Асимптотический расчет светового поля, формируемого дифракционным оптическим элементом для фокусировки в линию Текст научной статьи по специальности «Физика»

АСИМПТОТИЧЕСКИИ РАСЧЕТ СВЕТОВОГО ПОЛЯ, ФОРМИРУЕМОГО ДИФРАКЦИОННЫМ ОПТИЧЕСКИМ ЭЛЕМЕНТОМ ДЛЯ ФОКУСИРОВКИ В ЛИНИЮ

А.Ю. Дмитриев, Л.Л. Досколович, С.И. Харитонов Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Аннотация

Предложен асимптотический метод расчета светового поля, формируемого дифракционным оптическим элементом (ДОЭ) для фокусировки в линию с использованием криволинейных координат. Исследована структура светового поля, формируемого ДОЭ для фокусировки в отрезок, проведено сравнение результатов асимптотического и численного методов расчета.

Ключевые слова: фокусатор, фазовая функция, интеграл Френеля-Кирхгофа, асимптотический метод, интенсивность, световое поле, метод стационарной фазы.

Введение

В работах [1-3] предложен асимптотический метод расчета интенсивности светового поля, формируемого фокусатором в отрезок (формируемого ДОЭ для фокусировки в отрезок). Метод основан на использовании метода стационарной фазы в интеграле Френеля-Кирхгофа при интегрировании поперек слоя фокусатора. Повторный интеграл вдоль слоя вычисляется точно, что позволяет учесть дифракционную ширину отрезка фокусировки. Метод [1-3] позволил получить выражения для распределения интенсивности в плоскости фокусировки и решить обратную задачу фокусировки с учетом дифракционной ширины отрезка фокусировки [4,5].

В указанных работах [1-3] не было получено выражений для интенсивности поля в пространстве (вне плоскости фокусировки), не сделано обобщения на случай произвольной кривой.

В данной работе предложен асимптотический метод расчета светового поля от фокусатора в произвольную линию. Метод обобщает результаты работ [13] на случай фокусировки в кривую общего вида и позволяет рассчитывать интенсивность в пространственной окрестности линии фокусировки. В качестве примера приведен расчет поля, формируемого фокуса-тором в отрезок. Расчет проведен как в плоскости фокусировки, так и в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось, проведено сравнение результатов асимптотического и численного расчетов.

1. Фазовая функция в криволинейных координатах

Пусть кривая фокусировки задана в параметрическом виде:

Х(Х) = (х (X), г (X), ]),

(1)

где X - натуральный параметр, а ] - расстояние от плоскости фокусатора до плоскости фокусировки.

При расчете фокусаторов используется понятие слоя как одномерного множества Г(Х) точек (и,V) на апертуре фокусатора, направляющих излучение в одну и ту же точку Х(Х) кривой. В параксиальном приближении эти слои являются прямыми, перпендикулярными касательным к фокальной кривой [4,5]:

ах (Х) и + V = р(Х),

(2)

ах ах

где р(Х) - расстояние от слоя до начала координат в плоскости фокусатора.

В работах [4,5] получена фазовая функция фоку-сатора в линию в общем виде:

к

Ф (X, г) = -—(р2(Х) + г2) + фд (X, г), 2 ]

(3)

где

К ч к

фд (X, г) = ]

ах ® г (X) - х йЛ ^

¿X

¿X

к +—

]

6х Ф х (X) - ^ г (X)"

¿X

¿X

г+

X

р (X)-—| р(п)ап,

] 0

2я

где к = —, 1 - длина волны.

Фазовая функция (3) записана в криволинейной системе координат (X, г) [4,7]:

и (X, ,> = р Й,® - г

¿X ¿X

^ г) = р ©<ШЙ+г «Ш.

¿X ¿X

(4)

Функция р (X) в фазовой функции (3) определяет распределение энергии вдоль кривой фокусировки и может быть найдена из закона сохранения светового потока [6].

2. Асимптотический метод расчета интенсивности, формируемой фокусатором в кривую

Для простоты выкладок будем считать интенсивность падающего плоского пучка постоянной, т.е. /0(и) = 10. Комплексная амплитуда светового поля, формируемого фокусатором, определяется интегралом Френеля-Кирхгофа:

к ехр [/кг]

™ (х, у, г) = -

2тг

"Ял/^ехр [/ ф (и,

х ехр

/ [(х - и)2+(у - V)2 ]

(5)

¿и ¿V.

р

Перейдем к криволинейной системе координат (4): к ехр \_ikz ]

w (X, y, z) =

Л [i j(X,t)]x

x exp

2piz

(( X - u (X, t ))2 +(y - v (X, t) )2)

k

l— | ( X - u 2z

\ 2

(6)

xJ (X, h)dX dh,

где

j (X, t) = - tK 2(X) dX

(7)

- якобиан преобразования координат, К(X) - кривизна кривой. В дальнейшем будем считать кривизну малой, так что J(X,() » ф(Х)/аХ .

Первоначально получим формулу для интенсивности поля в плоскости фокусировки (2 = /) .

Как и в [1-3], при расчете поля, формируемого фокусатором в отрезок, при интегрировании в (6) поперек слоя (по переменной X) будем использовать метод стационарной фазы [7], а повторный интеграл по 1 будем рассчитывать точно. Тогда интенсивность можно получить в следующем виде:

I (х, * /) = ^тс2 [к^2-? X р I 11

( ^ (X (X)-X)-^ (Y (X)-y))} x

(8)

ах v

где х, у находятся из уравнения на стационарную точку:

+

^ ( x (X)-X )

+(Y (X)-У)-p (X) = °

(9)

Непосредственной подстановкой легко проверить, что решением уравнения (9) является следующая система:

x(g; X) = X (X) -g y(g; X) = Y (X) + g

dY (X) dX ' dX (X) dX ,

(1°)

где у> 0 - параметр.

При фиксированном Х = Х0, уравнения (10) определяют прямую, перпендикулярную кривой фокусировки в точке Х(Х0) = (X(Х0),У(Х0),/). Таким образом, получим распределение интенсивности в криволинейных координатах:

I ( X (Г. X), У (g; X), / ) = f^ddr x

x sine

[ ^Yr (X (X)-X (g; X))-

(11)

(Y (X)-y (g; X)) .

В выражении для интенсивности (11) функция Бтс2(х, у, Х) появляется при интегрировании вдоль слоя и описывает распределение интенсивности поперек линии фокусировки. Пренебрежение кривизной в якобиане (7) означает пренебрежение взаимным влиянием поперечных распределений при различных X.

При расчете интенсивности в пространственной окрестности линии фокусировки для интегрирования поперек слоя также используем метод стационарной фазы. При этом повторный интеграл может быть представлен через интегралы Френеля. Таким образом, интенсивность в пространственной окрестности линии фокусировки имеет вид:

I (х, y, z) =

dp (X)

f21°

dX

(^ ( f2 )-S ( f ))2)

2 f - z| -f "(X)|

((C (F2)-С (Fi ))2

(12)

где

F pt2

С (F) = J eos-^- dt, S (F) = J sin dt - интегра

лы Френеля,

f=j - w r 2+p (X)2 -

f - z

pfz

^ (Y (X) z - yf)-^ (X (X) z - Xf)

f-z

F2 =Vf ■ Г^+

^ (Y (X) z - yf)-dM (X (X) z - ^f )

f (X) = p2(X)(f-z)+p (X) x

(X (X) z - xf) + ^ (Y (X) z - yf)'

s

z J p (h)dh-

1

2(f - z)

<( « (Y (X) z - yf)-if (X (X) z - Xf) J.

x

2

+

x

+

F

0

0

+

x

0

Координаты (х,у, г) находятся из уравнения на стационарные точки:

р (] - г) + ^ х

¿X

¿X

^ (X (X) г - х] )-

+ ^ (Г (X) г - у])

¿X

- р (X) 1

^ ]+^ у]

[ ¿2 х (X)

] - г

¿2г (X) ¿X2

¿X2

¿X

(Г (X) г - у])-

(13)

(X (X) Г - х])

х [ ^ (Г (X) г - у] )-

^ (X (X) г - ])

= 0.

Подстановкой легко проверить, что решением уравнения (13) является следующая система:

' х (I; X, г) = и (X, г) (1 -1)+X (X) I,

■у (I; X, г) = v(X, г) (1 -1) + г (X) I, (14)

. г (I; X, г) = ]1,

где I > 0 - параметр.

При фиксированном X = X0, уравнения (14) определяют плоскость, проходящую через слой (2) и точку на кривой фокусировки

х&) = (X(и, Г (и, ]).

В итоге, мы получили формулу для расчета интенсивности, формируемой фокусатором в произвольную линию в пространственной окрестности линии фокусировки. Причем расчет интенсивности в (12) производится в точках х(1; X, г), у(1; X, г), г(1; X, г), удовлетворяющих уравнению на стационарные точки (13).

3. Расчет светового поля, формируемого фокусатором в отрезок

Параметрическое уравнение отрезка длины ё в плоскости фокусировки г = ] имеет вид:

х©^2

Xe [0,ё].

(15)

При расчете поля, формируемого фокусатором в отрезок, криволинейные координаты (4) совпадают с декартовыми, т. к. слои (2) являются отрезками прямых и = р^) перпендикулярных фокальному отрезку.

Фазовая функция в декартовых координатах имеет вид:

. . к (и2 + V2)

ф(и,V) =--„ . + фд(и),

2 ]

(16)

к г

где фв (и) = — Г х(и '>du'.

] 0

Функция х(и) находится из закона сохранения светового потока [6]:

ё

рЯ 2

х(и) =—- [ ил/я2 - и2 + Я2 агс8ш| и

Я

(17)

Из общего выражения (11) для интенсивности в плоскости фокусировки получим интенсивность для случая отрезка в виде:

кЯ I

I (х (и), у, ] ) = -] ^^ х х\ —ул1я2 - и2 VЯ2 - и2,

(18)

где х(и) определено уравнением (18).

Выражение для интенсивности в пространственной окрестности отрезка получим из (12) в виде:

I (х, у, г) =-

2]210

] - А

] - г + фв (и)г

(19)

<((С (Ъ)-С (Ъ ))2 +(5 (^)-5 ())2),

где

ъ =

(Я2 - и2) • ] - г 1

]

2У г (] - г)

Ъ =

(Я2 - и2) • ] - г 1

]

2\г (] - г)

у

1п ,

Подставив у = 0 в (19), получим формулу для интенсивности в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось:

I (х,0, г) =-

2] 2 Io

] - г

//

] - г + фв Юг

х

(20)

х(с2 (Т {и0)) + 52 (Т {и0))), где С(Т), 5 (Т) - интегралы Френеля,

Т =

к (Я2 - и2) • ] - г

2ё 4¥-ии?.

ф (и) = „2 р я

Координаты (х, г) находятся из уравнения на стационарные точки:

1 1 '

х = ] (] - г) и + (и).

(21)

и

х

х

х

//

Решением (21) является следующая система: I х (l; u) = u + (х (u)- u) l,

I z (i; u ) = fi,

(22)

где l - параметр. При фиксированном u, уравнения (22) определяют прямую, проходящую через точку на слое (u, 0) и точку на отрезке фокусировки.

4. Исследование точности асимптотического метода для фокусатора в отрезок

Для оценки точности асимптотического метода производился численный расчет интеграла Френеля-Кирхгофа (5) по методу Гопкинса [8].

Формулы для численного расчета комплексной амплитуды в плоскости фокусировки и в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось, имеют вид:

w (X у, f) =

N . .

Z eXP (l (jD (u,-1 ) - jD (uj-1 ) uj-1 )) x

j =1

f

za u

V

x p (uj, y) exp xsinc | a-^ I AuC

I 2

Au

j

(23)

где

p(u,y) = ^/70sine jy^R2 -u2 jVR

a = f

D

\ k i)--х.

f

w(x, 0, z) =

f0

zkf кх2

z-

2 z

zVPzfr

e 2 z x

x e

£( C (T (uj)) + ZS (T (uj))) pAu

(24)

j=i

ZI a+pl u

sine

Du,

где C(T), S(T) - интегралы Френеля, = к(R2 -u2)f -z'

T =

Pfz

к

a = —fD (uj-1)

f j

к (f - z) 2fz

к

(uj-i2 )--7fD (uj-i) uj-l,

f

b = yf1- f U-.)-f ) .

Расчет интенсивности светового поля, формируемого фокусатором в отрезок, происходил при следующих параметрах системы: R = 3 мм, f = 200 мм. В результате расчетов было установлено, что при длине отрезка d = 40D и более, где

А = 1/ /2Я - ширина дифракционного пятна, асимптотический метод дает результаты, хорошо совпадающие с численным расчетом.

В качестве примера приведем результаты расчета интенсивности при длине отрезка d = 60А . Сначала приведем результаты расчета в плоскости фокусировки (рис. 1).

Рис. 1. Фокусатор в отрезок. Штриховкой выделена плоскость фокусировки (2=/)

На рис. 2-5 изображено распределение интенсивности от фокусатора в отрезок в фокальной плоскости. Погрешность расчета асимптотическим методом относительно расчета численным методом составила около 14%.

-1,0^-0,10

Рис. 2. Распределение интенсивности в фокальной плоскости, полученное асимптотическим методом @=60А)

-7,0-0,70

Рис. 3. Распределение интенсивности в фокальной плоскости, полученное численным методом ^=60А)

x

2

u

z

x

2

-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 у

Рис. 4. Изолинии распределения интенсивности в льной плоскости, полученного асимптотическим методом (ё=60Л)

-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 у

Рис. 5. Изолинии распределения интенсивности в фокальной плоскости, полученного численным методом (ё=60Л)

Результаты расчета интенсивности в фокальной плоскости, проиллюстрированные на рис. 2-5, согласуются с результатами работ [1-3].

Теперь приведем результаты расчета в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось (рис. 6).

0

X

Рис. 6. Фокусатор в отрезок. Штриховкой выделена плоскость, содержащая отрезок и оптическую ось (у=0)

На рис. 7-10 показаны результаты расчета интенсивности, формируемой фокусатором в отрезок в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось. Данные результаты являются новыми. Погрешность расчета асимптотическим методом относительно расчета численным методом составила около 11%.

Рис. 7. Распределение интенсивности в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось, полученное асимптотическим методом (ё=60Л)

Рис. 8. Распределение интенсивности в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось, полученное численным методом (ё=60Л)

1,0 х

Рис. 9. Изолинии распределения интенсивности в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось, полученного асимптотическим методом (ё=60Л)

Из рис. 2-5 и 7-10 видно, что расчет асимптотическим методом дает результат близкий к результату расчета численным методом.

-1,0 -0,5 0 0,5 1,0 X

Рис. 10. Изолинии распределения интенсивности в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось, полученного численным методом ^=60А)

При уменьшении длины отрезка фокусировки асимптотический метод работает хуже. Это иллюстрируют рис. 11 и рис. 12, где изображены изолинии распределений интенсивности в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось, для длины отрезка фокусировки d = 20А, полученных асимптотическим и численным методами соответственно. Погрешность расчета асимптотическим методом относительно расчета численным методом составила около 22%.

Рис. 11. Изолинии распределения интенсивности в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось, полученного асимптотическим методом ^=20А)

Заключение

В работе предложен асимптотический метод расчета светового поля от фокусатора в произвольную линию. Метод основан на использовании метода стационарной фазы в интеграле Френеля-Кирхгофа при интегрировании поперек слоя. Повторный интеграл вдоль слоя вычисляется точно, что позволяет учесть дифракционную ширину отрезка фокусировки. Метод позволяет рассчитывать интенсивность в пространственной окрестно-

сти линии фокусировки. Проведено сравнение результатов асимптотического и численного расчетов поля на примере фокусатора в отрезок. Показано, что расчет асимптотическим методом дает результат близкий к результату расчета численным методом при длине отрезка порядка 40-ка дифракционных пятен и более.

Рис. 12. Изолинии распределения интенсивности в плоскости, содержащей отрезок и оптическую ось, полученного численным методом ^=20А)

Благодарности

Работа выполнена при поддержке фонда «Фундаментальные исследования и высшее образование» ("BRHE", грант RUXO-014-SA-06) и грантов РФФИ № 07-07-97601-р_офи, 07-01-96602-р_поволжье_а, 07-07-91580-АСП_а, 08-07-99005-р_офи, «Фонда содействия отечественной науке» и Президента РФ № НШ-3086.2008.9.

Литература

1. Голуб, М.А. Дифракционный расчет интенсивности поля вблизи фокальной линии фокусатора / [М.А. Голуб и др.] // Оптика и спектроскопия, 1989. - Т. 67, № 6. - С.1387-1389.

2. Голуб, М.А. Дифракционные поправки при фокусировке лазерного излучения в отрезок / [М.А. Голуб и др.] // Оптика и спектроскопия, 1991. - Т.71, № 6. -С.1069-1073.

3. Soifer, V.A. Diffraction investigation of foeusators into straight-line segment / [V.A. Soifer and other] // Proceedings SPIE, 1992. - Vol. 1718 ("Workshop on Digital Holography"). - P.33-44.

4. Методы компьютерной оптики / под ред. В.А. Сойфера - М.: Физматлит, 2000. Глава 5.

5. Дифракционная компьютерная оптика / под ред. В.А. Сойфера - М.: Физмалит, 2007. Глава 3.

6. Борн, М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф - М.: Наука, 1973.

7. Гончарский, А.В Введение в компьютерную оптику / А.В. Гончарский, В.В. Попов, В.В. Степанов - М.: Изд-во МГУ, 1991.

8. Hopkins, H.H. The numerical evaluation of the frequency response of the optieal systems / H.H. Hopkins // Proe. Phys. Soc., 1957. - B.70 - P.1002-1005.