CC BY
6
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
НАУКИ
Физико-математические науки / Physics and Mathematics Sciences Оригинальная статья / Original Article УДК 517.929
DOI: 10.31161/1995-0675-2022-16-1-5-9
Асимптотическое поведение решений абстрактного функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве
© 2022 Алиева Л. М.
Дагестанский государственный педагогический университет Махачкала, Россия; e-mail: alieva_lm@mail.ru
РЕЗЮМЕ. Цель. Получение асимптотических разложений решения функционально-дифференциального уравнения 2-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Методы, разработанные Р. Г. Алиевым, метод преобразования Фурье, методы теории функций комплексного переменного. Результат. Доказана теорема об асимптотическом разложении решения u(t) исследуемого уравнения, принадлежащего гильбертову пространству вместе со своей производной с экспоненциальным весом. Вывод. Полученные результаты могут быть применены в дальнейшем для исследования решений уравнения, рассматриваемого в статье.
Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, асимптотическое поведение, гильбертово пространство.
Формат цитирования: Алиева Л. М. Асимптотическое поведение решений абстрактного функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные и точные науки. 2022. Т. 16. № 1. С. 5-9. DOI: 10.31161/1995-0675-2022-16-1-5-9_
Asymptotic Behavior of Solutions of a Second Order Functional Differential Equation
in a Hilbert Space
© 2022 Lyudmila M. Alieva
Dagestan State Pedagogical University Makhachkala, Russia; e-mail: alieva_lm@mail.ru
ABSTRACT. Aim. Obtaining asymptotic expansions for the solution of a second order functional differential equation with unbounded operator coefficients in a Hilbert space. Methods developed by R. G. Aliyev, Fourier transform method, methods of the theory of complex variable functions. Result. A theorem is proved on the asymptotic expansion of the equation solution u(t) under study, which belongs to the Hilbert space with its derivative with exponential weight. Conclusion. The results obtained can be applied in the future to study solutions of the equation considered in the article.
Keywords: functional differential equations, asymptotic behavior, Hilbert space.
••• Известия ДГПУ. Т. 16. № 1. 2022
••• DSPU JOURNAL. Vol. 16. No. 1. 2022
For citation: Alieva L. M. Asymptotic Behavior of Solutions of a Second Order Functional Differential Equation in a Hilbert Space. Dagestan State Pedagogical University. Journal. Natural and Exact Sciences. 2022. Vol. 16. No. 1. Pp. 5-9. DOI: 10.31161/1995-0675-2022-16-1-5-9 (In Russian)
Введение
Рассматривается уравнение с линейными неограниченными операторными коэффициентами вида
1}Р0Ы(г) - Д2и(г) -ЕЕ[А (г) +А{ +ч)ДЧО = /(г),(!)
к=0
где ||(А^ А.(г )м||7 <е\\ы\\х, X, У -гильбертовы пространства, X ^ У,
г
||-| х > ||-||У, Sh (г) - и(г - Н), Ну (г) < Г < 1,
А (г)|| < ее, г > г0 > -да, а > 0. Полагаются А : X ^ У - вполне непрерывные, к > 0, у > 1.
Наряду с уравнением (1) будем рассматривать и уравнение
1 т
ЬРп(г) - Б>(0-££А^Бки(г) (2)
k=0 j
Оператор
(
R(L) -
V1
ГВ-XXAjlk exp(-i A,)S
: 7 ^ X
будем называть резольвентным для уравнения (2).
Функция и^) - решение уравнения (1), если она имеет сильную абсолютно-непрерывную производную в У и удовлетворяет уравнению (1).
Цель. Доказать теорему об асимптотическом разложении решения и^) уравнения (1), принадлежащего гильбертову пространству Ь2 , производная которого удовлетворяет условию:
||еар(аг)и(к) (г)|| е Ь2 (г0, да), а > 0, к = 0,1
Материал и методы исследования
Нами использовались методы, разработанные Р. Г. Алиевым [1; 2], методы функционального анализа [3], из теории функций комплексного переменного, метод преобразования Фурье [4].
Результаты и их обсуждение
Теорема. Пусть выполнены условия:
а) Я(1) - мероморфна,
||Я(Цх = 0(1), Щ ^ да, а < 1тЛ < а; и на прямой 1тХ = 8 = а-е>0 нет полюсов ящ) .
б) И (г) < е еар (-2(а - а))г
sup
| exp(2(a -a)s)A2(exp(-(a -a)s))|h^ (s)|ds)
< да'
% (г) - г - Ну- Ну (г), к+. > 0;
в) /(г) = 0 при г < 0, еаг/(г) е Ь2 ((0,да) < У).
г) и(г) - решение (1),
||еар(аг)и(к)(г^ е Ь2 (г0, да), а> 0, к = 0,1 Тогда имеется конечное число решений и(е) уравнения (2), связанные с полюсами Я(1) в полосе а < 1тЛ < 8, что имеет место неравенство
J exp(2^t)
i(t) -Хuv (t)
<
L I t,
dt < c<j J exp (2at)|
i 4
||/(г)||2 йг + XI еар(2аг)|Дки(г)|х йг I
к=0 г0 ]
У
где постоянная с не зависит от решения
и(г)
Доказательство. Перепишем уравнение (1) в виде (Ьр + Ь1)и(г) = / (г)
1 т
Ьр - Б-ЕЕ,
к=0 у=0
1 т
Ь1 - Е Е [АЧ - ShkJ (г(г) ) - Ак,- (г)'\ +И. (г)] .
к=0 у=0
Г0, г < г„
7(г) е Сда, 77(г) = Г < 0 0 <7(г) < 1 Пусть I1,г > г0
Тогда для функции у(г) = 7(г)и(г), где и(г)
- решение уравнения (1) имеем
1 т
Ьру(г) = Б2, (7(0и(0) - ЕЕ Б] (7(г)и(г)) +
к=0 у=0
1 т
+ 7 (г )Е Е [ Ал,- +Ак,- (г )]Sk;.+hk7 (г) Б]и(г) -
к=0 у=0
- 7(г)]Е ЕЕ [ А. +А. (г)]S„ + (0 Б]и(г) = 7(г)Г (г) + 2В,ч(г)В,и(г)
D2t(r,(i )u(t) + V(t )ХХ Ak, (t )Shii+h^ (t) D?u(t)
+
k =0 j=0
+ ХХ (1 - Sj)r(t) AjSj.DXt) +
k=0 j=0
1 m
+
r(t)XX Ak, (Skj+h^ (t) - Sj )D?u(t) - F(t).
k=0 j=0
Так как F(t) G LL (R, L), как финитная функция и v(t) G LL (R, X), то, применив к
2
1^=1
1 m
k=0
k=0 j=0
1 m
1 m
полученному уравнению преобразование Фурье, имеем:
I 1 m I
m = Rp (Щ (Я)+~(Я) + 11 Щ+Bj(X) + Zj(X))\
k=0 j=0
(3) где
да
~Я) = i ^)f (t)dt,
4in J
1 A
v (Я) = -¡= f [2Drtt)D. u(t)+u(t)Dfr](t)]dt,
Lo
1 да
Aj (Я) = 7^ f e-X4t)Aj (t)Sj+k(0Dktu(t)dt,
У 2^ — да
1 да
(Л) = Ж f e'"A* (1 - Shj Mt)Sj Dju(t)dt,
B
Zt
—да да
1 да
(Я) = f e"A^(t)Ajj (Skj+hj <) — Shj )Dju(t)dt
Покажем регулярность выражения внутри фигурных скобок в правой части равенства (2) в полосе Имеем:
dAj (Я)
dЯ
<
да
f e ,) Dju(t)dt
<
dt
f e ^Kj,;) D>(t)
\Jo
да
f e ^\t\\Aj (t \Dju(t — hj — kj (t ))|| dt
to
да at
fe \t\\Aj (t)||r|\Dju(t — hj — hj (t))
to
да at
fe \t\\Aj(t||\Dju(t — hj — hj(t))\\dt
toY да —2 at да
< (f e t2 dt )(f e 2ate 2a\Ak (t)
<
dt
j
Y j
V
<
<
Dju(t — hj — hj (t))
dt.
Учитывая условия, налагаемые на A (t), получим:
dAj (Я)
dЯ
< cf e2a\D]u(t — hj — hj(t)
dt
Y to
Произведя замену переменных, имеем:
dAjW "
dЯ
< cj e2
Y Ti
f e 2as\\D?u(t (s)
dt <
< c f e2as\\D?u(t(s)
X
ds где
T = min {¿0 - hj, t0 — hj — hj (i)}
1< j<m
Учитывая условия, налагаемые на функцию u(t), получаем регулярность
Aj (t) в полуплоскости ImX < a
Аналогично доказывается регулярность
функции f (Ä),Vi(Ä), Bj(Ä), Zj(X) в
полуплоскости ImX < a .
Показали, что выражение, стоящее в фигурных скобках в правой части равенства (3) является регулярной функцией в
области ImX < 8, поэтому в полосе а < ImX <8 = a — S полюса ~(X) совпадают с полюсами резольвенты R(X).
Так как IRX)^ = O(1), |X| ^ да, а выражение в фигурных скобках равномерно стремится к 0 при Ц ^ да в силу теоремы Римана - Лебега, то
l|i(X)|L ^ 0 при XI ^ да
11 "Y 1 1 равномер-
но в полосе X < ImX < 8 и, следовательно,
s+i8
JeiXtv (X)dX ^ 0 при |s| ^ да.
Контур прямоугольной области D, ограниченный снизу отрезком ImX = X , с боков прямыми Re X = +S и сверху отрезком прямой ImX = 8, обозначим через Г. По теореме Коши имеем:
2L f e^Wd^t^ pyw}
или
2
—да
2
2
2
Y
Y
2
да
2
t
t
0
0
Y
••• Известия ДГПУ. Т. 16. № 1. 2022
••• DSPU JOURNAL. Vol. 16. No. 1. 2022
л \ v s+iS
—j JeiV v(V)dV + J eiVtv(V)dV -
I T™ о s
Lim V=a
s
J eVtv(V)dV- J eVv(V)dV =
Im V=S
s+iS
= Е Г^ {eat~V)}
л=1 V eD
Переходя в последнем равенстве к пределу при s получим:
_ V N
u(t)-res [eiÄtv(A)}= *=1^
= _L J eV v^dV
1 TT S
Im
По лемме 1.3 [1] вычеты функции e являются решениями однород-
ного уравнения Lpv(t) = 0 . О бозначим их:
(t) = iV2^E res \eat~(Л)}
к=1
Имеем:
V 1
y(t)-Z^(t) =— Je'V ~(V)dV
к=1 œ
Im l=S
* œ
= — f e''(S+iS)tv(S + iS)dS = 2n J
-Si œ
2n
J elSt v (S+ iS)dS или
J_
к=1
Применяя теорему Планшереля, имеем:
e ~S (y(t ) -Е^к (t ) = ~ J e'Stv(S + iS)dS
y(t )-Е^ (t)
к=1
X
J \eM\ï(l)îxd°
L Im l=S
= J
ImiV=S
Rp (V)If (V) + v (V) + ЕЕ ( К (V) +
I к=0 7=0
+ B. (V) + Zw (V)
dl <
X
1 m
<c J IIЩ+rn2+ЕЕ(К(V)
Im V=S L к=0 7=0
2 2 B. (V)2 + z. (V)2)
+
kj\ ) Y 'Y '
Согласно теореме Планшереля
dV.
Im V=S
œ
Jl/df dV = J¿"irai <Je2at||f(t)|| .
t,
'0
œ
<J e -
t
У '0 У
Аналогично оценив другие интегралы в квадратных; скобках, получим доказываемое неравенство.
Вывод
Таким образом, цель, поставленная нами, достигнута. Результаты, полученные в доказанной теореме, дополнили теорию уравнений с запаздывающим аргументом и могут быть применены для дальнейшего исследования решений уравнения (1).
Литература
1. Алиев Р. Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами: учебное пособие. Махачкала: ДГУ, 1990. 123 с.
2. Алиев Р. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве: учебное пособие. Махачкала, 1984. 110 с.
References
1. Aliev R. G. Differentsial'nye uravneniya s otklonyayushchimsya argumentom s opera-tornymi koeffitsientami: uchebnoe posobie [Devi-
3. Колмогоров А. Н., Фомин С. З. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 543 с.
4. Хейл Д. К. Теория функционально-дифференциальных уравнений / перевод с англ. С. Н. Шиманова. М.: Мир, 1984. 424 с.
ant Argument Differential Equations with Operator Coefficients: Manual]. Makhachkala, DSU Publ., 1990. 123 p. (In Russian)
œ
2
e
2
>
2
+
Y
2
2
2. Aliev R. G. Ustoichivost' reshenii different-sial'nykh uravnenii s otklonyayushchimsya argu-mentom v gilbertovom prostranstve: uchebnoe posobie [Stability of Differential Equations Solutions with Deviating Argument in a Hilbert Space:]. Makhachkala, 1984. 110 p. (In Russian)
3. Kolmogorov A. N. Fomin S. Z. Elementy te-orii funktsii i funktsional'nogo analiza [Elements of
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ Принадлежность к организации
Алиева Людмила Марковна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический
университет, Махачкала, Россия; e-mail: alieva_LM@mail.ru
Принята в печать 02.02.2022 г.
the Functions and Functional Analysis Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1981. 543 p. (In Russian)
4. Hale D. K. Teoriya funktsional'no-differentsial'nykh uravnenii [Theory of Functional Differential Equations]. Transl. from English by S. N. Shimanov. Moscow, Mir Publ., 1984. 424 p. (In Russian)
INFORMATION ABOUT AUTHORS Affiliations
Lyudmila M. Alieva, Ph.D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Mathematics Teaching Methods and Informatics, Dagestan State Pedagogical University, Makhachkala, Russia; e-mail: alieva_LM@mail.ru
Received 02.02.2022.
Физико-математические науки / Physics and Mathematics Sciences Оригинальная статья / Original Article УДК 517.5
DOI: 10.31161/1995-0675-2022-16-1-9-13
О некоторых способах решения уравнений высоких степеней с параметрами
© 2022 Гаджимурадов М. А., Гаджиева З. Д., Гаджиагаев Ш. С.
Дагестанский государственный педагогический университет Махачкала, Россия; e-mail: algebr2014@yandex.ru; gadzhieva.zulfiyaa@mail.ru; sharafudin79@mail.ru
РЕЗЮМЕ. Цель. Проанализировать различные методы решения уравнений высоких степеней с параметрами, принимающими действительные значения. Методы. Комбинированные аналитико-синтетические методы, позволяющие снизить степень уравнения и свести к решению более простого уравнения. Результат. Автороми рассмотрены способы снижения степени уравнения с использованием свойств функций и уравнений. Вывод. Решение уравнений высоких степеней требует умения проводить высокого уровня логические рассуждения и навыков выполнения тождественных преобразований.
Ключевые слова: степень уравнения, параметр, монотонность функции, корни уравнения, равносильность уравнений.
Формат цитирования: Гаджимурадов М. А., Гаджиева З. Д., Гаджиагаев Ш. С. О некоторых способах решения уравнений высоких степеней с параметрами // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные и точные науки. 2022. Т. 16. № 1. С. 9-13. 001: 10.31161/19950675-2022-16-1-9-13
