CC BY
55
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 3 (2015). С. 100-113.
УДК 511.523, 511.527, 517.15
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О СОВЕРШЕННОМ КУБОИДЕ
P.A. ШАРИПОВ
Аннотация. Задача о совершенном кубоиде — это одна из очень старых нерешённых задач в теории чисел. Различными приёмами её можно свести к нахождению решения некоторого одного диофантового уравнения высокой степени, удовлетворяющего определённым ограничениям в форме неравенств. Каждое такое диофантово уравнение называется характеристическим уравнением совершенного кубоида. В данной работе даётся изложение результатов, полученных путём применения асимптотических методов к одному из характеристических уравнений совершенного кубоида в случае второй гипотезы о кубоиде. Эти результаты сужают область изменения целочисленных параметров характеристического уравнения и, тем самым, делают более эффективным компьютерный поиск совершенных кубоидов, основанный на этом уравнении.
Ключевые слова: совершенный кубоид, диофантово уравнение, асимптотические методы.
1. Введение
Совершенный кубоид — прямоугольный параллелепипед, все ребра и диагонали на гранях, а также пространственная диагональ которого имеют целочисленную длину. Поиск совершенных кубоидов имеет давнюю историю [1-50]. Впервые задача упоминается в 1719 г., но ни одного кубоида до сих пор не найдено. Сама по себе цифра 1719 может не впечатлять. Любопытно сравнить её с некоторыми заметными историческими датами: основание Санкт-Петербурга (1703), Полтавская битва (1709), восстания башкир (1735-1740 и 1755), шкала температур Цельсия (1742), рождение Моцарта (1756) и Бетховена (1770), восстание Пугачёва (1773), создание государства США (1776), первый пароход (1783), Великая французская революция (1789), первый паровоз (1804), война с Наполеоном (1812), восстание декабристов (1825), открытие первой железной дороги в России (1837). В математике — это рождение Эйлера (1707), Лагранжа (1736), Фурье (1768), Гаусса (1777), Коши (1789), Лобачевского (1792), Абеля (1802), Галуа (1811). Как видим, в мире произошло много важных событий, существенно изменивших нашу жизнь, а задача о кубоиде была и остаётся нерешённой. Здесь мы рассмотрим один из подходов к этой трудной задаче, который, возможно, изменит ситуацию.
В работе [51] задача построения совершенного кубоида была сведена к одному диофан-товому уравнению 12-й степени от переменных а, Ь, и и t:
иА а4 Ь4 + 6 аА и2 bAt2 — 2 иА аА b212 — 2 иА а2 bAt2 + A и2 bA a2 tA+ + 4 а4 и2 Ъ2 tA - 12 иА а2 Ъ2 tA + иА аА tA + иА ЪА tA + а4 ЪА tA+
+ 6 аА и216 + 6и2 bA t6 — 8 a2 b2 u2t6 — 2 иА a21& — 2 uA b2 t6— (1.1)
-2aAb2f-2bAa2t6 + uAt8 + bAt8 + aAt8 + 4a2u2t8+ + Ab2 u218 — 12 b2 a218 + 6 u2110 — 2a2t10 — 2 b2110 + t12 = 0.
R.A. Sharipov, Asymptotic approach to the perfect cuboid problem.
© Шарипов P.A. 2015.
Поступила 12 июля 2015 г.
Точнее результат работы [51] формулируется в виде следующей теоремы.
Теорема 1.1. Совершенный кубоид существует тогда и только тогда, когда диофан-тово уравнение (1.1) имеет, решение, тлкое, что а, Ь, и, t — чет,ыре положительных числа, удовлетворяющих неравенствам а < t, b < t, и < t, (а + t) (b + t) > 2t2.
Анализ уравнения (1.1) в [52] показал, что имеются два случая, когда полином в левой части уравнения (1.1) оказывается приводимым, и от него отщепляются несущественные множители, которые не дают совершенных кубоидов. В этих случаях степень уравнения (1.1) понижается до 8-й и 10-й соответственно. Применительно к этим случаям в [52] были сформулированы первая и вторая гипотезы о кубоиде. Для общего случая, когда редукции уравнения (1.1) не происходит, была сформулирована третья гипотеза о кубоиде.
Случай первой гипотезы о кубоиде получается при а = b ф и. Этот случай оказался самым простым. Несмотря на то, что сама первая гипотеза о кубоиде осталась не доказанной, в работе [53] было установлено, что в этом случае совершенные кубоиды возникать не могут.
Случаи второй и третьей гипотез о кубоиде оказались более сложными. В этих случаях в работах [54] и [55] удалось лишь получить некоторые структурные теоремы о целочисленных решениях уравнения (1-1), а вопрос о существовании таких решений, приводящих к совершенным кубоидам, остался открытым. Вторая и третья гипотезы о кубоиде также остаются не доказанными и не опровергнутыми.
В данной работе рассматривается только случай второй гипотезы о кубоиде и суммируются результаты, полученные автором для этого случая в электронных публикациях [56-59]. 19-го мая 2015 г. большая часть этих результатов была доложена на общегородском семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики имени A.M. Ильина. Автор признателен руководителю семинара Л.А. Калякину за возможность сделать доклад. Автор признателен другому руководителю семинара В.Ю. Новокшёно-ву и всем участникам за внимание и ценные замечания во время доклада. Автор также признателен Б.И. Сулейманову, указавшему на работы А.Д. Брюно по многогранникам Ньютона и их применениям в асимптотическом анализе.
Работы [60-72], выполненные по времени в промежутке между работами [51-55] и [56-59], развивают принципиально иной подход, основанный на дискретной ¿"з-симметрии в уравнениях совершенного кубоида и использующий технику мультисим-метричных полиномов. Этот подход предполагается рассмотреть в отдельной публикации.
2. Случай второй гипотезы о кубоиде
Случай второй гипотезы о кубоиде возникает, когда параметры а, Ь, и в уравнении (1.1) связаны друг с другом одним из двух следующих соотношений:
bu = а2, аи = Ь2. (2.1)
Первое из соотношений (2.1) разрешается подстановкой
a=pq, b = р2, u = q2. (2.2)
Второе соотношение (2.1) разрешается подстановкой
а = гр2, b = pq, u = q2. (2.3)
После применения любой из подстановок (2.2) или (2.3) к уравнению (1-1) от него отделяется несущественный множитель, и его степень понижается с 12-й до 10-й. В результате
любой из этих двух подстановок возникает одно и то же уравнение 10-й степени относительно трёх переменных р, q и t:
t10 + (2 q2 + р2) (3q2-2р2) f + (q8 + Юр2 q6 + 4p4 g4 -- Up6 q2 + P8) t6 ~ P2 q2 (q8 ~ Up2 q6 + ^P4 q4 + 10p6 q2+ (2.4)
+p8) i4 " P6 (92 + 2p2) (3p2 — 2 g2) i2 - g1 V° = 0. Из теоремы 1.1 вытекает следующая теорема.
Теорема 2.1. Совершенный кубоид в случае второй гипотезы о кубоиде существует тогда и только тогда, когда диофантово уравнение (2.4) имеет, решение, т,акое, что р, q, t — три положительных числа, удовлетворяющих неравенствам pq < t, р2 < t, q2 < t, Сpq + t) (p2 + t) > 212.
Сама вторая гипотеза о кубоиде формулируется так (см. [52]).
Гипотеза 2.1 (вторая гипотеза о кубоиде). Для любых двух взаимно простых положительных целых чисел, р ф q полином 10-й степени в левой, част,и, уравнения (2.4) неприводим над полем рациональных чисел, Q.
Гипотеза 2.1 приводится здесь справочно и в дальнейшем не рассматривается. Основные усилия направляются на изучение уравнения (2.4).
3. Мотивация асимптотического подхода
Компьютерный поиск совершенных кубоидов через уравнение (2.4) происходит итеративно. Например, так. При каждом фиксированном р проводим перебор по q и для каждого q решаем уравнение (2.4) по t. Теоретически, для исчерпывающего поиска, при каждом р мы должны перебрать все целые значения q от 1 до +оо. На практике приходится заменять +оо каким-то конкретным большим числом qmax(p). Уравнение (2.4) замечательно тем, что выбор конечной верхней границы qma,x(p) для него можно сделать обоснованным и равносильным бесконечному перебору. Корни полиномиальных уравнений от двух переменных по одной из переменных демонстрируют достаточно простую и просто вычислимую асимптотику при стремлении второй переменной к бесконечности. Используя такую асимптотику, при определённых обстоятельствах можно показать, что при q большем определённого значения qmax(p) уравнение (2.4) не имеет целочисленных корней, либо его целочисленные корни не удовлетворяют неравенствам из теоремы 2.1.
4. Асимптотика корней ^ при q +оо
Обозначим через Qpq(t) полином в левой части уравнения (2.4). Этим обозначением мы выделяем переменную t как основную, а переменные р и q рассматриваем как параметры. Полином QPq{t) является чётным по t. Поэтому вместе с каждым корнем t он имеет противоположный корень —t. Условие
t > 0, если t — вещественный корень, (4 1)
Im(t) > 0, если t — комплексный корень,
выделяет группу из пяти корней t\, ¿2, ¿з, ¿4, ¿5 полинома Qpq(t). Остальные пять корней получаются сменой знака:
¿6 = —til tj = —¿2, ¿8 = — ¿3, tg = —¿4, ¿10 = — ¿5-
Асимптотики корней полиномиальных уравнений имеют степенной характер [73]. При фиксированном р = const они записываются в виде рядов
U(p,q) = aqai(l + jrfcsq~s) при оо. (4.2)
^ 8=1 '
Коэффициенты Сг в (4.2) должены быть отличны от нуля: Сг ф 0. Эти коэффициенты и показатели степени а^ вычисляются графически при помощи многоугольника Ньютона, связанного с полиномом (Згл?(£) (рис. 4.1). Запишем полином (Згл?(£) формально в виде
ю ю
т=0 г=0
Число слагаемых в формальной сумме (4.3) равно 121. Фактическое количество слагаемых в полиноме Рд(I) значительно меньше. При построении многоугольника Ньютона выбираются ненулевые слагаемые из (4.3) и отмечаются в виде точек с координатами (т, г) на координатной плоскости. Поскольку координаты (т., г) целочисленны, эти точки попадают в узлы целочисленной решётки (рис. 4.1).
Определение 4.1. Для любого полинома от двух переменных Р(1, д) выпуклая оболочка всех узлов целочисленной решётки на координатной плоскости, соответствующих его мономам, называется многоугольником Ньютона для полинома Р(1,д).
Граница многоугольника Ньютона, изображённого на рис. 4.1, состоит из двух частей — верхней и нижней. На верхней части границы расположены узлы А0 10, ^-210 ^410, ^-6 8 ^8 4 и Аюо- Соответствующие этим узлам коэффициенты полинома (Згл?(£) даются формулами
А010 = -р10, А2 ю = 2р6, А4 ю = —р2, , л
(4.4)
А68 = 1) ^84 = 6, Аю0 = 1.
Рис. 4.1
Следующая теорема выражает давно известный факт. Её доказательство можно найти в работе
Теорема 4.1. Показатели степени аг в асимптотических разложениях (4.2) вычисляются по формуле а» = —к, где к — угловой коэффициент, наклона звеньев ломаной, линии,, образующей, верхнюю часть границы многоугольника Ньютона на рис. 4-1-
В нашем случае теорема 4.1 даёт следующие возможные значения для показателей степени в асимптотических разложениях (4.2):
сц = 0, сц = 1, сц = 2. (4.5)
Число корней, удовлетворяющих условию (4.1), больше трёх. Поэтому некоторые из корней ¿1, ¿2, ¿з, и, ¿5 имеют одинаковые показатели роста при q —+оо.
Помимо Ы{, каждый из корней ¿1; ¿2, ¿з> ¿4> ¿5 характеризуется своим коэффициентом С г в разложениях (4.2). Эти коэффициенты также вычисляются по многоугольнику Ньютона.
Случай = 0 в (4.5) соответствует горизонтальному отрезку на верхней границе многоугольника Ньютона. На этом отрезке расположены три узла Апо, ^210, и Аою-Поэтому соответствующее уравнение на Сг имеет вид
А41ОСг4 + А21ОСг2 + АО1О = 0. (4.6)
С учётом (4.4) уравнение (4.6) имеет два вещественных корня
сг=р2, сг = -р2, (4.7)
каждый из которых кратности 2. Условие (4.1) исключает корень С\ = —р2 в (4.7), оставляя лишь один корень кратности 2. Ему отвечает разложение
и(р,д)=р2( 1 + Х>в<гУ (4.8)
^ 8=1 '
Случай «¿=1в (4.5) соответствует короткому наклонному отрезку на верхней границе многоугольника Ньютона. Этот отрезок содержит два узла А410 и Аб8- Соответствующий коэффициент Сг в (4.2) определяется уравнением
Лз8 Сг6 + А4Ю Сг4 = 0. (4.9)
С учётом (4.4) иСгфО уравнение (4.9) имеет два простых вещественных корня
Сг=р, Сг = -р. (4.10)
Условие (4.1) исключает корень Сг = —р в (4.10), оставляя лишь один корень Сг = р. Этому корню соответствует разложение
иЫ)=Рч( 1 + Х>*<Г*)- (4-И)
^ 8=1 '
Случай а,г = 2 в (4.5) соответствует длинному наклонному отрезку на верхней границе многоугольника Ньютона. Этот отрезок содержит три узла ^8 4 и Аюо- Поэтому
соответствующее уравнение на Сг имеет вид
А100 Сг10 + А84 Сг8 + А68 Сг6 = 0. (4.12)
С учётом (4.4) иСгфО уравнение (4.12) имеет четыре комплексных корня:
Сг = {\/2 +1)1, Сг = (у/2-1){, (4.13)
а =-(у/2+ 1)1, а =-(у/2-1)1 (4.14)
Здесь х = л/—1. Корни (4.14) исключаются условием (4.1). Остаётся два корня (4.13) которые дают следующие асимптотические разложения:
U(p, q) = (V2 + l)iq2(l + f2 Pis
3-1 (4.15)
/ оо 1 '
гг(р,д) = (уЪ-1)[д2(1 +
Формулы (4.8), (4.11), (4.15) суммируются следующей теоремой.
Теорема 4.2. Для достаточно больших значений д, т,. е. при д > дтт, уравнение 10-й степени (2.4) имеет, пять корней крат,ноет,и 1, удовлетворяющих условию (4.1). Три, из них ¿1, ¿2? ¿з вещественны. Их асимптотики при, д —> +оо даются формулами,
¿1~р2, ¿2 ~Р2, и~рд. (4.16)
Остальные два корня уравнения (2.4) комплексны. Асимптотики этих корней при, д —> +оо описывают,ся формулами,
и ~ (\/2 + 1)1д2, и~(^2-1)\д2. (4.17)
5. Асимптотические оценки для вещественных корней
Асимптотические разложения (4.8), (4.11), (4.15) и формулы (4.16), (4.17) описывают предельное поведение корней уравнения (2.4) при д —+оо. Они не дают конкретной информации о локализации корней при конечных д. Для этого требуются асимптотические оценки, т. е. оценки остаточных членов для конечных сумм асимптотических рядов.
Согласно формулам (4.16) корни и ¿2 не растут при д —+оо. Поэтому асимптотические ряды (4.8) для них можно оборвать сразу после главного члена и записать формулу (4.8) в виде следующих сумм
и =р2 + Пг(р,д), ¿2 =р2 + П2(р,д). (5.1)
Наша следующая цель — получить оценки вида
1ЗД>,<?)1<—, где г =1,2. (5.2)
9
Для достижения этой цели мы делаем подстановку
t=p2 + - (5.3) Q
в уравнение (2.4). В полученное уравнение мы делаем ещё одну подстановку
g=-z (5.4)
После двух подстановок (5.3) и (5.4) и после удаления знаменателей уравнение (2.4) превращается в полиномиальное уравнение в новых переменных сиг. Особенностью этого уравнения является то, что оно записывается в виде
16p12 + /(c,p,z) = 4р6с2. (5.5)
Здесь f(c,p,z) — это полином, даваемый явной формулой. Но формула для f(c,p,z) громоздка. Она выписана в машинно-читаемом формате и помещена в дополнительный файл (ancillary file) strategy_formulas .txt, прилагаемый к электронной публикации [56]. Ссылка для скачивания этого файла имеется на странице http://arXiv.org/abs/1504.07161.
Полином f(c,p,z) зануляется при z = 0. Поэтому его значения достаточно малы при малых z. Пусть д ^ 59 р и пусть параметр с пробегает интервал
—5р3 < с < 0. (5.6)
Из д ^ 59р и из (5.4) вытекает оценка \г\ ^ 1/59р 1. Используя эту оценку и используя неравенства (5.6), прямыми вычислениями можно вывести следующую оценку:
|/(с,р,г)|<15р12. (5.7)
При фиксированных р иг оценка (5.7) означает, что левая часть уравнения (5.5) — это непрерывная функция от с, принимающая значения в пределах от р12 до 31 р12, когда с пробегает интервал (5.6). Правая часть уравнения (5.5) — это тоже непрерывная функция от с. Она монотонно убывает от 100р12 до 0 на интервале (5.6). По этой причине где-то на интервале (5.6) имеется по меньшей мере один корень уравнения (5.5).
Параметр с связан с переменной £ формулой (5.3). Неравенства (5.5) для с означают, что выполнены следующие неравенства для
р2-^<1<р2. (5.8)
Неравенства (5.8) и приведённые рассуждения дают следующую теорему.
Теорема 5.1. Для каждого д ^ 59р имеет,ся по крайней мере один вещественный, корень уравнения (2.4); удовлетворяющий неравенствам (5.8).
Приведённые выше рассуждения можно повторить для случая, когда параметр с пробегает интервал, зеркально-симметричный интервалу (5.6):
0 < с < 5р3. (5.9)
В этом случае из (5.9) и (5.3) вытекают неравенства
р2<Кр2 + — (5.10)
для переменной и мы получаем следующую теорему.
Теорема 5.2. Для каждого д ^ 59р имеет,ся по крайней, мере один вещественный, корень уравнения (2.4); удовлетворяющий неравенствам (5.10).
Теоремы 5.1 и 5.2 дают асимптотические оценки вида (5.2) с С(р) = 5р3 для остаточных членов К\(р,д) и И2(р,д) в формулах (5.1).
Согласно формулам (4.16) корень является растущим при д —+оо. Для него мы записываем асимптотическую формулу с остаточным членом
9
и ищем оценку для остаточного члена Дз (р, д) в форме
16 39 3
Ь=рд--—+ Д3 (р,д) (5.11)
9
Далее записываем неравенства
Дз(р,д)|<^. (5.12)
16р3 5р4 16р3 5р4
рд----—<Ь<рд---1--— (5.13)
д д <1 ч
и формулируем следующую теорему.
Теорема 5.3. Для каждого д ^ 59р имеет,ся по крайней, мере один вещественный, корень уравнения (2.4); удовлетворяющий неравенствам (5.13).
Доказательство теоремы 5.3 можно найти в [56]. Оно мало чем отличается от доказательства теорем 5.1 и 5.2, приведённого выше.
Неравенства (5.13) доказывают оценку (5.12) с С(р) = 5р4 для остаточного члена И3(р,д) в асимптотической формуле (5.11).
6. Асимптотические оценки для комплексных корней
Комплексность корней ¿4 и ¿5 вытекает из формул (4.15). Для комплексного корня ¿4 записывается асимптотическая формула
и = (\/2 + 1){д2+ (\/2-2){р2+ П4(р,д), где 1 = v/ГT. (6.1)
Для остаточного члена (р, д) ищется оценка вида
|Д4(р,д)|<^. (6.2)
Далее записываются неравенства
(^ + 1) д2 + (^ - 2) р2 - ^ < 1т £ < (^ + 1) д2 + (^ - 2) р2 + ^ (6.3)
д д
и формулируется следующая теорема.
Теорема 6.1. Для каждого д ^ 59 р имеется по крайней мере один чист,о мнимый, корень уравнения (2.4); удовлетворяющий неравенствам (6.3).
Неравенства (6.3) доказывают оценку (6.2) с С(р) = 5р3 для остаточного члена в асимптотической формуле (6.1).
Сама теорема 6.1 аналогична рассмотренным выше теоремам 5.1, 5.2, 5.3. Её доказательство содержится в работе [56].
Комплексный корень ¿5 уравнения (2.4) аналогичен корню ¿4. Для комплексного корня ¿5 записывается асимптотическая формула
и = (^-1){д2 + (^ + 2){р2 + П5(р,д), где I = л/^Т. (6.4)
Для остаточного члена Д5 (р, д) ищется оценка вида
• (6.5)
Далее записываются неравенства
(л/2 - 1) д2 + (л/2 + 2) р2 - ^ < 1т I < (л/2 - 1) д2 + (л/2 + 2) р2 + (6.6)
9 (I
и формулируется следующая теорема.
Теорема 6.2. Для каждого д ^ 59р имеется по крайней, мере один чист,о мнимый, корень уравнения (2.4); удовлетворяющий неравенствам (6.6).
Неравенства (6.6) доказывают оценку (6.5) с С(р) = 5р3 для остаточного члена в асимптотической формуле (6.4). А доказательство неравенства (6.6) и теоремы 6.2 можно найти в работе [56].
7. Асимптотические интервалы
Неравенства (5.8), (5.10), (5.13), (6.3), (6.6) задают пять открытых интервалов. Первые три из них на вещественной оси. Остальные два на мнимой оси. В работе [56] доказывается несколько чисто технических результатов относительно асимптотических интервалов (5.8), (5.10), (5.13), (6.3), (6.6). Главный вывод из этих технических результатов состоит в том, что при д ^ 59р асимптотические интервалы не пересекаются друг с другом. Первые три из них лежат в положительной части вещественной оси, а остальные два — в положительной части мнимой оси. Этот вывод в сочетании с теоремами 5.1, 5.2, 5.3, 6.1, 6.2 приводит к следующему результату.
Теорема 7.1. При д ^ 59р пять корней ¿2, ¿з, ¿4, ¿5 уравнения (2.4), удовлетворяющих условиям (4.1), являют,ся простыми. Они лежат, в пят,и, попарно не пересекающихся интервалах (5.8), (5.10), (5.13), (6.3), (6.6) по одному в каждом интервале.
8. Целочисленные точки асимптотических интервалов
Глядя на формулы (5.8), (5.10), (5.13), (6.3), (6.6), легко видеть, что длина асимптотических интервалов стремится к нулю при д —> +оо. Естественным образом это уменьшает возможность попадания целочисленных точек в эти интервалы. В работе [56] доказаны следующие теоремы.
Теорема 8.1. При д ^ 59р и, при, д > 5р3 асимптотические интервалы (5.8) и, (5.10) не содержат целочисленных т,очек.
Теорема 8.2. При д ^ 59р и при, д2 > Юр4 асимптотический интервал (5.13) содержит, не более одной целочисленной, точки.
Теорема 8.3. При д ^ 59 р и при, д^ 16 р3 + 5р/16 асимптотический интервал (5.13) не содержит целочисленных т,очек.
Заметим, что согласно теореме 2.1 не всякое целочисленное решение уравнения (2.4) порождает совершенный кубоид. Дополнительно должны выполняться неравенства:
рд<г, р2 < д2 <г, {рд + г){р2 + > 2г2. (8.1)
Попадание корней уравнения (2.4) при д ^ 59 р в асимптотические интервалы (5.8), (5.10), (5.13), (6.3), (6.6) даёт новые неравенства для них. Путём сравнения неравенств (8.1) с неравенствами (5.8), (5.10), (5.13) в [56] было показано, что при д ^ 59р целочисленные точки вещественных асимптотических интервалов не удовлетворяют неравенствам (8.1). Отсюда был выведен следующий центральный результат работы [56].
Теорема 8.4. При д ^ 59р диофантово уравнение (2.4) не имеет, решений, порождающих совершенные кубоиды.
При каждом фиксированном значении р теорема 8.4 даёт верхнюю границу 9тах(р) = 59 р, вплоть до которой следует производить численный поиск совершенных кубоидов в случае второй гипотезы о кубоиде.
9. Реверсные асимптотики
В работе [57] параметры р и д уравнения (2.4) меняются ролями. В этой работе параметр д удерживается неизменным, а параметр р устремляется к бесконечности. Асимптотики, полученные при этих условиях, были названы реверсными. Значительная часть результатов работы [56] была перенесена на случай реверсных асимптотик. А именно, были найдены асимптотические разложения с асимптотическими оценками, а затем и асимптотические интервалы для корней ¿1; ¿2, ¿з> ¿4> ¿5 уравнения (2.4), удовлетворяющих условиям
(4.1). Эти асимптотические интервалы задаются следующими неравенствами:
16д3 5д4 16 д3 5 д4
----— < ^ < рд Ч---1--5-, (9.1)
р рг р рг
9 а3
р2-2др-2д2--— < г < р2 - 2 др - 2 д2, (9.2)
V
9д3
р2 + 2др-2д2 <г < р2 + 2 др - 2 д2 + —, (9.3)
р
(л/2 + 1)д2-^<1т1<(л/2 + 1)д2 + ^, (9.4)
(^2-1)д2-^<1т1<(^2-1)д2 + ^. (9.5)
рг рг
Аналогом теоремы 7.1 здесь является следующая теорема, доказанная в [57].
Теорема 9.1. При р ^ 59 д пять корней ¿2, ¿з, ¿4, ¿5 уравнения (2.4), удовлетворяющих условиям (4.1), являются простыми. Они лежат, в пят,и, попарно не пересекающихся интервалах (9.1), (9.2), (9.3), (9.4), (9.5) по одному в каждом интервале.
Легко видеть, что длины асимптотических интервалов стремятся к нулю при р —> +оо. Отталкиваясь от этого факта, в [57] были сформулированы следующие три теоремы.
Теорема 9.2. При р ^ 59 д и, при, р > 9 д3 асимптотические интервалы (9.2) и, (9.3) не содержат целочисленных т,очек.
Теорема 9.3. При р ^ 59 д и, при, р2 > 10 дА асимптотический интервал, (9.1) содержит не более одной целочисленной, точки.
Теорема 9.4. При р ^ 59 д и, при, р ^ 16 д3 + 5д/16 асимптотический интервал, (9.1) не содержит целочисленных т,очек.
Теоремы 9.2, 9.3, 9.4 являются аналогами теорем 8.1, 8.2, 8.3. Их доказательство почти дословно повторяло бы доказательство теорем 8.1, 8.2, 8.3, содержащееся в [56]. Поэтому оно не приведено в [57] и не приводится здесь.
Несмотря на значительное сходство, параллель между работами [56] и [57] не является полной. Аналога теоремы 8.4 в [57] доказать не удалось. Вместо этого был получен более слабый результат, выраженный следующей теоремой.
Теорема 9.5. При одновременном выполнении, условия р ^ 59 д и условия р > 9 д3 диофантово уравнение (2.4) не имеет, решений, порождающих совершенные кубоиды.
Суммируя результаты теорем 8.4 и 9.5, в [57] были определены три области в положительном квадранте координатной плоскости р д:
1. Линейная область, заданная линейными неравенствами
^<Р, р<59д; (9.6)
2. Нелинейная область, заданная нелинейными неравенствами
59 д^р, Р^9д3] (9.7)
3. Область, свободная от кубоидов, которая включает в себя все, что не вошло в первые две области.
10. асимптотики при одновременном стремлении р и q к бесконечности
В работах [58] и [59] рассматривались асимптотики корней уравнения (2.4) при одновременном стремлении р и q к бесконечности. При этом основной результат работы [58] строится на асимптотиках, когда
р — q = const.
Этот результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 10.1. Если, положительные целочисленные параметры р и q уравнения (2.4) удовлетворяют неравенствам
q / q I q \
q-^^P, P < q + mm^—, Л— J, (10.1)
то уравнение (2.4) не имеет, решений, порождающих совершенные кубоиды. Основной результат работы [59] строится на асимптотиках, когда
р- Bq3 = const и В = 1, 2, ..., 9. Здесь вместо (10.1) возникают неравенства
3 3
Bq3--+ , (10.2)
4 36003 ^ 4 36003' V '
Bq3-2q<p< Bq3+ 2q, (10.3)
и формулируются следующие теоремы.
Теорема 10.2. Для всех В = 1, 2, ..., 9, кроме В = 5, если выполнены неравенства (10.2), то уравнение (2.4) не имеет, решений, порождающих совершенные кубоиды.
Теорема 10.3. При В = 5, если одновременно выполнены неравенства (10.2) и, (10.3), то диофантово уравнение (2.4) не имеет, решений, порождающих совершенные кубоиды.
Результаты, выраженные теоремой 10.1 и теоремами 10.2, 10.3, носят очень ограниченный характер. Через (10.1), (10.2) и (10.3) они выделяют небольшие подобласти внутри рассмотренных выше линейной и нелинейной областей, заданных неравенствами (9.6) и (9.7), и гарантируют отсутствие совершенных кубоидов в выделенных подобластях.
11. Дальнейшие перспективы
Пока задача о совершенном кубоиде остаётся нерешённой, никто не может сказать, на каком из путей будет найдено её решение. Что касается асимптотического подхода к задаче в случае второй гипотезы о кубоиде, автор считает перспективным рассмотрение обратимых преобразований параметров вида
P = P(P,Q), Q = Q(P,Q),
см. [74], с последующим изучением асимптотик при q —+оо и р = const. Возможно также рассмотрение асимптотик при независимом стремлении р и q к бесконечности с привлечением техники многогранников Ньютона, развивавшейся в многочисленных работах Брю-но, Арнольда, Бернштейна, Варченко, Волевича, Гиндикина, Кушнеренко, Хованского, Солеева и других. Этот подход является более сложным, поскольку требует определённых затрат времени на изучение указанной техники.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Halcke Р., Deliciae mathematicae oder mathematisches Sinnen-Сonfect, N. Sauer, Hamburg, Germany, 1719.
2. Saunderson N., Elements of algebra, Vol. 2, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1740.
3. Euler L., Vollständige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771.
4. Pocklington H. C., Some Diophantine impossibilities // Proc. Cambridge Phil. Soc., Vol. 17, 1912, P. 108-121.
5. Dickson L. E., History of the theory of numbers, Vol. 2: Diophantine analysis, Dover, New York, 2005.
6. Kraitchik M., On certain rational cuboids // Scripta Math., Vol. 11, 1945, P. 317-326.
7. Kraitchik M., Théorie des Nombres, Tome 3, Analyse Diophantine et application aux cuboides rationelles, Gauthier-Villars, Paris, 1947.
8. Kraitchik M., Sur les cuboides rationelles // Proc. Int. Congr. Math., 1954, Vol. 2, Amsterdam, P. 33-34
9. Bromhead Т. В., On square sums of squares // Math. Gazette, 1960, Vol. 44, № 349, P. 219-220.
10. Lai M., Blundon W. J., Solutions of the Diophantine equations x2 + y2 = I2, y2 + z2 = m2, z2 +x2 = n2 H Math. Сотр., 1966, Vol. 20, P. 144-147.
11. Spohn W. G., On the integral cuboid // Amer. Math. Monthly, 1972, Vol. 79, №1, P. 57-59.
12. Spohn W. G., On the derived cuboid // Canad. Math. Bull., 1974, Vol. 17, №4, P. 575-577.
13. Chein E. Z., On the derived cuboid of an Eulerian triple 11 Canad. Math. Bull., 1977, Vol. 20, № 4, P. 509-510.
14. Leech J., The rational cuboid revisited I ! Amer. Math. Monthly, 1977, Vol. 84, № 7, P. 518- 533; см. также Erratum // Amer. Math. Monthly, 1978, Vol. 85, P. 472.
15. Leech J., Five tables relating to rational cuboids 11 Math. Сотр., 1978, Vol. 32, P. 657-659.
16. Spohn W. G., Table of integral cuboids and their generators // Math. Сотр., 1979, Vol. 33, P. 428-429.
17. Lagrange J., Sur le dérivé du cuboide Eulérien // Canad. Math. Bull., 1979, Vol. 22, №2, P. 239-241.
18. Leech J., A remark on rational cuboids 11 Canad. Math. Bull., 1981, Vol. 24, №3, P. 377-378.
19. Korec I., Nonexistence of small perfect rational cuboid // Acta Math. Univ. Comen., 1983, Vol. 42/43, P. 73-86.
20. Korec I., Nonexistence of small perfect rational cuboid 11 j j Acta Math. Univ. Comen., 1984, Vol. 44/45, P. 39-48.
21. Wells D. G., The Penguin dictionary of curious and interesting numbers, Penguin publishers, London, 1986.
22. Bremner A., Guy R. K., A dozen difficult Diophantine dilemmas j j Amer. Math. Monthly, 1988, Vol. 95, №1, P. 31-36.
23. Bremner A., The rational cuboid and a quartic surface j j Rocky Mountain J. Math., 1988, Vol. 18, №1, P. 105-121.
24. Colman W. J. A., On certain semiperfect cuboids // Fibonacci Quart., 1988, Vol. 26, №1, P. 54-57; см. также Some observations on the classical cuboid and its parametric solutions // Fibonacci Quart., 1988, Vol. 26, №4, P. 338-343.
25. Korec I., Lower bounds for perfect rational cuboids j j Math. Slovaca, 1992, Vol. 42, №5, P. 565-582.
26. Guy R. К .Is there a perfect cuboid? Four squares whose sums in pairs are square. Four squares whose differences are square, в книге Unsolved Problems in Number Theory, 2-nd ed., P. 173-181, Springer-Verlag, New York, 1994.
27. Rathbun R. L., Granlund T., The integer cuboid table with body, edge, and face type of solutions j j Math. Сотр., 1994, Vol. 62, P. 441-442.
28. Rathbun R. L., Granlund T., The classical rational cuboid table of Maurice Kraitchik j j Math. Сотр., 1994, Vol. 62, P. 442-443.
29. Colman W. J. A., A perfect cuboid in Gaussian integers // Fibonacci Quart., 1994, Vol. 32, №3, P. 266-268.
30. Peterson В. E., Jordan J. H., Integer hexahedra equivalent to perfect boxes // Amer. Math. Monthly, 1995, Vol. 102, №1, P. 41-45.
31. Van Luijk R., On perfect cuboids, Doctoraalscriptie, Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht, Utrecht, 2000.
32. Luca F., Perfect cuboids and perfect square triangles // Math. Magazine, 2000, Vol. 73, №5, P. 400-401.
33. Rathbun R. L., The rational cuboid table of Maurice Kraitchik, e-print arXiv:math.HO /0111229 в электронном архиве http://arXiv.org.
34. Narumiya N., Shiga H., On Certain Rational Cuboid Problems // Nihonkai Math. Journal, 2001, Vol. 12, №1, P. 75-88.
35. Hartshorne R., Van Luijk R., Non-Euclidean Pythagorean triples, a problem of Euler, and rational points on КЗ surfaces, e-print arXiv:math.NT/0606700 в электронном архиве http: // arXiv.org.
36. Waldschmidt M., Open diophantine problems, e-print arXiv:math.NT/0312440 в электронном архиве http://arXiv.org.
37. Ionascu E. J., Luca F., Stanica P., Heron triangles with two fixed sides, e-print arXiv: math.NT/0608185 в электронном архиве http://arXiv.org.
38. Ortan A., Quenneville-Belair V., Euler's brick, Delta Epsilon, McGill Undergraduate Mathematics Journal, 2006, Vol. 1, P. 30-33.
39. Knill O., Hunting for Perfect Euler Bricks, Harvard College Math. Review, 2008, Vol. 2, №2, P. 102.
40. Sloan N. J. A., Sequences A031173 (http://oeis.org/A031173), А031Щ (http://oeis.org /А03 1174), and A031175 (http://oeis.org/A031175), On-line encyclopedia of integer sequences, OEIS Foundation Inc., Portland, USA.
41. Roberts T. S., Some constraints on the existence of a perfect cuboid, Australian mathematical society gazette, 2010, Vol. 37, №1, P. 29-31.
42. Stoll M., Testa D., The surface parametrizing cuboids, e-print arXiv:1009.0388 в электронном архиве http://arXiv.org.
43. Sawyer J., Reiter C. A., Perfect parallelepipeds exist // Math. Сотр., 2011, Vol. 80, P. 1037-1040.
44. Meskhishvili M., Perfect cuboid and congruent number equation solutions, e-print arXiv: 1211.6548 в электронном архиве http://arXiv.org.
45. Beauville A., A tale of two surfaces, e-print arXiv:1303.1910 в электронном архиве http: // arXiv.org.
46. Freitag E., Manni R. S., Parametrization of the box variety by theta functions, e-print arXiv: 1303.6495 в электронном архиве http://arXiv.org.
47. Sokolowsky В. D, VanHooft R. M., Reiter C. A., An infinite family of perfect parallelepipeds j j Math. Сотр., 2014, Vol. 83, P. 2441-2454.
48. Meskhishvili M., Parametric solutions for a nearly-perfect cuboid, e-print arXiv:1502.02 375 в электронном архиве http://arXiv.org.
49. Kitchen S., On the existence of perfect cuboids, OURE publication, Missouri University of Science and Technology, 2015.
50. Wyss W., On perfect cuboids, e-print arXiv:1506.02215 в электронном архиве http: //arXiv.org.
51. Sharipov R. A., A note on a perfect Euler cuboid, e-print arXiv:1104.1716 в электронном архиве http: // arXiv.org.
52. Шарипов P. А., Неприводимые полиномы в задаче о совершенном кубоиде // Уфимский математический журнал. 2012. Том 4, №1. С. 153-160, см. также e-print ar Xiv:1108.5348 в электронном архиве http://arXiv.org.
53. Sharipov R. A., A note on the first cuboid conjecture, e-print arXiv:1109.2534 в электронном архиве http://arXiv.org.
54. Sharipov R. A., A note on the second cuboid conjecture. Part I, e-print arXiv:1201.1229 в электронном архиве http://arXiv.org.
55. Sharipov R. A., A note on the third cuboid conjecture. Part I, e-print arXiv:1203.2567 в электронном архиве http://arXiv.org.
56. Masharov A. A., Sharipov R. A., A strategy of numeric search for perfect cuboids in the case of the second cuboid conjecture, e-print arXiv:1504.07161 в электронном архиве http://arXiv.org.
57. Sharipov R. A., Reverse asymptotic estimates for roots of the cuboid characteristic equation in the case of the second cuboid conjecture, e-print arXiv:1505.00724 в электронном архиве http://arXiv.org.
58. Sharipov R. A., Asymptotic estimates for roots of the cuboid characteristic equation in the linear region, e-print arXiv:1505.02745 в электронном архиве http://arXiv.org.
59. Sharipov R. A., Asymptotic estimates for roots of the cuboid characteristic equation in the nonlinear region, e-print arXiv:1506.04705 в электронном архиве http://arXiv.org.
60. Sharipov R. A., Perfect cuboids and multisymmetric polynomials, e-print arXiv:1205.3135 в электронном архиве http://arXiv.org.
61. Sharipov R. A., On an ideal of multisymmetric polynomials associated with perfect cuboids, e-print arXiv:1206.6769 в электронном архиве http://arXiv.org.
62. Sharipov R. A., On the equivalence of cuboid equations and their factor equations, e-print arXiv:1207.2102 в электронном архиве http://arXiv.org.
63. Sharipov R. A., A biquadratic Diophantine equation associated with perfect cuboids, e-print arXiv:1207.4081 в электронном архиве http://arXiv.org.
64. Ramsden J. R., A general rational solution of an equation associated with perfect cuboids, e-print arXiv:1207.5339 в электронном архиве http://arXiv.org.
65. Ramsden J. R., Sharipov R. A.,Inverse problems associated with perfect cuboids, e-print arXiv:1207.6764 в электронном архиве http://arXiv.org.
66. Sharipov R. A., On a pair of cubic equations associated with perfect cuboids, e-print arXiv:1208.0308 в электронном архиве http://arXiv.org.
67. Sharipov R. A., On two elliptic curves associated with perfect cuboids, e-print arXiv: 1208.1227 в электронном архиве http://arXiv.org.
68. Ramsden J. R., Sharipov R. A.,On singularities of the inverse problems associated with perfect cuboids, e-print arXiv:1208.1859 в электронном архиве http://arXiv.org.
69. Ramsden J. R., Sharipov R. A.,On two algebraic parametrizations for rational solutions of the cuboid equations, e-print arXiv:1208.2587 в электронном архиве http://arXiv.org.
70. Sharipov R. A., A note on solutions of the cuboid factor equations, e-print arXiv:1209.0723 в электронном архиве http://arXiv.org.
71. Sharipov R. A., A note on rational and elliptic curves associated with the cuboid factor equations, e-print arXiv:1209.5706 в электронном архиве http://arXiv.org.
72. Ramsden J. R., Sharipov R. A., Two and three descent for elliptic curves associated with perfect cuboids, e-print arXiv:1303.0765 в электронном архиве http://arXiv.org.
73. Кащенко И. С. Асимптотические разложения решений уравнений, Издание ЯрГУ, Ярославль, 2011.
74. Sharipov R. A., A note on invertible quadratic transformations of the real plane, e-print arXiv:1507.01861 в электронном архиве http://arXiv.org.
Руслан Абдулович Шарипов, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: r-sharipov@mail.ru
