CC BY
25
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 8. № 1 (2016). С. 102-112.
УДК 517.955.8
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
С ОСОБЕННОСТЯМИ
Д.А. ТУРСУНОВ, У.З. ЭРКЕБАЕВ
Аннотация. В работе предлагается аналог метода погранфункций Вишика-Люстерника-Васильевой-Иманалиева для построения равномерного асимптотического разложения решения бисингулярно возмущенных задач. С помощью данного метода построено равномерное асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными, в круге. Применяя принцип максимума, обосновано формальное асимптотическое разложение решения, т.е. получена оценка для остаточного члена.
Ключевые слова: асимптотическое разложение, задача Дирихле, функции Эйри, модифицированные функции Бесселя, погранфункция.
Mathematics Subject Classification: 35J15, 35J25, 35B25, 35B40, 35C20
1. Введение
Различные задачи для эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных исследовались многими авторами, и библиография по этому вопросу обширна и достаточно известна [1]. Однако задачи с двойной сингулярностью, т.е. бисингулярно возмущенные задачи, сравнительно сингулярно возмущенным задачам, мало изучены. В бисингулярно возмущенных задачах одна особенность связана с сингулярной зависимостью решения от малого параметра, а другая — с не гладкостью членов асимптотики. В основном для построения асимптотических разложений решений бисингулярно возмущенных задач применяют метод сращивания (согласования) или метод регуляризации Ломова, так как на прямую классический метод погранфункций применять невозможно. В работе предлагается аналог классического метода пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой-Иманалиева для построения равномерного асимптотического разложения решения бисингулярно возмущенных задач. С помощью данного метода мы построим равномерное асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными, в круге. При обосновании формального асимптотического разложения решения (ФАРР) применяем принцип максимума. Аналогичные задачи с помощью данного метода были исследованы в работах [3]-[5].
D.A. Tursunov, U.Z. Erkebaev, Asymptotic expansions of solutions to Dirichlet problem for elliptic equation with singularities. © Турсунов Д.А., Эркебаев У.З. 2016. Работа поддержана МОиН КР. Поступила 25 мая 2015 г.
2. Постановка задачи
Исследуем задачу Дирихле
£Аи{Ре) - {1 - р){р -а)2и{р,р, е) = ,р, {р,р) еD, (1)
u{1,р, £)=ф{р, £), (2)
где 0 < е — малый параметр, А = ^ + -т— + р^д(р2 — оператор Лапласа,
D = {{р, р)|0 <р< 1, 0 <р ^ 2п], /{р ,р, £) = ^ ¡к {р,р)£к, ¡к еС™ф),
к=0
ф{р, £) = ^фк {р)ек, фк е С [0, 2ж\, а е {0,1), ¡{а,р, 0) = 0, ¡{1,р, 0) = 0, к=0
ф{р, £), /{р, р, £) — заданные функции, и{р, р, £) — искомая функция, ЕП 1к{Р, ()£к, фк{()£к — асимптотические ряды в смысле Пуанкаре.
Решение задачи (1)-(2) существует и единственно [6]. Нас интересует асимптотическое поведение решения задачи (1)-(2) при £ ^ 0.
Первая сингулярность очевидна, что решение предельного уравнения, £ = 0 :
-{1 - Р){Р - а)2u{P, р, 0) = к{Р, Р)
не удовлетворяет краевому условию (2). Чтобы показать вторую сингулярность, рассмотрим структуру внешнего асимптотического разложения решения задачи (1), которое ищем в виде:
и{р,р, £) = ^ £кик{р,р), 0. (3)
к=0
Подставляя (3) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, получим простую рекуррентную систему уравнений:
-{1 - р){а - р)2Мр, Р) = к{Р, р),
{1 - р){а - р)2ик{р, р) = Аик-\{р, р) - !к{р, р), кеМ. Поэтому, внешнее разложение решения задачи (1)-(2), имеет вид:
1_ ( _£_к
{1 - Р){а - р)2 V 0 + ... + {1 - Р)3к {а - Р)
и{Р,р, ^ (Го + ... + {1 - р)3£к[а - р)4к^к + ..), ^ 0,
где Гк {р, р) = Рк е С~ф), к = 0,1,....
Заметим, что функции ик {р, р) имеют нарастающие особенности вида:
ик {Р ,Р) = 0(1 - I ) , Р^ 1, к = 0,1,...;
ик{р,р) = 0^ ^ -1а)2+4к^) , Р ^ а, к = 0,1,
1
{р -а)2
Следовательно, исследуемая задача является бисингулярно возмущенной по терминологии А.М. Ильина [1, 2].
3. Основной РЕЗУЛЬТАТ
Теорема 1. Для решения задачи (1)-(2), при £ ^ 0, справедливо асимптотическое разложение
и(р,ш, £) = V £кУк(р^) + Хг(р)Т £к/3ык( I +
ь(р,^, е) = ^£кьк(р,^) + Хг(р) ^ £к/3Ык( ,<р) к=0 к=-1 ^ '
/ _ \ + Х2(р) £ ^/4Ц(4)
где функции ук(р——р, ^ , Чк^^ , ^ определяются ниже
xЛр), Х2(р) — функции срезкщ Xl(р), Х2(р) е [0, ^ хь Х2 е С~[0, ^ Х\(р) = — , при — — 8 ^р^ — , и XI (р) = 0, при 0 ^ р ^ — — 2 8, Х2(р) = — , при |р — а| ^ 8, и х2(р) = 0, при 25 ^ |р — а\, (0, шт{а/2, (— — а)/2}) э 8 — достаточно малое число, независящее от е.
Доказательство. Доказательство состоит из двух частей: построение ФАРР (4) и обоснование этого разложения.
3.1. Построение ФАРР. ФАРР ищем в виде:
и(р,V, ^ = ^ £кьк(р,^) +Х1(р) (Т,^) + Х2(р) ^2 Хк<1к('n,v), 0, (5)
к=0 к=-1 к=-2
где т = (— — р)/р, р = £1/г, г] = (р — а)/Х, X = £1/4. Подставляя (5) в (1), получим:
^2£ к (£ ^к (р + £Ук (р ,ф) — (— — р)(а — р)2 ик (р = ^2 £к (¡к (р ,¥) — Ьк (р,V)), (6) к=0 к=0
к+1 (д2шк Р дтк р2 д2Шк 2 \
¿,р — 1——Рг) 17 + (Г—Рг)-2 -д^Т — г(— — а — рт)^ =
^ (тр,р)р3к, (7)
к=-1
+<х
к=0
Хк+2(д2 Чк . Х дЯк . Х д2Як 2(Л \ \ \
+(ОТХп) д; +(аТХпТ2 ^ — ]](— — а — Х]])
к=-2
+<х
= ^ V (]] Х,^)Х4к. (8) к=0
где по идее метода в равенствах (6), (7), (8) введен новый, пока неизвестный, асимптотический ряд
^£к Ик (р = Х1(р)^2 £к к1'к (р ,Р)+Х2(р)^ £к к2,к (р,^), к=0 к=0 к=0
который конкретизируется ниже, а функции Пк(р,у) в равенстве (6) имеют вид:
щ(р, у) = €}к(р, у)^г(р) + 2^^^хШ + %(р, у)^2(р) + 2^Щ^^хШ,
(р,У) = ^ (1-р)*е+1Ч , «к (р,У) = 1, {р-а)2+2-3 , X (р) = Х3 (р) + ~АрГ, функции (у), (у) £ С^[0, 2п] определяются из асимптотических разложений:
ызк-т(т,у) = ^--, т = 1, <2, 3; т У +ж,
з=о Т
д4Ь-т(ч,<р) = £ ^к-т,4+тт(у), т =1, 2, 3, 4; к = 0,1,...Л ^
3=0 ^
Справедливость этих асимптотических разложений доказывается ниже.
Для определения функции Пк(р, у), из равенства (6) получим следующие уравнения:
-(1 - р)(р - ®)2Щ(р, У) = к(р, У) - Ьо(р, у), А Ьк-1 (р, у) + Щ-1 (р, у) - (1 - р)(р - а)2 Ук (р, у) = !к(р, у) - Ьк (р, у), к =1, 2,.... Отсюда получаем
/ Ч ¡к (р,у) - АУк-1(р,у) - кк (р,у) Щ-1(р,у)
ук (р,у) = --(--42- + П-Т7-\2 , к = 0, 1,....
(р - 1)(р -а)2 (1 - р)(р -а)2
Ь-1(р ,у) = 0, У-1(р ,у) = 0.
Определим теперь неизвестные функции, т.е. коэффициенты асимптотического ряда к к (р ,у) так, чтобы
ук(р, у) Е С^(Б), тк(т, у) ^ 0, при т ^ qк(г], у) ^ 0, при г] ^
Пусть дк(р, у) = ¡к(р, у) - Аьк-г(р, у), тогда Ьк(р, у) Е СЖ(И), когда
кк(р, у) = Хг(р)к1,к(р, у) + Х2(р)к2,к(р, У),
где 2
к2,к(р, у) = 9кМ + 9к,г(у)(р -а) - ^(9к,о(у) + 9к,г(у)(1 - а)),
[ р а\ 2 (а у)
кг,к(р, у) = р- ) 9к(1,<p), 9к,о(у) = 9к(а, у), 9к,\(у) - к ,
1 - а) , , др
Таким образом, мы определили коэффициенты асимптотических рядов
кЬк(р^ ^кк(р,У).
к=0 к=0
к=
Теперь перейдем к определению членов асимптотического ряда Е +=-\Рк™к (т,ф). Ра-
венство (7) запишем в виде:
к (д2т-г+к дт-г+к 2д2ы-г+к м ,2 \
( д-2 + » д-2 - т(1 -а-^г)т-1+к)
к=0
= Ю(1 - + №) -(!.*).
Отсюда имеем:
Q2w_ i
Lw-i = - т(1 - a)2w-i = до (1,ф), (9)
2т dw
Lwo = -2(1 - а) т2 w-i до(1, ф) + , (10)
1 - а от
т2
Lwi = -2(1 - а)r2wo + r3w-i + --^до(1,ф) + Щ, (11)
(1 - а)2
Lw3k-i = -2(1 - а)T2wsk-2 + T3w3k-3 + gk(1, ф) + W3k-i + Bkfl(ip), (12)
2
Lw3k = -2(1 - а)T2w3k-i + r3w3k-2 - --gk(1,ф) + W3k + Вкл(ф)т, (13)
1- а
2
Lw3k+i = -2(1 - а)T2w3k + T3w3k-i + jz-^дк(1,ф) + W3k+i + Вк,2(ф)т2, (14)
(1 - а)2
где (т,ф) е Di = {(т,ф)10 < т < 0 ^ ф < 2^}, Ws = - ,
Вк,0(ф), Вк^(ф), Вк,2(ф) — пока неизвестные функции, к = 1, 2,.... А граничные условия примут вид:
w3k (0,ф) = фк (ф) - vk (1,ф), к = 0,1,...; ws(0, ф) = 0, s = 3 к. (15)
Докажем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть f(r)8(ф) е Cr(Di), а0 > 0. Тогда задача
-таоz(т, ф) = ф(т)5(ф), (т, ф) eDi, z(0,<p) = г0(ф) (16)
имеет единственное решение z(т,ф) е Cr(Di). Доказательство. Пусть t = ^аОт, тогда задача (16) примет вид:
^(t, ф) - tz(t, ф) = -±= №6(ф), z(0, ф) = г0(ф), (17)
дг2
V ~~и
Решение этой задачи ( — 7) ищем в виде
,ф) = г^Ь)-^ 6(ф), V а0
тогда, относительно Zl(t), получим задачу
4(1) — = ¡(1), г1(0) = Л ф)^1/5 (ф) = (18)
Соответствующее однородное уравнение
— г гфЬ) = 0
имеет два независимых решений Аг (I), Вг (1)— функции Эйри [7]. С помощью функции Эйри запишем решение задачи (—8):
Г~
= АщАг(*) + ъВг(I) у Аг(з)¡(з)«з+
+к А гВг (в) ]г(з)с1 в — /3 ^ + Аг (в) /(з)<1з^ .
Отсюда
х°( ф) к С+~
Ф, ф) = ^Аг(I) + -щ5(ф)Вг(г) ^ Аг(з)¡(з)<з+
К
,5(р)Аг(t)^ Вг(s)f(s)ds — V3 jf + Аг(s)f(s)ds^ .
□
Следствие 1. Если f(r) = 0(rNl) при т ^ то, учитывая асимптотическое
поведение функции Эйри при г ^ получаем z(т, ф) = 0(rNl-1), N1 — const.
С помощью этой леммы доказывается существование единственных решений уравнений (9)-(14), удовлетворяющих соответствующим условиям (15). Ниже докажем существование функций В-,о(ф), Bki('-fi), В-,2(ф), при которых решения этих задач принадлежат классу функций убывающих степенным ростом по т, и решение каждого уравнения (9)-(14) удовлетворяет равенству:
lim wk (т,ф) = 0, k = —1,0,1,....
Переходим к определению членов асимптотического ряда Е +=-2^k(lk(v,ф). Равенство (8) запишем в виде:
- f д2Q-2+k ,dq-2+k 2д2q-2+k 2(, , , \
+ + — V(1 — a — \vh-2+k) =
/ [ Л'Ц \2 \
£ л4- ( £-,о(ф + 9-,1(ф)ЛЛ — Y—T^J (9-,о(ф) + 9-,1(ф)(1 — a))J
Отсюда, имеем:
д 2 q-
22
Iq-2 = -т^---Г] (1 — a)q-2 = до,о(ф), (19)
9 q-2 з
I Q-i = —Ö-2 — VQ-2 + V 9о,l(ф), (20)
Iqo = Qo — V3Ч-i — (1—a) (Уо,о(ф)+ 9ол(ф)(1 — a)), (21)
I qi = Qi — 'Ц3(1о, (22)
I q4k-2 = Qa--2 — rf3qAk-3 + 9-,о(ф) + А-,о(ф), (23)
I q4--i = Qik-i — rr]3Q4k-2 + 'Пд-Лф) + А-,1 (ip)rj, (24)
2
1— a
I qAk+i = Qik+i — r]3Q4-, (26)
I qi- = Qi- — rfq^k-i — ^ (д-,о(ф) + 9-Лф)(1 — a)) + А-^ф) rj2, (25)
где (г] ,у) Е Б2 = {(г] ,у)1 -ж < г] < +ж, 0 ^ у < 2^}, Qs = - - ^, Ак,0(у), Акг(у), Ак,2(у) — пока неизвестные функции, к = 1, 2,....
Докажем следующую вспомогательную лемму, из которой следует существование решений уравнений (19)—(26).
Лемма 2. Пусть ¡(г])5(у) Е Сгх(02), Ь0 > 0. Тогда задача
- Л*(V, у) = 7(пШ, (V, у) Е И2, (27)
имеет единственное решение г(гц,у) Е Сгх(02).
Доказательство. С помощью замены r¡ = 44/b0t получим уравнение
- *«■«) = ^Ш«».
Решение этого уравнения ищем в виде
f~4
z(t,«) = z2(t)J—6(«).
V bo
Тогда для z2(t) получим уравнение:
z'2(t) - t2z2(t) = f(t), соответствующее однородное уравнение
Z'2(t) - t2 Z2 (t) = 0
имеет фундаментальную систему решений { U4(t),U4(—t)}, где U4(t) = \J'2^Kl/4(t2),
t > 0, Kl/4(t2) — функция Макдональда (модифицированная функция Бесселя)[7]. Приведем основные свойства этих функции U4(t), U4(—t) :
a) Вронскиан этих функции равен
W(U4(t), U4(—t)) = 4cosec(Ti/4) = 4^2.
b) При t = 0: U4(0) = n-l/22-l/4T(1/4).
c) При t ^ функция U4(t) экспоненциально убывает: U4(t) ~ t-l/2e-t .
При t ^ — ж функция U4(t) = \J^L(^2'nIl/4(t2) + Kl/4(t2)), t < 0, экспоненциально растет:
U4(t) = (2/t )l/2eí2 (1 + 0(t-2)),
где Il/4(t2), Kl/4(t2) — модифицированные функции Бесселя. Следовательно, решение задачи (27) можно записать в виде:
1
J — СО J t
где t = -t/kjl'q. □
Следствие 2. Если f(rj) = 0(r¡N2), при r¡ ^ ±ж, то z(r¡, «) = 0(r¡N2-2), N2 — const.
Используя эту лемму, мы можем записать явные решения задач (19)—(26). Докажем существование таких функций Ak,0(«), Akl(«), Ak,2(«), при которых выполняются равенства:
lim qk (г] ,«) = 0, k = —2, —1,0,1,....
Лемма 3. Существуют такие функции Akj(«), Bk¿(«) Е Сте[0, 2ж], k Е N, j = 0,1, 2; удовлетворяющие равенствам (Akj = Akj(«),Bk¿ = Bk¿(«)):
Ak,o — aAk,l + a2Ak,2 + Bkfl + BM + Bk,2 = 0, (28)
AM — 2aAk,2 — BkA — 2Bk,2 = 0, (29)
AM + BK2 = 0, (30) и при которых справедливы соотношения:
w3k-m(r,«) = ¿ , m =1} 2, 3; wk,j еС~[0, 2tt],t ^ (31)
j=0 T
z(t, «) = —L=S(<p)(u4 (t)J U4(—s) f(s)ds + U4(—t) jí + U4 (s) f(s)ds^J
Ч4к-т(л, у) = ^к-т,4+тт(у) ,т =1, 2, 3, 4; ч^ Е С«[0, 2п],п ^ ±ж. (32) =0
Доказательство. Смысл этих равенств (28)-(30) состоит в том, что при таком выборе неизвестных функций сохраняется гладкость решений Пк(р, у), т.е.
Ак,о + Ак,г(р -а) + Ак,2(р - а)2 + Вк,о + ВкЛ(1 - р) + Вка(1 - р)2 = 0. Заметим, что при т ^ и г/ ^ ±ж справедливы соотношения:
т-г( = ^ ^ , тт( = ^ т1--т ,т = 0, 1;;
3=0 3=1
, ч ^^ Ч-т,4]+т(У) 0 , Ч ^^ Чт,4]-т(У) п
, Ч>) = 2_^ „4з+т , т =2, 1 qт(V, Ч>) = £ ,,-т , т = 0, 1
3=0 1 3 = 1 1
где тк,з(у), qk,j(у) Е С«[0, 2ж].
Допустим, что для любого к = 0,1,..., при т ^ и г/ ^ ±ж справедливы соотношения:
тзк-1(T, = --, тзк+т(T, = -^¿т-,т = 0, 1;
3=0 3 = 1
/ \ (14к-т,4]+т(У) 0 , ч ^^ Ч4к+т,4]-т(У) п Л
q4k-т(V, = -~[-+т-,т =2, 1 q4k+т('n, у) = ^ --,т = 0, 1
3=0 1 3=1 1
где тк,з, qk,j Е С«[0, 2ж]. Тогда при к + 1:
Ьт3к+2 = -2(1 - а)г2т3к+г + т3т3к + 9к+г(1, у) + - ^ + Вк+ю,
Ьт3к+3 = -2(1 - а)т2т3к+2 + т3т3к+г - ^дк+Л^у) + - ^^ + Вк+цт,
Ьт3к+4 = -2(1 - а)т2т3к+з + т3т3к+2 + (¿^9к+г(1, у) + - 9 + Вк+г^т2, к4к+2 = -- ^ - Г]314Н+1 + 9к+г,0(у) + Ак+г,0, к4к+з = -- - Г]314Н+2 + Vдк+гЛу) + А.к+цЛ,
к4к+4 = -^ - - V3q4k+з - (^)2(дк+ю(у) + дк+Ыу)(1 - а)) + Ак+^'П2,
1Г, = 9<14к+4 9 2Я4к+3 ^3Г1
ь Ч4к+5> =--Щ---0^2--V ч4к+4.
Отсюда получаем
«
Ы3к+2,3]+г
Ш3к+2,3]
т3к+2 = ^ 3+
3=0
«
т3к+3,3]+3 ^ ^ и _ 2Вк+г,0 , 2т3к,3
3=0
т3к+3,3]+3 и 2Вк+г,0 о
Ы3к+3 = У -3~т3—, при Вк+г,г = —---+ 3т3к+г,2 л
т3з+3 1 — а 1 — а
т33к+4,33]+2 г) Вк+г,0 2ы3к+г,2 . ы3к,3
т3к+4 = ^ т+4+2 , при Вк+г2 = (¡-а? + ц-га?,
« « «
_ 14к+2,4]+2 _ q4k+3,4j+1 _ 14к+5,4]+3
Ч4к+2 = .+2 , Ч4к+3 = ¿^ п4з+1 , Ч4Н+5 = ¿^ п4+ ,
3=0 1 3=0 1 3=0 1
_ ^^ Ч4к+4,4]+4 . _ Ак+г,0 А^к+гг 44к+г,3
Ч4Н+4 = ^ -П4+ , при Ак+г,2 = - (Т-^^ - т-а + (т-а?,
где = 'Шк^(ф), = Чк^(ф). В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными Ак+х$, Ак+\^, Вк+х,0:
— г-^Ак+1,1 + а2 с + сх + (—^Вк+1,о = 0,
(!-а)2 Ак+1,0 + Х+^Ак+1,1 — 2а2С — Сх — 2С2 — ¡-—у Вк+1,0 = 0, (Х-^у2Ак+1,0 + 1-^Ак+Х,Х — С— С2 — (х-^у2Вк+Х,0 = 0,
Ц4к+Х,3 0 2™3к,3 ™3к,3 2™3к+х,2 где С = —-т^, Сх = 3ы3к+х,2 — -, С2 -
(— — а)2 — — а (— — а)2 — — а Система имеет единственное решение:
0 _ . ЫЩЗ 2?Узк+х,2 Вк+х,0 = — 0_4к+х,3 +
(1 -а)2 1 - а
Ак+1,1 = W3k+1,2, Ак+1,о = w3k,3 ^ 1 + (^1 - a)^j - W3k+1,2 ^3(1 - а) + Y—Oj .
(— —О?) — ™3к+х>2{3(— — а)+1^а
Следовательно, для любого к = 0, —,... верны равенства (3—) и (32), т.е
lim qk-2(v,ip) = 0, lim Wk-1(т,р) = 0, k = 0,1,....
Заметим, что
_ (Л = ,,™ ^ ^w
(1 - p)3i+m
W3k-m( ^ ,<р) =pm £' =1, 2, 3, 0,
V » J U
q4k-m( ^ = Л™ ^ , т =1, 2, 3,4; к = 0, 1,..., 0.
= (Р - а)4+т
□
3.2. Обоснование ФАРР. Приступим теперь к обоснованию формального асимптотического разложения (5). Пусть
п 3п-\- х 4п
ип(р ,ф, £) = ^ £кук(р,ф) +Хх(р) ^ рк ( Г,ф)+Х2(р)^Хк^ (] ,Ф), к=0 к=-х к=-2
Щр, Ф, ¿0 = и(р, Ф, ¿0 — ип(р, ф, £).
Заметим, что ип(р,ф, е) е С™(В), £ ^ 0.
Для остаточного члена Я(р, ф, £) получим уравнение:
еА Н(р, ф, е) — (— — р)(а — р)2К(р, ф, е) = £п+3/4Ф, (р, ф) е В,
где
Ф = (¡(р, ф, £) — Ауп(р, ф) — Уп(р, ф, £) + (Т31^3п(Г, ф) — 2(— — а)Т2-Юзп+ х (Г, ф) +
. д™3п+ х (r, ф) д2(1Узп(r, ф) + р1Щп+ х(ф)) , 3 / чч / чч х/4 +----дф-2-+ рт -Ш3п+х(Т, ф))Хх(р))£ 7 —
( 3 ( Ч , дЧ4п(Г],ф) д2(Я4п-х(Г],ф) + М4п(У,ф)) \ ( , — ] 0_4п ( ] ,ф) + -Щ- + -дф2-) Х2(р),
<х <х
7(р ,ф, ^ = ^ £к1п+х+к (р ,Ф), Уп(р ,ф, £) = ^2 £к^п+к (р ,ф). к=0 к=0
Отметим, что Ф — гладкая функция. Поэтому при е ^ 0, 3 М, 0 < М — const, ||Ф||с ^ М, т.е. Ф = 0(1). А граничное условие примет вид:
<х
-к
Щ1,У, £)= £ £кМр) или Д( 1, у, £) = 0(£П+1), £ —У 0.
к=п+г
Таким образом, получаем следующую задачу:
£АК(р, у, е) - (1 - р)(а - р)2К(р, у, е) = 0(£п+3/4), £ — 0, (р, у) Е И,
Я(1, у, £) = 0(£П+г), £ — 0. Для этой задачи, применяя принцип максимума, получим
К(р е) = 0(£п-1/4), £ — 0.
Отсюда следует справедливость разложения (4). Теорема доказана. □
Пример. Пусть а(р,у) = 1, ¡(р,у) = 1 + рсо$,(у) + р2 вт(у) + р3, ф(у, £) = 0, т.е. исследуем задачу
£ Аи(р ,у, е) - (1 - р)(\ - р)2и(р ,у, ¿0 = 1 + р соя(у)+ р2 вт^ + р3, (р ,у) Е D, (33)
и(1,у, £) = 0, (34)
1+р еов( у) + р2 вт(у) + р3
тогда
щ(р ,у) = --
(1 -р)(2 -Р)2
А если
hi,o(p, у) = (2р - 1)2(2 + cos(y) + sin(y)),
9 11 13 1
h2,o(p,y) = 8+2cos(y)+4sin(y)+(P-2)(4+cos(y)+sin(y))-(^-^(^^(y^^y))'
то
/ ч 1 + pcos(y)+ p2 sin(y)+ p3 - hi,o(p' y)Xi(P) - h2,o(p,y)X2(P)
Mp-y> =--й-ж-ti2-
/ ч A^o(P' y) - hi,i(p' y)xi(p) - h2,i(p' y)X2(p) , Mp,y) и Щ(Р ,y) =---—1----+
где
(1 -р)( 2 -Р)2 (1 -Р)( 2 -рГ
к2,г(р, у) = д 1,0(у) + д 1,г(у)(р - 1/2) - (2р - 1)2(ду) + дц(у)/2),
д
кг,г(р,у) = (2р - 1)2Avо(1,у), дг,о(У) = Avо(1/2,у), дг,г(у) = Ао(р,у)1Р=г/2.
Vо(P, у) = Wо(р, У)Х1(р) + 2^др у^х'г(р) + Qо(P, У)^2(р) + 2^Щр^Х^(р), , 4(2 + оо&(у) + &1п(у)) . 9 + 4 еов(у) + 2в1п( у)
то(р ,у) =--—-, 10(р ,У) =--№=1)2-.
И для тк(т,у) и (г],у) получаем задачи аналогичные к задачам (9)-(14), (15), (19)-(26). Решения этих задач существуют, единственны, при т — +ж, г/ — ±ж справедливы оценки:
т-г(т, у) = т2(г, у) = 0(т-1), то(т, у) = т3(г, у) = 0(т-3), тг(т, у) = т4(т, у) = 0(т-2), Ч-2(гг], у) = Ч2(гг], у) = 0(т]-2),
1-1(гП, У) = Ч3(гП, У) = 0(Л-г), ЧО(V, У) = 14(Л, У) = 0(Л-4), 11(гП, У) = 0(V-3). Следовательно, для решения задачи (33)-(34) справедливо разложение
и(р ,У, £) = ^о (р,у)+£Уг(р ,у) + Хг(р) ^ £к/3™к (,у \ +
к= г
4 . .
+Х.2(р) £ ek/4qk(Ц-1, Л + 0(е3/4), е ^ 0. k=-2 ^ '
Заключение. Особенность исследованной задачи состоит в том, что задача имеет двойную сингулярность. Для этого случая мы доказали применимость метода пограничных функций. Построено равномерное асимптотическое разложение по малому параметру решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного дифференциального уравнения эллиптического типа второго порядка с двумя независимыми переменными в круге. Причем, построенный асимптотический ряд представляет собой ряд Пюйзо.
Данный метод отличается от метода согласования тем, что нарастающие особенности внешнего разложения фактически из него убираются и с помощью ряда с коэффициентами hk полностью вносятся во внутренние.
Следует отметить, что здесь для простоты исследован случай а(р, ф) = 1, асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для уравнения
еАи(р, <р, £) - (1 - р)(р - а)2а(р, фи(р, ф, £) = f(p, <р, £), (р, <р) е D,
где а(р, ф) > 0 в области D, строится точно такжеб и асимптотическое разложение решения имеет такую же структуру.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
2. Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 248 с.
3. Турсунов Д.А. Асимптотическое разложение решения бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика Т. 6. № 26. 2013. C. 37-44.
4. Турсунов Д.А. Асимптотика решения бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения. Случай особой точки на границе // Известия Томского Политехнического Университета Т. 324. № 2. 2014. C. 31-35.
5. D.A. Тигеипоу, K.J. Belekov Asymptotic expansion of the solution of the Dirichlet problem for bisingular perturbed elliptic equations in domains with smooth boundaries // Proceedings of V Congress of the Turkic World Mathematicians (Kyrgyzstan, Bulan-Sogottu, 5-7 June, 2014) / Edited by Academician Altay Borubaev. - Bishkek: Kyrgyz Mathematical Society, P. 143-147 (2014).
6. Гилбарг Д., Трудинге Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.
7. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. 352 с.
Дилмурат Абдиллажанович Турсунов,
Уральский государственный педагогический университет,
ул. Карла Либкнехта, 9,
620151, г. Екатеринбург, Россия
E-mail: d_osh@rambler.ru
Улукбек Заирбекович Эркебаев Ошский государственный университет, ул. Ленина, 331, 723500, г. Ош, Кыргызстан E-mail: uluk3188@mail.ru
