Асимптотическое разложение преобразования Березина для однополостного гиперболоида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Асимптотическое разложение преобразования Березина для однополостного гиперболоида 1

© В. Ф. Молчанов, Н. Б. Болотова

Ключевые слова: пара-эрмитовы симметрические пространства; гиперболоиды; полиномиальное квантование; исчисления символов.

Предлагаются новые формулы для коэффициентов полного асимптотического разложения преобразования Березина на однополостном гиперболоиде в М3.

В работе [1] мы построили полиномиальное квантование на однополостном гиперболоиде X в I3. В частности, была написана явная формула для полного асимптотического разложения преобразования Березина. Коэффициенты разложения являются многочленами от оператора Лапласа-Бельтрами на X. В настоящей работе мы предлагаем две формулы для этих коэффициентов. В первой из них коэффициенты представлены в виде произведения линейных дифференциальных операторов, во второй они записаны в наиболее компактном виде.

Напомним некоторый материал из [1].

Группа (7 = 8Ь(2,К) состоит из вещественных матриц второго порядка с определителем единица:

9= ( “ г )> аб — /З'! — 1.

Алгебра Ли д группы С состоит из вещественных матриц X второго порядка со следом 0. Возьмем в ней следующий базис:

И")' -!/.)• ‘•■С-.')- »>

Всякое конечномерное неприводимое представление группы С? задается числом I (старшим весом), таким, что 21 Е N = {0,1, 2,...}. Оно действует в пространстве V/ многочленов (р(Ь) от t степени ^ 21 (размерность Ц равна 21 + 1) по формуле

Мз) ¥>)(*) = ¥>(*) • (0* + £)я, *= ■

'Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00952 и Госзаданием Минобрнауки 1.3445.2011.

Меняя местами а с 5 и /3 с 7, мы получим коптраградиентное представление 7Гі группы С. оно действует в пространстве V/ по формуле

¥>)(*) = ¥>(*) -Ы + а)21, ?= .

Представления 7Г/ и 7г; эквивалентны. Для базисных элементов (1) из д имеем

тг/(£_) = -7Г/(£+) =

7Г|(£і) = —7Г|(£гі) = - г,

7тг(£+) = -7Гг(£_) = г2 - 21.

Одночлены 1 (тождественная единица) и і2г являются минимальными векторами, то есть аннулируются элементом Ь_, для представлений 7Г/ и 7Г/, соответственно.

Пусть Я1 обозначает однополостный гиперболоид в М3, задаваемый уравнением

2 і 2 і 2 і — + ^2 + Х3 = 1.

Его можно реализовать как множество матриц

1 / 1 - Х3 ГГ2 - X!

ж = -

2 \ ж2 + Жі 1 + х3

с определителем, равным нулю. Группа Є действует транзитивно на этих матрицах сопряжениями:

х ь-» д~ххд. (2)

Введем на X орисферические координаты £, 77:

х=Ь (~Т т)’где л,=1-^-

Они определены на всем X, кроме жз = —1. Действие (2) в этих координатах разделяется: если х имеет координаты £,77, то д~1хд имеет координаты £, 77. Действие группы С на функциях / на X сдвигами обозначим через 17:

(Щд)/)(х) = / (д~'хд) ,

в орисферических координатах:

(Щд)1Ж,л) = / (£ л) ■

Базисным элементам (1) из д отвечают операторы

Оператор Лапласа-Бельтрами Д на X есть:

Многочлен / на М3 называется гармоническим относительно группы Є, если он обращается в нуль оператором д\ — д\ — д$, где д3 = д/дху Обозначим через Т-1(Х) и 'Нк(Х) ограничения на X пространства гармонических многочленов и однородных гармонических многочленов степени к, соответственно. Отображение ограничения биективно. Пространство 'Н(Х) совпадает с пространством ограничений на X всех многочленов на М3. Пространство 'Нк(Х) инвариантно и неприводимо относительно и, соответствующее представление эквивалентно ттк. В орисферических координатах элементы пространства 'Ні;:(Х) представляют собой деленные на Мк многочлены от £, г/ из старшей компоненты тензорного произведения для т^к/2®^к/2- Многочлены из 'Нк{Х) являются собственными для оператора Лапласа-Бельтрами:

В полиномиальном квантовании основным объектом является преобразование Березина Бс, а Е С, см. [1]. Оно переводит контравариантные символы в ковариантные символы, его ядро также участвует в умножении ковариантных символов. Это преобразование выражается через оператор Лапласа-Бельтрами Д следующим образом:

Мы будем использовать следующие обозначения для "обобщенных степеней" (здесь а - число, 5 — 1,2, ...):

= а (а — 1)... (а — в + 1), = а (а + 1)... (а + я — 1),

а также = 1.

Д/ = к (к + 1)/, /еПк{Х),

(4)

а минимальным вектором является многочлен

„ _ Г(-2сг + т) Г(-2<т - г - 1) ° ~ Г(—2сг) Г(—2сг — 1)

т(т+1)=Д

Теорема 1 ([1]) Справедливо следуюгцее полное асимптотическое разлоэюение преобразования Березина:

В- уЕі______________I_____,

^ т\ (—2сг — 2)(т)

т=0 ' '

где \¥0 = 1,

= А (Д - 1 • 2) (Д - 2 • 3) • • • (Д - (то - 1)т) , то = 1,2,....

Отсюда и из (4) следует, что на пространстве 'Нк{Х) оператор \Ут есть умножение на число:

И'„/=(<; + т)(2т>/, 1 €Чк(Х). (5)

Теорема 2 Оператор \¥т можно представить в одном из следующих двух

видов. Во-первых, как произведение 2то линейных дифференциальных операто-

ров:

^ = +тС) + (т “1)?) ' ■ ■ +5) х

Во-вторых, как обобщение формулы (3) (она получается при то = 1):

/ В2 \т

= АГ+' (т) М-'. (7)

Доказательство. Обозначим

& тл ,д д

Сначала покажем эквивалентность выражений (6) и (7). Произведение первых то + 1 множителей в (6) сворачивается в оператор

/ о \ 771— 1

• . (8)

В самом деле, вычисляем это прозведение, идя справа налево:

(N-1?- + 2Л и2 = 2ІУ2(-Є) + + 2£ЛГ2 = ТУ3-!-,

\ ог| / <377 9?7

и т. д. Мы получим это прозведение в виде:

(±у

Э(\Эч) '

что и есть (8). Теперь применим последовательно т — 1 раз дифференцирование ПО Г] из (8) к последним т—1 множителям в (6), при этом используем коммутационное соотношение

А№ - ЛГМ = + у(у - 1)^-2 - и2ЛГ_1, -уем.

А именно,

д N^2 - 7]) = МА - О - 1 = ЛТУ,

дг] \ д£

•^-ЛГ (-2т))=4-(~ = ЛГ2А - 2МБ + 2 - 4ІУ = уШ2

дг) \ д£ ) дг] V д£ )

и т. д. В конце концов мы получим выражение (7). Итак, операторы (6) и (7) совпадают.

Теперь покажем перестановочность оператора И7™,, см. (7) или (6), с представлением и группы С. Для этого достаточно проверить перестановочность его с операторами Ли и(Ь_), и(Ь{), и(Ь+).

Возьмем первый из них, для краткости пишем Ь вместо {/(!/_). Нам надо

ЫУт = \УтЬ, где ]¥т = 1Гп+1Ат1Гп~1. (9)

Сначала вычисляем:

£ ЛГт+1 = ЛГт+1{£ - (771 + 1)77}.

Далее, используя соотношение (здесь а - число)

{Ь - аг]}А = А{Ь - (а - 2)77} + (а - 2)^- ,

находим

{Ь — ат7}Л“ = Аи{Ь — (а — 2и)т]} + и(а — и — 1 )Аи~1-щ .

Положим здесь а — т + 1, и — т, получим

{Ь — (771 + 1)77} Ат = Ат{Ь + (т- 1)77} .

Наконец, вычисляем

{Ь + (т + 1)77} Л^т_1 = 7Ут-1£ ,

что и доказывает (9).

Аналогично доказывается перестановочность \¥гп с оператором и(Ь+), а оператор II(Ьі) коммутирует с каждым множителем в (7). Таким образом, для оператора ]Ут, см. (7) или (6), каждое пространство Ик{Х) является собственным.

Вычислим это собственное число оператора ]/\ґт на пространстве 1~Ск{Х). Удобно взять минимальный многочлен Д = {т)/^)к из 7ік{Х). Применим к нему оператор (7). Сначала имеем

/ О \ 771

/ІіЛ г}кМ-к+ш~1 = к[т] цк+тп М-к-1

Затем применяем оператор (д/дг])тп. Здесь мы используем формулу

Vа = Vаь[у~і] (а-Ъ-У + 1)т ,

ее можно доказать, например, индукцией по V. Положим а = к + т, Ь = к, 1 и V = т, тогда от суммы остается только одно слагаемое - с номером ] = 0. Получаем

/ г) \ т

У&п) ^к+тк^х = (к + 1 )[тУ#~*_1~т ,

Объединяя это с (10) и умножая на ІУт+1, получаем, что (7) умножает Д на (.к + тУ2т\ Вместе с (5) это заканчивает доказательство теоремы 2.

Литература

1. V. F. Molchanov, N. В. Volotova. Finite-dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского Университета, Серия: Естественные и технические науки, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.

Поступила в редакцию 16 ноября 2013 года

V. F. Molchanov, N. B. Volotova. Asymptotic expansion of Berezin transform for a hyperboloid of one sheet

We present new formulae for coefficients of the full asymptotic expansion of Berezin transform for a hyperboloid of one sheet in R3.

Keywords: para-Hermitian symmetric spaces; hyperboloids; polynomial quantization; symbol calculi.

Молчанов Владимир Федорович, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа, e-mail: [email protected]

Болотова Надежда Борисовна, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, город Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математи-ческих наук, доцент, доцент кафедры математического анализа.

Molchanov Vladimir Fedorovich, Tambov State University named after G. R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of physics and mathematics, Professor, Head of mathematical analysis chair, e-mail: [email protected]

Volotova Nadezhda Borisovna, Tambov State University named after G. R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of physics and mathematics, Associate Professor of the mathematical analysis chair.