CC BY
8ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ УДК 004.10:519.872
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОЖИДАЕМОГО ДОХОДА в-СЕТИ ОБСЛУЖИВАНИЯ С РАЗНОТИПНЫМИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЗАЯВКАМИ И ОБХОДАМИ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЗАЯВКАМИ
КОПАТЬ Д.Я.
Гродно, Беларусь
О-сети являются математическими моделями компьютерных систем, в которых функционируют компьютерные вирусы. В данной статье рассматривается ситуация О-сети с разнотипными положительными и отрицательными заявками и обходами положительными заявками систем обслуживания, когда общее число заявок в каждой системе массового обслуживания (СМО) велико, но ограниченно и вирусы уничтожают файлы своего типа. Такие вирусы называются файловыми. Положительные заявки могут присоединиться к очереди обслуживания, а могут отказаться от присоединения, считаясь мгновенно обслуженными. Заявки выбираются на обслуживание из очереди случайными образом.
Целью исследования является нахождение среднего дохода сети на определенных интервалах времени. Исследования проведены в асимптотическом случае большого числа заявок в сети. Получено дифференциальное уравнение в частных производных для плотности распределения дохода. Выведено обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) для ожидаемого дохода при определенных начальных условиях. Решение данного ОДУ получено путём разбиения фазового пространства на промежутки постоянности, т.е. рассмотрены случаи функционирования СМО сети в режиме насыщения, т.е. постоянного присутствия очереди и низкой нагрузки, когда очереди отсутствуют.
Ключевые слова: открытая сеть массового обслуживания, дифференциальное уравнение в частных производных, ожидаемый доход, обходы систем обслуживания, асимптотический анализ.
1. Введение. Описание сети. Впервые О-сети в стационарном режиме были введены в рассмотрение в работе [1], а в переходном в работе [2] как математические модели поведения компьютерных вирусов. Впервые асимптотический анализ О-сетей был проведен в работе [3]. Впервые О-сети с доходами были рассмотрены в статье [4] в качестве моделей прогнозирования доходов информационно-телекоммуникационных систем и сетей (ИТСС). О-сети с разнотипными положительными и отрицательными заявками были впервые исследованы методом последовательных приближений в статье [5], а доходы тем же методом - в статье [6], а в случае когда доходы от переходов между состояниями сети случайны - в работе [7] В статье [8] был проведен асимптотический анализ ожидаемого дохода О-сети с разнотипными положительными и отрицательными заявками. Впервые О-сеть с обходами была исследована в статье [9], а ожидаемый доход О-сети с обходами в случае, когда доходы от переходоы являются случайными величинами с известными первыми двумя моментами в статье [10]. В данной статье обобщим статьи [9]-[10] для случая многолинейными СМО.
Рассмотрим О-сеть заявками г типов, состоящую из п СМО. В СМО 8, в которой т^ линий обслуживания (ЛО), поступают простейшие потоки положительных и отрицательных заявок типа с с интенсивностями Л^с, / = 1, п, с = 1, г . Положительная заявка типа с с
Impact Factor: SJIF 2019 - 5.11 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2020 - 5.497
2021 - 5.81
вероятностью f (ic)(kic ), присоединяется к очереди /-той СМО, а с вероятностью 1 - f (ic)(kic )
получает мгновенное обслуживание (т. е. обходит СМО).
Отрицательные заявки поступают непосредственно в СМО, где уменьшают длину очереди на единицу в непустой системе и не производят никаких изменений, если в СМО нет заявок и покидают сеть. Исследование будем проводить при допущении, что общее число заявок в рассматриваемой открытой сети ограничено константой K. Состояние описанной сети определяется вектором
kit) = (kii(t), ku(t ),..., kir (t),..., kni(t), kn2(t ),..., knr (t)), (1)
где компонента kic (t) - число положительных заявок типа с в системе Si в момент времени t, i = 1, n .
Обслуживания требуют только положительные заявки, которые выбираются на обслуживание равномерно, т.е. вероятность того, что на обслуживание данной ЛО выбрана
f r Y1
заявка типа с равна P = kic ^ k * . Соответственно вероятность того, что на обслуживании
V c*=1
в /-ой q заявок равна
п q r>q (л п \q-min (m, k ) r^q (min (m;-, ki ))!
^ ■ f i Vi (1 - P ) , ^ ■ ( i \ = 7—^——\——, k = / k * . В дальнейшем
min (mk ) I \ i> ' min (mk ) (min (mi, ki )- q )q! г ^ ^
для среднего дохода возьмём математическое ожидание данной величины, т.е.
f r Y1
klc min (m, k ) ^ k. . Предположим, что каждая из ЛО обслуживает заявки типа с по
V c =1 У
показательному закону с интенсивностью /iic, i = 1, n, c = 1, r . Заявка типа с, завершающая обслуживание в системе Si , мгновенно независимо от других заявок с вероятностью
Picjs, i, j = 1, n, c, s = 1, r переходит в систему Sj как положительная заявка типа s, с
вероятностью picjs, i, j = 1, n, c, s = 1, r переходит в систему Sj как отрицательная заявка
типа s или с вероятностью Pc покидает сеть, рм = 1 -^ ¿(pij + Picjs), 0 ^ Picjs, Picjs ^ 1
j=0 s,c=1
, i = 1, n, c = 1, r . Отрицательная заявка уничтожает одну положительную заявку своего типа и покидает сеть.
Вектор (1) в силу описанного выше является марковским случайным процессом с непрерывным временем и конечным числом состояний. Очевидно, что общее число
n r
обслуживаемых в сети заявок в момент времени t составляет K (t ) = ^ ^ kic (t ) . Проведем
i=1 c=1
асимптотический анализ марковского процесса (1) при большом числе заявок. Предположим, что сеть функционирует в условии большой загрузки заявками, то есть значение K(t)
достаточно велико, но ограничено: 0 << K (t) < K.
По аналогии со статьей [9] введены следующие условные вероятности:
(¡>ic (k ) - условная вероятность того, что заявка типа с, поступающая в /-ю СМО, когда
сеть находится в состоянии k , не будет обслужена ни одной из СМО;
Угф (к) - условная вероятность того, что положительная заявка типа с, поступающая в
г-ю СМО, когда сеть находится в состоянии к , впервые получит обслуживание в у'-ой СМО как положительная заявка типа s, ¡, 1 = 1, п, 5, с = 1, г ;
^ца (к) - условная вероятность того, что заявка типа с, прибывшая извне в г-ю СМО,
когда сеть находится в состоянии к , впервые окажет воздействие на '-ю СМО как отрицательная заявка типа s, ¡, 1 = 1, п, 5, с = 1, г ;
ас (к ) - условная вероятность того, что заявка типа с, обслуженная в г-й СМО, когда сеть
находится в состоянии к не будет больше обслужена ни в одной из СМО и уйдет из сети;
(к ) - условная вероятность того, что заявка типа с, обслуживание которой в г-й СМО
завершено, когда сеть находится в состоянии к , впервые после этого получит обслуживание ву'-й СМО как положительная заявка типа s, ¡, 1 = 1, п, 5, с = 1, г ;
у (к) - условная вероятность того, что заявка типа с, обслуженная в г-й СМО, когда
сеть находится в состоянии к впервые окажет воздействие на '-ю СМО, будучи при этом отрицательной заявкой типа s, ¡, 1 = 1, п, 5, с = 1, г .
На основании формулы полной вероятности получаем, что:
4 (к) = (1 - /(,с) (*)) {р1с0 +¿2 \р:л (к)+р;с, (1 - и (кр))]!, 7 = й, с = й,
V 1 =1 5=1л) (к) = /(,с) тАс + (1 - /(,с) (*))£ £ (к), и = 1,*,*, с = 1, г,
=1 С=1
^(к) = (i-f-ih) /*... • (к)
¿=1 с= 1 .. п г г
(к) = Plc0 +ZZ /4 А (к - 4) + ПФ (1 - и (k]s))
j=i i=i L
/4 (k) = ZZ^(k "4), /,7 = M , с = ,
/=1 s'=l
И '* V ___
(к) = /V + ZIX (k-4), hj = \,n,s,c = \,r„
i,j = \,n ,s,c = \,r,
i = 1, и , с = 1, r .
/=1 s =1
где ^ = 10.
(1, i = j, (0, i * j,
- символ Кронекера, u(x) - единичная функция Хевисайда, u (x) =
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
f1, x > 0.
0, x < 0
/гс - нулевой вектор размерности nr, за исключением компоненты с номером (i-1)r+c, которая равна 1,.
2. Вывод дифференциального уравнения в частых производных для плотности распределения дохода. Обозначим через V (к, t) полный ожидаемый доход сети за время t, если в начальный момент времени она находится в состоянии (к, t0). Очевидно, что
n
V(к,t) = ^ V(к,t), где V(к,t) - ожидаемый доход, который получает система Si за время t,
i=0
если в начальный момент времени сеть находится в состоянии к.
Рассмотрим все возможные переходы из состояния (к, t) марковского процесса к (t) за
короткий промежуток времени At:
1) из состояния (k, t) в состояние (k — Iic, t + At) с вероятностью
^OicVicjs k — Iic )u(kic )At + o(At) в i-ую СМО извне поступит положительная заявка типа с, где
и(kic) - единичная функция Хевисайда, доход сети составит r0fc условных единиц (у.е.) плюс ожидаемый доход V(k — Iic, t), который она получит за оставшееся время t, если бы начальным было состояние (k — Iic, t). i = 1, n, с = 1, r .
2) из состояния (kj) в состояние (k + Iic,t + At) с вероятностью
(к1с +М1С (к + 4 )а,с (к + 4 )) At + o(At) Mw {к) = ц,.с7> min (/,, к,) в /'-ую СМО извне поступит
отрицательная заявка типа с и удалит одну положительную своего типа или после обслуживания в i-ой СМО положительной заявки типа с она переходит в j-ю СМО как отрицательная заявка типа s, но не находит там положительных заявок или эта заявка своего типа и уходит из сети или после обслуживания в i-ой СМО положительной заявки типа с она
покидает сеть, тогда доход сети составит — R?c0 условных единиц (у.е.) плюс ожидаемый
доход V(k + Iic, t), который она получит за оставшееся время t, если бы начальным было
состояние (k +1^, t) . i = 1, n, с = 1, r .
3) из состояния (k,t) в состояние (k-I JS +Iic,t) с вероятностью
MK: {k + 1к:) ß(6/v {k + 4 - 4 )" {kjs) + o(At) после обслуживания в /'-ой СМО положительной заявки типа с она переходит в j-ю СМО как положительная заявка типа s доход сети составит
RrcjS у е. плюс V(k — Ijs + Iic t) .
4) из состояния (k,t) в состояние (k+ 1JS+Ijc,t) с вероятностью M jc [k + /,6Jy,qv {k + Iк: + ) А/ + o(At ), после обслуживания в /'-ой СМО положительной заявки типа с она переходит в j-ю СМО как положительная заявка типа s доход сети составит
—R,cjS у е. плюс Vi (k + Ijs + Iic , t) .
5) состояние сети не изменится с вероятностью ±±Mic (k)aic (*) + ¿¿(^te9te (к) + 4,)
_ г=1 c=1 i=1 c=1
RAt + V(k, t), что соответствует сохранению размещения заявок по системам сети.
Применим формулу полной вероятности, что позволяет записать систему разностных уравнений для ожидаемого дохода V(k,t + At) ,которая может быть сведена к системе разностно-дифференциальных уравнений: dV(k, t)
1 -
At + о(Дt), при этом ее доход составит
dt i, j=1 s,c=1
Z Z ß*. + 4 /.. )//(*.. (k+Ilc)v(k-Ijs +Ilc,t)-Mw (k) V(k,t)+Mw (k)Rlcix) +
+ y1C]S {k + 4 + 4) К (* + 4) Vik + 4 +4,0- A4 (k) V(k, t) - mic (k)Rw]s) +
i, j=1 S,C=1
n r / — \
+Z Z(k + 4)(4, (k+4) Vik + 4,0-M1C (k) V{k, t) - /4M, (*)) +
i=1 S=1
+Z Z Kc (-R о + V (k + 4, t) - V (k, t)) +
i=1 c=1
n r
+Ё iLKc^KYKc +Vw(b-i¿)v(k-ib,t)-4w(k)v(kM (8)
i, j=1 C, 5=1
Решить систему (8) аналитически при большом числе nr не представляется возможным. Исследование этой системы будем проводить, используя методику, описанную в [11], [12]. Перейдем к относительным переменным и будем исследовать вектор
S(t) = (S„(t), ^),..., Sir (t),..., ^nl(t), Sn2^),-, Snr (0) = к (t) K 1 =
= (k! (t)K 1, k12 (t)K 1,..., klr (t)K 1,...., kBl (t)K 1, k„2 (t)K 1,..., k„r (t)K 1) . Возможные значения вектора S(t) принадлежат ограниченному замкнутому множеству
G = jx = (xn,^,...^,...,xnX,xn2,...,x^): xfc > 0,¿£x* < в котором они располагаются в
узлах иг-мерной решетки на расстоянии в = K -1 друг от друга. При увеличении значений K «плотность заполнения» множества G возможными значениями рассматриваемого вектора S(t) увеличивается, и становится возможным считать, что он имеет непрерывное распределение в области G. При этих предположениях можно считать, что полный ожидаемый доход сети непрерывно изменяется в зависимости от начального состояния (x, t). Поэтому введем в рассмотрение функцию плотности распределения ожидаемого дохода v(x, t) в области G. По аналогии, например, с плотностью распределения массы
m m(xii <^11 < X11 + S Xi2 <^12 < X12 +в,..., xnr <Snr < Xnr + S)
p = — = lim--,
V в^0 snr
плотность распределения дохода определяется как следующий предел
, Л V (X11 <S11(t) < X11 +S, X12 <S12(t) < X12 +S,..., xnr <^nr (t) < Xr +S)
v(x,t)=ím-Snr- (9)
Очевидно, что плотность распределения дохода v(x, t), по аналогии с плотностью распределения вероятности, будет обладать следующими свойствами:
1) Я ...J v( x, t )dx = VSm
G
2) доход сети при условии изменения вектора состояния сети по области D:
V(Se D,t) = JJ...Jv(x,t)dx.
D
Кроме того, доход сети в определенном состоянии £(/) = (х, t) :
V (S, t )l = 0.
'S(t)=(x11,x12 '■■■'x1r vx„1,xn2 '■■■'xnr )
Из (9) следует, что для v(k, t) справедлива следующая аппроксимация при K ^ да :
V (k, t) = V (xK, t) = snrv( x, t) или v( x, t) = Knrv( xK, t). (10)
T 8V(к, t) 8(snrv(x, t)) nr 8v(x, t)
Тогда --—1 = —--—— = s —-—1. Кроме того, при K ^ да : доходы R и R
8t 8t 8t J
удовлетворяют следующим асимптотическим равенствам:
K'Rj = ^, KnrRwo = Гсo, KnrR0ic = r,ic, R = Knrr, Rj = Kn%s. (11)
Уравнение (8) для плотности распределения дохода с учетом (10), (11) может быть представлено в виде
/Tví'v n r
-^Тг1 = K ее P j (x + ec - ejs) u (xjs)(Mcc (x + ec) v(x - ejs + e^, t) - Mlc (x) v(^t) + Mlc (x) rigs) +
dt i, j=1 5,C=1
+Кг + К £ £ yic]s (х + ^ + ejs) (М1С (x + ^ ) v(x + ejs + e!C, t) - Mlc (x) Ax t) - Mic (x) riqs)
i, j=1 s,c=1
n r
+K££ aic (x + ^c ) (Mc (x + ^c ) v(x + ^c , t) - Mic (x) ^ t) - ricOMic (x))
i=1 s=1
n r
+K ££ eKc (-rico +v( x+eiC, t) - v( xt))+
+
1 +
+K £ £S^c У] (x - eic ) u (xic )(r0ic + v(x - eic , t) - v(x, t)).
i, j =1 c,s=1
(12)
т —
где /. = —, е = в/г, г = 1, и. Полагая, что у(х, *) дифференцируема по ^ и дважды кусочно-7 ^
непрерывно дифференцируема по х, * = 1, и, разложим функции
Мо (х + ес ) Р^ (х + е,0 - ^ ) Кх + е,0 - ^ , *) , У ,07, (х + ес + ^ ) Мо (х + е,0 ) Лх + е,0 + ^ , *) в
ряд Тейлора в окрестности точки (.х,1), используя члены до второго порядка включительно:
Мго (х + е,0 )Р,7 (х + е,0 - е;.* ) Ч х + е,0 - , *) = Мго (х )Р,7 (х) К X, *) +
+S
M, (x)Pic]s (xJ+ Mic (x)v(x,t)
MP] (x) SPcs (x)! dMic (x)
M ( x)
2 —^ P,]s (x)
r ддv( x, t) Mv( x, t
I Mxic
f
Mx
js у
Mx,v
P] (x) v(x, t)
Mx^
+M c (x)P] (x)
52Mfc ( x )
V Mxic
Mx
js у
Гд2 v( x, t) 0M2 v( x, t) M2 v( x, t)
+ 2M w ( x )
V
Л
V
-2
■ + ■
+
Mx,
2 c]s
P] (x) v(x, t) + 2
Mx]s fyc dx]s у
MM c (x)ГдР] (x) MPics (x)Л
MP i cjs ( x) MP] ( x) YMM _ v x, t) ^
дxгc Mx]s ^ M,c dx]S у
f M2Pics (x) 2M2Pics (x) | M2Pic]s (x)Л
Mx,,
V д-c
+Mw (x) v(x, t) v( x, t)
Mx,2
Mx]s Mxic
Mx
]s у
Mxjs у
+ o Is
У] ( x + eic + e]S )Mic ( x + eic ) v(x + eic + e]s , t) = Yii (x)Mic ( x) v(x, t) +
+s
s2
+ —
2
MY] (x) + (x)
Л
Mc (x) v(x, t) + Y] (x) Mc (x)
(
Mxrc дxjs у
rд2Yгcjs {x^/Y] (x) , M2Ycs (x)A
Mv( x, t) Mv( x, t)
V Mx,C
Mx,
+ Y] (x)
MM K (x)
1 i c]s '
Mx2
Mx]S MxJc
1 tgs
Mx 2
Mx]s J
]s у
fMl] (x) , fy] (x)lMM!c (x)
Mx.
v( x, t)
+2
MYicjs ( x ) дУгcjs ( x )
V Mxc дxjs у
Mic ( x )
Mv( x, t) Mv( x, t)
V Mx,c
Mc (x) v(x, t) + 2
Л
+ 2 Y. .
Mx,.,
Mx
]s у
Mx,.,
v(x, t)
Mx,,
■2Y] (x)"
MM c (x)^Mv(x, t) Mv(x, t)
]s у
Mx,
Mx,.,
ic V ic
Mx,,
]s у
+Yigs (x)Mc (x )
2v(x,t)+2M2v(x,t) | M2v(x,t
V Mxic
Mx]s ^c
Mx2
Mx]s у
, ,M 2Mic ( x )
+ Y] (x) . 2( ) v(x, t)
Mx,2
a,
(x + efc )Mlc (x + ef-c) v(x + ef., t) = afc (x)Mw (x) v(x, t) +
+s
^(x)v(x,t) + aic (x^v(x,t) + a. (x)M. (x
+ o (s
+
(s2 ).
8 2 +-
Macxi)Mc (x)v(x,t) + a (c (x)MM^01 v(x,t) + aic (x)M„ (x f^1 +
+2 ax^M MM v( x,,) + 2 эо^м M (x} э^+2^ (x jM (x) d v(x,')
dx. dx.
dx
+o(e2), i = 1, n.
W1CJS (x - eic) v(x - et, t) = Wij (x) v(x t) - e
icjs ,2
cx
dWj ( x)
dx.
V(x, t) + ( x)
cx cx 2
dv ( x )
e 2
£j) v( x, t) + 2 j ^ + ¥.„ (x
O (e2).
К дХго дХго ' ^ ' ' ^
Поэтому уравнение (12) с учётом последних разложений с точностью до членов порядка
9
0(е ) можем переписать в виде:
ду( х, г)
,=-уу ^ (x, t) avxn-el (x, t) +
dt y у ic ( , ) dx„ 2 у, iccs ( , ) dx.2
+
n r
У У u ( ^ ) r
i, j=1 s,c=1
+-
i=1 c =1 ux-ic 2 i'^^j=1
/ ixa яг!
Mc ( x)
dp,., ( x) dPcs ( x Л M ( x)
Л
dx.
dx
js У
dx
Pic,* ( x)
M1C ( x)
ГЯ2
d 2 p j ( x) 0 dPj ( x ) dP j ( x) _ d 2 Pj ( x)
Л
dx,2
■-2
dx
+ 2-
dx
dx
j 2
d Mic (x) f dp.cs (x) dpij (x)) d2Mw (x)
dx2
dxjs У
Л
dx,..
dx,.
+Kr + у у;
i, j=1 s,c=1
js У (fа, л,
dx2
picjs(x)
(13)
+
dY j ( x X^j ( x )
W f
dx
dx
Mic ( x + ec ) + Yics ( x)
M (x)'
js У
dx
+
ic У
+-
Mc ( x)
d 2 Tics ( x ) ( x ( x ) , d 2 У j ( x )
Л
dx2
■ + 2
dx dx
+2
dT icjs ( x ) , dTj ( x ))dMc ( x )
dx
dx
js У
+УУ
i=1 s=1
r
ric0
( x )
a,„ ( x
dx,..
Mic (x) + Oic (x)
dxic
2
+ Tj ( x)
dx 2 у
d2M,c (x
dx2
+
Mic (x) , efa2ic (x) o.C (x) Mic (x)
dx
■ + —
2
v dx2
+ 2-
yy^Oic^cO + УУ^
I
dxic dxic f Л„ / \Л
+ aic (x)
m 2 (x )V
dx
ic У.
+ r
'Oic'Oic
i, j=1 c,s=1
dWj (x ) + d2 Wj (x)
dx.
dx.
У
где
ДД^О = ~м,с (Х)+У У^ = с = 1, Г.
j=0 s=0
я„„ о = (х,с)+Кс + мк (х) - ¿ ym]s (х) (р;л/б. - у;,,с), / = ы с = й.
у=о 5=0
и г
Д-ф 0 = "У У (*) (Руяс - УJ,c
(14)
j=0 s=0
e
2
e
2
Учитывая, что В^ (х, *) представляют собой функции порядка 0(8), выражение 82 " г <32У(х *)
— £ £ В^ (х, *)-^— можно отнести к 0(82) . Поэтому уравнение (14) с точностью до
2 г,] =1 ,,0=1 дх,о
0( 82) запишется в виде:
з^хо = -££л (х,оМхО +
& ,=1 о=1 ,0 дх,0
( Гж \ яа
+
n r
££u (x]s) r-
i, ]=1 s,c=1
s +—
2
M,c (x)
MP] (x) MP] (x)) Mc {x)
x
x
]s у
x
-P] (x)
M,C {x)
^2
m2 Р*л x) „ я* (x) ^ (x), m2 P^ (x)
2
Л
■-2-
V ^c ^ic Mx]s
2
+ 2-
M Mc {x) f MPics {x) MP] {x)1 , M2MW {x)
ic]s
Mx2
x ]s у
\
x
+Kr + ££
ic]s
i, ]'=1 s,c=1
V fyc Mx]s у
ifл, ^ л,
x
2 ic]s
Pic]s(x)
+
^ i] { x ^ fy] { x)
VV
s
+—
2
Mc (x)
xic
x
Mc { x + eic) + Y] { x)
M {x)
]s у
x
+
ic у
Y] (x) (x(x) , M2 Y] (x)
1 ic/s
Mx2
■ + 2-
x x
1 tqs
Mx2
(15)
+2
MYи (x) , ^] (x)) M (x)
Mx,.,
Mx
]s у
+££
i=1 s=1
r
ric0
( x )
a,„ (x
x
Mc (x) + afc (x)
Mx,c
2
■ + Y] (x)
M2M1C (x)
Mx2
+
Mw (x) , sfa2,c (x) afc (x) Mic (x)
x
■ + — 2
v ^x2
+ 2-
I
xic xic
Г Л„ (Л Я21|( / Л
+ aic (x)
M 2 (x )v
Mx
i'c у.
+ r
0icr 0ic
i, ] =1 c,s=1
(x)+ ^ V] (x)
Mx.
Mx2
у
Проинтегрировав обе части этого уравнения по х в области О и разделив обе части уравнения на объем области О, равный т(О), получим:
1
m(G)
+-
JJ-J
Mv( x, t)
Mt
= --
1
-£ if ...J 4c (^ t)
Mv( x, t)
Mr
+
m(G)
ff... f
££u {x]s) r
m(G) i=1 G
f (Ж ЯГ!
Mc { x)
icjs
i, ]=1 s,c=1
ft] (x) ft] {x)l + MMM^s{x)
x
x
]s у
x
+Kr + £ £
ic?s
i, ]=1 s,c=1
/
fy](x (x)
VV
Mx,
Mx,.
Mic (x + eic) + Yics (x)
M (x)'
+
£ £■
ic0
]s у
aic (x)
x
+
ic у
Mx
M (x) + aic (x)
Mw ( x )"
Mx,
(15)
1
+ZZ*
i, j =1 c,s=1
+ r
0ic 0ic
dW j (x) + d2 Wcs (x)
dx.
dx2
'dx11...dxnr -УУ^-
3. Нахождение ожидаемого дохода сети.
Будем считать, что в левой части этого равенства допустима перемена порядка интегрирования и дифференцирования (мы предполагаем, что в замкнутой области G функция у(х, г) является непрерывной):
— ff ...f
m(G)f J
dvixt) dxd d t
ff ...f v( X, t) dx = dtvG (t),
ш(О) дг'а
где (г) - среднее по х значение дохода при условии изменения начального состояния (х,1) в области G.
Рассмотрим интегралы в правой части (15). При расчете этих интегралов используем интегрирование по частям, а также предположим, что выполняются граничные условия [8]:
Ас (х, г) у(х, г)|хег(о) = о, I = 1, п, с = 1, г, где Г (О) - граница области о, т.е. Апг (х, г) У(х, г) """1"2-1 = 0,
'Хп _0
А } (х,г)г(х,г)хп1 ^ х1 х2 "' хп_2,хп = 0,.., А (х,г)у(х,г)|х1 ^ х1 х2 "' хп = 0, которые означают, что не
1хп-1~0 1х1 ~0
допускается поток дохода через границу области о или, что в граничных точках области о поставлены отражающие экраны.
1-и""] Ас (х, г )*< х')
m(G) ■
dx.
■dx = - Дс(x, t)vG(t),i = 1,n, c = 1, r
Таким образом, приходим к следующему дифференциальному уравнению:
n r
^ ___ n r n r 2
- vg (t) = -vg (t)У У Ас (X, t) - УУ KicГс0--^ у у
dt i =1 c=1 i=1 c=1 m(G) i, j=1 c,s=1
i=1 c=1
У У ^ter,ff ...fdWj^dx1 ...dx_ +
+
У lLricjs ff .fu (xjs )
m(G) j fc=1 J D J j
M1C ( x)
dPics (x) dPicjs (x)\dMic (x)
dxi
Y
dx.
dx
js у
dx
Pics ( x)
i n r
+KrУ УГс ff ...f
m(G) j fc=1 J D J
dTj ( x) , dTj ( x)
У.
-x11...-xnr +
dx.
dx
Mic ( x + e,c )+T j (x )
dMic ( x)
j у
dx
dx11...dxnr +
ic У
+ -
1
m(G) t!
У ff.../
a. (x) . . . . Mr (x) ic ( >■ Mc (x) + afc (x)■ ic ( )
dx.
dx.
dx11 .. .dxnr .
Решение данного ДУ примет вид:
1 n
_ _ f УУ
vg (t) = VG (0) + et0"
dAi (x,x) dx;
dx
n r t n r
KtУУ^г. —У У Ке^ff...f
i=1 c=1 m(G) i, j=1 c,s=1 D
(15)
dWicjs (x) . .
—:-dx11...dxnr +
dx,-„
D
D
+mG %%'j fj"(x*)
f n r ^t
+Krt + —^ УУ r ff ...f
m(G) ^ S^ JJ J
M1C ( x)
'SPj (x) Spj (xcMfc (x)
dx.
dx
j у
dx.
dYj ( x) , dij ( x)
1 icjs
dx.
icjs
dx
M ic ( x + ^ )+Y j (x )
■Pics (x)
dM c (x)
dxil...dxnr +
js у
dx
dxu..dxnr +
ic у
+ -
m(G)
i £r„ jj.j
i=1 s=1 d
ac(x>M„ (x) + ajc (x)M"(x>
dx.
dx.
dxn.. .dxm.
4. Заключение. Приведенный выше метод прогнозирования ожидаемого дохода справедлив только при большой загрузке О-сети с разнотпными положительными и отрицательными заяками и обходами систем обслуживания положительными заявками. Для возрастания точности метода необходимо большое число обслуживаемых в сети заявок. Данный метод позволяет находить ожидаемый доход СМО сети с течением времени, т.е. в нестационарном режиме, в то время, как большинство методов и алгоритмов нахождения характеристик СМО и СеМО полностью позволяют делать это лишь в стационарном режиме.
D
t
ЛИТЕРАТУРА
1. Gelenbe, E. Product form queueing networks with negative and positive customers / E. Gelenbe // Journal of Applied Probability. - 1991. - Vol. 28. - P. 656-663.
2. Matalytski, M. Non-stationary analysis of queueing network with positive and negative messages / M. Matalytski, V. Naumenko // Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics. - 2013. - Vol. 12, № 2. - P. 61-71.
3. Копать, Д. Я.Асимптотический анализ G-сети с многолинейными системами обслуживания/ Д. Я. Копать // Весшк Гродзенскага дзяржаунага ушверстта iмя Яню Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. 1нфарматыка, вы!шчальная тэхшка i юраванне. - 2021. - Т. 11. - № 3. - С. 138-146.
4. Matalytski, M. Application of HM-network with positive and negative claims for finding of memory volumes in information systems/ M. Matalytski, P. Zajac // Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics. - 2019. - Vol. 18, № 1. - P. 41-51.
5. Копать, Д. Я. Анализ сети с положительными и отрицательными заявками различных типов в переходном режиме / Д. Я. Копать, В. В. Науменко, М. А. Маталыцкий // Весшк Гродзенскага дзяржаунага ушверстта iмя Яню Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. 1нфарматыка, вы1шчальная тэхшка i юраванне. - 2017. - Т. 7, № 3. - С. 150-161.
6. Сорокин, Д. А. Нахождение ожидаемых доходов в сети с нетерпеливыми положительными и отрицательными заявками различных типов / Д. А. Сорокин, Д. Я. Копать, М. А. Маталыцкий // Весшк Гродзенскага дзяржаунага ушверстта iмя Яню Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. 1нфарматыка, вы1шчальная тэхшка i юраванне. - 2018. - Т. 8, № 3. -С. 152-161.
7. Matalytski, M. Application of HM-networks with positive and negative heterogeneous requests for finding memory volume in information systems/ M. Matalytski, P. Zajac, D. Kopats // Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics. - 2020. - Vol. 19, № 1. - P. 67-77.
8. Копать, Д. Я. Ожидаемый доход G-сети обслуживания c разнотипными положительными и отрицательными заявками и ограниченным числом заявок/ Д. Я. Копать, А. О. Галицкая-Петровская // Весшк Гродзенскага дзяржаунага ушверсггэта iмя Яню Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. 1нфарматыка, вы!шчальная тэхшка i юраванне. - 2022. - Т. 12. - № 2. - С. 127-135.
9. Копать, Д. Я. Анализ в нестационарном режиме экспоненциальной G-сети с обходами систем обслуживания положительными заявками/ Д. Я. Копать, М. А. Маталыцкий // Вестник Томского государственного университета. Сер. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2020. - № 52. - С. 66-72.
10. Копать, Д. Я. Нахождение ожидаемых доходов в G-сети с обходами заявками систем обслуживания / Д. Я. Копать, М. А. Маталыцкий // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2019) : материалы XVIII междунар. конф. им. А. Ф. Терпугова, Томск, 26-30 июня 2019 г. : в 2 ч. / редкол.: А. А. Назаров [и др.]. - Томск, 2019. - Ч. 2. - C. 189-194.
11. Медведев, Г.А. Об оптимизации замкнутой системы массового обслуживания / Г.А. Медведев // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1975. - № 6. - С. 65 - 73.
12. Медведев, Г.А. Замкнутые системы массового обслуживания и их оптимизация / Г.А. Медведев // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1978. - № 6. - С. 199 - 203.
