АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета

2023. Том 62. С. 71-86

УДК 519.633

© В. Г. Пименов, Е. Е. Таширова

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Рассматривается волновое уравнение с функциональным запаздыванием. Производится дискретизация задачи. Приводятся конструкции разностного метода с весами с кусочно-линейной интерполяцией. Конструируется базовый метод с весами с кусочно-кубической интерполяцией. Изучается порядок невязки без интерполяции базового метода и выписываются коэффициенты разложения невязки относительно шагов дискретизации по времени и пространству. Доказывается, что метод с весами с кусочно-кубической интерполяцией сходится с порядком 2 в энергетической норме. Выписывается уравнение для главного члена асимптотического разложения глобальной погрешности базового метода. При определенных предположениях обосновывается законность применения процедуры экстраполяции по Ричардсону, и строится соответствующий численный метод, имеющий четвертый порядок сходимости относительно шагов дискретизации по времени и пространству. Доказывается справедливость формул Рунге практической оценки погрешности. Приводятся результаты численных экспериментов на тестовом примере.

Ключевые слова: волновое уравнение, функциональное запаздывание, численный метод с весами, кусочно-кубическая интерполяция, метод Ричардсона, порядок сходимости.

Б01: 10.35634/2226-3594-2023-62-06 Введение

Уравнения в частных производных с запаздывающим аргументом широко применяются в математическом моделировании, см., например, монографии [1,2] и многочисленные журнальные публикации, например, [3-6]. Среди этих уравнений значительное место занимают уравнения гиперболического типа с функциональным эффектом запаздывания. Получить решения таких задач аналитическими способами удается крайне редко [7]. Поэтому быстро развиваются различные численные методы решения уравнений в частных производных (в том числе, дробного порядка) с эффектом запаздывания [8-13]. В частности, в работе [14] для волнового уравнения с запаздыванием были построены и изучены сеточные схемы с весами и кусочно-линейной интерполяцией, было доказано, что при определенных условиях численные методы сходятся со вторым порядком относительно шагов дискретизации А по времени и к по пространству.

Однако, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием, пока нет таких универсальных алгоритмов, которые могли бы быть положены в основу пакетов прикладных программ для решения подобных задач. На наш взгляд, одной из причин этого является отсутствие процедур автоматического выбора шагов по времени и пространству с помощью заданной точности. В данной работе предлагается процедура экстраполяции Ричардсона, которая не только позволяет построить новый метод порядка А4 + к4 на основе базового метода порядка А2 + к2, но и применять процедуру Рунге практической оценки погрешности, что в перспективе может быть использовано для организации методов с автоматическим выбором шага. Основной результат статьи состоит в обосновании порядка асимптотического разложения глобальной погрешности для базового метода

с весами с кусочно-кубической интерполяцией для решения волнового уравнения с функциональным запаздыванием.

Несмотря на то что идеи метода экстраполяции Ричардсона являются старыми и классическими, интерес к его конструкциям в последнее время возрастает. Например, он недавно разработан для разных задач (волновые уравнения [15], уравнения соболевского типа [16]) с постоянным запаздыванием. В отличие от этих и других работ для уравнений с постоянным запаздыванием, в данной работе наличие функционального запаздывания при выводе уравнения для асимптотического разложения глобальной погрешности приводит к функциональному уравнению в частных производных.

§ 1. Формулировка задачи

Рассмотрим уравнение гиперболического типа с функциональным запаздыванием

д2 и(х,£) д2 и

dt2 dx2

+ f (x,t,ut(x, ■)), (1.1)

где 0 ^ £ ^ Т, 0 ^ х ^ X — независимые переменные, и(х, £) — искомая функция решения, и4(х, ■) = {и(х,£ + в), т ^ 5 ^ 0} — история искомой функции к моменту т > 0 — величина запаздывания.

Заданы граничные условия

и(0, £) = 0, и(Х, £) = 0, 0 ^ £ ^ Т, (1.2)

и начальные условия

u(x,s) = p(x,s), 0 ^ x ^ X, -т ^ s ^ 0. (1.3)

Будем предполагать, что решение u(x,t) задачи (1. 1)—(1.3) существует и единственно. Кроме того, при доказательстве сходимости численных методов будем предполагать необходимую гладкость решения u(x, t).

Обозначим через C = C[—т, 0] множество функций q(s), непрерывных на отрезке [—т, 0], с нормой ||q(-)||c = max |q(s)|. Дополнительно будем предполагать, что функци-

—т

онал f(x,t,ut(x,•)) липшицев с константой Lf по последнему аргументу, т.е. существует постоянная Lf такая, что для всех x £ [0,X], t £ [0,T], v1^) £ C, v2(-) £ C выполняется

|f(x,t,v1(-)) - f(x,t,v2(-))| ^ Lf ||v1(.) - v2(-)||c. (1.4)

§ 2. Дискретизация. Схема с весами с кусочно-линейной интерполяцией

Введем шаг по времени А = -щ, где Мо — натуральное, и пусть М = Введем точки (узлы по времени) = ] А, ] = — М0,..., М. Разобьем отрезок [0, X] на части, введя шаг по пространству к = Х/Х, где N — целое, введем точки (узлы по пространству) х^ = гк, г = 0,..., N. Аппроксимацию функции и(х^ ^) в узлах будем обозначать и^.

При всяком фиксированном г = 0,..., N введем дискретную предысторию к моменту , ] = 0,...,М: {ик}э = {иг'к, ] — М0 ^ к ^ }. Оператором интерполяции дискретной предыстории назовем отображение I: {Ц^ и*(■) £ С— т,tj].

Будем говорить, что оператор интерполяции имеет порядок погрешности р на точном решении, если существуют константы С1 и С2 такие, что для всех г, ] и £ £ [tj — т, ] выполняется неравенство

— и(хг,£)| ^ С тах К — и(хг,£;)| + С2АР.

Рассмотрим кусочно-линейную интерполяцию I({игк}3) = Ц(•), задаваемую соотношениями

иг3Ц3 + в) = ^ ((4 - г3 - + (¿3 + в - ¿^К), ^ г3 + в ^ гк. (2.1)

Кусочно-линейная интерполяция имеет порядок 2, если точное решение и(х,Ь) дважды непрерывно дифференцируемо по Ь на промежутке [—т, Т] [17, с. 97]. Для 0 ^ ^ ^ 1 рассмотрим семейство методов с весами:

и)+1 ~+ и)-1 _ Ц+1 ~ 2ц}+1 + Ц+1 . Ц-1 ~ 2и)-1 + Ц-1 .

Д2 , .+1 "2 (2.2)

и-1 - 2и + и!+1 . . ,

+ (1 - 2«Н-^-+ /(Хг,Ь, (и))ь(-)),

с начальными условиями

и)(Ь) = -т ^ Ь ^ 0, г = 0,...,М,

и граничными условиями

и°3 = 0, иN = 0, ] = 0,...,М,

где (и)(•) — предыстория к моменту Ь3 результата действия оператора кусочно-линейной интерполяции (2.1).

В дальнейшем будем предполагать, что число а = А2/к2 зафиксировано. Методы с весами (2.2) с кусочно-линейной интерполяцией (2.1) при выполнении условия устойчивости

8> 1(1-1) (2.3)

4 а

были изучены в [8,14], где была доказана их сходимость. Наша цель: на основании этого семейства методов построить методы более высокого порядка сходимости.

§ 3. Базовый метод с весами с кусочно-кубической интерполяцией

Построим базовый метод с весами с более точным способом интерполяции. В качестве такого способа выберем кусочно-кубическую интерполяцию, хотя можно применять любой способ интерполяции четвертого порядка.

Будем разбивать отрезок запаздывания так, чтобы число точек делилось на 3: М3 = Зт, где т — натуральное. Пусть по-прежнему А = -щ, М = точки разбиения по времени ¿3 = ^'А, ] = — М3,..., М. Разбиение по пространству не меняется.

Опишем кусочно-кубическую интерполяцию. При всяком фиксированном г = 0,..., N и фиксированном г = 0,..., М — 1 разобьем отрезок [¿3 — т, ¿3] справа на подотрезки [¿3,1+1, ¿3)1], I = 0,..., т — 1, длиной ЗА таким образом, что ¿3,3 = ¿3,) = ¿3-3,..., ¿3>т = ¿3-3т. Таким образом, ¿3,1 = ¿3-31, I = 0,..., т.

На каждом подотрезке [¿3;1+1, ¿3;1], г = 0,..., N, построим кубическую параболу — интерполяционный многочлен ¿3(Ь) в форме Лагранжа по узлам ¿3-31-3,Ь3-31-2,Ь3-31-1,Ь3-21

и значениям в узлах и3-31-3, и3-31-2, и3-31-1, и3-31:

Llз (¿) =

_ г ~ ^ 3-3,1-2) - tj-ш-1)^ - tj-ш) г ~ tj-3l-з)(t ~ ¿3-Зг_1)(£ - ¿3-Зг) |

~~ из-31-3 бд3 и]-31-2 2д3 +

, г (1 - ^з-з1-з)^ - ¿3-3г-2)(£ - tj-зl) г (£ - ¿;,--зг-з)(£ - ¿3-3г-2)(^ - ^-зг-1) + и1-31-1 2ДЗ Щ-31 бДЗ

В случае, если для узла, например, для ¿¿г+1 = ¿/-31-3 выполняется ¿/-31-3 < 0, т. е. ] — 3/ — 3 < 0, то значение в узле берется из начальных условий и-31-3 = ^(х^, ¿,-31-3). Кусочно-кубическая интерполяция I({и^) = и* (■) задается равенствами

и (¿7 + «) = ¿3 (¿7 + 5), ¿7-31-3 < + 5 ^ ¿,-31. (3.1)

Кусочно-кубическая интерполяция имеет порядок 4, если точное решение и(ж,£) четырежды непрерывно дифференцируемо по £ на промежутке [—т, Т] [17, с. 97].

Методом с весами с кусочно-кубической интерполяцией назовем разностную схему (2.2), где (и* (■) — предыстория к моменту результата действия оператора кусочно-кубической интерполяции (3.1). Хотя этот метод также имеет порядок Л2 + А2, но схема экстраполяции Ричардсона, примененная к этому методу, позволяет повысить порядок до Л4 + А4.

§ 4. Невязка без интерполяции метода с весами

Невязкой без интерполяции метода (2.2) назовем

• _ — 2и(х*) + и(ж*,£,-1)

Ъ Д2

+1) — 2м(жг,^+1) + +1)

— 5-

Л2 (4.1)

— (1 — 25)

) — 2и(жг ) + и(Хг+1,^ )

Л2

-1) — 2и(Жг,£,-1)+ и(Хг+1,^-1)

— в-—--/(ж^, г,, ■)).

Лемма 4.1. Если точное решение и(ж,£) шесть раз непрерывно дифференцируемо по х и по причем смешанные частные производные до шестого порядка непрерывны, то невязка без интерполяции (4.1) представима в виде

Щ = Я^х*, )А2 + ^2(ж*, )Л2 + Я3А4 + Я4Л4 + ДбА2Л2. (4.2)

Доказательство. Для значений функции и (ж, ¿), входящих в определение невязки без интерполяции, имеем следующие равенства:

ди , . . 1 д2и , . . 2 1 д3и 1 <94и. . 4 1 д5и. . 5 1 <96и

1 д4и , . . 4 1 д5и , . . 5 1 д6и , . . 6

ди 1 д2и 1 д3 и

и^Хг^з-х) = и(х^) ~ — (ж^-)Д + -—— (Хг,^)А2 - - — (Ж;, А3 +

ди 1 д2и 1 д3 и

и{хг_ 1,^) = и(х^) - — + - —(ж^)/?2 - - — (х^)к3 +

+ - тш^^5 + тк^к-^''8-

ди 1 д2и 1 д3 и

= и(х^) + — + - —(ж^)/?2 + - — (х^)к3 +

1 д4и 4 1 д5и 5 1 д6и 6

ди 1 д2и

И1,^4-1) = - — + - — (ж*, ¿,+1)Л,2 -

ди, ч, 1 д2 и

и(Хг+1,^+1) = «(>¿,¿3+1) + — (>¿,¿3+1)/?, + - —+

1 д3и, 1 д4и, . 4 1 д5и, . 5 1 д6и, . 6

ди 1 д2 и

= - —{Хг^з^Н + - —-

- + - +

ди 1 д2 и

П13 е [¿3,¿3+1], П23 е [¿3-1, ¿3], ,^3г,^5г € [ж*-Ьж*], ^2г,^4г,Сбг € [ж,»¿+1]. Поэтому

^ = + + + "

/д2и. 1 д4 и. 2 1 д6 и.. 4 1 д6и.А Л

/д2и. 1 д4 и. 2 1 д6 и.. 4 1 д6и.А Л

/д2 и 1 д4и 1 д6и 1 д6и \ - (1 - г,) + + ^^Кь,^ + -

— / (3,и% ^ •)).

Учитывая разложения

д2и, ч д2и, ч д3и , ч 1 д4 и

1 д5и „ ч л о 1 д6и

<92м <92м <93м 1 <94м 2

¿7 + 1) = ¿3) + Д, ДО + О +

<94м <94м <95м 1 <96м

д4и. д4и . д5и 1 д6и

2

П3?, П3 е [¿3--1, ¿3], п43, Пв? е [¿3, ¿3+1], а также то, что и(жг,£3) является решением задачи (1.1), получаем

^ = #1 (ж,, )А2 + ^(ж, )к2 + Я3 А4 + Д4к4 + #5 А2 к2,

где

1 <94и <94и 1 <94и

1 д6 и, , 1 д6 и, , в д6 и , , в д6 и

Лз ~ 720 (Жг'+ 720 (Жг'24 <%4<9ж2 (Жг' ^ 24 д^дх2 ^

2

2s — 1д6и, . 2s — ld6u, . s д&и, . s д6и. .

s d6u , . s d6u , . s <96w s <96w

Замечание 1. Величины R\(xi, tj) и R2(xi, tj) зависят лишь от производных точного решения в точке (xi, tj) и не зависят от производных в других точках, в отличие от величин R3, R4, R5. Этот факт даст в дальнейшем возможность выписать уравнение для асимптотического уравнения погрешности. Введем для этого величину

Y (x,t) = Ri(x,t)+ < R2 (x, t), (4.3)

^l(M) = " R^ =

Замечание 2. При условиях леммы величины R3, R4, R5 равномерно ограничены. С учетом этих замечаний соотношение (4.2) можно переписать в виде

^j = )Д2 + O(A4), |O(A4)| ^ CA4. (4.4)

§ 5. Явная векторная форма базового метода и его невязки с интерполяцией

При каждом j определим значения дискретной модели (2.2)-(3.1) вектором Uj = = (u1, u2,..., uf-1)' G Y, здесь Y — векторное пространство размерности N — 1, ' — знак транспонирования. Пусть {uk}j — предыстория векторной дискретной модели к моменту tj. Определим максимум-норму в пространстве Y соотношением

II uj ||о = max |uj |.

1<i<N-Г j

В пространстве Y введем оператор A:

uj-1 — 2uj + u^1 Щ = -~-гф-

считая, что u0 = uf = 0.

0 uf

Тогда систему (2.2)-(4.1) можно переписать в виде уравнения

uj+1 — 2uj + uj-1

A2

+ sAuj+1 + sAuj-1 + (1 — 2s)Auj = Fj, (5.1)

где = ^(I({ик)) — вектор с координатами f (х^,¿7, (и*(■)), г = 1,..., N — 1, где (и}(') — предыстория к моменту ^ результата действия оператора кусочно-кубической интерполяции (4.1).

Введем также оператор

П = ^Е + зА, А2

где Е — единичный оператор. Тогда уравнение (4.2) можно привести [8, с. 58] к виду

Д(и7+1 — 2и + и7-1) + Аи = ^. (5.2)

Так как при любом допустимом весе 5 уравнение (5.2) разрешимо относительно и7+1 (существует Я-1), то можно привести это уравнение к явной форме двухшагового метода

и,+1 = 2щ — и,-1 — Я-ми,- + Я-1^. (5.3)

За счет повышения размерности сведем метод к одношаговому.

Введем вектор у = (yj1), yj2))/ = (и^ъ и)' £ У, где У = У ф У — векторное пространство размерности д = 2(Х — 1).

Соотношение (5.3) можно переписать в виде

¿+1 = у72), = 2у<2) — 7 — Я-1^® + Я-1^.

В результате получаем разностную схему:

у+1 = % + АФ(1 ({ук2) Ь)), (5.4)

где

5 = (—0 2 — Я-.4> ^ «л» = (я^.(I(кь))/а)

Определим функцию точных значений для схемы (5.4) соотношениями

= (7, ^ )' = (^-1,^ )', и = (Цх^-) , и(х2, ),..., и(хм -1, ^ 7 ))'. Введем вектор невязки без интерполяции

Щ = (Щ ,Щ2,..., 7-1)',

который определяется соотношением

ф3 = ^—+ + + + (1 _ _ р^ (5_5)

где — вектор с координатами f (х^, ^, иц (х^, ■)), (х^, ■) — предыстория точного решения к моменту ¿7.

Тогда представление (4.4) можно записать в векторном виде

Щ = 7(¿7)А2 + 0(А4), ||0(А4)Но ^ СА4, (5.6)

здесь и далее 7(¿7) имеет координаты 7(х1, ¿7),..., 7(х^-1, ). Соотношение (5.5) можно переписать в виде

^7+1 — 2uj + щ-1) + = ^ + Щ,

или, в явной форме,

щ+1 = 2^- — щ-1 — Я-1Auj + Я-1(-Р7- + Щ). Сведем это уравнение к одношаговому, переписав последнее уравнение в виде системы

^+1 = 7, ^ = 2*<2) — 7 — Я-1^ + Я-1 (¿7 + Щ). В результате получаем уравнение для функции точных значений:

= % + АФ, (5.7)

где

Ф ' Я"1 (^ + ^3 )/А

Определим кусочно-кубическую интерполяцию точного решения и^,^-) с экстраполяцией продолжением. На каждом подотрезке [¿3,1+1, ¿3,1], г = 0,..., N, построим кубическую параболу — интерполяционный многочлен ¿¿3 (¿) в форме Лагранжа по узлам ¿3-31-3, ¿3-31-2, ¿3-31-1, ¿3-21 и значениям в узлах и (ж,, ¿3-31-3), и (ж,, ¿3-31-2), и (ж,, ¿3-31-1), и (ж,, ¿3-31):

Т1(^-Ч1('Г + ) ^ ~ ~ - ¿з-зг)

/ ^ ~ tj-зl-з)(t - ¿з_зг_1)(^ - ¿з_зг) - 3-31-2)-^д^--Н

, / - ¿3_3г_3)(^ - ¿3_зг_2)(^ - ¿з-3г)

+ М^Жг, 13-31-1)

2Д3

(t — ¿3-3l-3)(t — ij-3l-2)(t — tj-3l-l)

6А3

Кусочно-кубическая интерполяция точного решения задается равенствами

и3(¿3 + в) = ¿30 + в), ¿3-31-3 ^ ¿3 + в ^ ¿3-31. (5.8)

Невязка с интерполяцией определяется [8, с. 12] для метода (5.4) в виде

Фз = Ф(/({ЛЬ)) = (^.^.^/Л (5.9)

д ^ fcJ3„ (I ({ufc }j ))/Д

Fj = F3(I({ufc}j)) — вектор с координатами f (xi5 tj, (uj)tj(■)), (uj)tj(■)) — предыстория к моменту tj кусочно-кубической интерполяции (5.8).

Пусть вектор невязки с интерполяцией dj имеет компоненты dj = (dj1^, dj2)) G Y. Из (5.7) и (5.9) имеем соотношения

r-1 R—1

или

RДd32) = JFj - Fj + . (5.10)

Из этого соотношения, и из того, что оператор кусочно-кубической интерполяции имеет порядок 4, вытекает следующее утверждение.

Лемма 5.1. Если выполняются условия леммы 4.1, то вторая компонента невязки с интерполяцией удовлетворяет соотношению

RДdf = RI,3 Д2 + R2,3 h2 + 0(Д4 + h4). (5.11)

R1)3- — вектор с координатами R1(xi, j), R2j — вектор с координатами R2(x^, t3-).

Пусть yj = (yj1),yj2))' = (uj-1,uj)' G Y, введем в этом пространстве максимум-норму:

Пуз||о = max{|yj1)|o, ||yj2)||o}.

При выполнении условия устойчивости (2.3) введем также норму [18, с. 365], [8, с. 64] в пространстве Y:

1Ы1* = + W3-i),«3 + И3-1) + {{R-\А){Щ + и3-г),и3 +и3-г), (5.12)

которую будем называть энергетической.

Л е м м а 5.2. Пусть выполняется условие устойчивости, число а фиксировано, невязка без интерполяции имеет порядок р, т. е. выполняется |Щ| ^ С3АР для всех г,], а оператор интерполяции липшицев и имеет порядок р1 ^ р. Тогда невязка с интерполяцией имеет порядок р в энергетической норме.

Доказательство. Для вектора невязки без интерполяции Щ выполняется ||Щ ||0 ^ ^ С3АР. Умножим на А соотношение (5.10), связывающее векторную невязку без интерполяции и невязку с интерполяцией:

яа242) = аср? — + Щ).

Введем операторы Я = А2Я = Е + ^А2А и А = А2А, которые, в отличие от операторов Я и А, не зависят от к и А при фиксированном а. Тогда

42) = Я-1(А(^- — ^ + Щ)). (5.13)

Из определений функций и , условия липшицевости (1.4) и определения порядка интерполяции имеем оценку

Н^ — ¿7 ||о = |f (х^- (хг, ■)) — f (х^, (и )ц (.))| ^ С2АР1

Тогда из (5.13) вытекает

11||о = Н^2||о ^ С4Ар+1. (5.14)

д2|Ы1* = ~М{щ + + 1) + ((Д --А){щ + + ^-1).

7 ||о

Перепишем определение нормы в (5.12) в виде

+ + щ_г) + ((Д - ^

Отсюда и из (5.14) вытекает

А2||у||2 ^ С5А2р+2.

Извлекая корень, получаем заключение леммы. □

Замечание 3. Из лемм 5.1 и 5.2 вытекает, что метод (2.2) с кусочно-кубической интерполяцией сходится с порядком 2 в энергетической норме, т. е. существует константа Сб, такая, что

Ну7 — zj||* ^ СбД2.

Доказательство следует из вложения в общую схему разностных схем с наследственностью [8, с. 12].

§ 6. Асимптотическое представление глобальной погрешности базового метода

В этом параграфе будем предполагать выполнение следующих условий.

Условие 6.1. Функционал f (x,¿,ut(x, •)) по последнему аргументу дважды дифференцируем по Фреше, см., например, [19, с. 154], причем вторая производная Фреше ограничена.

Рассмотрим уравнение

д2е(х^) д2 е(х, ¿) д¿2 дх2

+ (С,е4(х, •)>— 7(x,¿), (6.1)

с начальными условиями е(х^) = 0, — т ^ ¿ ^ 0, и граничными условиями e(0,¿) = 0, е(Х, ¿) = 0. Здесь С — производная Фреше функционала Дх^,и4(х, •)) по последнему аргументу, (С, е4(х, ■)> — результат действия С на предысторию е4(х, ■).

Условие 6.2. Уравнение (6.1) имеет единственное решение е(х,£), причем функция е(х, ¿) четыре раза непрерывно дифференцируема по х и ¿.

Уравнение (6.1) является частным случаем уравнения (1.1), поэтому для его приближенного решения можно рассмотреть численный метод (2.2). Введем невязку без интерполяции для метода (2.2), примененного к уравнению (6.1):

е(хг, - 2е{х,г} г у) + е(Хг, ^-1)

■з - Д2

$ =

е (Хг— 1, ¿7+1) - 2е(хг, ¿у+1) + е(хг+1, ¿^-+1)

— 5-

(6.2)

- (1 - 28)

е(х;—1, ) - 2е(х;,¿7) + е(х;+ь^)

Подобно лемме 4.1 проверяется, что при выполнении условия 6.2 справедливо представление

$ = 0(Д2). (6.3)

Определим векторную погрешность метода (5.4) как вектор = (е^1, е^2)' = (е7-—е7-)' € У. Здесь = и - и € УК — вектор с координатами е*, г = 1,..., N - 1, где е* = и(хг, ) - «.

Л е м м а 6.1. Если выполняются условия леммы 4.1, а также условия 6.1 и 6.2, то величина е7 + )Д2 имеет четвертый порядок малости по Д в энергетической норме. Здесь вектор-функция ) имеет координаты е(хг,¿7), функция е(х,£) удовлетворяет уравнению (6.1).

Доказательство. Исходя из метода (2.2) с интерполяцией (3.1), рассмотрим величины

И = и - е(хг, )Д2, (6.4)

или, в векторной форме,

И = И - )Д2, ) = (е(х1; ), е(х2, ¿/),..., е(х^—1; )) € УК.

Тогда из (5.1) получаем

113+1 ~ Д2 + + зАщ-1 + (1 - - ^ + е(^+1) - 2е&) +

+ —1) + зАе^-+1)Д2 + 1)Д2 + (1 - 2з)Ае(;£7)Д2 = - - —,

где — = —(I({ц.}„•)) — вектор с координатами /(хг, , (и}(■)); (и}(■)) — предыстория к моменту кусочно-кубической интерполяции значений {«к}7;

— = —(I({% + е(4)Д2}-)) — вектор с координатами /(х^-, («7(■)), где («7(■) — предыстория к моменту результата действия оператора кусочно-кубической интерполяции значений {«к}7 = {«к + е(хг, )Д2}7. Отметим, что в силу линейности оператора интерполяции выполняется

- (I ({Ик + )Д2}7)) = - (I ({и^) + I ({е(4 )}7 Д2)).

Вычислим невязку без интерполяции этого метода:

$ = + {е&+1) - 2е(7) + 1) + 8Ае(^+1)Д2 + вЛе^—1)Д2 +

О (6.6)

+ (1 - 2Я)Ле&)Д2 + - - -}, 80

где Р3 = (и3 + I(|в(4)}3А2) — вектор с координатами /(ж,,^-(ж,, ■) + е^. (ж,,-)А2), е^. (ж,, ■) — предыстория результата интерполяции {е(ж,, ^ )}3 к моменту ¿3, функция _Р3 была определена выше.

В силу условия 6.1 (используя разложение Тейлора для функционала [19]), г-я координата вектора _Р3 — _Р3 представима в виде

/(ж,,¿3(ж,, ■) + е^. (ж,, -)А2) — /(ж,, ¿3(ж,, ■)) = = (С, (ж,, -))А2 + О(А4) = (С, е^.(ж,, -))А2 + О(А4).

Из этого представления, а также из (6.2) и (6.3) следует, что г-я координата вектора в фигурных скобках соотношения (6.6) равна —7(ж,, ¿3-)А2 + О(А4).

С учетом этого, из (6.6) и (5.6) вытекает, что невязка без интерполяции метода (6.4) имеет порядок О (А4). Оператор интерполяции также имеет порядок О (А4), следовательно по лемме 5.2, невязка с интерполяцией метода (6.4) имеет четвертый порядок по А в энергетической норме, следовательно метод (6.4) сходится с порядком О(А4) в энергетической норме.

Так как

% + е(3 )а2 = и3 — и3 + еО )а2 = и3 — и3, отсюда вытекает заключение леммы. □

§ 7. Схема Ричардсона и практическая оценка погрешности

Пусть и3 (к, А) — результат метода с весами (2.2) с кусочно-кубической интерполяцией (3.1), с шагом по пространству к и с шагом по времени А. Обозначим

4 • 1 •

Щ = -и)(к/2, А/2)--и)(к, А). (7.1)

Этот метод является аналогом схемы экстраполяции Ричардсона.

Теорема 7.1. Пусть выполняются условия леммы 6.1. Тогда метод (7.1) сходится с четвертым порядком по А и к в энергетической норме.

Доказательство. Обозначим через Ц (к, А) вектор с координатами Ц (к, А), тогда, если и3 — вектор точного решения, и3(к, А) — вектор с координатами и3(к, А), е3 (к, А) — векторная погрешность метода (2.2), (3.1), то векторная погрешность метода (7.1) представима в виде

(£и). = щ - и^н, А) = й3 - щ(к/2, А/2) --{щ{к/2, А/2)

-щ(к, А) - й3+и3) = [е3(к/2, А/2) + е(^3)(А/2)2] - \{[-е3{к/2, Д/2)-

—е(*3 )(А/2)2] + [в3 (к, А) + ев )А2 ]).

Так как, в силу леммы 6.1, каждое выражение в квадратных скобках сходится с четвертым порядком в энергетической норме, то отсюда следует утверждение теоремы. □

При условиях леммы 6.1 можно получить асимптотическую оценку погрешности базового метода (метод Рунге практической оценки погрешности).

Теорема 7.2. Пусть выполняются условия леммы 6.1. Тогда справедливы формулы Рунге

4

е^к, А) = -{щ{к/2,А/2) - щ{Н, А)) + гь 3

£j{h/2, А/2) = -{щ{к/2, А/2) - А)) + г2,

где векторы ri и r2 имеют четвертый порядок малости относительно А в энергетической норме.

Доказательство. Согласно утверждению леммы 6.1, имеют место соотношения

- (h> А) - e(íj)А = fi, (7 2)

щ - щ(h/2, А/2) - e(tj)(А/2)2 = f2, ( . )

где векторы fi и f2 имеют четвертый порядок малости относительно А в энергетической норме. Исключим из этих соотношений вектор точного решения щ, получим

3

щ{к/2, А/2) - Uj{h, А) - -efe)A2 = п - г2,

отсюда

4 4

efe) = -Mfc/2, Д/2) - А)) - -(п - г2).

Из этого соотношения, формул (7.2) и определения погрешности (h, А) = щ — щ (h, А) вытекает утверждение теоремы. □

Формулы Рунге могут быть использованы для организации вычислений с переменным шагом, определяемым заданной точностью.

§ 8. Пример численных расчетов

Пример 8.1. Рассмотрим уравнение с постоянным запаздыванием:

д U!f' ^ = д ujx,t"> -f 7r2e~* sinтгх + er_2í sin2 тгх + u(x, t)(l - u(x,t - 1)) (8.1) dt2 dx2

с начальными условиями

u(x,s) = es sin nx, 0 ^ x ^ 1, —1 ^ s ^ 0, и граничными условиями

u(0,t) = u(1, t) = 0, 0 ^ t ^ 3.

Это уравнение имеет точное решение u(x,t) = e-t sin nx. Результаты численных расчетов приведены в таблице 1. В ней представлены максимальные по модулю отклонения приближенного решения от точного, вычисленные по формуле

A(h, А) = max |U - u(x¿,t¿)| при s = 1 для различного числа разбиений N и M.

Таблица 1. Максимальные по модулю отклонения приближенного решения уравнения (8.1), полученные методами (2.2) и (7.1) при разных разбиениях

Метод N = 4 М =12 N = 8 М = 24 N = 16 М = 48 N = 32 М = 96

Метод с весами (2.2) 1.41 • 10"2 3.79- 10~3 9.47- 10"4 2.36 • 10"4

Схема Ричардсона (7.1) 3.84- 10"3 2.72 • 10"4 1.27- 10"5 1.12 • 10"6

Таблица 2. Вычислительные порядки точности методов, полученные для методов (2.2) и (7.1) при разных разбиениях

Методы N = 4 М =12 N = 8 М = 24 N = 16 М = 48

Метод с весами (2.2) 1.89 2.00 2.01

Схема Ричардсона (7.1) 3.82 4.42 3.50

Данные в таблице наглядно показывают, что метод (7.1) дает результат на порядки точнее. Кроме того, эти данные позволяют оценить вычислительные порядки точности методов по формуле

1 ' ; 62 \A(h/2, А/2) J

которые приведены в таблице 2.

Таблица подтверждает доказанные теоретически второй порядок метода (2.2) и четвертый — метода (7.1).

Финансирование. Исследования выполнены при финансовой поддержке Российского научного фонда, проект № 22-21-00075.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wu Jianhong. Theory and applications of partial functional differential equations. New York: Springer, 1996. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4050-1

2. Polyanin A. D., Sorokin V. G., Zhurov A. I. Delay ordinary and partial differential equations. Chapman and Hall/CRC, 2023. https://doi.org/10.1201/9781003042310

3. Liu Pan-Ping. Periodic solutions in an epidemic model with diffusion and delay // Applied Mathematics and Computation. 2015. Vol. 265. P. 275-291. https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.05.028

4. Hattaf K., Yousfi N. A generalized HBV model with diffusion and two delays // Computers and Mathematics with Applications. 2015. Vol. 69. Issue 1. P. 31-40. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2014.11.010

5. Cheng Yueling, Lu Dianchen, Zhou Jiangbo, Wei Jingdong. Existence of traveling wave solutions with critical speed in a delayed diffusive epidemic model // Advances in Difference Equations. 2019. Vol. 2019. Issue 1. Article number: 494. https://doi.org/10.1186/s13662-019-2432-6

6. Jia Yunfeng. Bifurcation and pattern formation of a timor-immune model with time-delay and diffusion // Mathematics and Computers in Simulation. 2020. Vol. 178. P. 92-108. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2020.06.011

7. Polyanin A. D., Sorokin V. G. New exact solutions of nonlinear wave type PDE with delay // Applied Mathematics Letters. 2020. Vol. 108. 106512. https://doi.org/10.1016/j.aml.2020.106512

8. Пименов В. Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2014.

9. Solodushkin S. I., Yumanova I. F., de Staelen R. H. First order partial differential equations with time delay and retardation of a state variable // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2015. Vol. 289. P. 322-330. https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.12.032

10. Hendy A. S., de Staelen R. H., Pimenov V. G. A semi-linear delayed diffusion-wave system with distributed order in time // Numerical Algorithms. 2018. Vol. 77. Issue 3. P. 885-903. https://doi.org/10.1007/s11075-017-0344-7

11. Li Lili, Zhou Boya, Chen Xiaoli, Wang Zhiyong. Convergence and stability of compact finite difference method for nonlinear time fractional reaction-diffusion equations with delay // Applied Mathematics and Computation. 2018. Vol. 337. P. 144-152. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.04.057

12. Hendy A. S., Macias-Diaz J. E. A novel discrete Gronwall inequality in the analysis of difference schemes for time-fractional multi-delayed diffusion equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. Vol. 73. P. 110-119. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2019.02.005

13. Xu Xiuxiu, Huang Qiumei. Discontinuous Galerkin time stepping for semilinear parabolic problems with time constant delay // Journal of Scientific Computing. 2023. Vol. 96. Issue 2. Article number: 57. https://doi.org/10.1007/s10915-023-02278-3

14. Пименов В. Г., Таширова Е. Е. Численные методы решения уравнения гиперболического типа с наследственностью // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 2. C. 222-231. https://www.mathnet.ru/rus/timm823

15. Deng Dingwen, Chen Jingliang. Explicit Richardson extrapolation methods and their analyses for solving two-dimensional nonlinear wave equation with delays // Networks and Heterogeneous Media. 2023. Vol. 18. Issue 1. P. 412-443. https://doi.org/10.3934/nhm.2023017

16. Zhang Chengjian, Tan Zengqiang. Linearized compact difference methods combined with Richardson extrapolation for nonlinear delay Sobolev equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2020. Vol. 91. 105461. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2020.105461

17. Ким А. В., Пименов В. Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: РХД, 2004.

18. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

19. Алексеев В. М., Тихомиров В.М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

Поступила в редакцию 22.07.2023

Принята к публикации 20.09.2023

Пименов Владимир Германович, д. ф.-м. н., профессор, кафедра вычислительной математики и компьютерных наук, Уральский федеральный университет, 620000, Россия, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51.

ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4042-6079 E-mail: v.g.pimenov@urfu.ru

Таширова Екатерина Евгеньевна, к. ф.-м. н., доцент, кафедра вычислительной математики и компьютерных наук, Уральский федеральный университет, 620000, Россия, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-5054-176X E-mail: ekaterina@tashirova.ru

Цитирование: В. Г. Пименов, Е. Е. Таширова. Асимптотическое разложение погрешности численного метода для решения волнового уравнения с функциональным запаздыванием // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2023. Т. 62. С. 71-86.

V.G. Pimenov, E.E. Tashirova

Asymptotic expansion of the error of the numerical method for solving wave equation with functional delay

Keywords: wave equation, functional delay, numerical method with weights, piecewise cubic interpolation, Richardson method, order of convergence.

MSC2020: 65M06, 65M12, 65M15, 65Q20

DOI: 10.35634/2226-3594-2023-62-06

A wave equation with functional delay is considered. The problem is discretized. Constructions of the difference method with weights with piecewise linear interpolation are given. A basic method with weights with piecewise cubic interpolation is constructed. The order of the residual is studied without interpolation of the basic method, and the expansion coefficients of the residual with respect to time-steps and space-steps are written out. It is proved that the weighted method with piecewise cubic interpolation converges with order 2 in the energy norm. An equation is written for the main term of the asymptotic expansion of the global error of the basic method. Under certain assumptions, the validity of the application of the Richardson extrapolation procedure is substantiated, and the corresponding numerical method is constructed, that has the fourth order of convergence with respect to time-steps and space-steps. The validity of Runge's formulas for practical estimation of the error is proved. The results of numerical experiments on a test example are presented.

Funding. The study was supported by the Russian Science Foundation, project no. 22-21-00075.

REFERENCES

1. Wu Jianhong. Theory and applications of partial functional differential equations, New York: Springer, 1996. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4050-1

2. Polyanin A. D., Sorokin V. G., Zhurov A. I. Delay ordinary and partial differential equations, Chapman and Hall/CRC, 2023. https://doi.org/10.1201/9781003042310

3. Liu Pan-Ping. Periodic solutions in an epidemic model with diffusion and delay, Applied Mathematics and Computation, 2015, vol. 265, pp. 275-291. https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.05.028

4. Hattaf K., Yousfi N. A generalized HBV model with diffusion and two delays, Computers and Mathematics with Applications, 2015, vol. 69, issue 1, pp. 31-40. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2014.11.010

5. Cheng Yueling, Lu Dianchen, Zhou Jiangbo, Wei Jingdong. Existence of traveling wave solutions with critical speed in a delayed diffusive epidemic model, Advances in Difference Equations, 2019, vol. 2019, issue 1, article number: 494. https://doi.org/10.1186/s13662-019-2432-6

6. Jia Yunfeng. Bifurcation and pattern formation of a timor-immune model with time-delay and diffusion, Mathematics and Computers in Simulation, 2020, vol. 178, pp. 92-108. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2020.06.011

7. Polyanin A. D., Sorokin V. G. New exact solutions of nonlinear wave type PDEs with delay, Applied Mathematics Letters, 2020, vol. 108, 106512. https://doi.org/10.1016/j.aml.2020.106512

8. Pimenov V. G. Raznostnye metody resheniya uravnenii v chastnykh proizvodnykh s nasledstvennost'yu (Difference methods of solution of partial differential equations with heredity), Yekaterinburg: Ural State University, 2014.

9. Solodushkin S.I., Yumanova I. F., de Staelen R. H. First order partial differential equations with time delay and retardation of a state variable, Journal of Computational and Applied Mathematics, 2015, vol. 289, pp. 322-330. https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.12.032

10. Hendy A. S., de Staelen R.H., Pimenov V.G. A semi-linear delayed diffusion-wave system with distributed order in time, Numerical Algorithms, 2018, vol. 77, issue 3, pp. 885-903. https://doi.org/10.1007/s11075-017-0344-7

11. Li Lili, Zhou Boya, Chen Xiaoli, Wang Zhiyong. Convergence and stability of compact finite difference method for nonlinear time fractional reaction-diffusion equations with delay, Applied Mathematics and Computation, 2018, vol. 337, pp. 144-152. https://doi.org/10.10167j.amc.2018.04.057

12. Hendy A. S., Macias-Diaz J. E. A novel discrete Gronwall inequality in the analysis of difference schemes for time-fractional multi-delayed diffusion equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019, vol. 73, pp. 110-119. https://doi.org/10.10167j.cnsns.2019.02.005

13. Xu Xiuxiu, Huang Qiumei. Discontinuous Galerkin time stepping for semilinear parabolic problems with time constant delay, Journal of Scientific Computing, 2023, vol. 96, issue 2, article number: 57. https://doi.org/10.1007/s10915-023-02278-3

14. Pimenov V. G., Tashirova E.E. Numerical methods for solving a hereditary equation of hyperbolic type, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2013, vol. 281, suppl. 1, pp. 126-136. https://doi.org/10.1134/S008154381305012X

15. Deng Dingwen, Chen Jingliang. Explicit Richardson extrapolation methods and their analyses for solving two-dimensional nonlinear wave equation with delays, Networks and Heterogeneous Media, 2023, vol. 18, issue 1, pp. 412-443. https://doi.org/10.3934/nhm.2023017

16. Zhang Chengjian, Tan Zengqiang. Linearized compact difference methods combined with Richardson extrapolation for nonlinear delay Sobolev equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2020, vol. 91, 105461. https://doi.org/10.1016/jxnsns.2020.105461

17. Kim A. V., Pimenov V. G. i-Gladkii analiz i chislennye metody resheniya funktsional'no-differentsial'-nykh uravnenii (i-Smooth analysis and numerical methods for solving functional differential equations), Moscow-Izhevsk: Regulyarnaya i Khaoticheskaya Dinamika, 2004.

18. Samarskii A. A., Gulin A.V. Chislennye metody (Numerical methods), Moscow: Nauka, 1989.

19. Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S.V. Optimal'noe upravlenie (Optimal control), Moscow: Nauka, 1979.

Received 22.07.2023 Accepted 20.09.2023

Vladimir Germanovich Pimenov, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Computational Mathematics and Computer Sciences, Ural Federal University, ul. Lenina, 51, Yekaterinburg, 620000, Russia.

ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4042-6079 E-mail: v.g.pimenov@urfu.ru

Ekaterina Evgen'evna Tashirova, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Computational Mathematics and Computer Sciences, Ural Federal University, ul. Lenina, 51, Yekaterinburg, 620000, Russia.

ORCID: https://orcid.org/0000-0001-5054-176X E-mail: ekaterina@tashirova.ru

Citation: V. G. Pimenov, E. E. Tashirova. Asymptotic expansion of the error of the numerical method for solving wave equation with functional delay, Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta, 2023, vol. 62, pp. 71-86.