Асимптотическое решение матрично сингулярно возмущенных линейных задач оптимального управления с многомерными управлениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928.2+517.977.5

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ МАТРИЧНО СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С МНОГОМЕРНЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ

Ю.В. Корыпаева, В.В. Пешков

Рассматривается задача оптимального быстродействия для линейной матрично сингулярно возмущенной системы с многомерным управлением. Значения управлений ограничены по евклидовой норме. Предлагается алгоритм построения асимптотического решения рассматриваемой задачи. При его применении исходная задача оптимального управления распадается на две невозмущенные задачи меньшей размерности, одна из которых является соответствующей вырожденной задачей

Ключевые слова: сингулярные возмущения, оптимальное управление, многомерные управляющие воздействия

1. Введение

В математической теории оптимальных процессов большое внимание уделяется задачам оптимизации сингулярно возмущенных систем. Обзор [1] охватывает различные тенденции применения теории сингулярных возмущений в задачах управления. С момента опубликования этого обзора появились новые методы и результаты, которые содержатся в обзоре [2].

Перечислим лишь некоторые, по мнению автора основные, методики: метод пограничных функций (Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н.), методы согласования асимптотических разложений (Ильин А.М.) и разделения движений (Стрыгин

B.В., Соболев В. А.), а также прямую схему построения асимптотических разложений (Белокопытов

C.В., Дмитриев М.Г.).

Проблема состоит в том, что применение этих методов построения асимптотики оптимального управления при решении задач с замкнутой областью значений управляющей функции встречает ряд препятствий. До конца 80-х гг. прошлого века исследования задач, содержащих ограничение на управление, носили в основном качественный характер. Как правило, исследовался предельный переход решения возмущенной задачи к решению соответствующей вырожденной в случае, когда малый параметр стремится к нулю (КокоЮую Р.У. и Ыаё-ёаё А.Ы. [4-5], Гичев Т.Р., Дончев А.Л., Атёеша Ы.Б.).

Исследования, касающиеся вопроса о существовании и положении добавочных точек переключения оптимального управления исходной сингулярно возмущенной задачи оптимального быстродействия относительно вырожденной, были проведены в [3].

Методика построения асимптотических приближений к решениям разнообразных задач оптимального управления, уравнение состояния которых является линейным по управлению, а на значения управляющей функции наложены ограничения в виде замкнутых неравенств, впервые была предло-

Корыпаева Юлия Владимировна - ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель, e-mail: malena1975@mail.ru Пешков Вадим Вячеславович - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: vmfmm@mail.ru

жена А.И. Калининым ([6]). Численное решение сингулярно возмущенных задач оптимального управления подразумевает неоднократное интегрирование прямой и сопряженной систем. В сингулярно возмущенных задачах эти системы являются жесткими ([9]). В связи с этой особенностью при вычислениях возникают некоторые трудности. Во-первых, увеличивается время счета, а во-вторых происходит накопление вычислительных ошибок. В этом случае роль асимптотических методов трудно переоценить. Метод А.И. Калинина дает возможность определить асимптотическое разложение точек переключения оптимального управления и для заданного натурального числа N построить асимптотически N-субоптимальное управление (понятие субоптимальности было определено в работах [6, 8]). При этом управляющие воздействия могут быть как скалярными так и многомерными.

В предлагаемой статье рассматривается мат-рично сингулярно возмущенная задача оптимального быстродействия для линейной системы с многомерными управлениями, значения которых ограничены по евклидовой норме. Применяемый подход к исследованию этой задачи является модификацией методики, описанной в [8].

2. Постановка задачи

В классе r-мерных управляющих функций u(t) = (u1(t),..., ur (t)) с кусочно-непрерывными элементами рассмотрим задачу оптимального быстродействия для следующей линейной матрично сингулярно возмущенной системы:

(A + eB)= Cx(t) + Du(t), dt

x(0) = x°, x(T) = 0, (1)

|| u(t)||< 1, J(u) = T ® min.

u

Здесь ||u(t) ||=^/uf(t) +... + ur2(t) - евклидова норма вектора u(t), x(t) e Rm.

В дальнейшем нам потребуется выполнение условий:

1°. Все B жордановы цепочки оператора A имеют одинаковую длину p.

2°. Оператор QCP : KerA ® KerA', где P, Q -ортогональные проекторы пространства состояний

на КегА, КегА' соответственно, обратим. Штрих с обозначением оператора всюду означает сопряженный оператор.

Сначала исходное уравнение состояния при помощи линейной замены переменных приводится к системе с быстрыми и медленными переменными. Поэтому вместо задачи (1) будем рассматривать следующую задачу:

Г ^ = Е&К + 0х(е)щ т

еР~Г = E2(e)h + G2(e)u,

т (2)

Х(0) = Х т=Г, Х(Т) = 0, г(т) = о,

|| и(^) ||< 1, 3(и) = Т ® шт,

и

где Х(Г)е □ т-п,ц(Г)е □ п, Е1(е) = С0 + О(е), Е2(е)=С1+О(е), 01(е)=В0 + О(е), 02(е)=В1 + О(е). Здесь Х,Г - новые переменные, определяемые равенствами Х=(I - Р)х+£К(е)г, Г=Рх+0(е)Ц - Р)х, а К(е), G(e) - неизвестные пока линейные операторы, которые находятся из условий равенства нулю коэффициентов при г, X соответственно в правых частях уравнений системы (2).

Операторы

ад = , С0 = С0, Е2(е) = , С0 = С„ (3)

к=0 к=0

0,(8) = ^екВк0, ВЦ = £>0, Ог(е) = ек^1к, В? = В„

к=0 к=0

где С, = А+ (I - б)(/ - СС-10)С(/ - Р),

В0 = А+ (I - 0(1 - СС-1д)В, А+ - обратный оператор к оператору (I - Q)А(1 - Р): 1ш А' ® 1ш А, С1 = (-1)р-1 PAp-1QCP, В, = (-1)р-1 РАр^В, Ар = QB(A+ (I - Q)B)р-1 Р ([12]).

Будем считать (для упрощения рассуждений), что X, Г не зависят от е, хотя в результате приведения к системе с быстрыми и медленными переменными начальные условия для X и Г получаются зависящими от е регулярным образом. Изменения, которые нужно произвести в случае зависимости X0, Г от е, очевидны.

Предположим, что выполнены условия:

3°. Матрица С1 устойчива, то есть действительные части всех ее собственных значений отрицательны.

4°. гапк(В1, С1В1, • • •, С1п-1В1) = п .

Вырожденная задача, соответствующая (2), имеет вид

тх

dt

= CoX + D0u,

Х(0) = X°, X(T) = 0,

||u(t)||< 1, J(u) = T ® min.

u

Предположим, что выполнено условие

(4)

5°. Задача (4) имеет решение. Пусть далее

У = Г], Хе □ т-п, Ге □ п,

E (e) =

f Ei(e) 0

0 AE2(e)

G(e) =

f Gi(e) ^

^(e)

\e

(5)

Систему (2) перепишем в виде

dy = E (e) y+G(e)u, dt

y(0) = y0, y(T) = 0,

|| u(t) ||< 1, J(u) = T ® min.

(6)

В статье излагается алгоритм, основанный на идее метода А.И. Калинина. При применении алгоритма исходная задача распадается на две задачи оптимального управления меньшей размерности [6, 8], а также удается избежать интегрирования жестких систем.

3. Первая базовая задача

Построение асимптотических приближений к решениям исходной задачи разобьем на два этапа. На первом этапе алгоритма решается вырожденная задача (4). Далее, будем называть ее первой базовой. В силу условия 50 в этой задаче существует оптимальное управление и0(/).

Основываясь на принципе максимума Понтря-гина [11], будем иметь

D0 '(t)u (t) = maxA0'(t)u, te [0;T0],

u|<i

(7)

где функция переключений Л0(0 = у0'(ОВ0, tе [0;Т0], - коэффициент, стоящий при управлении в выражении для гамильтониана, построенного по нетривиальному решению у0(0 сопряженной системы

dt

где

- = -С0у. Пусть Я0 = у (Т0), тогда Ло(t) = Я0'Фо(t), tе [0;Т0],

F0(t) = F\t)D0, te [0;T0],

(8)

(9)

а Е0(t), tе [0;Т0], - матричная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению

иг ^0 ^

(10)

- = -F0C0, F0(T0) = Im

Предположим, что выполнено условие 60. Л0(t) Ф 0, t е [0;Т0].

В этом случае, как следует из (7), оптимальное управление в первой базовой задаче представимо в виде

u (t) =■

A0(t) |A0(t)|

,te [0;T0].

(11)

Оптимальную фазовую траекторию, соответствующую этому управлению, обозначим через £°(0, t е [0;Т0].

e

4. Вторая базовая задача

Структура оптимального решения исходной задачи не может быть полностью определена после решения первой базовой (вырожденной) задачи. Поэтому второй этап алгоритма заключается в решении следующей задачи оптимального управления:

-7 = С77 + < 0,

„(-¥) = -С -1Д Ао(Г°) 7 ) 4 М||А0(Т 0)|

7(0) = 0,

(12)

0

<1, л(и)=| ^(Т>(*)-^(Т0)||^

® Ш1П.

Задачу (12) назовем второй базовой. Пусть и*(5), s < 0, оптимальное управление в задаче (12).

В дальнейшем нам потребуется выполнение условия

7°. Для задачи (12) существует оптимальное управление и*(5), 5 < 0, которое определяется из принципа максимума [11].

Заметим, что положением равновесия динамической системы из (12) при управлении

и( 5) =

Ар(Т0) |^(Т 0)|

является точка -С1Д

А0(Т0) | А0(Т 0)|

Кроме того, подынтегральное выражение в J,(u) при этом управлении обращается в нуль.

Основываясь на принципе максимума Понтря-гина [11], будем иметь

(13)

ПА '(5)и*(5) = шах ПА '(5)и, 5 < 0,

Н<1

где

ПА '(5) = Пу'(5)Д + Ас'(Т0), (14)

а П у(«), 5 < 0, - решение сопряженной системы dП у(5)

—С^Пу^).

Пусть V =П у(0), тогда

ПА '(5) = V0' ПФ(5) + А0 '(Т0), 5 < 0,

(15)

где

ПФ(5) = &(5)Д1, 5 < 0, (16)

а &(5), 5 < 0, - матричная функция, являющаяся ре-

шением начальной задачи

d&(5)

ds

= -&(5)С1, &(0) = 1п

(17)

Предположим, что выполнено условие 8°. ПА(5) Ф 0, 5 < 0.

В этом случае, как следует из (13), оптимальное управление в второй базовой задаче представи-мо в виде

ПА(5)

и*(5) =-

5 < 0.

(18)

| ПА(5) |

Оптимальную фазовую траекторию, соответствующую этому управлению, обозначим через 77,(5), 5 < 0.

После решения двух базовых задач получен вектор (Л0,п°). Вектор I0 найден с точностью до положительного множителя, можно выбрать его таким образом, чтобы выполнялось равенство ||Л0||2 + || V0 ||2 = 1.

Замечание. Во второй базовой задаче гамильтониан вдоль оптимального управления равен нулю. Воспользуемся этим свойством при 5 = 0 и получим условие, которому удовлетворяет вектор п0

||Д'п0 + А0(Т0) ||=|| А0(Т 0)||. (19)

Обозначим через у(г,Лу,Т,е), Ле К", пе К", Т > 0,0 <£<£0, tе [0;Т], решение сопряженной системы

У = -Е '(е)у,у(Т) = (Л,еП), (20) dt

и пусть

А '(t,Л,v,T ,е) = уУ,Лу,Т ,е)&(е). (21)

5. Асимптотические свойства решения исходной задачи

На следующем этапе алгоритма сформируем матрицу размера (т +1) х (т +1)

(г 0 2"

К 02 , (22)

10 =

к к

3 4 0 Л V"4' 0 ^ блоки которой определяются следующим образом

к.-

| Аo(t)||2 Фo(t) -Ф0^)Аo(t)Аo'(t)]Фo'(t)

| Аo(t)||3

Л,

к 2 = д

А 0(Т0) | А 0(Т 0)|

+ К1С0'Л0

К

=I

[||ПА(5) ||2 ПФ(5) -ПФ(5)ПА(5)ПА'(5)]ДС

■ds,

К

=I

Ж.

|| ПА(5)||3

[||ПА(5)||2 ПФ(5) - ПФ(5)ПА(5)ПА'(5)]ПФ '(5) ||па(5)||3

Предположим, что выполнено условие 9°. аег 10 ф 0.

Следующая теорема позволяет установить вид и асимптотические свойства оптимального управления в задаче (6).

Теорема. При выполнении предположений 1° - 9° в задаче (6) при достаточно малых е > 0 существует оптимальное управление и(^ е), tе [0; Т(е)], которое можно представить в виде

= А(а(е)у(е),Т(е),е) . (23)

' ' || А(^Л(е),п(е),Т (е),е)|| Для начальных значений сопряженных переменных и времени оптимального быстродействия имеют место асимптотические разложения

Л(е) = £екЛк, п(е) = £екпк, Т(е) = £екТк. (24) к=0 к=0 к=0 Доказательство. Введем для удобства векторы к = (Л,п,Т) и к0 = (Л°У,Т0).

Прежде всего убедимся в том, что при достаточно малых е> 0 и векторе к, достаточно близком

0

к к0, коуправление (21), рассматриваемое как функция аргумента t, не обращается в нуль на отрезке [0;Т (е)].

Заметим, что в силу (20) коуправление (21) представимо в виде

Л \ик,е) = (Я',еру')¥ (t,T,e)0(e), (25) где ¥((), t е [0;Т(е)], - функция матричного вида, являющаяся решением задачи

= -¥ • Е(е), ¥(Т) = (26)

М

Решение уравнения из (26) представим в блочном виде

( ¥^,Т,е) ¥2(А Т, е) 1 ^ Те) ¥,а Те)),

где ¥^,Т,е),¥2(t,T,e),¥3(^Т,е),¥4(t,T,e) - матрицы размеров (т - п) х (т - п), (т - п) х п, п х (т - п), п х п соответственно. При помощи метода пограничных функций каждая этих матриц-функций может быть представлена в виде асимптотического ряда

Фю^,Т0) = Фо(t), Ф2о(t,T °) ° 0,

п0-|

¥ (1Т,е) =

(27)

¥(t, Т, е) = £ек¥(t, Т) + Пк¥-(^)),

t - Т

s =-, t е [0;Т], / = 1,2, 3,4.

(28)

Подчеркнем, что разложения (28) являются равномерными по t е [0;Т] асимптотическими разложениями. Для пограничных членов Пк¥ (5), 5 < 0, которые являются матричными функциями, имеют место следующие оценки

||Пк¥(5)||< Ркгп*, 5<0, к=0,1, 2,..., ' = 1, 2, 3, 4, (29) где Рк, ук - положительные числа.

Приведем несколько первых членов разложения (28), которые понадобятся при доказательстве теоремы, совершим следующие преобразования:

¥ю = ¥0Ц,Т),¥20 ° 0,¥30 ° 0,

По¥ ° 0,По¥2 ° 0,По¥3 ° 0,По¥4 ° 0(8), (30)

¥21 ° 0, П1¥2 ° 0, ¥4,. ° 0,/= 1Р.

Пусть Ф1(t,T,е), Ф2(^Т,е), tе [0;Т], - матричные функции, сформированные, соответственно, из первых т - п и последних п строк матричной функции Ф(t,T,е) = ¥(г,Т,е)0(е), t е [0;Т]. Из (16), (28), (30) следует, что имеют место асимптотические разложения

Ф1 (^ Т, е) = £ е (Ф1к (t, Т) + Пк Ф1 (5)),

к=0

Ф2 (t, Т, е) - ПФ(5) = £ек (Ф2к (t, Т) + Пк Ф2 (5)),

(31)

в которых

Ф1к(t,T) =£¥1,.В-', ПкФ1(5) =£П,

к к

Х-', ПкФ '^^П 17 ^к-' /=0 '=0 кк

■ 4,'+рвок-'-р, ПкФ2(5)=£п,.+¥ пк-/=0 '=0

(32)

Ф2к (t,т)=£ ¥,,.+р •Вок-'-р, ПкФ2(5)=£п,.+р¥4 •В1к-'-р.

'=0

Заметим, что из (9)

0 (33)

tе [0;Т0], П0Ф1(5) °0.

Вектор-функция (21) (или (25)) может быть представлена в виде

Л 'Ц, к,е) = Я' Ф1 (t, Т, е)+еру 'Ф2 (t, Т, е), (34) и, следовательно, она допускает асимптотическое разложение

Л01, к,е) = £ ек (Лк (t, к) + Пк Л(5, Я, у)), (35)

где

Л0 = Я0Ф10, П 0Л' = п0ПФ(5),

к к-р Л к=£я'Фи-'+£ПФ2,к-'-р, '=0 '=0 к к- р П к Л = ХЯ'П^-Ф + £ПП2,к-'-рФ2.

(36)

'=0 '=0 Разложение (35) будет равномерным в области || к - к0 ||<е, t е [0;Т ], где е - некоторое достаточно

малое положительное число.

Заметим, что из (8), (19), (33) следует, что

Л0Ц,ко) = Ло(0, t е [0;Т0],

П0Л'(5,Я0,п0) = У° • ПФ(5), 5< 0.

(37)

ф о, tе [0;Т0]. (38)

С учетом предположений 5°, 6°, 8° легко убедиться в том, что при достаточно малых е (t - Т0

Ло«+уо •пф 1 —

Тогда, как видно из (35), (36), вектор-функция Л(«, к,е) отлична от нуля в области || к - к0||<е1, 0<е<е0, где е1, е0 - достаточно малые положительные числа.

Л(«, к,е) ||Л(«, к,е)|

Рассмотрим управление u(t,к,е) =

|| к - к0 ||<е1, 0 <е<е0, t е [0;Т0].

Пусть к,е),г^,к,е), t е [0;Т]. - траектории системы (6), порожденные этим управлением. Изучим вопрос о существовании решений системы уравнений

Х(Т, к,е) = 0,

Г(Т, к,е) = 0,

(39)

2

--1 = о, 2

относительно неизвестных Я, у, Т при достаточно малых е.

В силу формулы Коши получаем

Х(Т, к,е) 1 __ _ч(£01 Т Ф(«,Т ,е)Л(^ к,е)

Г(Т, к,е)

= ¥ (0,Т ,е)

-Л.

Г) 0 ||Л(«,к,е)|| Так как блоки матриц ¥(«,Т,е) и Ф(«,Т,е) раскладываются в асимптотические ряды, то из (28), (30), (31), (32), (35), (36) следует, что справедливо асимптотическое разложение

У(Т, к,е) = £екУк (Т, к),

к=0

к=0

е

Я ||2 + ||у||2

к=0

к=0

или, что одно и тоже,

Х(Т, к,е) = £екХ (Т, к),

к=0

77(Т, к,е) = £ек7к (Т, к),

к=0

Старшие коэффициенты в (40) имеют вид

(40)

Х0(к) = ВДТ )Х0 +1

Ф10мем, к)

l|Аo(t, к) |

л,

770 (к) = |

ПФ(5)[А0 (Т, к) + П0 А(5, Л, V)

| А0(Т, к) + П0А(s,Л,v)| Запишем систему (39) в виде К (к, е) = 0,

ж.

(41)

где

К(к,е) =

Х(Т, к,е) 7(Т, к,е)

+1| V |

Л" 2 "|""2

2

1

2 /

В силу (40) имеет место асимптотическое разложение

К(к,е) = £екКк (к),

(42)

где

Кк (к) =

X (к)Л

7 (к)

4 (к) ^

"Л||2

(43)

||Л|| + llV|l2 1 4o(Л,v) = " " 2Н " -8к(Л,v) = 0, к = 1,2,....

Следует отметить тот факт, что разложение (42) является равномерным в области || к - к0 ||<е1, причем его коэффициенты являются бесконечно дифференцируемыми функциями. Поло-

жим К(к,0) = К0(к). В этом случае вектор-функция К(к,е), а также ее частные производные по компонентам вектора к, в области || к - к0||<е1, 0 < е< е0, будут непрерывными функциями.

Непосредственным дифференцированием, учитывая (32) и (36), убеждаемся в том, что

дК(к0,0)_ ЭК0(к0)

= 10. В силу предположения 90

Эк Эк

эта матрица Якоби будет являться невырожденной.

Таким образом, система (39) (или (41)) удовлетворяет всем условиям теоремы о неявной функции. Изэтого следует, что в некоторой окрестности 0 < е< е0 , однозначно определены непрерывные функции Л(е), v(e), Т(е), удовлетворяющие уравнениям (41) и условиям Л(0) =Л0, v(0) = V0, Т(0) = Т0.

Следовательно, для вектора

к(е) = (Л(е), v(e), Т(е)), который является решени-

ем системы (41) будут определены асимптотические разложения (42).

Проанализируем управление и(^е), tе [0;Т(е)], его значения вычисляются по формуле (23). Это управление будет являться допустимым в задаче (6), так для соответствующей ему фазовой траектории исходной системы

(%У,к(е),е),7Хк(е),е))', tе[0;T(е)], будет выполняться условие (Х(Т(е),к(е),е), 7(Т(е),к(е),е))'=0.

Вместе с тем оно удовлетворяет принципу максимума Понтрягина ([11]) с вектором сопряженных переменных к(е),е), tе [0;Т(е)]. Из чего можно заключить, что это управление оптимальное. Теорема доказана.

6. Построение асимптотики

Вернемся к алгоритму построения асимптотически субоптимальных управлений в исходной задаче. Вектор-функция

и(°\е = А°(^к0,е) , tе [0;Т0] l|Аo(t, к0,е)||

является асимптотически субоптимальным управлением нулевого порядка для исходной задачи. Заметим, что его можно сформировать непосредственно после решения базовых задач. Для того, чтобы получить асимптотически субоптимальное управление Ж-го порядка (Ж >1) требуется найти члены Лк, Vk, Тк, к=1,2,..., асимптотических рядов (24). Осуществить это позволяет метод неопределенных коэффициентов, интерпретация которого описывается ниже. Пусть

кк = (Лк,V,Тк),к = 1,2,...,N, к(Ю(е) = £е"кк. (44)

к=0

Воспользуемся формулой Тейлора для разложе-

N

ния вектор-функции £екКк(кЖ)(е)) по степеням е

к=0

до порядка N включительно. Будем приравнивать коэффициенты этого разложения к нулю (начиная с коэффициента при е). В результате этого получим невырожденные системы линейных уравнений для нахождения компонент векторов кк = (Лк, V, Тк), к =1, 2, ... , Ж:

1 к —КА), (45)

ЭВД), 1 .Э^)

1 к=—^^ к—к

Эк

2

Эк2

к1 - ^(АХ

(46)

Далее, эти системы последовательно решаются и находятся векторы кк = (Лк, Vк, Тк), к = 1,2,..., N . После этого составляем полиномы

Л("\е)=£екЛк, v(N)(e)=£ekvk, Т™(е)=£екТк,

к=0 к=0 к=0

к(е)=(Л(~)(е), Vе}(е), Т™(е)). Вектор-функция

0

к=0

.,( N )

(t,e) =■

A(t, к N \e),e)

t e [0;T(N)(e)],

||Л(«, к( Ы) (е),е)| будет асимптотически субоптимальным управлением А-го порядка в исходной задаче. Для того, чтобы избежать интегрирования жестких систем, как сказано выше, это является довольно проблематичным процессом, вместо вектор-функции

Л(«,к(Ж)(е),е), tе [0;Т(Ж)(е)], можно использовать соответствующее асимптотическое приближение

Л( е)=£ек (Л к (t, к( Ж >(е))+Пк Л(5, Я Ж)(е), у( Ж)(е))),

t - T(N)(e)

5 =

t e [0;T(N)(e)].

Вектор - функция

м,( N )(t,e) =■

A( N )(t,e)

,t e [0;T(N)(e)]

также будет являться асимптотически субоптимальным управлением А-го порядка для исходной задачи. В частности, как следует из (37), асимптотически субоптимальное управление нулевого порядка будет иметь следующую структуру

V - Т04

A0(t ) + Ц' П^'

и,(0) (t,e) =-

| A0(t ) + Ц' П^'

t - T0

,te [0;T0].

Полученные асимптотические разложения решений системы уравнений (41) можно использовать для нахождения точного решения этой системы, а, следовательно, и исходной задачи (6) при любом заданном наперед значении малого параметра е . При этом, используя численные методы (например, процедуру доводки (см. [15])), можно найти с помощью метода Ньютона корни уравнения (41). В качестве нулевого приближения следует взять к( Ж)(е). Кроме того, если известны коэффициенты (42), то асимптотическое разложение матрицы дЯ(к,е)

дк

будет определено. Если при вычислениях

использовать именно его, то удастся избежать интегрирования жестких систем.

Литература

1. Васильева, А.Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления [Текст] / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Матем. анализ (Итоги науки и техн.). -М.: ВИНИТИ, 1982. - Т. 20. - С. 3-77.

2. Дмитриев, М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления [Текст] / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 1.

3. Collins W.D. Singular perturbations of linear timeoptimal control problems / W.D. Collins. // Recent Mathematical Developments in Control; New York: Academic Press. 1973.

4. Haddad, A.H. Note on singular perturbation of linear state regulators [Text] / A.H. Haddad, P.V. Kokotovic // I.E.E.E. Trans. Automat. Control. - 1971. - V. 16. - № 3. -P. 279-281.

5. Kokotovic, P.V. Singular perturbations in systems and control [Text] / P.V. Kokotovic, Н.К. Khalil. - New York: IEEE Press, 1986.

6. Калинин, А. И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем [Текст] / А. И. Калинин. - Минск.: Экоперспектива, 2000. - 183 с.

7. Калинин, А. И. Асимптотика решений возмущенных задач оптимального управления [Текст] / А. И. Калинин // Известия АН. Сер. Техн. кибернетика. - 1994. -№ 3. - С. 104-114.

8. Калинин, А. И. Асимптотический метод оптимизации линейных сингулярно возмущенных систем с многомерными управлениями [Текст] / А. И. Калинин, К. В. Семенов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - Т. 44. - № 3. - С. 432-443.

9. Ракитский, Ю. В. Численные методы решения жестких систем [Текст] / Ю. В. Ракитский, С. М. Устинов, И. Т. Черноруцкий. - М.: Наука, 1979. - 210 с.

10. Габасов, Р. Алгоритм оптимизации квазилинейной системы управления [Текст] / Р. Габасов, А. И. Калинин, Ф. М. Кириллова // Докл. АН СССР. - 1987. - Т. 293. - № 1. - С. 22-26.

11. Математическая теория оптимальных процессов [Текст] / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р .В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. - М.: Наука, 1983. - 393 с.

12. Курина, Г. А. О расщеплении линейных систем [Текст] / Г. А. Курина. - Воронеж, 1990. - Деп. в ВИНИТИ, № 2249, В90.

13. Carlson, D.A., Infinite horizon optimal control [Text] / D.A. Carlson, F. Haurie // Le^ Notes in Econom. and Math. Systems. - 1987. - V. 290.

14. Васильева, А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений [Текст] / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. - М.: Наука, 1973. - 272 с.

15. Габасов, Р. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 2. Задачи управления [Текст] / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. - Минск: Университетское, 1984. - 207 с.

k=0

e

p

e

p

e

Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» Воронежский государственный технический университет

ASYMPTOTIC SOLUTION OF SINGULAR MATRIX PERTURBED LINEAR OPTIMAL CONTROL PROBLEMS WITH MULTIDIMENSIONAL CONTROLS ACTIONS

J.V. Korypaeva, V.V. Peshkov

Problem of optimal performance for linear matrix of a singularly perturbed system with multidimensional control is considered. Values of controls in Euclidean norm are limited. The algorithm of asymptotic solution of the problem is offered. When applying the initial optimal control problem falls into two unperturbed problems of smaller dimension, one of which is the degenerate problem

Key words: singular perturbations, optimal control, multidimensional control actions