CC BY
16
иркутским государственный университет путей сообщения
«-угольник может быть превращен в треугольник с
параметрами k12, k23, k13 обобщенных пружин [7].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дружинский И. А. Механические цепи. - М. : Машиностроение, 1977. - 237 с.
2. Синев А. В. Определение нулей передаточных функций механических колебательных систем // Управляемые механические системы. - Иркутск. Иркутский политех. ин-т, 1984. - С. 2532.
3. Hedrichs S. L., Rairam S., Kamut N.P., Junkins I. L. Identification of Mass Dumping and Stiffness Matrices of large linear Vibrators Systems // AIAA Pap. - 1982. - № 1406. - P. 5.
4. Хоменко А. П., Елисеев С. В. Виброзащитные системы с сочленениями. Технологии построе-
ния математических моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. - Вып. № 3(27). - С. 8-18.
5. Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П., Засядко А. А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. - Иркутск : Изд-во Ир-кут. гос. ун-та, 2008. - 523 с.
6. Елисеев С. В., Ермошенко Ю. В. Динамические свойства виброзащитных систем. Предельные переходы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. Вып. № 4(28). - С. 24-31.
7. Синев А. В. Выбор параметров систем виброизоляции и динамических гасителей на основе методов синтеза цепей // Машиноведение. -1972.- № 1.- С. 28-34.
УДК 517.988.7 Сидоров Денис Николаевич,
канд. физ. -мат. наук, доцент ИМЭИ ИГУ, с. н. с. ИСЭМ СО РАН тел. 8-3952-42-84-40, е-mail: dsidorov@isem.sei.irk.ru Сидоров Николай Александрович, д.ф.-м.н. проф. ИМЭИ ИГУ тел. 8-3952-24-22-28, e-mail: sidorov@math.isu.runnet.ru
Леонтьев Роман Юрьевич аспирант ИМЭИ ИГУ
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ВЕКТОРНЫМ ПАРАМЕТРОМ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ
D.N. Sidorov, N.A. Sidorov, R.Ju. Leontiev
ASYMPTOTIC APPROXIMATIONS OF SOLUTIONS TO NONLINEAR BOUNDARY PROBLEMS WITH VECTOR PARAMETER IN THE NEIGHBORHOOD OF BIFURCATION POINT
Аннотация. Рассматривается нелинейное операторное уравнение с фредгольмовым линейным оператором в главной части. Нелинейная часть уравнения зависит от функционалов, определенных на открытом множестве линейного нормированного пространства. Предлагается метод последовательных асимптотических приближений разветвляющихся решений. Метод применен для решения нелинейной краевой задачи, описывающей колебания спутника и решения краевой задачи об изгибе стержня, лежащего на упругом основании.
Ключевые слова: ветвление решений, фредгольмов оператор, асимптотика, регуляри-
затор Треногина, последовательные приближения.
Abstract. Nonlinear operator equation with Fredholm linear operator in the main part is studied. Nonlinear part depends on functional defined on the open set of linear normed space. The method of successive asymptotic approximations of branching solutions is proposed. The method is applied for studies of nonlinear BVP modeling the satellite oscillations in the plane of its elliptic orbit and for solution of the BVP of the bending of rod on elastic foundation.
Keywords: branching solutions, Fredholm operator, asymptotic, Trenogin regularizator, successive approximations.
Введение
Пусть X, Y - банаховы пространства, Л -линейное нормированное пространство. Рассмотрим нелинейное операторное уравнение
Bu = F (ы,а(Л),Р(Л)), (1)
где
F (u,a,P) = Fn (u,a,P) +
+0 ((| |u| \ + \a\ + \P\ )N+1),
N
Fn(u,a,P) = Z Flkj (u)ak^, Fi00 = 0,
i+k+j=1
Fig- (u) - i -степенные отображения банахова пространства X в банахово пространство Y. Замкнутый фредгольмов оператор B действует из X в Y и имеет плотную область определения в X. Предполагается, что {ф} - базис в N(B), а {щ } - базис в дефектном подпространстве N * (B),a(Z) и /3(Л) - непрерывные функционалы параметра Л из открытого множества ПсЛ, где Л - линейное нормированное пространство, 0 е dQ, a(0) = 0, /3(0) = 0. Множество Q назовем секториальной окрестностью нуля.
Целью работы, продолжающей исследования [5, 6], является построение метода последовательных приближений непрерывных решений u(X) ^ 0 при Q э Л ^ 0 в секториальной окрестности Q точки Л = 0 и решение двух нелинейных технических краевых задач.
В работе [6] строилось решение задачи, подобной (1), максимального порядка малости. В работе [5] строились решения различных порядков малости интегрального уравнения Гаммерштейна, но с одним параметром Л е R1.
В основе метода этой работы лежит развитие результатов из [5, 6], полученных с помощью аналитической теории ветвления решений операторных уравнений [1-3]. Метод изложен в п. 1. В п. 2, 3 метод применен для решения двух нелинейных краевых задач. Одна из них описывает колебание спутника в плоскости его эллиптической орбиты, а другая - поведение стержня, лежащего на упругом основании, под действием сжимающей силы.
1. Теорема существования
и последовательные приближения
Пусть выполнено условие: A. Существуют 0 = I+m, где r, m, s - натуральные
числа, такие, что отображение F допускает представление
FN (а\а, 0) = ав ^ Fiko (V) + г^,а), (2)
ы+к=в
причем | | г(у, а)\ | = о(ав ), в < N. В конкретных случаях для определения подходящих чисел г, s, т надо нанести на координатную плоскость
точки (1, к), отвечающие ненулевым членам в разложении отображения ^ (и,а, 0) и построить соответствующую диаграмму Ньютона. Искомое г / s полагается равным tgу, где у - угол наклона одного из отрезков диаграммы с отрицательным направлении оси абсцисс 1. При этом в будет равно ординате точки пересечения продолжения этого отрезка с осью ординат к. Так как диаграмма Ньютона может иметь несколько отрезков, то выбор натуральных чисел г, s, т может оказаться неоднозначным.
Пусть в окрестности нуля выполнено неравенство
| ^ (и,а,Р) - F (и,а, 0)| |<
< Д| |и| | ,| а | ,|А |)| Pl , где
!(||и|| ,|а ||) =
= 0((| |и| | + |а| + |^|)/), I > 0. Пусть функционалы а(Л),Р(Л) в секториальной окрестности О удовлетворяют оценке С. Р(Л) = о(ав (Л)) при ОэЛ^ 0. Замечание. Если I > шах(г+т,г+т), то условие С.
можно заменить на менее ограничительное — в Р = о(аы).
Пусть, кроме того, выполнено условие Б. Система алгебраических уравнений
Ь](с) =< ^ Flko(еФ),Ч,) >= 0,
1Г+к*=г+т п
где j = п, сф = ^скфк, имеет простое реше-
B.
k=1
ние c
Введем регуляризатор В. А. Треногина (см. [2], с. 221)
п
Г = (В + £<-,у > )-1,
1=1
где <ф,ук > = 81к,< ,щк > = 31к. Для построения
малых решений уравнения (1) будем использовать униформизацию
и = (Гу(Л) + с(Л)ф)а(Л)г / *, (3)
r
иркутским государственный университет путей сообщения
где c(0) = c", v(0) = 0. Неизвестная функция v(A) удовлетворяет равенствам < v, W >= 0, i = 1,..., n.
С помощью замены (3) уравнение (1) приведем к виду
v = F ((Tv + cф)ar/s ,a,ß)ar/s, (4)
дополнив его равенствами
а~е < F((Tv + cф)аr/ s ,a,ß),¥j >= 0,
j (5)
j = 1,., n.
Таким образом, задача построения ветвей (3) свелась к отысканию функций v(Ä) и
c(Ä) = (q(Л),.,с(Л))' из системы (4) - (5). Будем искать при Q э Л — 0 функцию v(Л) — 0 и c(Л) — c*. Систему (4) - (5) рассмотрим как одно операторное уравнение
Ф(с,Л) = 0 (6)
относительно элемента с = (v, c). Введем банахово пространство E элементов с с нормой
с = max(|| v (Л) ||7 +| c (Л) |),
Л^й1 R
где Q Л. Нелинейное отображение Ф,
зависящее от малого векторного параметра Л, действует из E в E. В силу выбора чисел r,s,m и вышеуказанного асимптотического согласования в области Q функционалов а (Л), ß(%) (см. условие C.) оператор Ф непрерывен при Л gQ в окрестности точки с0 = (0, c*). При этом lim Ф(с,Л) = 0. Более того, оператор
с—с0,0эЛ—0
Ф (с, Л) имеет непрерывную производную Фреше по со при Л gQ в окрестности элемента с0. При этом
(I 0 ^
Фс(С0, 0) = .
Vl A )
Здесь I - тождественный оператор из 7 в Y, O - нулевой оператор из Rn в Y, l = d,...,ln),
lj(0 =< Z Fik(c*ф)T(•),Wj > j = n - ли-
ir+ks=r +m
нейные функционалы, определенные на Y,
A =< Z Fk (cVM Wj >|i,j =-n
ir+ks=r+m
- невырожденная матрица n x n. Линейный ограниченный оператор Фс(с0,0), действующий из E в E, имеет ограниченный обратный
f I 0 А
Ф-1(сп, 0) = с ( 0, ) -А'7(0 А'1
тШШ
Таким образом, при Л gQ уравнение (6) в окрестности точки с0 удовлетворяет условиям теоремы о неявном операторе ([2], с. 411). Следовательно, существует область Q ^ Q, 0 g DQ, такая, что искомое непрерывное решение с — с0 при Q g Л —^ 0 можно найти последовательными приближениями
Cn = С-1 - Фс1 (с, 0)ФК-1, Л),
где с0 = (0,c*),n = 1,2,.... Из изложенного вытекает
Теорема 1. Пусть выполняются условия A.— D. Тогда существует открытая область Q ^ Q, 0 gSQj, Qi^Q, такая, что при ЛGQ,ß(Л) = о(а(Л)) уравнение (1) имеет непрерывное решение
и(Л) = а(Л)/ s (c*ф + r (Л)), (7)
где c* - простой корень системы D., функция г(Л) определяется однозначно последовательными приближениями, || г(Л) ||= о(1) при
QG Л — 0.
Следствие 1.
Если выполнены условия теоремы 1, то при Л gQj последовательность ми = u n + cnфаг/s, где функции un, cn вычисляются из линейных уравнений
Bu n = F (un-x,a,ß),
А(с„ - С-1) = - (Щ „ - {Iп-1)) --а в < F({п-Х,а,Р),щ>,
и о = 0, с0 = с*, и0 = сфаг' *, п = 1,2,..., сходится к решению (7). Здесь
п
В = В + ^ < •, /г > ^ - обратимый оператор, А -1
невырожденная матрица,
I (В(й п - и п- =< 2 ^^ (с"ФФ(и п - и п-1,Щ >,
¡г+к*=г + т
В качестве простейшей иллюстрации теоремы 1 рассмотрим интегральное уравнение
1
u(t) - э| tsu(s)ds = (Л2 + Л )u(t)
0
-u 3(t)+(Л5 +Л>-
(8)
Оно удовлетворяет условиям теоремы 1. При этом
ф = г = &, а(Л) = Л + Л, Р(Х) = Л +Л, О
- проколотая окрестность нуля в Я2, г = 1, * = 2,в = 1.
Очевидно Р(Л) = о((Л +Л)3/2)- Поэтому замена (3) имеет вид и = (V + С)а(Л)1/2, где функция v(t) и параметр с, зависящий от Л и Л удовлетворяют системе
) = (л2+Л4)[у+^ - (V+^) ]+
Л5 +Л
(9)
с-3](С + + Л+Л 2 = 0. (10)
О (А + Л2)
Фиксируем начальное приближение с0 согласно
условию теоремы 1 как один из корней уравнения
с—-| с3 = 0. На основании теоремы о неявной
функции (см. [2], с. 411) система (9)-(10) имеет
три решения (VI,с^ ^ (0,у[3),
V,с2) ^ (0,-^), (VI,с3) ^ (0,0) при Л ^ 0.
Эти решения можно найти последовательными приближениями. Следовательно, интегральное уравнение (8) имеет при Л ^ 0 три малых решения
uia =±J5(А2+¿24)t+°((А2+ЛУ 2),
u 3 = o ((л2+лТ 2).
2. Построение решения краевой задачи о колебании спутника
Рассмотрим краевую задачу
. d2u _ . du
(l + e cos x)—- - 2e sin x--h
dx2 dx (11)
ha sin u - 4e sin x = 0,
и (0) = и (ж) = 0, (12)
описывающую колебания спутника в плоскости его эллиптической орбиты [1, п. 36], [4]. Здесь е -эксцинтриситет, параметр а зависит от главных центральных моментов инерции. В [1, п. 36] построено уравнение разветвления этой задачи и показано, что задача (11)—(12) может иметь три вещественных решения. Теорема 1 позволяет найти асимптотические соотношения между параметрами е и а, при выполнении которых эти решения
строятся последовательными приближениями. Полагая а = а0 + Л, перепишем задачу в виде операторного уравнения (1). В нашем случае линейный оператор В = + а0 действует из пространства С^ с граничными условиями (12) в С[0 ^ и является фредгольмовым, причем при
Далее а0 = 1,
а0 = n2, dim N(B) = l.
ф(x) = щ(x) = sin x. Нелинейная часть уравнения (1) имеет вид
г, ,, ч d2u du
F (и,Л,e) = —e—- + 2e--2sinu +
dx dx
+u - sin и + 4e sin x.
Если e = 0, то при любых а существует
тривиальное решение u0 = 0, причем правее критической точки (бифуркации) а0 = n2 от тривиального решения ответвляются два нетривиальных решения
u 2 = +2у[22л sin x + в(л[Л).
Если e мало, то в малой окрестности некритических точек а существует одно малое решение.
Рассмотрим более сложный случай построения решений при малом e > 0 в окрестностях критической точки а0 = 1. Тогда кубическое уравнение
- 2ж2Ц + \n3e = 0 (13)
является соответствующим приближенным уравнением разветвления [1, с. 508]. Если
D = 27e2 — 22 < 0, то на основании формулы Кардано это уравнение имеет три вещественных решения. Используя теорему 1, докажем существование соответствующих вещественных решений краевой задачи и возможность их построения последовательными приближениями. Здесь диаграмма Ньютона оператора F(u,2,0) состоит из отрезка, проходящего через точки (3,0), (1,1). Поэтому в нашем случае r = 1, s = 2, m = 2, т. е. надо согласно теореме 1 использовать униформизацию (3), т. е. замену
u = (rv + Cyfüxsin x)2y 2 (14) с граничными условиями (12) при условии асимптотического согласования e = o(2332) параметров задачи. Очевидно при этом D < 0, т. е. приближенное уравнение разветвления имеет три вещественных решения. Оператор
иркутским государственный университет путей сообщения
d2 2 } B =—- +1 л— I sin x sin s[-]ds ni
dx
ния
u.
\2= ±2>/2Л sinx + r 2(x,X,s),
имеет вид
u = —2(4e)3 sin x + r (x, Л, e),
довательные приближения u , где
d2 u„
с граничными условиями (12) имеет ограниченный
„ (2)
обратный Г е Z(C[07r] —» С[о,тг]). Методом Jla-
гранжа вариации произвольных постоянных, с учетом вырожденности ядра в интегральной части оператора B, найдем обратный оператор: Tv = sin x • (I — P)v + pv — d sin x,
n
где P = -21 sin x sin s[]ds - проектор,
0
2
d = — (sin x, sin x • (I — P)v). n
Согласно условию D. теоремы 1 построим
алгебраическое уравнение
c3
L(c) =--+ c = 0
4n
для определения начального приближения коэффициента c в (14). Оно имеет три простых корня
0. Поэтому на основании теоремы 1 краевая задача имеет при выполнении асимптотической оценки e = й(Л3/2) три вещественных реше-
+ (1+ Л + a)un = —e
d2 u
n—1
+ 2e-
du
n—1
dx
(16)
щ = г (х,Л,е), где функции г имеют оценки г (Л) = о(Л12) при е = о(Л3/2 ). Асимптотические приближения решений щ, щ, щ можно уточнить, решая определенные линейные уравнения согласно следствию 1.
Если е ~ сЛп при Л ^ 0, где п < 3/2, то приближенное уравнение разветвления (13) имеет одно вещественное решение, т. к. тогда очевидно О > 0. Соответствующее единственное малое вещественное решение краевой задачи в этом случае
II г(х,Л,е) ||= о(е1/3), где г(х,Л, е) строится единственным образом последовательными приближениями, описанными в следствии 1.
Отметим, что ветвь щ максимального порядка малости можно искать при нулевом начальном приближении и другим способом, описанным
в работе [6]. А именно, если е = о(Л2), то после-
dx2 n dx2
+(1 + X)(un_! — sin un_ j) + 4e sin x
и (0) = ип (ж) = 0, ио = 0, п = 1,2,., а(8) - параметр регуляризации, согласованный с погрешностью вычислений 8 [7, Л. 3], сходятся к минимальной ветви щ решения краевой задачи (11)-(12).
3. Построение решений краевой задачи об изгибе стержня в нерегулярном случае
При изучении поведения стержней под действием сжимающей силы возникают краевые задачи вида
у(4) (х) + 2ру(2)(х) + у = /(у, /), 0 < х < ж; (15) у (0) = 0, у (ж) = 0, у(2)(0) = 0, у(2) (ж) = 0, где /(у,/) - нелинейная функция, зависящая от малого параметра / . Технические задачи такого рода рассматривались многими авторами (см. [8], [9, стр. 323-345], [10] и др.). Например, в работе [8] изучались задачи на собственные значения таких уравнений при
/ (у,/) = у 3( х) - 2ру 02)( х)/ где у(х) описывает малый прогиб стержня, р(Л) -величина осевого сжатия, у ( х) - начальная форма, / - амплитуда.
Для определенности далее пусть в уравнении (15)
/ (у, /3) = у3( х) + а( х)3, где а(х) - заданная функция, /(р) - параметр, зависящий от величины осевого сжатия р. Требуется построить решение задачи при достаточно малой амплитуде /.
Введем линейный оператор
„ Л 44 о 42 ,
А(Р)=^х^+2Р^+1
0(4)
действующий из пространства С[о,ж] четырежды дифференцируемых функций, удовлетворяющих граничным условиям, в пространство С^^ .
'2 1
к2 +-
Точки p¿ =■
2
являются его изолиро-
ванными фредгольмовыми особыми точками, а функции sin(kx) - соответствующими собствен-
0
2
B =
dx4
■ + 2-
dx2
■ +1 +
+
-1
л n
sin x sin
G( x, s) =
4л
s — л
3 2 ' s — л
-x cos scos x h--cos s sin x, 0 < x < s < л,
2л 2л
1 / 2 / \2 12 3 \ ■ ■ x
— (s + (x — л) —л —) sin x sin s h--sin x cos s —
4л 3 2 2л
x — л x — л -
--scos x cos x +--cos x sin s, 0 < s < x < л.
2л 2л
Согласно условию D, введем алгебраическое уравнение
l(x) = c3 J sin4 xdx — 2c л sin2 xdx = 0.
0 0
ными функциями. Точки pk будем далее называть критическими.
Если ¡= 0, то задача (15)-(16) при любых
*
p имеет тривиальное решение y = 0. Вблизи
этого решения при малых ¡ и малых отклонениях
* *
p от p может существовать одна (p не является критическим), или несколько равновесных форм стержня (p - критическое). Соответственно, если p не является критическим и ¡ достаточно мал, то и задача (15)-(16) имеет единственное решение.
Рассмотрим более сложный случай вычисления решения задачи (15)-(16), когда p - критическое.
Пусть для определенности k = 1, т. е. p = 1. Тогда sin x собственная функция оператора A(1), dimN(A(1))=1. Согласно обозначениям в уравнении (1) имеем
By = A(1)y,
, d2 y F (y, 2,¡) = y3 + 22+ a( x)¡
0
где 2 = 1— p, X = Cfo4¡, Y = C[0Lfr].
Таким образом, задача (15)-(16) переписана в виде Bu = F(u,a(2),¡(2)), где а = 2, ¡=¡¡2). Диаграмма Ньютона такого оператора F(y,2,0) состоит из одного отрезка, проходящего через точки (3,0), (1,1). Поэтому г = 1, s = 2,m = 2. Оператор В имеет вид
d4 _ d2
42
На основании обобщенной леммы Шмидта [2] оператор В имеет ограниченный обратный интегральный оператор, действующий из С[0л-] 0(4)
в С[0,л], отвечающий на основании [8] обобщенной функции Грина
1 / 2 / \2 12 3 \ • • x
(x + (s — л) —л —) sin s sin x +--sin s cos x —
2л
Оно имеет ровно три простых решения
= ±2л/27з ,с3 = 0. Следовательно, при
Р=о(Л3 2) и достаточно малых | Л| задача (15)-(16) имеет ровно три решения:
У и 81П X + г12(Х)
Уз = гз(л) где г (Л) = о(| Л|1/2), I = 1,2,3.
Очевидно, что при Л> 0 решения Уь У 2 будут вещественными. Решение у3 имеет максимальный порядок малости при Л ^0.
Как и в случае краевой задачи (11)-(12) для построения решения у3 (Л) и уточнения асимптотики первых двух решений можно применить схему последовательных приближений, описанную в следствии 1. Для построения решения У (Л), имеющего максимальный порядок малости, как и в задаче (11)-(12) можно использовать и другой способ последовательных приближений, описанный в работе [6].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-08-00109 и № 09-01-00377) в рамках ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.», гос. контракт N0.696 20.09.2010.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М. : Наука, 1969.
2. Треногин В. А. Функциональный анализ. - М. : Наука, 2007. - 488 с.
3. Сидоров Н. А., Треногин В. А. Точки бифуркации решений нелинейных уравнений // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения / ред. Треногин В. А., Филиппов А. Ф. - М. : Физматлит, 2003. - С. 5-50.
4. Торжевский А. П. Периодические решения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. - 1965. -Т. 2, вып. 5.
5. Сидоров Н. А., Сидоров Д. Н. О решении интегрального уравнения Гаммерштейна в нерегулярном случае методом последовательных приближений // Сибирский математический журнал. - 2010. - Т. 51, N. 2. - С. 404-414.
6. Сидоров Н. А., Леонтьев Р. Ю. О решении максимального порядка малости нелинейных уравнений с векторным параметром в секториаль-ных окрестностях // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2010. - Т. 16, N. 2. -
иркутским государственный университет путей сообщения
C. 226-237.
7. Sidorov N., Loginov B., Sinitsin A., Falaleev M. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. - Kluwer Ac. Publ., 2002. -548 p.
8. Keener J. P. Buckling Imperfection Sensitivity of Columns and Spherical Caps // University of Arizona. - 1974.- P. 173-188.
9. Крейн С. Г. Функциональный анализ. - М. : Наука, 1972. - 544 с.
10. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. -М. : Наука, 1968. - 503 с.
11. Сидоров Н. А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. - Иркутск : Изд-во ИГУ, 1982. - 311 с.
УДК 621.914.6: 004.942 Андросов Сергей Павлович,
канд. техн. наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов» Омского государственного технического университета, тел.: (3812)-652026, 89081155106, e-mail: asp57@list.ru Браилов Иван Григорьевич, д-р техн. наук, профессор кафедры «Прикладная механика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии, тел.: (3812)-651176
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РЕЖУЩИХ КРОМОК ЧЕРВЯЧНОЙ МОДУЛЬНОЙ ФРЕЗЫ С ЗАКРУГЛЕННОЙ
ВЕРШИНОЙ ЗУБЬЕВ
S.P. Androsov, I. G. Brailov
ANALYTICAL DESCRIPTION OF HOB MODULAR CUTTER WITH ROUNDED CUTTING EDGES
Аннотация. В работе рассматривается аналитическая модель червячной модульной фрезы для обработки цилиндрических зубчатых колес на основе ее описания параметрическими векторными функциями. Модель предназначена для исследования процесса формообразования при зубо-фрезеровании.
Ключевые слова: червячная модульная фреза, моделирование, векторная функция, зубо-фрезерование.
Abstract. This rapper deals with the analytical pattern of a hob modular cutter for the cylindrical gears processing on basis of its description by parametric vector functions. The model is intended for the investigation of a form-building process in the gear milling.
Keywords: hob modular cutter, modelling, vector function, gear milling.
В производстве зубчатых колес фрезерование червячными фрезами является самым распространенным способом. Несмотря на широкое применение и достаточно большую теоретическую и экспериментальную проработку, данный способ остается с нерешенными и противоречивыми задачами [1, 2].
Зубофрезерование с точки зрения анализа взаимодействия заготовки с червячной фрезой, их кинематики и силовых воздействий является
сложным пространственным и многопараметрическим процессом.
Настоящая работа посвящена разработке аналитической модели червячной модульной фрезы на основе ее описания параметрическими векторными функциями. Моделирование инструментов со сложным профилем, к которым относится червячная фреза, дает возможность исследования операций резания и формообразования зубьев. Например, решение следующих задач: нахождение координат точек режущих кромок зубьев фрезы, осуществляющих снятие металла; определение сил, возникающих при зубообработке на каждом из зубьев фрезы при различных их положениях в пространстве. Кроме того, необходимость определения сил при зубофрезеровании, как отмечается в работе [3], обусловлена не только точностными показателями зубчатого колеса, но и возможностью расчета оптимальных режимов резания.
В статье рассматривается модель червячной модульной фрезы с закругленной вершиной зубьев. Модель является проволочной, так как она предусматривает описание векторными функциями только режущих кромок зубьев фрезы. В модели не рассматриваются участки закругления ножки зуба, а также кромки впадин, поскольку они не принимают участия в резании и формообразовании зубьев. Модель учитывает винтовой характер режущих кромок зубьев фрезы.
