CC BY
23
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Математика и механика № 6(26)
УДК 517.928
Д.А. Турсунов
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ БИСИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Обобщенным методом погранфункций строится равномерное асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка.
Ключевые слова: асимптотическое разложение, задача Дирихле, оператор Лапласа, эллиптическое уравнение, бисингулярное возмущение, точка поворота.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения
єДи-(х2+у2)и =/х,у), (х,у)єБ = {(х,у)| х2+у2<1}; (1)
міг = 0, Г={(х,у)| х2+у2=1}, (2)
д2 д2 -
где 0<є<<1 - малый параметр, Д =—- +----------- — оператор Лапласа, /(х,у)єСа( Б ),
Сх йу
и=и(х, у, є).
Асимптотическое разложение решение задачи (1), (2) строим обобщенным методом погранфункции [1, 2]. Задача (1), (2) в полярной системе координат (х = ГСОБф, у = тапф) имеет вид
єД^и-Л = /(г, ф), (г, ф)єБі = {(г, ф)|0<ф<2п, 0<г<1}, (1.1)
и(1,ф, є) = 0, (1.2)
где ДгЛ =
(д2 і_д_ ад dk
dr2 r дr r2 дф2
f (r, ф) = Ё fk (+)rk, fk (^fr1
k=0 k ^r
u = u(r, ф, є).
Для начала рассмотрим структуру внешнего разложения решения задачи (1.1), которое ищем в виде
ад
V = ^\ (r,ф), є^ 0, (3)
k=0
где V - это пока формальный ряд. Подставляя (3) в (1.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях є, получим рекуррентную систему уравнений:
-r2v0(r, ф) = f(r, ф),
r2Vk(x, у) = Дг^-Кг, ф), keN.
Отсюда определяются все vk (r,ф) є Cад (D1 \ (0,ф)):
Vo(r,ф) = -Дг,ф)/г2, Vk(r,ф) = ДrфVk-l(r,ф)/r2, keN.
Заметим, что при r = 0 (в начале координат x = 0, у = 0) все эти функции vk(r, ф) имеют особенности.
Поэтому задача (1), (2) ((1.1), (1.2)) является бисингулярной - коэффициенты ее внешнего разложения имеют нарастающие особенности в начале координат [3, 4]. В окрестности г = 0 ряд (3) не только не приближает решение и(г, ф, є), но даже теряет асимптотический характер.
Построение формального асимптотического разложения решения
Решение задачи (1.1), (2.1) ищем в виде
и(г, ф, є) = ¥(г, ф, є)+№(т, ф, ц)+П(п, ф, ц), (4)
где п = (1-г)/ ц2, є = ц4, т = г/ц,
ад ад ад
V(г,фє) = X ук (’'',ф)єк, № (т,ф, Ц) = X (т,ф) Цк, п(пф, ц) = X пк (пф)Ц2к .
к=0 к=-2 к=0
Подставляя (4) в (1.1) получим
єДгфГ - г2Г + єДтфГ - (тц)2Г + єДпфП - (1-ц2п)2П = =/(г, ф) - Н(г, ф, є) + Я(цт, ф, ц),
^2 Л
(5)
где
Дтф =
1 д _1________д_
2 Л—2 ..2— дт ..2»-2 ^,-к2
ц2 дт2 ц2 т дт ц2т2
д
ц4дп2 (1 -ц2п)ц2дп (1 -ц2п)2 дф
Здесь мы в левую часть уравнения прибавили и убавили одну и ту же функцию
ад
Н(г, ф,є) = X Н (г,ф)єк . Н(г, ф,є) пока неизвестная функция, ее мы определим
к=0
ниже.
Из (5) имеем
ад
Х(Дгфук-1 (г,ф)-г\ (г,ф)+нк (г,ф))єк -гЧ (г,ф) = /(г,ф)-н0 (г,ф); (6)
к=1
еДТф ^-ц2Т^ = И(цт, ф,е), Иш ^ (т,ф) = 0 ;
т^ад
еДпфП - (1 - ц2п)2П = 0, П(0,ф, ц) = -У(1, ф, ц).
Из (6) можно однозначно определить все ук(г, ф):
Уо(г, ф) = -(/(г, ф) - Ио(г, ф))/г2,
Ч(г, ф) = (ДГф^-1(г, ф) + Ик(г, ф))/г2, ке]\.
И здесь мы определим неизвестную функцию Н(г, ф, е) так, чтобы
Ук-1(г, ф)еС“( £>1), кеК Отсюда Ио(г,ф) = /о(ф) + /1(ф)г+/>(ф)г2+/э(ф)г3,
Ик(г,ф) = -(?о,к-1(ф) + Я1,к-1 (ф)г + g2,k-l(ФY2 + £з,к-1(ф)г3),
д аЕк-1 (0, ф)
()
(8)
g(г, ф) = Л^к-^ ф), Я, к- (ф) = -
Следовательно,
H(г,ф) = / (ф) + / (ф)г + / (ф)г2 + fз (ф)г3 -
СО
(ф) + (-1 (ф)г + #2,к-1 (ф)Г2 + Яз,к-1 (ф)г3 К •
к=1
Задачу (7) запишем в следующем в виде:
2
з
2
5 2Г 1 дW 1 5 2Г
+------+
дт2
т дт т“
( з
-ц2 т2W =
= Х /к (ф)цктк -Х X ^,к-1 (ф)ц1т 1
к=111=0
к=0
ц4к •
При т^-да вместо (9) можно рассмотреть уравнение
ц2 Чт -ц2тТ = ^ /к(ф)цк%к -^ ^ -1(ф)ц7т7
дт к=0
с условием Иш Т (т,ф) = 0 [5].
к=1^ 1=0
Ц4к
Отсюда, если ввести оператор I =
_д_
дт2
--т ,имеем
(9)
(9.1)
^-2 = /о(ф),^-2^0, т^-да; (7.-2)
/^-1 = /1(ф)т, ^-1^0, т^-да; (7.-1)
/^0 = /2(ф)т2,^0^0, т^-да; (7.0)
/^1 = /3(ф)т3, ^1^0, т^-да; (7.-1)
/^4к-2 = -£0,к-1(ф), ^4к-2^0, т^да, кеК; (7.4к-2)
/^4к-1 = -?1,к-1(ф)т, ^4к-1^0, т^да, кеК. (7.4к-1)
1^4к = -Я2,к-1(ф)т2, W4k^0, т^да, кеК; (7.4к)
1^4к+1 = -Яз,к-1(ф)т3, ^+1^0, т^да, кеК. (7.4к+1)
Эти уравнения являются уравнениями с кратной точкой поворота. Поэтому их решения записываются с помощью специальных функции. Общее решение однородного уравнения /'(т)-т2г(т) = 0 имеет вид [6]
г (т) = ^[ Сх!1 (1 т2 | + С2 К, Г 2 т2 ^
V 4 4
где С1, С2 - произвольные постоянные, 11 ^-2 т2 |, К 1 Г1 т2 | - модифицированные функции Бесселя. Причем
11 ^-2т2 | ^ да, К1 ^-2 т2 | ^ 0 при т^-да;
11 ^-2т21 ^ 0, К1 ^-2т2 | ^ да при т^-0.
Лемма. Неоднородное уравнение 1г = у(т) имеет решение
2 (т) = л (т){У (5)( ^)) ^ + У (т){ У2 (5)( У()) ^, (10)
0 ^ т ™
которое ограничено на всей оси и удовлетворяет условию г(т)^0, при т^-да, где
у1 (т) = -\/х/1 ^-2т2 |, у2 (т) = -\/тК 1 ^1 т2 | - решения однородного уравнения
1г = 0.
Доказательство. Функция (10) удовлетворяет условиям г(0) = 0, г(да) = 0, так как >’1(0) = 0, >’2(да) = 0.
Теперь докажем, что (10) действительно удовлетворяет уравнению 1г = у(т). Вычислим производные первого и второго порядка от функции (10):
2'(т) = у'2 (т){У1 (5)( ^)) ^+у 1 (т)1у2 (5)( г(;)) ^,
" (т) = у -2 (т)} у (* )(-^ С* + у ”, (т)} у2 (* )(^Р С*
+ ЦР(у '2 (т) У! (т)- У \ (т) У2 (т)) = \т
у -2 (т)} у (* )(^ С* + у ^ (т)} у2 (* )(-^ С* + у(х) •
Подставляя значение второй производной в неоднородное уравнение її = у(т), получим
у -2 (т)} у1 (* )(^ С* + у '1 (т)} у2 (* )(^ С* +у(т)-
0 ^ т ^
- у2 (т)}у1 (*)(-^^^ + у1 (т)}у2 (*)(-іМ)^ = y(т),
0 ^ т ^
(у "2(т)-т2у2 (т))} У (*)( Г!~ )) с* +
0 л'5
+ (у"1 (т)-т2у1 (т)){у2 (*)( )) с*' + у(т) = у(т) •
Доказательство леммы завершено.
Используя эту лемму, запишем решение уравнений (7.4к-2), (7.4к-1), (7.4к), (7.4к+1):
( т Ґ \ Ґ \ ^
^-2 (т) = -/0 (ф) у2 (т)}+ у (т)}УlУS),
I 0 ^ т ^ )
( т ад
™-1 (т) = -/1 (ф) у2 (т)}у1 (*)^с* + у1 (т)}у2 (*
0
0
(т) = -/ (Ф) у (т)}У1 (э+ У1 (т){У2 (эУ'2^
V 0 т
/ т ад
™1 (т) = -/3 (ф) У2 (т){У1 (зУ/2^ + У1 (т){У2 (з^
V о
(
•Чк-2
(т) = ёо.к-1 (ф) У2 (т)|& + У (т)|&
^4к-1 (т) = 81,к-1 (ф)1 У2 (т)|У1(з)^ + У1 (т)|У2(з)"Г^
V 0 т )
' т ад
^4к (т) = 82,к-1 (ф) У2 (т){У1 (3) + У1 (т){ У2 (3) Я312^
V 0 т
^ т ад
^4к+1 (т) = 8з,к-1(ф) У2 (т)| У1(з) *5!2^ + У1 (т)| У2 (з) з5'2^
кеП.
Для Ук wk(т, ф)——0 при т—ад; ^к(т, ф)еСад(Д), к = —2,—1,0,_
Приступим теперь к решению задачи (8):
д2
1 д 1 д2
- + -
ц4дП2 (1 -Ц2п)ц2 дП (1 -ц2п)
^|2
П-(1 -ц2п)2 п = 0,
П(0, ф) = -У(1, ф).
Здесь тоже можно приближенно заменить уравнение (8) более простым, т.е. вместо уравнения (8) можно рассмотреть уравнение
д 2П
дп2
-(1 -ц2п) п = 0,
(8.1)
с условиями П(0, ф) = -К(1, ф), Иш П(п,ф) = 0 .
П—ад
Подставляя в (8.1) ряд П(п,ф,ц) = ^лк (п,ф)ц2к, получим
д 2 п0 д 2 л.
Т- -п0 + 1
дп2 0 V дп2
Отсюда
д 2 П0
дп2
д 2п1
дп2
к=0
Л ад гд2пк
■2--П1 +2пп0 Ц2 +Х
к=2
дп2
--пк +2ппк-1 -п2п
к - 2
П—ад
Г-п1 = “2^0 , п1 (0,ф) = 0, Иш п1 (п,ф) = 0,
п—ад
д 2П
-пк = -2Ппк- + П2пк-2 , к ^ 2 ,
дп
П2к (0 Ф) = -Ук (!> Ф) , 1Іт П2к (п Ф) = 0 ,
пі»
П2к+1 (0 ф) = 0 1Іт П2к+1 (П> ф) = 0 •
пі»
Следовательно,
по (пф) = -у0 (1,фКЛ , П1 (rl,ф) = -2Vo (l,ф)п(п + 1)е~п ,
п2 (пф) = -88^0 (^ф)п(3 + 2п2 + 3п + 3) -V (1,ф)<гп ,
п2к+1 (пф) = Р(пф)еЛР(°ф) = 0 , кє^
П2 к (rl, ф) = Р (^ ф)е_Л - ^к (1, фКп Р ((), ф) = 0 ,
Р(п,ф) - некоторый многочлен.
У к, пк (п, ф) і 0, пі»; пк (п, ф) є С» (р1) , к = 0,1,....
Оценка остаточного члена Я„(г, ф, е)
Пусть ип(г, ф, е) = У„(г, ф, е) + ^4и+2(т, ф, и) + И2„+1(п, ф, И),
Я„(г, ф, е) = и(г, ф, е) - ип(г, ф, е),
п
где К(г,ф,е) = Хук(г,ф)ек, ^„+2 (лфи) =
к=0
4„+2 2„+1
= X ^ (Лф)Ик, П2„+1 (n,ф, И)= ХПк (п,ф)И2к.
к=-2 к=0
Тогда для остаточного члена получим задачу:
еДЯ„(г, ф, е) - г2Я„(г, ф, е) = 0(е„+1),
(г, ф)єР1 = {(г, ф)|0<ф<2п, 0<г<1},
Я„(1, ф, е) = 0. (11)
Задача (11) при всяком е>0 имеет единственное решение [7].
С помощью подстановки г = цр (ц4 = е) приходим к задаче ДЯ„(р, ф, е)-р2Я„(р, ф, е) = 0(е„+1/2),
(р, ф)єР1 = {(р, ф)|0<ф<2п, 0<р<»},
Я„(», ф, е) = 0, |иі0.
Построим решение этой задачи, не зависящее от ф, т.е. Я„(р, ф, е) = Я„(р, е): Я"„(р, е) + Я'„(р, е)/р - р2Я„(р, е) = 0(е„+1/2).
Если применять замену переменной 2| = р2, то последнее уравнение приводится к виду
5Я"„& е) + Я'„(|, е) - |Я„(|, е) = 0(е„+1/2).
где G&s) = {-7° ®К° <s)'° <5< *
Соответствующее однородное уравнение §R"n(§, е) + R'n(§, е) - £Rn(l, е) = ° -
модифицированное уравнение Бесселя нулевого порядка, которое, имеет два не-
зависимых решения 7°(|) и К°(|) [6]. Следовательно, решение неоднородного уравнения имеет вид
Rn &е) = O(еп+1/2)G(|,s)ds,
°
Г-1° (5) К ( s ),° <|<;
[-7° (s) К° ^ s <|<да.
Отсюда получим оценку для остаточного члена | Rn(|, е)| = 0(еп+1/2).
Мы доказали следующую теорему.
Теорема. Пустьfr, ф)еС“(D 1),f (°,°) Ф °, тогда задача (1.1), (1.2) имеет единственное решение и для него справедливо разложение
U (r ,ф,е) = -\f f (r, ф)- ]Г fk (ф)гк l + ff (1, ф)- ]Г fk (ф)1 е ^ -
r К k=° ) К k=° )
- АМф ° (r, е)-(r, е)-f2 (ф)ф2 (г, е)-
VB VS
_ (1 -r)(1 -r + ->/e)f з Л
-Vs/; (ф)фз (r,е) +----------------Кf (1,ф)-£ fk (ф))е +
+ Veg°,° (ф)ф1 (r, е) + ^g1,° (ф)ф2 (r, е) + 0 (е),
при е—°, где
/ \r/n^s / \ ад
фк 0%е) = y2 | I y (s)sk-1/2ds + у [IJs) I У2(s)sk~inds,k = 0,1,2,3,
° r /
Фк(1, е)——°, Фк(°, е)——° при е——°.
Замечание. Аналогично можно построить асимптотическое разложение решения задачи
eAu-(x2+y2)q(x, y)u = f(x, y), (x, y)eD = {x, y| x2+y2<1}, ul г = 9(x,y), Г = { x, y| x2+y2 = 1}, где q(°, °)>°, q(x, y), 9(x, y), fx,y)eC”( D ).
ЛИТЕРАТУРА
1. Алымкулов К. Аналог метода погранфункций для решения модельного уравнения Лайт-хилла, в случае, когда невозмущенное уравнение имеет полюс любого порядка в регулярной особой точке // Дифференциальные уравнения и оптимальное упарвление: сб. тезисов конф., посвящ. 9°-летию со дня рождения академика Е.Ф. Мищенко. М., 2°12. С. 12-14.
2. Alymkulov К. Extension of boundary layer function method for singularly perturbed differential equation of Prandtle - Tichonov and Lighthill types // Reports of the Third Congress of the World Mathematical Society of Turkic Countries, Almaty, June July, 2°°9. P. 256-259.
3. Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2°°9. 248 с.
4. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М.: Наука, 1989. 334 с.
5. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т. 12. № 5(77). С. 3-122.
6. Зайцев В., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1995. 56° с.
7. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.
Статья поступила 2°.°2.2°13 г.
Tursunov D. A. ASYMPTOTIC EXPANSION OF THE SOLUTION OF THE BISINGULARLY PERTURBED ELLIPTIC EQUATION. Using a generalized method of boundary functions, a uniform asymptotic expansion of the solution of the Dirichlet problem for the bisingularly perturbed second order elliptic equation is constructed.
Keywords: asymptotic expansion, Dirichlet problem, Laplace operator, elliptic equation, bisingular perturbation, turning point.
TURSUNOVDilmuratAbdilllajanovich (Osh State University)
E-mail: dosh2°12@mail.ru
