7 —► 0, послужило основой для применения метода сращивания асимптотических разложений [6] при решении систем, подобных (б) - (7) [7,8], сущность которого заключается в сращивании так называемых ’’внешнего решения” £>(£), а(£), справедливого вне этой окрестности, и ”внутреннего” р(£), а(£), справедливого внутри данной окрестности.
2.Решение задачи для конденсированной среды ( Ье = 0 ).
В этом случае из (7) имеем р — а — I и задача сводится к одному уравнению относительно а
где у = 7-ш. Устремляя в последнем 7 к нулю, для внешнего решения
Для построения внутреннего решения перейдем в (8) к переменной
а получаем уравнение — = 0, а(1) = 1. Откуда находим а(<) = 1.
т
_ І
~ 1
йа
а а*
а)
с1т сиу(а — Г7) \ 1 — ^77-
Внутреннее решение а будем искать в виде
, а(0) = 0.
(9)
а = «о + 7Ш + 72«2 + • ■ •> ^ + 7^1 + 72^2 +------ (Ю)
Условие сращивания внешнего решения а = 1 и внутреннего решения а(т) состоит в требовании а(0) = а(оо), то есть
а0(оо) = 1, аДоо) = 0 (г > 1).
(П)
Подставляя (10) в (9), раскладывая правую часть по степеням 7 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 7, получим уравнения для определения ао,.а1,а2, Для а0 имеем
с/а0
•(а* ~ во),. ао(О) = 0.
Откуда находим
((1 _ е(Гт-1)/*«). Из условия сращивания (11) получаем
1
Щ
1п
(12)
(13)
а* - 1
Для ах имеем уравнение
йал е~
е г(а0 — а») / аог/1
т + афт2 ) , ах (0) = 0.
щ а о^о \ Щ
Решая это линейное неоднородное уравнение, находим
~ I Пт) + / 1 - 5
где
е*-т^—- ^/(г) + £ ^/лз2 - е-*-е~а/иЧ8
(14)
/(г) = (е~е~т!щ - е~1/ио^ .
Из условия сращивания (11) находим значение и\
1 Г°°
[Г?*/ I-
у і
(15)
Для а2 имеем следующее уравнение
dan е~т е~т (а^асл/\ anv?, N . ч
——f- а2------------------------------------------------------=-(-(а* — ttg) + йо(а* ~ —о)"~
ат и0 а0г/0 \ 1/0 г/о г/©
/ г/i a,aj \ , 2 f , /^oa*I'i ,
—(«о - «*)-----------+ т [ №&1 +
ч^0 йо / \ ио v0
+— - 1) +г3(ао - а*)(^ + /Ло) ] , а2(0) = 0.
«о / /
Откуда находим
а2 = ^ 7. _ e-./w) (ip. + („, _ ) (4 _ 2) +
V V ио \Vq г/о/
JC, fui, . 2 /
(s ~(«o ~ «*)------------+ M ^o®i
0 V^o «0 / \
Vo Щ
+— - Л + S3(% - a*)(yu + ^2а0)1 ----------------) • (16)
йо / /
Из условия сращивания (11) получаем
г/j2 г/0 /°° / г/j 2 (ца^их
г'2 = “~-----------—-------ГТТ^Т J (s~ (l~a*) + s ' - -
г/о (1 — a*)(l — е 1^°) Jo \ ио \ ио
i/iл \ \ P-s~e~slvo
I 1 \ , „3/- ' " - ' e
+ a* — 1 } + s (1 — а*)ц(1 + fi) }-------------ds. (17)
Щ J ) v0
Итак, асимптотика и имеет вид
г/ = i/0 + г/17 + i/272 + °(72))
где г/о, г/i и г/2 определяются формулами (13), (15) и (17) соответственно.
Составное решение a (£) определяется соотношением a(t) = a(t) + a(t/j) — a(oo) или с учетом условия сращивания (11) и формул (12), (14), (16) a(t) = a*(l - e^th~l)^) - 2e(2e-^-DM> (Vx{e-*-th/*o _ е-1/ч>)+
Vq \
X I (е-е"г/^0-е-1/1/0
, [ ^ („Л_____________________________£____________] 1 - р(е 1/1'1)/|/(|х
+ Л Г «.(1 - ес--ч/*)1 1
"о ^о У Уо V ЛЫ! - е(е"а"1)/1/0)
+ Г
о \ а*(1 — е^-2-1)/"0)у У
+ 52 /_^(е(2в"«-1)М _ е(3е—-1)/«^ч (и^е-е-/щ _ е-1/И)) +
V '
+Г(^-а,аг;^)^Нх
_,з(„ + ^а.С1 - ^-»М))^-»/-) + ■ • •
где г/о, г/ь и. 1/2 находятся по формулам (13), (15), (17) соответственно.
3.Решение задачи для газовой смеси ( Ье = 0(1) ). Устремляя 7 к нулю в (б) для внешнего решения р, а, имеем систему
§ + 1=0, р(1)=0, (18)
с?а р + ^-а , .
Ье -г- =--=--, а(1) = 1. (19)
Р
Легко убедиться, что условие а(1) = 1 выполняется автоматически, а константа интегрирования второго уравнения позволяет удовлетворить дополнительному условию а(0) = 0. Из первого уравнения находим
р(г) = 1 -г. (20)
Подставляя в уравнение (19) полученное выражение для р, получим:
т йа 1 — а Ье — — ------,
<И 1 — t
Откуда находим
Щ = 1 - (1 - *). (21)
Для построения внутреннего решения перейдем в системе (18) -(19) к переменной т = t^7. Получим
' ^ + 7=(£^ехР(--^-),Р(0)=0; (22)
ат ушр \ 1 — /*7 т)
ёа ур + ут-а
= т-----------, а 0 = 0. (23)
ат Ье р
Будем искать решение в виде рядов
£ = Рп + IVх + 72Р2 + • • •, о = йо + 7Щ + 72«2 + • • •>
и> — и>о 4- 7^1 + 7^2 + • • •) (24).
Условие сращивания внешнего решения р = 1 — 2 и внутреннего решения р(г) состоит в требовании р(0) = р(оо). Если в р(2) перейти к переменной г, получим р = 1 — 7Г. Следовательно,
£о = ^ £1----г’ Е- = 0 (г - 2)’ при г 00• (25)
Подставляя (24) в (18) - (19), раскладывая правые части по степеням 7 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 7, получим уравнения для определения а2,£2,---Очевидно,
что а0 = 0.
Для коэффициентов ^ий] имеем систему уравнений
Ф0 _ е та1а*
> £п(о) = °;
(1т ш0р0 -о
^—1 ^ /п\ п
— = Е, ш(0) = 0.
Решая ее, находим
ь=(^(1'-е''-гог-'
Из условия сращивания (25) получаем значение и>о
2а*
■ и>0
Ье'
(28)
Для коэффициента а2 получаем уравнение
У&2(0) = 0.
<1т Ье р0
Подставляя в него найденные значения р0 и аг и решая, находим
и/о
1
и)[
2а*Ье \ Ье; ,/0 \/1 — — ее'
Для коэффициента р получаем уравнение
-.йв.
(29)
& + 1 =
ат
а2а* - ат - а,а* (---------(- — + цт2 I , р (0) = 0.
а, \ 1Ш° £о "
Откуда имеем
1
&(г) = -да ь(,№+
^оРо(т-)
/ е 5 (й2а* — а2-Уо
, ^1 , , „2 | 1
йца* (--------1---------- —- -Ь цв I | ав
£0(5)
или с учетом (26), (27) и (29)
(30)
р (т) = -(1 - е-Т - те-г)“1/2 Г( 1 - е~5 - 5е-®)1/2С^+
Уо
2а*ы0
\/1 — е~г — ^е—2
( — + цэ2 ) ) ёв. (31
л
Ье2 Ье \и§
Из условия сращивания (25) с учетом (28) находим значение и\.
Ап ( /*+°° 1
и1 = ^1[ (1 - (1 - е"в - зе~в)1^з------1----3/2+
Ье \7о а»£е
(32)
Для коэффициента 03 с учетом (27) и (29) имеем уравнение
й?вд Ш()
с1т 2 ачЬе
(\ - -5-^) (1-е т - те г) 1/2 / ■ -йв-
\ Ье) Уо VI — е-* — ве~я
^ - т-) , .-,т аз(0) = о.
2а* \ Ье) 1 — е г — те т~ Откуда находим
г»г
аз = —г—7— ( 1 — Т" ) / -7===х 2а*Ье \ Ье) ]о \/1 — е~* — зе~°
г ■* .;»(.■ м г _*
Л VI — е-2 — ,ге~2 2а* \ Ье/ ./о 1 ” е —
X (1 — е~3 — 5е"*)"1/2 (~ I (1 — е~! ~ гё~*)Х^<1з +
1Л Г
2а*а^о Уо IV 2Ье \ Ье/ У0 у/1 — е~у — 2/е_!/
Ье2 Ье \а»о С учетом (33) для р2 имеем уравнение
* р + /<г2 (33)
Откуда, учитывая (26), находим
1
РЛГ)
^о£о(т)
I е~' - 2^Те - (&а* - h)х
х ^ + £і^Л _ -££і [ ^ _ w? _ £i(g) _ Ш&С*) Х £o(s)/ Le W0 шо Pn(s) woA,(s)
(34)
£2 _ £0* 0^1 Р^)
Ье2 Ье уа;0 ^(в)
где р , р15 а2, и а3 находятся по формулам (27), (41), (29) и (33) соответственно. Из условия сращивания (25) с учетом (26) и (28) находим и>ч
UJ2
+00
а^а* — 2 а9—--------а9а
Ье
L2U*
U\Le О Pi ,
-7— + м*+ — 1 +
2а* р.
2
S р
Ье\
Le ' 2Рла
• 2tt>i cfs Н------------------1-
£-0, 48^
со“* 2.0
а*Ье Ье2
Loj Ье
+ 6а>1 {I —
48 //2а*
(35)
2а* Le
Итак, с учетом (28), (32) и (35) асимптотика и имеет вид
ш = cuq + + W272 + °(72)>
где cjq, u>i и и>2 вычисляются по формулам (28), (32) и (35) соответственно.
Составное решение pit) определяется соотношением p(t) = p(t)+p(t/j) -р(оо) или, с учетом (20), (27), (31), (34, а также (25),
/ , ч 1/2
Р(0 = (l - е-‘Л - ~е~,/7)
7
1
=-</7 _ 1е-</7 7
-1/2
ft/7
X / (1
О
e"eTs01/2<*
5 _ І± Л _ e-'/T _ 1е-'/7
2а* V 7 у
-1/2
где o>i, а2, и а3 находятся по формулам (32), (29) и (33) соответственно.
Составное решение a(t) определяется соотношением a(t) = а(£) + a(t/y) — a(oо).
Переходя в a(<) к переменной г, получим
г(() = = J-^-^frV+i^U^rV+otT3)-
Условие сращивания внешнего решения a(t) = 1 — (1 — t)l/Le и внутреннего решения а(т) состоит в требовании а(0) = а(оо), то есть
т • 1 — Ье 2 1 — 3Le -(- 2Le2 о
а0 = 0, o,i ~ , а2 ~ ■-у-г , а3 ~1-г при г —► О,
Le 2Le 6Le
которые, как легко убедиться выполняются автоматически. Таким образом асимптотика a(t), с учетом (2.32.1), (26), (29) и (33) имеет вид
Г3 2 Гп 5
х / ■■ —- .-йхйв + / ---————— (1 — е 8—
Уо VI - е~2 - хе~2 Уо 1-е. -ее
-.о-/2 (-/<1 -«- - «-)■'**+£ /«- (£*
£ уйу "2
Ьеу Уо \/1 — е~у — уе~У Ье
#3
где и>\ вычисляется по формуле (32).
Несмотря на то, что здесь явно выписаны три члена асимптотики, построение дальнейших членов ряда не представляет принципиальных трудностей, а связано лишь с техническими трудностями.
Литература
1. Худяев С.И. Математическая теория горения и взрыва. Черноголовка, 1980.46 с. Препринт отд. ИХФ АН СССР.
2. Зельдович Я.Б. К теории распространения пламени //Ж. физ. химии. 1948.Т.22. № 1. С. 27-48.
3. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. 207 с.
4. Канель Я.И. О стационарном решении для системы уравнений теории горения //Докл. АН СССР.1963. Т. 149. № 2. С. 367-375.
5. Ваганов Д.А., Худяев С.И. Об одной стационарной задаче теории горения II Физ. гор. и взрыва. 1969. № 2. С. 167-176.
6. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.
7. Худяев С.И. К асимптотической теории стационарной волны горения //Хим. физика. 1987. Т.6. № 5. С. 681-691.
8. Ильин А.М., Худяев С.И. Об асимптотике стационарной волны горения в конденсированной среде // Хим. физика. 1989. Т.8. № 4. С. 525-532..
Summary
Kondratieva T.V.,Kholopov V.M. The asymptotic of Stationary Combustion Wave for Autocatalitic Reaction of the First Order
We suggest construction of asymptotic of stationary combustion wave for autocatalitic reaction of the first order in condensed phase (Le = 0, Le is the Lewis number) and in gas (Le > 0). We find first terms of asymptotic of solution over small parameter 7. We also find asymptotic of rate of combustion.
Сыктывкарский университет Поступила 8.02.95
