АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Г.С. Жукова

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Россия, Москва

Аннотация.

Создание и решение адекватных математических моделей реальных процессов, где часто возникают краевые задачи для дифференциальных уравнений, позволяет сократить объем экспериментальных исследований, которые необходимо провести, например, для достижения требуемых параметров теплообменных аппаратов и систем. В работе с помощью методов асимптотического анализа изучается задача приближенного нахождения решений краевых задач с различными

Ключевые слова:

краевая задача, сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения, метод диаграмм, асимптотика решений, практическое применение. История статьи: Дата поступления в редакцию: 22.02.20

Дата принятия к печати: 23.02.20

типами граничных условий.

Показано, что она сводится к сингулярно возмущенным дифференциальным уравнениям, для исследования и решения которых в работе применен метод диаграмм. Выполнено сравнение эффективности вычислительных возможностей полученных результатов при различных типах граничных условий в сравнении с результатами численного интегрирования.

Введение. Рассмотрим краевую задачу:

(1) (2)

где b(t) (J — 0,3) —заданные достаточно гладкие на [0,Т] функции; числа Aj , Bj (J — 1,2) —заданные постоянные, часть которых может быть равна нулю в зависимости от условий решаемой задачи.

Напомним, что значения параметра при которых задача (1) — (2) имеет нетривиальные на [0,T] решения, называются собственными значениями, а соответствующие им решения — собственными функциями краевой задачи. К задачам на собственные значения относятся, в частности, задачи определения собственных колебаний материальных систем с распределенными характеристиками: поперечных и продольных колебаний струны, продольных колебаний упругого стержня, звуковых колебаний в трубах, электрических колебаний в проводах и др. Например, собственные колебания абсолютно гибкого тяжелого нерастяжимого, однородно нагруженного каната длиной l , подвешенного за один конец, удовлетворяют следующей краевой задаче ill:

[£2\{G + pgF( l0 - х))у'У + pFy = 0, 1 y( 0) = 0, у" Go) = 0

— ускорение свободного падения; О — вес поднимаего груза; Б — площадь поперечного сечения каната; р — плотность; м — круговая частота движения частиц каната; £ = 1 / м — малый параметр задачи). Другим примером может служить теплообмен в плоском канале при полностью развитом турбулентном течении [2], что описывается краевой задачей:

(при Д1:)>0, 1£[0,1] X — большой параметр).

Заметим, что некоторые типы краевые задачи, в силу их большой практической важности в механике, физике, технике, изучались многими авторами, использовавшими для этого различные подходы, в частности, и асимптотические методы (напр. [3-7]).

Цель данной работы — приближенное построение в аналитическом виде с заданной точностью решений краевой задачи (1) — (2) на собственные значения при различных типах граничных условий. Будет показано, что задача приближенного нахождения больших собственных значений сводится к анализу и решению сингулярно возмущенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. Использованы методы: асимптотический метод диаграмм [8-12], развитый для построения асимптотики решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и систем; методы численного интегрирования краевых задач. В итоге будут построены асимптотики нужной точности для собственных значений и собственных функций задачи (1) — (2) при различных граничных условиях; а также по аналогии с [7,13] выполнено сравнение построенных решений с результатами численного интегрирования.

Метод исследования. Пусть в уравнении (1) функции Ь/ОО 0 = 0,3) удовлетворяют дополнительно условиям:

ь2(0 * о, ь3(0 ф о,

ь3( О ь2{ О

.

(3)

Так как по постановке задачи изучается методика нахождение больших собственных значений X краевой задачи (1) — (2), то введем в рассмотрение малый параметр задачи:

Тогда уравнение (1) примет вид

1

е = г

£2Ь2(0х" + е2Ь1&)х' + (Ь3(0 + £2Ь0(0)х = 0 (4)

и является скалярным линейным сингулярно возмущенным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами.

Отметим, что (4) является частным случаем сингулярно возмущенного дифференциального уравнения вида

где

(5)

а0(г, Е) т 0, ап{1, Е) * 0 {г е [0, Г], Е е [0, £0]);

функции ау (Ъ£) являются вещественнозначными, имеют на [0,Т] равномерные асимптотические разложения

(Л X

Н <

£

У

ГС ■3 ГС

п X

со

V ГС

а

п ^

ГС X ГС >5

X и

V У

О I-

с

и <

<

со

О *

р0,...,рп — неотрицательные постоянные числа, рп>0. . В расссматривемом случае в уравнении (4) имеем:

п = 2; р0 = 0; р2 = рг = 2;

а2о(0 = Ь2(0; а10(О = МО; а00(О = Ь3(0; а01(0 = 0; а02(О = Ь0(О; а^ = 0 (V = 1,2; 5 > 1); а05(О = 0 (5 > 3).

Для приближенного решения сингулярно возмущенного дифференциального уравнения (4) применим метод диаграмм [8-12] Воспользовавшись [8-9] напомним: для дифференцильного уравнения (5) первая диаграмма — выпуклая ломаная, построенная с помощью геометрического приема Ньютона по набору точек

где

В этих формулах индекс I принимает те из значений 0,...,п-1, при которых ^¡оИ ^ гДе функции ^ И вычисляются через коэффицинты уравнения (5) по формулам:

В случае сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка вида (4) указанные формулы существенно упрощаются. Во-первых, тогда в построении первой диаграммы участвуют только три точки: (0;0), (1;2) и (2;2). Поэтому, основываясь на геометрическом приеме Ньютона, первая диаграмма дифференциального уравнения (4) содержит только одно звено с началом в точке (0;0) и конечной точкой (2;2). Точка (1;2) ни при каких значениях коэффициентов уравнения (4) не попадает на диаграмму (расположена строго выше нее).

Длина проекции диагрммы на ось абсцисс равна числу 2, то есть порядку дифференциального уравнения (4).

Коэффициент наклона звена диграммы равен числу . Определяющее уравнение звена диаграммы имеет вид:

Следовательно, при выполнении условий (3) определяющее уравнение звена диаграммы имеет два простых комплексно-сопряженных корня:

СДо)1,2(0 = ^ л/^зОО/ЬгСО» ' , мнимая единица.

Поэтому, основываясь на свойствах метода диаграмм, заключаем: при выполнении условий (3) будут найдены приближения порядка О(ет) к фундаментальным решениям дифференциального уравнения (4) по формуле:

(6)

где

бз2 — символ Кронекера.

Обратим внимание, что найденные по формуле (7) функции являются вещественнозначными при нечетном числе 5 и чисто мнимыми при четном 5. Поэтому в качестве т-приближения к общему решению дифференциального уравнения (4) выберем в силу формулы (6) следующую веще-ственнозначную функцию:

(8)

[и] - целая часть числа И .

Результаты. В формуле (8) постоянные и Б2 подлежат определению из краевых условий задачи и требования того, чтобы соответствующее решение не было тривиальным. Поэтому дальнейший ход решения рассматриваемой задачи будет зависеть от заданных в (2) краевых условий.

Рассмотрим несколько частных случаев краевых условий.

1. Пусть для дифференциального уравнения (1) краевые условия (2) имеют вид:

Тогда, подставив выражение (8) в первое из этих условий, получим значение: Б1=0.

Следовательно, в качестве решения дифференциального уравнения (1) при краевых условиях (9) с погрешностью порядка О (£т) может быть принята следующая функция:

(10)

(Л X

н <

£

При этом в формуле (10) должно быть 02 Ф 0 .

Подстановка выражения (10) во второе граничное условие (9) приводит к равенству:

у

ГС

■з

ГС

п X

со

V ГС

а

п ^

ГС X ГС

>х

X X и

V У X

о

I-

с

X

и <

< со

о *

Учитывая теперь требование нетривиальности решения (10), то есть условие 02 ф 0, получаем уравнение:

Отсюда, возвращаясь от е к исходному параметру А, имеем равенство:

Т [т/2]

/ X Ál~2kc2k(j)<h = КП (п Е Ж).

(11)

о к=о

Отметим, что значение n=0 исключено из формулы (11), так как приводит только к тривиальному решению рассматриваемй краевой задачи. Отрицательные целые значения числа n легко сводятся к описанному выше случаю в силу нечетности функции sin x.

Таким образом, равенство (11) является уравнением, из которого могут быть найдены приближения порядка О (ет) к собственным значениям рассматриваемой краевой задачи (1) с граничными условиями (9).

Например, в первом приближении (при т=1) собственные значения задачи определяются формулой:

(12)

Если выбрать т=2, то для нахождения второго приближения Д^2-* получаем следующее квадратное уравнение:

z2 i c0(r)íít — ZTCYl + i c2(t)íít = 0 .

Jo Л)

Решая это уравненние, находим:

(13)

Нетрудно видеть, что Д® —> Д^ при 71 причем

Лп < Я„ , если /0 с2(т)йт > 0; 42)>Я^1}, если Jq c2(r)dt < 0.

Кроме того, справедливо равенство:

Поступая по аналогии, можно найти асимптотические приближения Л^ любого заданного порядка т к искомым собственным значениям изучаемой краевой задачи

При этом в силу формулы (10) соответствующие числу Л^"^ собственные функции изучаемой краевой задачи (с точностью до константы) имеют асимптотическое представление:

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение (1), когда краевые условия (2) имеют вид:

х'(0) = 0, х(Т) = 0. (15)

Обратим внимание, что краевые условия (15) отличаются от рассмотренных выше условий (9): в (9) оба условия (в начальной и конечной точках) наложены на искомую функцию х($; в (15) дополнительное условие в конечной точке наложено на функцию х(0, а в начальной точке — на производную х(^ искомой функции.

Продифференцируем по переменной t обе части выражения (8). Нетрудно видеть, что при £^+0 порядок малости слагаемых, появляющихся при дифференцировании множителя

1(771+1/2)]

ехр

/К"1«'»] гС \

( X -2*~2{ ^ Шт)

будет, как минимум, на единицу больше чем у остальных слагаемых. Поэтому с точностью до величин порядка 0(£т+1) получим:

Отсюда, воспользовавшись первым краевым условием х' (0)=0 из (15), находим: 02=0. Таким образом, приближенно в качестве решения краевой задачи (1), (15) может быть принята следующая функция:

Подставив функцию £) во второе из краевых условий (15), получаем уравнение:

с2к(т)с1т

£ Л1'2*! с2кШт к=0 0 /

(Л X

н <

£

У

ГС ■3 ГС

п X

со

V ГС

а х

п ^

ГС X ГС >5

¡е и

V У

О I-

с

и <

< СО

о *

Нетрудно видеть (по свойствам гИлткимм V что прпгрнмя А чтпгп упяинрнмя литии лртиоряют равенству:

[т/2]

X 2к I С2к(т)с1г = п (гс-^)' п е

&=о 0

N.

Таким образом, уравнение (16) позволяет найти приближения произвольного порядка к собственным числам краевой задачи (1), (15).

Например, первое приближение к собственным значениям краевой задачи (1), (15) вычисляется по формуле:

(17)

Вторым приближением к собственным значениям краевой задачи (1), (15) будет решение следующего квадратного уравнения:

>Т , гТ

у с0(т)^т — гтг ^п — — ^ + J с2(т)с1т = 0.

(18)

Обсуждение результатов. Продемонстрируем вычислительные возможности прикладного использования построенных асимптотик.

1. Для примера построим первое приближение к собственным значениям краевой задачи из [7]:

В рассматриваемом случае в формулах (1) и (9) имеем:

ь3(0 = (1 + О2, ь2(0 = 1, ьм = о, ь0СО = о, т = 1.

(19)

Выполнение условий (3) проверяется непосредственно.

Воспользовавшись полученными выше формулами (12), построим асимптотику самого низшего порядка точности (первого, когда т = 1) для собственных значений краевой задачи (19).

Для этого достаточно по формулам (7) вычислить функции с0 (1) и с1 (1) которых нам известно:

■Е 1

[ С0

Шт = 2' =

Отсюда находим:

(20)

(21)

Для анализа вычислительных возможностей асимптотик (20), (21) выполним по аналогии с [13] сравнение эффективности асимптотического и численного методов решения краевой задачи (19). Во-первых, вычислим при различных значений п е N собственные значения краевой задачи (19), пользуясь формулой (20); во-вторых, найдем решение задачи (19) с помощью численного интегрирования. Сравнение полученных результатов показало их хорошее совпадение.

Так как асимптотика собственных значений и собственных функций (20) и (21) строилась при условии п^ то было естественным, что точность асимптотических формул (20) и (21) будет расти с уве-

личением порядкового номера п. Однако оказалось, что уже для первого собственного числа (когда п=1) погрешность сравниваемых результатов достаточно мала, составила 1,6462%. С ростом числа п точность асимптотики (20) существенно и быстро растет. Например, для восьмого собственного числа (когда п=8 в формуле (20)) погрешность результатов, полученных двумя методами, составляет 0,0215%, а для десятого собственного числа (когда п=10 в формуле (20)) она равна только 0,0063%.

Соответствующие собственные функции (с точностью до константы) краевой задачи (19) приближенно вычисляются по формуле (21), показывают аналогичную точность к численным решениям.

2. В качестве второго примера иллюстрации полученных результатов найдем первое приближение к положительным собственным числам краевой задачи [7]:

Отметим, что (22) — частный случай изученной выше краевой задачи (1), (15), где Поэтому, используя полученные выше формулы для краевой задачи (1), (15), заключаем:

(22)

Г

с0(т)ск = 3/2

Отсюда в силу формулы (17) получаем:

(23)

Вычислим теперь при различных (я € М) собственные числа краевой задачи (22): пользуясь их асимптотикой в первом приближении (23) и с помощью численного интегрирования краевых задач. По аналогии с [13] сравненим эффективность построенных асимптотик (23), в сравнении с численным решением краевой задачи (22).

Сравнение результатов показало их хорошее совпадение. Для первого собственного числа погрешность сравниваемых результатов составила 1,8371%, для третьего оказалась меньше одного процента. С ростом п точность асимптотической формулы (23) существенно и быстро возрастает. Например, для восьмого собственного числа ошибка составляет 0,0914%, для десятого уже только 0,0243%.

Собственные функции (с точностью до константы) краевой задачи (22), соответствующие Л^, вычисленному по формуле (23), приближенно нходятся по формуле

и показывают аналогичную точность к численным решениям.

Отметим, что преимущество построенных в работе асимптотик не только в том, что они дают хорошее совпадение с точными решениями. Одно из главных достоинств асимптотических методов, на наш взгляд, в том, что они позволяют построить приближенно интересующие нас функций в аналитическим виде (в отличие от численных методов), что удобно для дальнейших исследований и вычислений.

(Л X

н <

£

У

ГС ■3 ГС

п X

со

V ГС

а

п ^

ГС X ГС

>х

X X и

V У X

о

I-

с

X

и <

< со

о *

ЛИТЕРАТУРА:

1. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во ЛКИ, 2007. — 472 с.

2. Гантмахер Ф.Р. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем. — М.: Изд-во URSS, 2016. -544 с.

3. Andersen N.B., Flensted-Jensen M. 2019 Asymptotics for the Radon transform on hyperbolic spaces // Bulletin of Russian universities. Maths. 2019. 4, 127. Р. 241-251. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2019-24-124-241-251.

4. Ильин A.M., Данилин A.R Асимптотические методы в анализе. — М.: Физматлит, 2009. — 248 с.

5. Кузьмина Р.П. Асимптотические методы для быкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Институт компьютерных иследований, 2015. — 328 с.

6. Miller P.D. Applied Asymptotic Analysis. Rhode Island. Providence: AMS, 2006. p. 467.

7. Найфэ А. Введение в методы возмущений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. — 535 с.

8. Zhukova G.S. Branching of eigenvalues of fredholm operators in the multidimensional case // Ukrainian Mathematical Journal. 1985. 37, 1. p. 16-20. https://doi.org/10.1007/BF01056845

9. Zhukova G.S. A differential equation with a small parameter at the highest derivative // Ukrainian Mathematical Journal. 1988. 40, 4. р. 356-362. https://doi.org/10.1007/BF01057196

10. Zhukova G.Z. Asymptotics of solutions of a system of linear inhomogeneous singularly perturbed differential equations // Ukrainian Mathematical Journal. 1990. 42, 10. р. 1262-1266. https://doi.org/10.1007/BF01057402

11. Жукова Г.С. Асимптотическое решений сингулярно возмущенных дифференциальных систем с вырождением // Системные технологии. 2018. № 2 (27). С. 81-86.

12. Жукова Г.С. Структура асимптотики решений одного класса сингулярно возмущенных систем // Научно-технический вестник Поволжья. 2019. № 4. С. 15-18.

13. Жукова Г.С. Вычислительные возможности расходящихся асимптотических рядов // Системные технологии. 2019. № 4 (33). С. 110-115.

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Г.С. Жукова Асимптотический анализ краевых задач. — Системные технологии. — 2020. — № 34. — С. 146—154. ASYMPTOTIC ANALYSIS OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS G.S. Zhukova

Financial University under the Government of the Russian Federation, Russian Federation, Moscow

Abstract.

The creation and solution of adequate mathematical models of real processes, where boundary value problems for differential equations often arise, reduces the amount of experimental research that needs to be done, for example, to achieve the required parameters of heat exchangers and systems. Using asymptotic analysis methods, we study the problem of finding approximate solutions to boundary value problems with various types of boundary conditions.

It is shown that it reduces to singularly perturbed differential equations, for the study and solution of which the diagram method was used in the work. The effectiveness of the computational capabilities of the results obtained under various types of boundary conditions is compared in comparison with the results of numerical integration.

Key words:

boundary value problem, singularly perturbed differential equations, diagram method, asymptotic behavior of solutions, practical application. Date of receipt in edition: 22.02.20 Date o f acceptance for printing: 23.02.20