Асимптотическое разложение решения бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 6(26)

УДК 517.928

Д.А. Турсунов

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ БИСИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Обобщенным методом погранфункций строится равномерное асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка.

Ключевые слова: асимптотическое разложение, задача Дирихле, оператор Лапласа, эллиптическое уравнение, бисингулярное возмущение, точка поворота.

Постановка задачи

Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения

єДи-(х2+у2)и =/х,у), (х,у)єБ = {(х,у)| х2+у2<1}; (1)

міг = 0, Г={(х,у)| х2+у2=1}, (2)

д2 д2 -

где 0<є<<1 - малый параметр, Д =—- +----------- — оператор Лапласа, /(х,у)єСа( Б ),

Сх йу

и=и(х, у, є).

Асимптотическое разложение решение задачи (1), (2) строим обобщенным методом погранфункции [1, 2]. Задача (1), (2) в полярной системе координат (х = ГСОБф, у = тапф) имеет вид

єД^и-Л = /(г, ф), (г, ф)єБі = {(г, ф)|0<ф<2п, 0<г<1}, (1.1)

и(1,ф, є) = 0, (1.2)

где ДгЛ =

(д2 і_д_ ад dk

dr2 r дr r2 дф2

f (r, ф) = Ё fk (+)rk, fk (^fr1

k=0 k ^r

u = u(r, ф, є).

Для начала рассмотрим структуру внешнего разложения решения задачи (1.1), которое ищем в виде

ад

V = ^\ (r,ф), є^ 0, (3)

k=0

где V - это пока формальный ряд. Подставляя (3) в (1.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях є, получим рекуррентную систему уравнений:

-r2v0(r, ф) = f(r, ф),

r2Vk(x, у) = Дг^-Кг, ф), keN.

Отсюда определяются все vk (r,ф) є Cад (D1 \ (0,ф)):

Vo(r,ф) = -Дг,ф)/г2, Vk(r,ф) = ДrфVk-l(r,ф)/r2, keN.

Заметим, что при r = 0 (в начале координат x = 0, у = 0) все эти функции vk(r, ф) имеют особенности.

Поэтому задача (1), (2) ((1.1), (1.2)) является бисингулярной - коэффициенты ее внешнего разложения имеют нарастающие особенности в начале координат [3, 4]. В окрестности г = 0 ряд (3) не только не приближает решение и(г, ф, є), но даже теряет асимптотический характер.

Построение формального асимптотического разложения решения

Решение задачи (1.1), (2.1) ищем в виде

и(г, ф, є) = ¥(г, ф, є)+№(т, ф, ц)+П(п, ф, ц), (4)

где п = (1-г)/ ц2, є = ц4, т = г/ц,

ад ад ад

V(г,фє) = X ук (’'',ф)єк, № (т,ф, Ц) = X (т,ф) Цк, п(пф, ц) = X пк (пф)Ц2к .

к=0 к=-2 к=0

Подставляя (4) в (1.1) получим

єДгфГ - г2Г + єДтфГ - (тц)2Г + єДпфП - (1-ц2п)2П = =/(г, ф) - Н(г, ф, є) + Я(цт, ф, ц),

^2 Л

(5)

где

Дтф =

1 д _1________д_

2 Л—2 ..2— дт ..2»-2 ^,-к2

ц2 дт2 ц2 т дт ц2т2

д

ц4дп2 (1 -ц2п)ц2дп (1 -ц2п)2 дф

Здесь мы в левую часть уравнения прибавили и убавили одну и ту же функцию

ад

Н(г, ф,є) = X Н (г,ф)єк . Н(г, ф,є) пока неизвестная функция, ее мы определим

к=0

ниже.

Из (5) имеем

ад

Х(Дгфук-1 (г,ф)-г\ (г,ф)+нк (г,ф))єк -гЧ (г,ф) = /(г,ф)-н0 (г,ф); (6)

к=1

еДТф ^-ц2Т^ = И(цт, ф,е), Иш ^ (т,ф) = 0 ;

т^ад

еДпфП - (1 - ц2п)2П = 0, П(0,ф, ц) = -У(1, ф, ц).

Из (6) можно однозначно определить все ук(г, ф):

Уо(г, ф) = -(/(г, ф) - Ио(г, ф))/г2,

Ч(г, ф) = (ДГф^-1(г, ф) + Ик(г, ф))/г2, ке]\.

И здесь мы определим неизвестную функцию Н(г, ф, е) так, чтобы

Ук-1(г, ф)еС“( £>1), кеК Отсюда Ио(г,ф) = /о(ф) + /1(ф)г+/>(ф)г2+/э(ф)г3,

Ик(г,ф) = -(?о,к-1(ф) + Я1,к-1 (ф)г + g2,k-l(ФY2 + £з,к-1(ф)г3),

д аЕк-1 (0, ф)

()

(8)

g(г, ф) = Л^к-^ ф), Я, к- (ф) = -

Следовательно,

H(г,ф) = / (ф) + / (ф)г + / (ф)г2 + fз (ф)г3 -

СО

(ф) + (-1 (ф)г + #2,к-1 (ф)Г2 + Яз,к-1 (ф)г3 К •

к=1

Задачу (7) запишем в следующем в виде:

2

з

2

5 2Г 1 дW 1 5 2Г

+------+

дт2

т дт т“

( з

-ц2 т2W =

= Х /к (ф)цктк -Х X ^,к-1 (ф)ц1т 1

к=111=0

к=0

ц4к •

При т^-да вместо (9) можно рассмотреть уравнение

ц2 Чт -ц2тТ = ^ /к(ф)цк%к -^ ^ -1(ф)ц7т7

дт к=0

с условием Иш Т (т,ф) = 0 [5].

к=1^ 1=0

Ц4к

Отсюда, если ввести оператор I =

_д_

дт2

--т ,имеем

(9)

(9.1)

^-2 = /о(ф),^-2^0, т^-да; (7.-2)

/^-1 = /1(ф)т, ^-1^0, т^-да; (7.-1)

/^0 = /2(ф)т2,^0^0, т^-да; (7.0)

/^1 = /3(ф)т3, ^1^0, т^-да; (7.-1)

/^4к-2 = -£0,к-1(ф), ^4к-2^0, т^да, кеК; (7.4к-2)

/^4к-1 = -?1,к-1(ф)т, ^4к-1^0, т^да, кеК. (7.4к-1)

1^4к = -Я2,к-1(ф)т2, W4k^0, т^да, кеК; (7.4к)

1^4к+1 = -Яз,к-1(ф)т3, ^+1^0, т^да, кеК. (7.4к+1)

Эти уравнения являются уравнениями с кратной точкой поворота. Поэтому их решения записываются с помощью специальных функции. Общее решение однородного уравнения /'(т)-т2г(т) = 0 имеет вид [6]

г (т) = ^[ Сх!1 (1 т2 | + С2 К, Г 2 т2 ^

V 4 4

где С1, С2 - произвольные постоянные, 11 ^-2 т2 |, К 1 Г1 т2 | - модифицированные функции Бесселя. Причем

11 ^-2т2 | ^ да, К1 ^-2 т2 | ^ 0 при т^-да;

11 ^-2т21 ^ 0, К1 ^-2т2 | ^ да при т^-0.

Лемма. Неоднородное уравнение 1г = у(т) имеет решение

2 (т) = л (т){У (5)( ^)) ^ + У (т){ У2 (5)( У()) ^, (10)

0 ^ т ™

которое ограничено на всей оси и удовлетворяет условию г(т)^0, при т^-да, где

у1 (т) = -\/х/1 ^-2т2 |, у2 (т) = -\/тК 1 ^1 т2 | - решения однородного уравнения

1г = 0.

Доказательство. Функция (10) удовлетворяет условиям г(0) = 0, г(да) = 0, так как >’1(0) = 0, >’2(да) = 0.

Теперь докажем, что (10) действительно удовлетворяет уравнению 1г = у(т). Вычислим производные первого и второго порядка от функции (10):

2'(т) = у'2 (т){У1 (5)( ^)) ^+у 1 (т)1у2 (5)( г(;)) ^,

" (т) = у -2 (т)} у (* )(-^ С* + у ”, (т)} у2 (* )(^Р С*

+ ЦР(у '2 (т) У! (т)- У \ (т) У2 (т)) = \т

у -2 (т)} у (* )(^ С* + у ^ (т)} у2 (* )(-^ С* + у(х) •

Подставляя значение второй производной в неоднородное уравнение її = у(т), получим

у -2 (т)} у1 (* )(^ С* + у '1 (т)} у2 (* )(^ С* +у(т)-

0 ^ т ^

- у2 (т)}у1 (*)(-^^^ + у1 (т)}у2 (*)(-іМ)^ = y(т),

0 ^ т ^

(у "2(т)-т2у2 (т))} У (*)( Г!~ )) с* +

0 л'5

+ (у"1 (т)-т2у1 (т)){у2 (*)( )) с*' + у(т) = у(т) •

Доказательство леммы завершено.

Используя эту лемму, запишем решение уравнений (7.4к-2), (7.4к-1), (7.4к), (7.4к+1):

( т Ґ \ Ґ \ ^

^-2 (т) = -/0 (ф) у2 (т)}+ у (т)}УlУS),

I 0 ^ т ^ )

( т ад

™-1 (т) = -/1 (ф) у2 (т)}у1 (*)^с* + у1 (т)}у2 (*

0

0

(т) = -/ (Ф) у (т)}У1 (э+ У1 (т){У2 (эУ'2^

V 0 т

/ т ад

™1 (т) = -/3 (ф) У2 (т){У1 (зУ/2^ + У1 (т){У2 (з^

V о

(

•Чк-2

(т) = ёо.к-1 (ф) У2 (т)|& + У (т)|&

^4к-1 (т) = 81,к-1 (ф)1 У2 (т)|У1(з)^ + У1 (т)|У2(з)"Г^

V 0 т )

' т ад

^4к (т) = 82,к-1 (ф) У2 (т){У1 (3) + У1 (т){ У2 (3) Я312^

V 0 т

^ т ад

^4к+1 (т) = 8з,к-1(ф) У2 (т)| У1(з) *5!2^ + У1 (т)| У2 (з) з5'2^

кеП.

Для Ук wk(т, ф)——0 при т—ад; ^к(т, ф)еСад(Д), к = —2,—1,0,_

Приступим теперь к решению задачи (8):

д2

1 д 1 д2

- + -

ц4дП2 (1 -Ц2п)ц2 дП (1 -ц2п)

^|2

П-(1 -ц2п)2 п = 0,

П(0, ф) = -У(1, ф).

Здесь тоже можно приближенно заменить уравнение (8) более простым, т.е. вместо уравнения (8) можно рассмотреть уравнение

д 2П

дп2

-(1 -ц2п) п = 0,

(8.1)

с условиями П(0, ф) = -К(1, ф), Иш П(п,ф) = 0 .

П—ад

Подставляя в (8.1) ряд П(п,ф,ц) = ^лк (п,ф)ц2к, получим

д 2 п0 д 2 л.

Т- -п0 + 1

дп2 0 V дп2

Отсюда

д 2 П0

дп2

д 2п1

дп2

к=0

Л ад гд2пк

■2--П1 +2пп0 Ц2 +Х

к=2

дп2

--пк +2ппк-1 -п2п

к - 2

П—ад

Г-п1 = “2^0 , п1 (0,ф) = 0, Иш п1 (п,ф) = 0,

п—ад

д 2П

-пк = -2Ппк- + П2пк-2 , к ^ 2 ,

дп

П2к (0 Ф) = -Ук (!> Ф) , 1Іт П2к (п Ф) = 0 ,

пі»

П2к+1 (0 ф) = 0 1Іт П2к+1 (П> ф) = 0 •

пі»

Следовательно,

по (пф) = -у0 (1,фКЛ , П1 (rl,ф) = -2Vo (l,ф)п(п + 1)е~п ,

п2 (пф) = -88^0 (^ф)п(3 + 2п2 + 3п + 3) -V (1,ф)<гп ,

п2к+1 (пф) = Р(пф)еЛР(°ф) = 0 , кє^

П2 к (rl, ф) = Р (^ ф)е_Л - ^к (1, фКп Р ((), ф) = 0 ,

Р(п,ф) - некоторый многочлен.

У к, пк (п, ф) і 0, пі»; пк (п, ф) є С» (р1) , к = 0,1,....

Оценка остаточного члена Я„(г, ф, е)

Пусть ип(г, ф, е) = У„(г, ф, е) + ^4и+2(т, ф, и) + И2„+1(п, ф, И),

Я„(г, ф, е) = и(г, ф, е) - ип(г, ф, е),

п

где К(г,ф,е) = Хук(г,ф)ек, ^„+2 (лфи) =

к=0

4„+2 2„+1

= X ^ (Лф)Ик, П2„+1 (n,ф, И)= ХПк (п,ф)И2к.

к=-2 к=0

Тогда для остаточного члена получим задачу:

еДЯ„(г, ф, е) - г2Я„(г, ф, е) = 0(е„+1),

(г, ф)єР1 = {(г, ф)|0<ф<2п, 0<г<1},

Я„(1, ф, е) = 0. (11)

Задача (11) при всяком е>0 имеет единственное решение [7].

С помощью подстановки г = цр (ц4 = е) приходим к задаче ДЯ„(р, ф, е)-р2Я„(р, ф, е) = 0(е„+1/2),

(р, ф)єР1 = {(р, ф)|0<ф<2п, 0<р<»},

Я„(», ф, е) = 0, |иі0.

Построим решение этой задачи, не зависящее от ф, т.е. Я„(р, ф, е) = Я„(р, е): Я"„(р, е) + Я'„(р, е)/р - р2Я„(р, е) = 0(е„+1/2).

Если применять замену переменной 2| = р2, то последнее уравнение приводится к виду

5Я"„& е) + Я'„(|, е) - |Я„(|, е) = 0(е„+1/2).

где G&s) = {-7° ®К° <s)'° <5< *

Соответствующее однородное уравнение §R"n(§, е) + R'n(§, е) - £Rn(l, е) = ° -

модифицированное уравнение Бесселя нулевого порядка, которое, имеет два не-

зависимых решения 7°(|) и К°(|) [6]. Следовательно, решение неоднородного уравнения имеет вид

Rn &е) = O(еп+1/2)G(|,s)ds,

°

Г-1° (5) К ( s ),° <|<;

[-7° (s) К° ^ s <|<да.

Отсюда получим оценку для остаточного члена | Rn(|, е)| = 0(еп+1/2).

Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Пустьfr, ф)еС“(D 1),f (°,°) Ф °, тогда задача (1.1), (1.2) имеет единственное решение и для него справедливо разложение

U (r ,ф,е) = -\f f (r, ф)- ]Г fk (ф)гк l + ff (1, ф)- ]Г fk (ф)1 е ^ -

r К k=° ) К k=° )

- АМф ° (r, е)-(r, е)-f2 (ф)ф2 (г, е)-

VB VS

_ (1 -r)(1 -r + ->/e)f з Л

-Vs/; (ф)фз (r,е) +----------------Кf (1,ф)-£ fk (ф))е +

+ Veg°,° (ф)ф1 (r, е) + ^g1,° (ф)ф2 (r, е) + 0 (е),

при е—°, где

/ \r/n^s / \ ад

фк 0%е) = y2 | I y (s)sk-1/2ds + у [IJs) I У2(s)sk~inds,k = 0,1,2,3,

° r /

Фк(1, е)——°, Фк(°, е)——° при е——°.

Замечание. Аналогично можно построить асимптотическое разложение решения задачи

eAu-(x2+y2)q(x, y)u = f(x, y), (x, y)eD = {x, y| x2+y2<1}, ul г = 9(x,y), Г = { x, y| x2+y2 = 1}, где q(°, °)>°, q(x, y), 9(x, y), fx,y)eC”( D ).

ЛИТЕРАТУРА

1. Алымкулов К. Аналог метода погранфункций для решения модельного уравнения Лайт-хилла, в случае, когда невозмущенное уравнение имеет полюс любого порядка в регулярной особой точке // Дифференциальные уравнения и оптимальное упарвление: сб. тезисов конф., посвящ. 9°-летию со дня рождения академика Е.Ф. Мищенко. М., 2°12. С. 12-14.

2. Alymkulov К. Extension of boundary layer function method for singularly perturbed differential equation of Prandtle - Tichonov and Lighthill types // Reports of the Third Congress of the World Mathematical Society of Turkic Countries, Almaty, June July, 2°°9. P. 256-259.

3. Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2°°9. 248 с.

4. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М.: Наука, 1989. 334 с.

5. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т. 12. № 5(77). С. 3-122.

6. Зайцев В., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1995. 56° с.

7. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.

Статья поступила 2°.°2.2°13 г.

Tursunov D. A. ASYMPTOTIC EXPANSION OF THE SOLUTION OF THE BISINGULARLY PERTURBED ELLIPTIC EQUATION. Using a generalized method of boundary functions, a uniform asymptotic expansion of the solution of the Dirichlet problem for the bisingularly perturbed second order elliptic equation is constructed.

Keywords: asymptotic expansion, Dirichlet problem, Laplace operator, elliptic equation, bisingular perturbation, turning point.

TURSUNOVDilmuratAbdilllajanovich (Osh State University)

E-mail: dosh2°[email protected]