АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О МЕЗОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ УЕДИНЕННЫХ ВОЛНАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 4 (48) 2012

-- МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ =

УДК 519.95.

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О МЕЗОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ УЕДИНЕННЫХ ВОЛНАХ

Б.А. АШАБОКОВ, Х.Х. КАЛАЖОКОВ, Ф.Х. УВИЖЕВА

ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН 360000, КБР, г. Нальчик, ул. И. Арманд, 37-а E-mail: iipru@rambler.ru

Рассматривается полная асимптотика решения задачи о волновых процессах в потоке холодной воздушной массы конечной толщины над горизонтальной подстилающей поверхностью. Дано преобразование задачи в задачу, содержащую малый параметр при старшей производной по одной из переменных. Построена полная асимптотика решения задачи и его качественное исследование. Проведен анализ влияния возмущающих факторов на характеристики волновых процессов: неровностей подстилающей поверхности, падения плотности воздуха с высотой и сдвига ветра по вертикали.

Ключевые слова: задачи о волновых процессах, асимптотика решения, атмосферные уединенные волны, термогидродинамические характеристики, итерационный процесс.

Введение

Исследование волновых процессов в потоке холодной воздушной массы конечной толщины над горизонтальной подстилающей поверхностью представляет большой интерес в связи с различными вопросами мезометеорологии. В настоящее время существует незначительное количество работ, посвященных изучению волновых процессов в атмосфере. Возможности образования мезомасштабных уединенных волн в атмосфере изучены в работе [1]. Более полное исследование атмосферных уединенных волн проведено в работах [2, 3].

Основными результатами указанных работ являются следующие:

1. Сформулированы условия, при которых в атмосфере реализуются мезомасштабные уединенные волны.

2. Показано существование трех типов мезомасштабных уединенных волн. Первый тип волн обусловлен падением плотности воздуха с высотой, второй - наличием небольшого вертикального градиента скорости основного потока, третий - наличием сверху незакрепленной поверхности раздела.

3. Показана возможность образования мезомасштабных уединенных волн в атмосфере путем вырождения длинных периодических (кноидальных) волн.

4. Предложены приближенные формулы расчета основных термогидродинамических характеристик уединенных волн в атмосфере.

При исследовании мезомасштабных уединенных волн в атмосфере в основном использовались асимптотические методы типа узких полос, описанные в работе [4].

Заметим, что асимптотические методы типа узких полос дают неполную асимптотику решения указанных задач.

В настоящей работе делается попытка построить полную асимптотику решения задачи мезомасштабных уединенных волн в атмосфере на основе метода, рассмотренного в работах [5, 6].

1. Постановка задачи Рассмотрим плоскую стационарную задачу о движении холодной воздушной массы над горизонтальной подстилающей поверхностью в прямоугольной системе координат (x,z), где ось x направлена по горизонтали вдоль потока, ось z - вертикально вверх. Вверх по потоку при x = —да заданы скорость потока U = const и толщина холодного слоя воздуха H = const. Форма поверхности раздела неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи. В нижнем слое воздуха и в верхней теплой воздушной массе температура предполагается изменяющейся по линейному закону, а давление определяется барометрической формулой для политропной атмосферы. Имеют место следующие условия: условие обтекания подстилающей поверхности и поверхности раздела, непрерывность давления на границе раздела, непрерывность и ограниченность всех метеоэлементов в области движения холодного слоя воздуха.

Предположим, что движение холодной воздушной массы описывается системой уравнений термогидродинамики атмосферы, упрощенных методами теории конвекции и за счет пренебрежения внутренней вязкостью, турбулентностью и силой Кориолиса. После введения функции тока и перехода к безразмерным величинам приходим к следующей формулировке задачи о мезомасштабных уединенных волнах в потоке холодной устойчиво стратифицированной воздушной массы конечной толщины над горизонтальной подстилающей поверхностью [1, 3]: в бесконечной полосе D[—0<z<n(x)] найти непрерывное, дважды дифференцируемое и ограниченное решение уравнения

Ф = z ,

Т + Т

XX xzz

удовлетворяющее граничным условиям

„ = к z = ti(x)

W, = z

х = -°о .

где неизвестную границу поверхности раздела п(х) находим из уравнения (\|/х)2|г=пМ +(уг)2Моо +2цц(-к) +и(т| -к)2 =1,

(1)

(2)

(3)

которое получается из условия непрерывности давления на поверхности раздела, при дополнительных условиях:

г|(х)

= к.

Л

= 0

.

В задаче (1) - (4) использованы следующие обозначения:

ДТ X

Гт

, S = ya-rA = fS> 0,

(4)

(5)

где H и U= const - соответственно толщина и скорость холодного слоя воздуха при x = —да, ga - сухоадиабатический градиент температуры, gT и g - градиенты температуры в теплой и холодной воздушных массах соответственно, l - параметр конвекций, и0 = const - среднее по высоте значение невозмущенной температуры, g - ускорение силы тяжести, AT = const - разность температур теплой и холодной воздушных масс на уровне z = H.

2. Преобразование задачи Заметим, что вертикальное измерение области решения рассматриваемой задачи достаточно мало в сравнении с горизонтальным. С учетом указанной особенности преобразуем рассматриваемую задачу (1) - (5) следующим образом. Сделаем замену переменных по формулам

\|/ = к\|/ z = kz х = Дс,

где 1= л/дБ -L, L - характерный горизонтальный масштаб задачи.

Операторы дифференцирования в новых переменных принимают вид

aie д 1 ô д2 1 д2

д*

1 СИ

ôx 1 Sx' dz к dz ôx2 t2 Sx2' dz2 £2 dx2 ' Задачу (1) - (5) с помощью (6) и (7), опуская черточки, преобразуем к виду

£Vxx + Vzz + ki|/ = kz,

(7)

(8)

(9)

(10)

где

k

£ = (—) ,т = 2цк-3

.

(11)

Таким образом, после указанных преобразований пришли к задаче (8) - (11), содержащей малый параметр 8 при старшей производной по переменной х.

3. Асимптотика решения задачи Асимптотическое представление решения задачи ищем в виде [5, 6]:

¥

(12)

где Шд определена первым интеграционным процессом, а ш - вторым, Дшд - остаточный член. Ограничимся построением асимптотики решения задачи.

Первый итерационный процесс. Реккурентный процесс, который получается, если искать приближенное решение задачи (8) - (11) в виде ряда по малому параметру 8, назовем первым итерационным процессом.

Подставив выражение

у = X Z)

i=0

(13)

в (8) и (9) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующую последовательность задач:

д2Ус

dz2

+ k(y0-z) = 05 ^ i=o=0, щ

(14)

(15)

г=0

= 0 Ц/0

г=г/

= 1-

Решая задачи (14) - (16), получим приближенное решение первого итерационного процесса в виде

¥„ = X г).

¡=1

(17)

Второй итерационный процесс. Вообще говоря, функция (17) не удовлетворяет граничным условиям по х. Поэтому к функции (17) прибавляем функции типа пограничного слоя так, чтобы полученная сумма удовлетворяла всем граничным условиям. Эти функции строятся вторым итерационным процессом. Для того чтобы описать второй итерационный процесс в задаче (8) - (9), сделаем замену независимых переменных по формулам

Тогда задача (8) - (9) перепишется в виде

^ I п = О

г = О

V , = 1

2 = Л

Т ,, = г

(18)

(19)

(20)

Приближенное решение второго итерационного процесса находим, решая задачу (19) - (20) в виде ряда по степени малого параметра

(21)

где

х

Таким образом, полное асимптотическое решение рассматриваемой задачи имеет вид (12).

4. Реализация первого итерационного процесса Для простоты дальнейших рассуждений ограничимся реализацией первого итерационного процесса алгоритма построения полной асимптотики решения рассматриваемой задачи. Решим задачу (14). Общее решение дифференциального уравнения задачи (14) имеет вид

,

где С и С2 - постоянные интегрирования.

y0=z +

Из (23) имеем

SШ^JkZ

(22)

(23)

sinvkr] sinVkri sinVkri

да

Из (15) и (25) получаем

(25)

где (р^Г}), срг{г]) - функции своих аргументов.

После некоторых преобразований решение (26) получим в виде

л/кг гсоэ л/кг , з ¡г- 1 ч. /т п

= Ф[-:---+ (—^^л/кт1-—)зтл/кг]

2 л/к 2л/к

7,=Т\

= 0.

(26)

2к

2к

(27)

Таким образом, в результате первого итерационного процесса получим следующее приближенное решение задачи:

.

(28)

5. Уравнение для поверхности раздела Чтобы получить уравнение поверхности раздела, подставим в уравнение (10) приближенное соотношение (28). Получим

После некоторых преобразований (29) перепишем в виде

.cty

е[(^)2 + 2

ду0 дух

.

йх дхд2 дъ

Вычислим значение производного в выражении (30): ду0

(30)

Эх

= -Лх[1 + л/к(1-лМёл/кл].

|Z=T]

(31)

дх |z=n

-sin

.

4VksinVkri

Из (30) и (31) после некоторых элементарных преобразований получим

<KWi (ТТП+ Tlx[^з СТП— (Wi (titi)]+ <ръ Ст]т1+ т(т\ -1) + п(т] -1 )2 = к',

где

[l+Vk(l-Ti)ctgVkri](2VkTi — sin2Vkr])

2л/к

.

(32)

(33)

После преобразований и упрощений на основе предположения, что п =1 + , где << 1, уравнение для поверхности раздела имеет вид

,

(34)

где а0 (к), а1 (к), а2 (к), Ь0 (к), Ь1 (к), Ь2 (к) - известные функции своих аргументов, которые не выписываем из-за громоздкости.

6. Нахождение первого интеграла уравнения поверхности раздела Для нахождения первого интеграла уравнения (34) заменим переменные по формулам

Ъ = Р, = РТр .

Из (29) и (30) получим ¿п

+а^+а2^)+2(Ь0 = 0, (И = Р2).

(35)

(36)

Решим уравнение (36) методом вариации постоянных. Решая однородное уравнение, соответствующее уравнению (36), получим

,

где С - постоянная интегрирования. Из (37) имеем

.

ад ад 2

Подставляя полученное выражение в исходное уравнение (37), получим нр а

.

СЦ 2

Отсюда

.

Из (38) и (39) получим

(37)

(38)

(39)

. (40)

После некоторых преобразований и упрощений уравнение (40) примет вид

8

где А = -2Ь0, В = -(2а0Ь0 -Ь1), С = — а0Ь0 + — а0Ь1 + — а1Ь0 + 4а0Ь0 +—Ь2).

2

3

4 3

2, 3

7. Качественное исследование решения уравнения

поверхности раздела

Пользуясь уравнением (41), нетрудно установить, например, следующие факты [4].

1. Если А>0, С<3, то при фиксированном С с увеличением длины волны X амплитуда а уменьшается и 1Лта = ао > 0.

Это предельное решение и есть уединенная волна. Таким образом, среди волн, распространяющихся с данной скоростью, уединенная волна - это волна наименьшей амплитуды.

2. Если А > 0, С < 3, то Нт« = 0.

3. При А<0 решений, имеющих физический смысл, не существует.

4. Значение С = 3 является бифуркационным: при С < 3 на поверхности холодной воздушной массы могут существовать лишь такие волны, амплитуда которых превосходит некоторое число, зависящее от С; при С > 3 на поверхности жидкости могут существовать волны любой малой амплитуды.

Как известно, уравнение (41) допускает точное решение, описывающее волновое движение

о = бсп2 д/е(б + в)

(42)

где сп - эллиптическая функция Якоби, а = а (X , в с) - амплитуда волны, в = в (а, с) - параметр, X - длина волны. Как отмечено выше, при А>0, С<3 и X решение (42) вырождается в решение типа уединенной волны.

8. Влияние неровностей подстилающей поверхности на уединенную волну Рассмотрим вопрос о влиянии неровностей подстилающей поверхности на волновые процессы в потоке холодной воздушной массы для случая, когда Б=0, т.е. холодная воздушная масса стратифицирована безразлично.

В этом случае из (8) - (11) получаем следующую постановку задачи:

VI/, = 0 \|/ =l\i/ -z

т |Z=JiCOS(JX , т |z = Tl , ~ |z = -00

*7,С*)|г=о =0,

(43)

(44)

(45)

(46)

где z = pcospx - уравнение подстилающей поверхности, ц - малый параметр, 5 = const характеризует разность температур воздушных масс. Ищем решение (43) - (46) в виде

(47)

Получим

Vc

z=ncos^ix

= 0.

(48)

» ¥1

2=|1СОЗ(1Х

= 0, ¥11^ = 0,

д'

д'

¥п-1

дг

дк'

Решая задачу нулевого приближения (48), получим

Ъ - ДС0^1Х

ф — ±_

Для простоты ограничимся нулевым приближением. Из (51) имеем

(50)

(51)

дУо Эх

Ля

2=Т) Т| — |ХС08|ХХ

дг

1

Т] - цсояцх

(52)

Подставляя значение производных из (52) и (45), получим следующее уравнение для поверхности раздела:

8^+1

.

(Т] - |1С08|1Х) 1

Уравнение (53) после некоторых преобразований перепишется в виде

(53)

где

Следовательно, как показано выше, при

(54)

(55)

(56)

в потоке холодной воздушной массы конечной толщины над волнистым дном г = цсобцх реализуется воздушная волна.

9. ВЛИЯНИЕ падения плотности с высотой на уединенную волну Рассмотрим влияние падения плотности с высотой на уединенную волну в потоке безразлично стратифицированной холодной воздушной массы конечной толщины над горизонтальной подстилающей поверхностью.

Математическая формулировка задачи в безразмерных величинах имеет следующий вид:

,

(57)

(58)

лОО

(60)

где M = const - параметр, характеризующий падение плотности с высотой. Решение задачи (57) - (58) в нулевом приближении имеет вид

М ,4z М ,

.

2 ц 2

(61)

Из (61) имеем

= Т1х

Мц7

зх |z=t

1 ы м

= 1 - Mti н--ц

дк z=ri ц

Преобразуем уравнение (59) с помощью соотношений (62):

(62)

В предположении, что п = 1+ , где <<1, получим где А, В, С и Б - постоянные, зависящие от физических параметров задачи.

(63)

(64)

Как и выше, с помощью уравнения (64) легко анализировать условие возникновения волнового режима типа уединенной волны в потоке безразлично стратифицированной холодной воздушной массы с учетом падения плотности с высотой.

10. ВЛИЯНИЕ СДВИГА ВЕТРА ПО ВЕРТИКАЛИ НА УЕДИНЕННУЮ ВОЛНУ Рассмотрим влияние сдвига ветра по вертикали на уединенную волну в потоке безразлично стратифицированной холодной воздушной массы конечной толщины над горизонтальной подстилающей поверхностью.

Формулировка задачи в безразмерных величинах имеет вид

,

ПЦх— =1. Лх(Х)|х=0=0>

где N - параметр, характеризующий величину сдвига ветра по вертикали. Решение задачи (65) и (66) в нулевом приближении имеет вид

Из (64) имеем

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

№12 +2 Эу0 №12+2

^-, ^ =—I-. (70)

дк ^ 2т| дх |г=т1 2г|

Из (67) и (68) получаем следующее уравнение для поверхности раздела:

2 (№!2+2)2 №2+2)2 с/ 1Ч , + + = (71)

После преобразований и упрощений в предположении, что п = 1+ , где <<1, из (54), как в предыдущем параграфе, получим уравнение типа (64), которое позволит анализировать условие возникновения волнового режима типа уединенной волны в потоке безразлично стратифицированной холодной воздушной массы конечной толщины с учетом сдвига ветра по вертикали.

Заключение

На основе проведенных исследований получены следующие результаты:

1. Задача о мезометеорологических уединенных волнах в потоке безразлично стратифицированной холодной воздушной массы конечной толщины над горизонтальной подстилающей поверхностью сведена к задаче с малым параметром при старшей производной по одной из переменных.

2. Приведена схема построения полной асимптотики рассматриваемой задачи.

3. Дается приближенное решение задачи и предложены формулы для качественного исследования основных характеристик волновых процессов.

4. Сформулированы уточненные условия образования уединенной волны путем вырождения длинных периодических волн.

5. Решение типа длинных периодических волн задачи о потоке холодной воздушной массы конечной толщины над горизонтальной подстилающей поверхностью получается асимптотическим методом в приближении, учитывающем в уравнении поверхности раздела слагаемых, содержащих малый параметр.

6. Исследовано влияние периодических неровностей подстилающей поверхности, падения плотности с высотой, сдвига ветра по вертикали на волновой режим типа уединенной волны в потоке безразлично стратифицированной холодной воздушной массы конечной толщины.

ЛИТЕРАТУРА

1. Афашагов М.С. К теории уединенных волн в атмосфере / Уч. зап. КБГУ, 1965. Вып. 24.

2. Сохов Т.З., Гутман Л.Н. О мезометеорологических уединенных волнах // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1968. Т. 4. № 3.

3. Афашагов М.С. О внутренних волнах в неоднородной атмосфере // Известия АН СССР, 1969. Т. 5. № 5.

4. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы типа узких полос / Сб. Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск, 1961.

5. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференцированных уравнений с малым параметром // УМН, 1957. Т. 12. Вып. 5 (77).

6. Джавадов М.Г. Асимптотика решения краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка в областях, у которых одно измерение достаточно мало в сравнении с другими // дАн СССР, 1965. Т. 160. № 3.

ASYMPTOTIC METHOD OF DECISIONS OF THE PROBLEM ON MESOMETEOROLOGICAL SOLITARY WAVES

B.A. ASHABOKOV, H.H. KALAZHOKOV, F.H. UVIZHEVA

Institute of Computer Science and Problems of Regional Management of KBSC of the Russian Academy of Sciences 360000, KBR, Nalchik, 37-a, I. Armand street E-mail: iipru@rambler.ru

Full asymptotic method of decisions of a problem on wave processes in a stream of cold air mass of a final thickness over a horizontal spreading surface is being considered. Transformation of this problem into a problem, containing small parameter is presented at the senior derivative on one of variables. Asymptotic method of decisions of a problem is constructed and its qualitative research is done. The analysis of influence of disturbing factors is carried out: roughness (unevenness) of an underlying surface, decrease of air density with height and vertical wind shift on characteristics of wave processes.

Key words: problems of wave processes, asymptotic method of decisions, atmospheric solitary waves, thermohydrodynamic characteristics, iterative process.

Работа поступила 11. 04. 2012 г.