Асимптотический анализ систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов и полумарковским входящим потоком Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.872

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ И ПОЛУМАРКОВСКИМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ

А.А. Назаров, И.А. Семенова

Томский государственный университет E-mail: inna_ac@mail.ru

Рассматривается система массового обслуживания с входящим SM-потоком и неограниченным числом обслуживающих приборов. Исследование проводится методом просеянного потока и методом асимптотического анализа в условии растущего времени обслуживания. Проведенный анализ позволяет получить асимптотические семиинварианты до третьего порядка.

Ключевые слова:

Метод просеянного потока, асимптотический анализ, входящий SM-поток, система Колмогорова.

Key words:

Method of the sifted flow, asymptotic analysis, input SM flow, Kolmogorov's system.

Математические модели систем массового обслуживания широко применяют при решении важных практических задач, возникающих в связи с бурным развитием систем коммуникаций, возникновением информационно-вычислительных систем, появлением и усложнением разнообразных технологических систем, созданием автоматизированных систем управления, для задач экономикоматематического моделирования.

В качестве математических моделей страховых компаний, кредитно-депозитных организаций и многих других экономических и социально-экономических систем предлагается рассматривать системы с неограниченным числом приборов. Например, количество возможных договоров между клиентами и кредитно-депозитной организацией практически не ограничено. Сроки, на которые заключаются договоры, имеют весьма широкий спектр продолжительностей, поэтому достаточно адекватно могут моделироваться некоторой случайной величиной с заданной функцией распределения их значений. Поток клиентов, обращающихся в кредитно-депозитную организацию, может быть как пуассоновским, так и коррелированным.

Наиболее общим ординарным потоком однородных событий является полумарковский или SM-поток (Semi-Markovian process). Идея введения такого потока была выдвинута П. Леви (1954) и В. Смитом (1955). Анализ распределения числа событий, наступивших в SM-потоке за некоторое время, можно найти в работах [1, 2]. Системы массового обслуживания с таким входящим потоком интенсивно изучаются в настоящее время [3, 4].

В данной работе проводится исследование системы массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов, на вход которой поступает SM-поток, функция распределения времени обслуживания произвольная. Исследование проводится методом просеянного потока и методом асимптотического анализа в условии растущего времени обслуживания.

Математическая модель

Рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает 8М-поток событий, заданный полу-марковской матрицей А(х). Продолжительности обслуживания заявок стохастически независимы, одинаково распределены и имеют произвольную (но не экспоненциальную) функцию распределения В(х). Поступающая заявка занимает любой из свободных приборов. Завершив обслуживание, заявка покидает систему (рис. 1).

Рис. 1. Математическая модель системы массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов

Рассматривается трёхмерный случайный процесс {я(1),1(1)Л$}, который является марковским с непрерывным временем, где 1^) - длина интервала от момента времени t до момента наступления очередного события в 8М-потоке, а дискретный процесс <г(?) определяется как s(t)=^(n+1), если 4</</„+1, где моменты восстановления 4 определяются равенством

п

к =Ёт(о>

то есть процесс з(^ на интервале принима-

ет и сохраняет значение £(п+1), здесь <^(п) - эрго-дическая цепь Маркова с дискретным временем и матрицей Р=[д,к] вероятностей перехода за один шаг, процесс т(0 принимает неотрицательные значения из непрерывного множества и определяет длины интервалов в 8М-потоке. Обозначим 1({) -число занятых приборов в момент времени t. Матрицу А(х) с элементами Лл(л) будем называть по-лумарковской. Матрица переходных вероятностей цепи Маркова <^(п) определяется равенством

Р = Л(<ю).

Для элементов полумарковской матрицы имеет место равенство

Ак(х) = Я*(х)р* ,

где Огк(х) - условная функция распределения длины интервала полумарковского потока при условии, что в начале этого интервала вложенная цепь Маркова приняла значение V, а в конце его примет значение к. Матрицу А(х) можно записать в виде произведения Адамара двух матриц О(х) и Р Л( х) = С( х) * Р,

и можно полагать, что полумарковский поток задан двумя матрицами О(х) и Р.

Для исследования такой системы воспользуемся методом просеянного потока.

Метод просеянного потока

Пусть на вход системы с неограниченным числом приборов поступает 8М-поток заявок. Для реализации метода просеянного [5] потока рассмотрим две оси времени (рис. 2), на первой из которых обозначим моменты наступления событий входящего потока (верхняя ось, рис. 2).

ет событие просеянного потока в тот же момент времени /.

Очевидно, что заявки, не попавшие в просеянный поток, завершат обслуживание и покинут систему до момента /ь в то время как все заявки просеянного потока в момент і1 будут находиться в системе, занимая её приборы.

Для просеянного потока обозначим п(/) - число событий этого потока, наступивших до момента времени /, то есть на интервале [4,/). В силу способа формирования просеянного потока, полагая, что в момент времени /0 система обслуживания свободна, т. е. в ней нет обслуживаемых заявок г(4)=0, имеет место равенство числа п(/1) событий, наступивших в просеянном потоке к моменту времени /1, и числа г(/1) приборов, занятых в рассматриваемой системе, в момент времени іь т. е.

г'(Х) = П(А).

(2)

Равенство (2) является основным для дальнейших исследований, т. к. проблему исследования наиболее сложной системы обслуживания с неограниченным числом приборов сводит к задаче анализа просеянного нестационарного потока, определяемого процессом п(/). Найдя характеристики этого случайного процесса в произвольный момент времени /, где положим /=/1, тогда,

в силу равенства (2), его характеристики совпадают с характеристиками величины г(/1).

Метод просеянного потока исследования системы SM|GI|ю

Для исследования рассматриваемой системы 8М|С1|го применим метод просеянного потока. Для распределения вероятностей Р(ад,п,0 трёхмерного марковского процесса |5(/),г(/),п(/)|,

Р(5, 7, п, ?) = ) = 5, г(?) < 7, п(?) = п}

запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова

дР (5, г, п, ?) дР(5, г, п, ?) дР(5,0, п, ?)

д? дг

дР^,0, п -1, ?)

Рис. 2. Схематическая модель применения метода просеянного потока

Выделим некоторый момент времени /1. Не нарушая общности, можно считать, что /1=0. Обозначим вероятность

5(?) = 1 - В(?і - ?), (1)

которая имеет смысл вероятности того, что заявка входящего потока, поступившая в систему в момент времени <ь в момент времени і1 будет находиться в системе, занимая для своего обслуживания один из приборов системы.

Просеянный поток на второй оси времени, рис. 2, будем формировать следующим образом. Выделим некоторый момент времени /0</1. Каждая заявка входящего потока, поступившая в систему в момент времени 4<К/Ь с вероятностью 5(/) формиру-

дг

дР(у,0, п, ?)

дг

(1 - 5 (0)

дг

А (г). ( )

(3)

Начальные условия для решения этой системы в момент времени ^ определим равенством

Л(в, z), если п = 0,

р^ z, n, ?0) =

[0, если п > 0.

где компоненты Л(ад) вектора Щг) по определению равны

Л(в,z) = Р{в(0 = в,z(t) < z}.

Обозначив

го

Н (в, z, и, t) = £ в]ыпР( в, z, п, t),

V'

из (3) получим следующую задачу

dH(s, z, u, t) dH(s, z, u, t) dH(s, 0, u, t)

dt

dz

dz

+(1 + S(t)(e- -1))д (z),

V 5z

H (s, z, -10) = R(s, z).

Эту систему запишем в виде матричного уравнения, обозначив вектор-строку

H(z,и, t) = {H(1, z, и, t), H(2, z, - t), ■■■}, получим

dH(z,-, t) _ dH(z,-, t) i dH(0, -, t) w

----------—-------------1 X

dt dz dz

x{A( z) -1 + (ejM-1) S(t) A( z)}, (4)

H( z,-, to) — R( z), где распределение R(z) имеет вид [6]

z

R(z) — K1r J(P - A(x)) dX,

o

здесь A(x) - полумарковская матрица; P - стохастическая матрица вероятностей переходов вложенной цепи Маркова; r - стационарное распределение вероятностей значений вложенной цепи Маркова, а величина к определяется равенством

1

к —-------,

1 гАЕ

где матрица A имеет вид

да

А = J(P - А(x))dX.

o

Уравнение (4), определяющее характеристики системы SMjGIj», будем решать в асимптотическом условии растущего времени, полагая, что среднее значение времени обслуживания Ь^да.

Метод асимптотических семиинвариантов

исследования системы SM|GI|x

Методом асимптотического анализа в теории массового обслуживания (в теории потоков) называется исследование уравнений, определяющих какие-либо характеристики системы (потока) при выполнении некоторого асимптотического (предельного) условия, вид которого конкретизируется для различных моделей и поставленных задач исследования [4].

В данной работе предлагается модификация метода асимптотического анализа - метод асимптотических семиинвариантов. Этот метод реализуется в нахождении последовательности асимптотик возрастающего порядка, в которой асимптотика первого порядка, аналогично закону больших чисел, определяет асимптотическое среднее значение числа занятых приборов. Асимптотика второго порядка, аналогично центральной предельной теореме, позволяет построить гауссовскую аппроксимацию распределения вероятностей состояний системы. Асимптотики более высокого порядка опреде-

ляют соответствующие семиинварианты и аппроксимации распределения вероятностей, выполняющие более детальное исследование рассматриваемой характеристики [7].

Асимптотика первого порядка

Обозначим e=1/b ив уравнении (4) выполним замены

te=T, t0 = т0, S (t) = Sj(r), u = ew,

H( z, u, t) = Ц( z, w,t, e), (5)

получим задачу

„ dF(z, w,t,e) _ 5Fj(z, w,t,e) i дЦ(0, w,t,e) e----------------—--------------1 x

дт dz dz

x{A(z) -1 + (j-1)ад A(z)},

F^ (z, w, To, e) = R( z). (6)

Теорема 1. Предельное, при e—0, значениеF1(z,w,T) решения F1(z,w,T,e) уравнения (6) имеет вид

Fi (z, w,т) = R(z)exp j jwK JSi(z)rfzj,

где вектор-функция R(z) и параметр к1 определены выше.

Доказательство. В задаче (6) выполним предельный переход при e—0

dFi(z, WT) + dFi(0, WT) {A(z) -1} = 0,

dz dz

отсюда получим, что F1(z,w,T) является решением однородного уравнения, поэтому имеет вид

Fi(z, w,t) = R(z^( w,t), (7)

здесь вектор-функция R(z) определена выше, а скалярную функцию Ф1(^,т) определим следующим образом. В задаче (6) выполним предельный переход при z——0 и покомпонентное суммирование векторов, получим

e dFi(rc, w,T,e) E = dFi(0, w,t,e) -

-E(ej -1) ад,

дт дz

*!(“, ^,Т0, е)Е = 1.

Выполнив здесь предельный переход при е-^0 и замену (7), получим равенства

дФ‘(^Т) ^(«)Е = Ф^,т)д^(0)Е>ад,

дт дz

Ф^ДоЩ^Е = 1, ем в следующем в

= Ф^ w,r)KjwSi(r),

которые перепишем в следующем виде дФД^т) дт

®1(W,T0) = 1.

Решение задачи (8) очевидно имеет вид

®i(w,r) = exp j jw^ JSi(z)dzj.

Теорема доказана.

В силу замен (5), а также равенства (7), можно записать приближённое (асимптотическое) равенство

H(z, u, t) = Fi(z, w, т, e) * Fi(z, w, т) =

= R(z)exp <| juK1 Js (z)dz j,

поэтому для характеристической функции величины n(t) запишем

Mejun(t-1 = H(», u, t)E « exp j juK1 Js(z)dz j.

При t=t1=0 для характеристической функции процесса i(t) в стационарном режиме получим

h(u) = Mejui(t> = Mejun(0) *

juKi J S(z)dz j = exp{ juKi0i}.

dH 2 (z, u, t) dt

+ H2( z, u, t) juKiS (t) =

дт

- + F2 (z, w^e^'ew^S^) =

Теорема 2. Предельное, при е-^0, значение F1(z,w,т) решения F1(z,w,т,e) уравнения (12) имеет вид

Г2( z, м>,т) =

= R(z)exp

(jw)2

т т

Ki JSi(z)dz + 2k2 JSi2(z)dz

Определение. Функцию

h(u) = exp{ju^ Pi}

будем называть асимптотикой первого порядка характеристической функции числа занятых приборов в системе, а величину кф1 - асимптотическим семиинвариантом первого порядка.

Асимптотика второго порядка

Для более детального исследования рассматриваемой системы обслуживания, получим асимптотику второго порядка.

В уравнении (4) выполним замену

H( z, u, t) = H2 (z, u, t) exp jjuKi JS(z)dzj, (9)

получим

где величина k2 определяется равенством

K = E,

dz

а вектор-функция f2(z) удовлетворяет условию fj(<»)E=0 и является решением уравнения

ЩМ + dfd(0)(A( z) -1) + ^ A(z) -KiR( z) = 0.

dz dz dz

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

Определение. Функцию

h2(u) = exp '^juKiPi + (j2)-[Kiei + 2K 2в2 ] j", (13)

будем называть асимптотикой второго порядка характеристической функции числа занятых приборов в системе, а величину [k1^1+2k2^2] - асимптотическим семиинвариантом второго порядка,

где в2 = J(i - B(z))2 dz-

Асимптотика третьего порядка

Для нахождения асимптотики третьего порядка сформулируем следующее утверждение:

Теорема 3. Предельное, при е-^0, значение F1(z,w,т) решения F1(z,w,т,е) уравнения

з дРз(z, ™,т, е)

дт

+Fs( z, w,т, e)

_ dH2(z, u, t) i dH2(0, u, t) w —--------------1 x

dz dz

x{A(z) -1 + (eju -1)S(t) A(z)},

H2( z, u, t0) = R( z). (10)

Обозначив e2=1/b, в задаче (10) выполним замены

e2t = т, e2t0 =т0, S(t) = ^(т), u = ew,

H2( z, u, t) = F2 (z, W,т, e), (11)

получим

2 dF2(z, w,r,e)

jew +

(jeW)2 2

+(jew)2 K2 Si2 (т)

K1S1(T) +

_dF3(z, w,^e) i dF3(0, w,т,e) w —----------------------------------1 x

dz dz

x{A(z) -1 + (ejew-i)Sl(т) A(z)},

имеет вид

_dF2(z, w,r, e) i dFj(0, w,r, e)

—-----------------1 x

dz dz

x{A( z) -1 + (ejew-i) Si(r) A( z)}, (12)

Fj( z, w,^, e) = R( z).

т k1 J Si( z )dz + T0

F3 (z, w, т) = R (z) exp • (jw)3 6 т +6K2 JSf(z)dz + т0

т +6K3 JSi3(z)dz _ т0 J

где величина K3 определяется равенством

K3 =Щ0) E,

dz

а вектор-функция /3(г) удовлетворяет условию ^(<»^=0 и является решением уравнения

Шй + ^(Л(.-) -1) + Л( „ -

дz дz дz

-к/2( z) К2 к( z ) = 0.

Определение. Функцию

у'ик1в1 + (^ [кД + 2к2Р2] +

+ + 6К2в2 + 6К3в3]

йз(и) = ехр

(14)

рядка, где в3 = |(1 - Б(г))3 оЪ.

Область применимости асимптотических результатов в допредельной ситуации

С помощью полученных асимптотик (13), (14) и обратного преобразования Фурье запишем асимптотическое распределение вероятностей числа занятых приборов в системе

от

Р2 (г) = — [ е-у'“й2 (и )Ом,

ч от

е ушЛ3(и )Ом.

(15)

(16)

где А* (а) = |є^ОА(г).

Ап = тах

0<т<от

ХР (г) -Х)Р(0

, п = 2,3,

Например, полумарковская матрица A(x)=G(x)*P, где G(x) - гамма-функция распределения

Дх)=Г(а,в) с параметрами а1=5, Д=5, а2=10, в2=20, а3=15, в3=45,

С( х) =

будем называть асимптотикой третьего порядка характеристической функции числа занятых приборов в системе, а величину [к1р1+6к2р2+6к3р3] -асимптотическим семиинвариантом третьего по-

Г(5,5) Г(10,20) Г(10,20)

Г(15,45) Г(5,5) Г(10,20)

Г(15,45) Г(15,45) Г(5,5)

0,3 0,3 0,4"

Р = 0,4 0,5 0,1

0,3 0,2 0,5

Для различных значений Ь значения Л„ составили (таблица).

Таблица. Область применимости асимптотических результатов в допредельной ситуации

5 10 50 100

а2 0,0475 0,0284 0,0119 0,0090

Аз 0,0343 0,0192 0,0058 0,0042

На рис. 3 показана одна из графических реализаций распределения вероятностей состояний системы, полученных асимптотически Р2(і), Р3(і) и в допредельной ситуации Р(і) при заданных значениях параметров.

Полученные распределения будем называть асимптотической аппроксимацией второго (15) и третьего (16) порядков допредельного распределения вероятностей.

Для системы с неограниченным числом приборов и полумарковским входящим потоком при детерминированном времени обслуживании, продолжительности Ь, стационарное распределение вероятностей Р(1)=Р{()=1} числа 1(Р) приборов, занятых в момент времени t, имеет вид » 1

Р(° = 2Г ^~(1 - еЧУЬ)(1 - Л*(^))2Л*П-1(у)Е^У, (17)

'=] ^

0

Теперь сравним распределения вероятностей числа занятых приборов, полученные методом асимптотического анализа и допредельным способом. Для этого найдем расстояние Колмогорова между этими распределениями

где Р„(/) - функция распределения, полученная с помощью асимптотического анализа, а Р(г) -функция распределения для допредельной ситуации (17).

Рис. 3. Графическая реализация полученных результатов при Ь=10: 1) допредельное распределение вероятностей Р(1); 2) асимптотическая аппроксимация второго порядка Р2(1) допредельного распределения вероятностей; 3) асимптотическая аппроксимация третьего порядка Ръ('0 допредельного распределения вероятностей

Полагая приемлемой погрешность аппроксимации, равную значению 0,02 расстояния Колмогорова, можно сделать вывод о том, что применение метода асимптотического анализа к исследованию системы с БМ|01|» целесообразно при Ь>50, применяя асимптотическую аппроксимацию второго порядка, и уже при Ь>10для асимптотики третьего порядка.

Выводы

Проведено исследование системы с неограниченным числом обслуживающих приборов и вхо-

дящим 8М-потоком методом асимптотических семиинвариантов. Предложен метод просеянного потока для исследования таких систем массового обслуживания. Получены асимптотические семиинварианты первого, второго и третьего порядков,

а также показана область применимости асимптотических результатов в допредельной ситуации.

Работа выполнена при продержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 гг.)», проект № 11803.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лопухова С.В. Исследование полумарковского потока асимптотическим методом третьего порядка // Информационные технологии и математическое моделирование: Матер. VI Меж-дунар. научно.-практ. конф. - Томск, 2007. - Ч. 2. - С. 30-34.

2. Назаров А.А., Лопухова С.В., Гарайшина И.Р. Исследование полумарковского потока событий // Вычислительные технологии. - 2008. - Т. 13. - Спецвыпуск 5. - С. 56-62.

3. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. - Минск: БГУ, 2000. - 175 с.

4. Назаров А.А., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 112 с.

5. Назаров А.А., Семенова И.А. Исследование системы MMP|GI|» методом просеянного потока // Вестник Томского государственного университета. Сер. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 4 (17). - С. 74-84.

6. Лопухова С.В. Асимптотические и численные методы исследования специальных потоков однородных событий: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Томск, 2008. - 167 с.

7. Назаров А.А., Семенова И.А. Исследование RQ-систем методом асимптотических семиинвариантов // Вестник Томского государственного университета. Сер. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - № 3 (12). - С. 85-96.

Поступила 20.01.2012 г.

УДК 519.9

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМА ПОИСКА ПЕРВОЙ КРАЙНЕЙ ПОДСИСТЕМЫ ДЛЯ ЗАДАННОЙ СОВМЕСТНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

С.Г. Небаба, О.Н. Вылегжанин

Томский политехнический университет E-mail: onv@am.tpu.ru

Разработан алгоритм поиска крайней подсистемы для заданной системы линейных неравенств, определена область допустимых значений для этой подсистемы и предложен метод нахождения зависимых неравенств. Алгоритм включает учет возможных ограничений-равенств, а также приведение матрицы системы неравенств к матрице полного столбцового ранга. Работа алгоритма демонстрируется на тестовом примере.

Ключевые слова:

Система линейных неравенств, крайняя подсистема, учет ограничений-равенств, область допустимых значений, зависимые неравенства.

Key words:

System of linear inequalities, extreme subsystem, accounting of equality constraints, range of permitted values, dependent inequalities.

Подавляющее большинство задач оценки и прогноза реальных производственно-экономических ресурсов и результатов их использования сводится к нахождению решения (области допустимых решений) для некоторой системы неравенств, выражающих ограничения по тем или иным ресурсам. Эти неравенства представляются в виде линейных функций, либо легко могут быть приведены к ним с использованием ряда допущений.

Нахождение решения системы линейных неравенств при наличии некоторой целевой функции обычно относят к задачам математического программирования. Эти задачи относятся к задачам исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

На практике нередко отсутствует целевая функция, на нахождение оптимального значения которой направлено большинство моделей математического программирования, и на основании учета ограничений в виде системы линейных неравенств определяется множество точек, выпуклая оболочка которых является областью допустимых значений задачи.

В связи с этим возникает задача построения алгоритма, позволяющего найти область допустимых значений для любой заданной системы линейных неравенств при наличии ограничений-равенств.

Отдельные свойства систем линейных неравенств рассматривались еще в первой половине XIX в. в связи с некоторыми задачами аналитической механики, решение которых сводилось к системам такого рода. Их систематическое изучение