Асимптотика сечения плоскостью субримановой сферы на группе Энгеля вблизи анормальной траектории Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2079-3316 ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ №4(31), 2016, с. 161-176

УДК 517.977

А. Ю. Попов

Асимптотика сечения плоскостью субримановой сферы на группе Энгеля вблизи анормальной траектории

Аннотация. В работе найдена асимптотика кривой, являющейся пересечением единичной субримановой сферы на группе Энгеля с подпространством {х = ^ = 0} вблизи анормальной траектории. Из найденной асимптотики видно, что эта кривая не является аналитической в точке (1, 0, 0, 0).

Ключевые слова и фразы: субриманова структура, эллиптические интегралы, асимптотика.

1. Введение и постановка задачи

Задачи субримановой геометрии активно исследуются в течение последних 20 лет методами теории оптимального управления, дифференциальной геометрии, теории уравнений с частными производными [1-3]. С теоретической точки зрения субриманова геометрия является естественным обобщением римановой геометрии. С другой стороны, субримановы структуры возникают в разнообразных приложениях (классическая и квантовая механика, робототехника, обработка изображений).

Пусть имеется многообразие М, на котором задана система линейно независимых векторных полей [Хк}^=1. Субриманова задача может быть локально поставлена как задача оптимального управления

п

(1) д(1) = ^ик(1)Хк(д), д £ М, д(0) = до, 9^1) = 41,

к = 1

© © ©

А. Ю. Попов, 2016

Институт программных систем имени А. К. Айламазяна РАН, 2016 Программные системы: теория и приложения, 2016

в которой требуется найти такой набор функций действительной 1

.1

переменной [и]~У1=1 из пространства Ь(0, ¿1), чтобы величина

(2) >Х Ж Л

/Ш - м)

2

принимала возможно меньшее значение. Точная нижняя грань величин (2) называется субримановым расстоянием между точками до и Ц1 многообразия М и обозначается ¿(до,д1), а субриманова сфера радиуса Д с центром в точке до € М определяется как множество

ва(яо) = [ч € М | ¿(до,д) = К}.

В работах [4-6] изучалась субриманова структура на группе Эн-геля — пространстве М4, расстояние между точками которого порождается управляемой системой вида (1):

2 2

и<2Х — П1У х2 + у2 х = щ, у = и2, г= -^-, г) =-2-и2,

д = (х, у, х, у) € М4.

Эта математическая модель оказывается плодотворной при нахождении оптимальных движений мобильного робота с прицепом.

В [4-6] была получена параметризация геодезических, исследована их оптимальность, описано время разреза. На основе этих результатов мы находим асимптотику кривой, являющейся пересечением единичной субримановой сферы $ на группе Энгеля с центром в точке до = (0, 0,0,0) с подпространством [х = г = 0} вблизи анормальной

.3

траектории [х = 0,у = —Ь,г = 0/и = — ^}. Выяснилось, что второй член асимптотики столь быстро стремится к нулю при подходе кривой к точке (0, — 1, 0, — 6), что эта кривая не может быть в данной точке аналитичной, хотя и обладает бесконечной гладкостью. Отсюда, в частности, получаем несубаналитичность сферы $ (это свойство сферы было впервые обнаружено в [7]).

Из результатов работ [4-6] следует, что

4

$ П [х = г = 0} = и [а+, а^, с+, с_}

г=1

есть замкнутая кривая, охватывающая начало координат, — гладкие кривые, с± — сопряженные точки, а± — точки на анормальных траекториях. Нас будет интересовать асимптотика кривой 72 вблизи

ее граничной точки а_. В координатах (у, т) на плоскости [х = г = 0}, где т = V — у3/6, эти объекты задаются следующим образом:

а_ : у = — 1, ии = 0, 72 : у = У2(к), ии = «^(й), к е (к0,1),

2е(к)

У2(к) = —1+ ^

Р(к)

1

6р3(к)

Функции е,р,д и число ко сейчас будут определены. Рассмотрим функцию двух действительных переменных

(3) w2(k) = -тт^ ((1 - 2к2)е(к) - (1 - к2)р(к) + g(k)^j .

B(u,k) = J ((1 - к2 sin2(^))-2 - 2(1 - к2 sin2(ф))^ йф, о

(4) и> 0, 0 <к< 1.

Значению и = 2 соответствует функция переменной к:

(5) Во(к) = В(1 ,к) = К (к) - 2Е(к),

где К и Е — полные эллиптические интегралы I и II рода соответственно [8]. Функция Во возрастает на полуинтервале [0,1), Во(0) = - ^,

lim Во(к) = Через ks обозначим корень уравнения В о (к) = s.

k^l —

Имеем

ко = 0.908909 ..., к1 = 0.982652 ..., к2 = 0.997389 ....

Нас будут интересовать значения и € [^,'к] и k € (ко, 1). При этих значениях переменных (и, к) функция В(и,к) положительна:

2м Во(к)

п

(6) В(и,к) >-^ > 0 Уи е Ук е (к0,1).

к 12]

(При и = ^ ии = к в (6) достигается равенство, а при ^ < и < к имеет место строгое неравенство ввиду вогнутости В(и, к) на отрезке ^ < и <к при любом фиксированном к). Определим функцию двух переменных

(7) /(и, к) = ^ 1 — к2 вш2(и) вт(и) + В(и, к) cos(и) и рассмотрим уравнение

(8) !(и,к)=0. В §3 будет доказана

и

Лемма 1. При любом к € (ко, 1) уравнение (8) имеет единственный корень на интервале 2 < и < я, который обозначим и(к). Функция и: (ко, 1) ^ (,я) имеет непрерывную отрицательную производную. При любом к € [кi, 1) верно неравенство

(9) и(к) <Я + , где к' = у/1 -к2.

2 Во(к)

Теперь мы можем определить все функции, участвующие в параметрическом представлении (3) исследуемой кривой:

и(к) и(к)

(10) е(к) = J (1 - к2 sin2(ф))2<],ф, р(к) = J (1 -к2 вт2(ф))-1 <1ф,

оо

(11) д(к) = 3 к2 cos2 (и(к))В(и(к), к) +

+4к2 cos (и(к)) sin (и(к)) .

Ввиду (4) и (10) верно тождество

(12) В(и(к),к) = р(к) - 2е(к).

Заметим, что выражение (11) для функции д, а вместе с ним и формула (3) для 1Л2(к) допускает упрощение, которое не было произведено в [6]. Действительно, из (11), (7), (8) и (12) находим

д(к) = 4к2 cos (и(к))f (и(к), к) - к2 cos2 (и(к))В(и(к), к) =

= - к2 cos2 (и(к))В(и(к),к) = - к2 cos2 (и(к))(р(к) - 2е(к)). Отсюда и из (3) выводим представление

(13) ™2(к) = -Щк){ (2к2 - 1)е(к) + (1 - к2)р(к)+

+ к2 cos2 Ш (Р(к) - Мк))) (i1 - 2к'2)Ц +

+к'2 + к2 cos2 (и(к)) (1 - ^^ , где к' = Л-к?.

Наконец, надо представить исследуемую кривую как график функции в осях (y,w), но со сдвигом и сжатием, а именно рассмотреть •Ш2(к) как функцию переменной Y = = и найти асимптотику этой функции, которую мы обозначим W(Y) при Y ^ 0+. Переход к новой переменной Y является корректным, поскольку функция Y (к) монотонна на интервале к2 < к < 1 — это будет доказано в §3.

Согласно (13) имеем

(14) W(У) = -Щк) (i1 - 2k'2)Y + к'2 + к2 COs2 ^к)) i1 - 2У)) •

Из представления (14) видно, что для вывода асимптотики функции W (Y) при Y — 0+ осталось написать асимптотику функций р(к), к', cos2 (и(к)) в терминах переменной Y при Y — 0+ (тогда к — 1 —). Это и будет сделано в следующем параграфе. В §3 доказаны необходимые вспомогательные утверждения.

2. Вывод асимптотики функции W(Y)

Напомним асимптотики полных эллиптических интегралов [9]:

*(к) = 1П (к7) +1п4 + °(к'2 1п (к'))'

(2.1)

ад=1+к221п (к)+(1п2—4)к'2+°(к741п (к)), к—1—•

Поскольку Е(к) < е(к) < 2Е (к), К (к) < р(к) < 2К (к), то из (2.1) находим

Y (к) - 1п-1( к),

(2.2) Во(к) = 1п( к) +(1п4 — 2)+°(к'2 1п( !)), к — 1 — •

Неравенство (9) показывает, что функция и(к) стремится к ^ при к — 1— достаточно быстро, а значит cos2 (и(к)) весьма малая величина и функции р(к) и е(к) «мало отличаются» от К (к) и Е (к) соответственно. Действительно, из (9), (2.1), (2.2) находим

cos2 (и(к)) < sin2 (дк^) <к'2Во-2(к) = ^к'21п-2(-17^ =

(2.3) =°(к'^2), Y — 0+,

Е(к) < е(к) =

и (к) и(к)

Е(к)+ ! \Д — к2 вт2(ф) ¿ф = Е(к)+ ! ^ к'2 + к2 сов2(ф) ¿ф < Е(к) + (и(к) — к'2 + сов2 (и(к)) < Е(к)+

< Е(к) + ( и(к) — ^\1к'2 + сов2 [и(

к' I к/2 к'2

(24) + шг"+щи =Е (к)+0(ш>) =Е (к)+°(¥к' %>'

и(к)

к (к) <Р(к) = к (к)+ ( (к) + <

| у/1 — к2 зт2(ф) V1 — к2

'1 — к2 вт2(ф)

(2.5) <К(к) + тглт = К(к) + °(¥), ¥ ^ 0 + .

Во (к)

Асимптотическая оценка (2.3) позволяет последнее слагаемое в скобках в правой части (14) считать остаточным членом и получить следующее асимптотическое представление функции Ш:

Ш(¥ ) = 6РЩ (¥+к'2—2к '2у+°(к'2у 2)) =

(2.6) = ¥~(Г + к'2 — 2к'2¥ + °(к'2¥2^ е-2(к), ¥ ^ 0 + . Из (2.1), (2.4), (2.5) выводим асимптотики

-к

1 Р (к) К (к) + °(¥) 1п( 1 ) + 1п4 + °(¥)

¥ е(к) Е (к) + °(¥ )к'2 1 + °( ^

1

к

(2.7) =1п(1) +1п4 + °(¥),

е(к) = Е(к) + °(¥к'2) = 1 + 1п (1) + (1п2 — 4)к'2+ +О (к'4 1п (1) +к'2¥) = 1 + ^ (¥ — 1п 4 + °(¥)) +

-| 7/2 7/2

+ (1п2 — ^к'2 + °(к'2¥) = 1 + — — + °(к'2¥),

'2 '2

(2.8) е-2(к) = 1 — — + ^ + °(к'2¥), ¥ ^ 0+ .

Из (2.6), (2.8) при У ^ 0+ находим

V2 ( V2 V2

(2.9) Ш(У) = — (У + к'2 - 2к'2У + 0(к'2У2)) М - — + — +

+0(к'2У)) = V,2 (У - 3к'2У + 0(к'2У2)) = V,3 - ^ + 0(к'2У4).

Потенциируя соотношение (2.7), получаем асимптотику величины к'2 в терминах переменной У:

¡2

ехр (У) = кехр (0(У0 ^ехр (- У2) = "Те2 ехр (0(У0 ^

(2.10) ^ к'2 = 16ехр( - у){г + 0(У)), У ^ 0+ . Из (2.9), (2.10) выводим итоговый результат работы:

Ш (У) = У3 - 4У3 ехр ( - У) + 4 ехр ( - У^, У ^ 0 + .

3. Вспомогательные утверждения

Доказательство леммы 1. Согласно (7) при любом к € (ко, 1) имеем

(3.1) ¿^к^ = к' > 0, /(п, к) = -В(п, к) = -2В0(к) < 0.

. . / ~ 2. . . . к2 81п2(и)со8(и)

(3.2) = </1 -к2 81п2(и)со8(и)--+

У -к2 81п2(и)

+ 1 . 1 - 2лД - к2 81п2(и) I со8(и

— - 2л/ 1 - к2 81п2(мМ С08(и) - В(и, к) 81п(и) =

-к2 81п2(и) /

/ Л А ,2 • 2/ ^ к2 81п2(и) 1 С08(и) у 1 - к2 81п (и)----+-----

V у:1 - к2 81п2 (и) - к2 81п2 (и)

-2^1 -к2 81п2(и) ) - В(и, к) 81п(и) = ( 1 -к2 81п2(и) = -/ - к2 81п2(и)

-- к2 81п2(и)^ С08(и) - В(и, к) 81п(и) = -В(и, к) 81п(и).

Из (4) и (5) видно, что В(и, к) > 0 при любых и € (^,п) и к € (к0,1).

Поэтому верно неравенство

д/(u, к) ^ . ^

< 0 У- € Уке (ко, 1).

д и 2

Отсюда заключаем, что функция /(и, к) убывает по переменной и € € [,п] при любом к € (ко, 1), а в точках (,к) и (п,к) согласно (3.1) принимает значения разных знаков. Следовательно, уравнение (8) при любом к € (ко, 1) имеет на отрезке ^ < и <п единственный корень и(к) € (|,п).

Вычислим ^, а потом по теореме о производной неявной функции выразим и'(к) через к и и(к), воспользовавшись тождеством (3.2):

д/ _ -к 81п3(и) дк [л ,.2-2,

- к2 sin2 (и)

2 sin2(<^)

.(1 -fc2 sin2(ф))3 ' (1 -fc2 sin2(ф))2 df/dk

. , , f/ sin2(ф) 2sin2(ф) \

+к cos(u) / -^-3 +--V-г 4,

. V(1 -k2 sin2 (ф))3 (1 -fc2 sin2 (ф)) U

U (*) = -дЦд-и

u=u{k) B(-,k)sin(-) sin2(-(fc))

u=u(k)

В(и(к), k)

u(fc)

-fc2 sin2 (и)

/ ч , , /Y sin2(ф) 2sin2(ф) N ,,

(3.3) + | ctg(-(fc))| / 2 ( i\ ,3 ;2.(2ф;^, 1 W

J V(1 - k2 sin2(ф))2 (1 - к2 sin2(ф))2/

Из (3.3) сразу же следует отрицательность — (fc) на интервале fco < < к < 1.

Докажем неравенство (9). В силу положительности /(,к) и убывания функции f по переменной и достаточно проверить справедливость неравенства

f(2+v(k),k)< 0 Ук € [кг, 1), где v(k) = вГ^у.

Поскольку к € [к\, 1), то Во(к) > 1 и v(k) < к' < 1 < 2. Вследствие (7) это неравенство принимает вид

cos (v(k)) -В(1 + v(k), к) sin (v(k)) < 0 ■

(3.4) ■ фк'^+к^ёп^Щ ctg (у(к)) <Во(к)+1(к) Ук € [ки 1), где

v(k)

(3.5) 1(к) = j (1 - к2 cos2^))-2 - 2(1 - к2 cos2(ф))2 dф.

0

Заметим, что благодаря условию к € [к\, 1) подынтегральная функция в (3.5) положительна. Действительно, неравенство Ь-2 -—2 b 2 > 0 равносильно включению Ъ € (0,1). Поэтому положительность подынтегральной функции в (3.5) гарантируется неравенством 1 — к2 cos2(ф) < 2 ■ 2к2 cos2^) > 1. Ввиду включения к € [к\, 1) имеем Во(к) > 1. Следовательно,

0 < у(к) < к',

(3.6)

cos2^) > cos2 (у(к)) = 1 - sin2 (у(к)) > 1 - У2(к) > 1 - к'2 = к2.

Таким образом, для положительности подынтегральной функции в (3.5) достаточно справедливости неравенства к4 > 0.5. Оно верно, поскольку к > ко > 0.9.

Займемся доказательством неравенства (3.4). Ввиду положительности обеих его частей возведение их в квадрат является равносильным преобразованием. Осуществив его, придем к задаче доказательства неравенства

(3.7) к'2 ctg2 (у(к)) + к2 cos2 (у(к)) < Во2(к) + 21(к)Во(к) + 12(к).

Имеем ctg2 (у(к)) < у-2(к) = В02(к)к' 2. Следовательно, первое слагаемое в левой части меньше первого слагаемого в правой части, и достаточно доказать неравенство

(3.8) к2 cos2 (у(к)) < 21(к)В0(к).

Поскольку подынтегральная функция в (3.5) убывает по переменной ф на отрезке 0 < ф < 2 при любом k G (0,1), то верна оценка снизу - _ i 1(к) > v(k) (l -к2 cos2 (v(k)fj 2 - 2(1 -к2 cos2 (v(k)))

(3.9)

«(k^1 - 2(1 -k2 cos2 Hk)))) k' (2k2 cos2 (v(k)) - l)

причем ввиду (3.6) последнее выражение положительно. Из (3.9) видно, что неравенство (3.8) является следствием такого:

2k'(2k2 cos2 (v(k)) - í) k2 cos2 (v(k)) < -V J &

yjk'2 +k2 sin2 (v(k)) & <2k' (2 - ).

Из (3.6) находим

í í í í í 2í

2__> 2__>2__> 2__> 2__= _

k2 cos2 (v(k)) k4 - kx4 0.984 0.92 23'

Отсюда заключаем, что достаточно установить справедливость нера-

венства

(3.10) < —к' & к'2 + к2 sin2 (v(k)) < —к'2. * 23 529

Имеем далее к2 sin2 (v(k)) < sin2 (v(k)) < v2(k) = k'2B0-2(k) < k'2.

Следовательно, к'2 + к2 sin2 (v(k)) < 2к'2 и последнее неравенство

в (3.10) выполняется. Доказательство неравенства (9) завершено, и

лемма 1 полностью доказана.

Лемма 2. Функция Y (к) = имеет отрицательную производную на полуинтервале к2 < к < 1.

Доказательство. Введем функцию

и(к)

(3.11) Pl(k)=J(1 -к2 sin2^))-3 сф.

Согласно теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом по параметру имеем

_ «(fc) _ 2

е'(к) = и' (kWl -к2 sin2 (и(к)) + f ~к Sm (Ф) =0ф,

\к) = и'(k)Jl - к2 sin2 (u(k)) + i —

0 -k2 sin2^)

«(fc) 2

(3.12) p'(k) = U(k) = + / ksin (Ф\ЛФ з .

yjl -k2 sin2 (u(k)) 0 (1 -k2 sin (Ф)) 33

Из (3.11), (3.12) и (10) выводим тождества

k e'(k) = ku' (k) (l - k2 sin2 (u(k))) 2 + e(k) - p(k),

_ 2

(3.13) kp' (k) = kU (k)(l -k2 sin2 (u(k))) 2 + Pl(k) - p(k). Из (3.13) находим

kY'(k)p2(k) = ke'(k)p(k) - kp'(k)e(k) =

= ku' (k)^p(k) (l - k2 sin2 (u(k))) 2 - e(k) (l - k2 sin2 (u(k))) 2 ^ -

(3.14) -e(k)pi(k) -p2(k) + 2 e(k)p(k).

Обозначив для краткости B(k) = B(u(k), k) = p(k) - 2e(k) (см. выше (12)), перепишем (3.14) в следующей эквивалентной форме:

kY'(k)p2(k) = k( - u'(k))(l - k2 sin2 (u(k)))-22 x x(e(k) - (l - k2 sin2 (u(k)))p(k)) - p1(k)e(k) - p(k)B(k).

Отсюда, пользуясь доказанной в лемме 1 отрицательностью производной и'(к), выводим неравенство

(3.15) кУ(к)р2(к) <

< к(-и' (к))(1 -к2 sin2 (и(к)))-2 е(к) - pi(k)e(k) - р(к)В(к).

Теперь преобразуем функцию -ки'(к)(1 - к2 sin2 (и(к))) 2, воспользовавшись формулой (3.3) и тождеством

(1 - к2 sin2 (и(к)))1 = В(к)| ctg (и(к))|.

Получим

-ки'(к) _ к2 81п2 (и(к))

1 - к2 81п2 (и(к)) В(к)(1 - к2 81п2 (и(к)))

+

и(к)

(316) , 1 [{ к2 81п2 (ф) к2 81п2 (ф) \

(3.16) +В2(к) I ^(1 -к2 81п2(ф)) 2 +2(1 - к2 81п2(ф)) 1)аф.

Ввиду тождества

к2 81п2(ф) к2 81п2(ф)

+ 2"

(1 -к2 81п2(ф)) 2 (1 -к2 81п2 (ф)) 2

1 +7-о 1 2, »1 - 2(1 -к2 81п2(ф))1

(1 -к2 81п2(ф)) 3 (1 - к2 81п2(ф)) 2 получаем представление

(3.17)

и (к)

Г ( к2 81п2 (ф) к2 81п2(ф) \

(п , 2- з , 2 • 1 Нф = Р1(к) + В(к).

7 4(1 -к2 81п2(ф)) з (1 -к2 81п2(ф)) 2/

Из (3.15) - (3.17) заключаем, что для доказательства отрицательности производной У '(к) при к2 < к < 1 достаточно установить справедливость неравенства

к2 81п2 (и(к)) Р1(к) + В (к) ^ р(к)В(к)

+--- < Р1(к) +

В(к)(1 -к2 81п2 (и(к))) В 2(к) ' е(к)

к € [ к2, 1),

которое после умножения обеих его частей на В (к) и переноса в правую часть слагаемого приобретает вид

!-щия < »<*> (В(к) - Вгы)+к € N. 1).

Правая часть последнего неравенства заведомо превосходит Р1(к): (в(к) - вЩ^ > 1.5р1(к) при к € [к2,1), поскольку В(к) > В0(к) > 2

при к € [к2,1). Левая же часть этого неравенства всегда меньше к' 2. Поэтому достаточно доказать, что к' 2 < Р1(к). На самом деле верно

даже более сильное неравенство

(3.18) к' 2 <У (1 - к2 вш2(ф))-3<1ф Ук £ [0,1).

о

Докажем его. С этой целью разложим в степенной ряд функцию К1(к) = ¡(1 -к2 вт2(ф))-2(1ф. Обозначим сп = 4-п(2пу.(п1)-2. Имеем

(1 - t)-2 = 1 + сп(2п +1)tn, Jsm2n(ф)dф = 1сп Уп е N.

=1

Отсюда находим

1 (i+£

0 V п=1

Ki(k)= [1 + У Сп(2п +1)(к2 sin2(ф))n}dф =

СО 2 СО

= 2+Е с"(2п+i)k2nl 8™2п(ф) ¿Ф=2+е 2(2п+1} с"2к2п-

п=1 о п=1

А так как к' 2 = (1 - к2)-1 = ^СС=ок2п, то для доказательства неравенства (3.18) достаточно проверить, что

(3.19) п(п + 0.5)сп2 > 1 Уп е N.

Из асимптотической формулы Стирлинга для факториала следует равенство

lim -л(п + 0.5)сп2 = 1.

Поэтому для доказательства неравенства (3.19) достаточно убедиться в убывании последовательности Ъп = (п + 0.5)сп2. Имеем

/ \ 2 / \ 2 Ьп+1 п +1.5 ( Сп+Л п + 1.5 ( 2п +1 — х 11 — '

(Сп+Л2 = п +1.5 /2п + 1\ 2 V сп J = п + 0.5 ^2п + 2)

Ьп п + 0.5 \ сп ) п + 0.5 \2п + 2 _ (п + 1.5)(п + 0.5) _п2 + 2п + 0.75

= (п +1)2 = < .

Отсюда видно, что Ьп+1 < Ьп (Уп £ М), а это и требовалось доказать. Неравенство (3.19), а вместе с ним и (3.18) доказано, и этим доказательство леммы 2 завершено.

Список литературы

[1] R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesies and Applications, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, AMS, 2002. t 161

[2] А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков. Геометрическая теория управления, Физматлит, М., 2004. t 161

[3] A. A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain. Introduction to Riemannian and Sub-Riemannian Geometry, Preprint SISSA 09/2012/M, https://web-users.imj-prg.fr/~davide.barilari/ABB-SRnotes-110715.pdf, 2015, 341 p. t 161

[4] А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков. «Экстремальные траектории в нильпотентной субримановой задаче на группе Энгеля», Матем. сборник, 202:11 (2011), с. 31-54. t 162

[5] A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov. "Conjugate Points in Nilpotent Sub-Riemannian Problem on the Engel Group", Journal of Mathematical Sciences, 195:3 (2013), pp. 369-390. t 162

[6] A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov. "Cut Time in Sub-Riemannian Problem on Engel Group", ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 21:4 (2015), pp. 958-988. t 162,164

[7] E. Trelat. "Non-Subanalyticity of Sub-Riemannian Martinet Spheres", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Series I - Mathematics, 332:6. t 1622001, pp. 527-532. t 162

[8] Ю. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. Курс современного анализа, УРСС, М., 2002. t 163

[9] P. F. Byrd, M. D. Friedman. Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists, Springer, 1954. t165

Рекомендовал к публикации д.ф.-м.н. Ю. Л. Сачков

Пример ссылки на эту публикацию:

А. Ю. Попов. «Асимптотика сечения плоскостью субримановой сферы на группе Энгеля вблизи анормальной траектории», Программные системы: теория и приложения, 2016, 7:4(31), с. 161-176.

URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2016_4_161-176.pdf

Об авторе:

Антон Юрьевич Попов

д.ф-м.н., ведущий научный сотрудник механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, ведущий научный сотрудник ИЦПУ ИПС РАН. Основные научные интересы: теория функций.

e-mail: [email protected]

Anton Popov. Asymptotics of a section by a plane of the sub-Riemannian sphere on the Engel group near abnormal trajectory.

Abstract. In this paper we compute an asymptotics of the curve that is the intersection of the unit sub-Riemannian sphere on the Engel group with the subspace {x = 2 = 0} near the abnormal trajectory. It follows from the asymptotics that this curve is not analytic at the point (1, 0, 0, 0). (In Russian).

Key words and phrases: sub-Riemannian structure, elliptic integrals, asymptotics.

References

[1] R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesies and Applications, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, AMS, 2002.

[2] A.A. Agrachev, Yu. L. Sachkov. Geometric Control Theory, Fizmatlit, M., 2004 (in Russian).

[3] A. A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain. Introduction to Riemannian and Sub-Riemannian Geometry, Preprint SISSA 09/2012/M, https://web-users.imj-prg.fr/~davide.barilari/ABB-SRnotes-110715.pdf, 2015, 341 p.

[4] A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov. "Extremal Trajectories in a Nilpotent Sub-Riemannian Problem on the Engel Group", Sb. Math., 202:11 (2011), pp. 1593-1615.

[5] A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov. "Conjugate Points in Nilpotent Sub-Riemannian Problem on the Engel Group", Journal of Mathematical Sciences, 195:3 (2013), pp. 369-390.

[6] A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov. "Cut Time in Sub-Riemannian Problem on Engel Group", ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 21:4 (2015), pp. 958-988.

[7] E. Trelat. "Non-subanalyticity of Sub-Riemannian Martinet Spheres", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Series I - Mathematics, 332:6 (2001), pp. 527-532.

© A. Y. Popov, 2016

© Ailamazyan Program Systems Institute of RAS, 2016 © Program systems: Theory and Applications, 2016

176

A. TO. nonoB

[8] E. T. Whittaker, G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge Mathematical Library, 4th Edition, University Press, Cambridge, 1996.

[9] P. F. Byrd, M.D. Friedman. Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists, Springer, 1954.

Sample citation of this publication:

Anton Popov. "Asymptotics of a section by a plane of the sub-Riemannian sphere on the Engel group near abnormal trajectory", Program systems: Theory and applications, 2016, 7:4(31), pp. 161-176. (In Russian). URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2016_4_161- 176.pdf