Асимптотическая теория гиперболического пограислоя в оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях тангенциального типа Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 2. С. 222-230

Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2024, vol. 24, iss. 2, pp. 222-230 https://mmi.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-2-222-230, EDN: SFYWBV

Научная статья УДК 539.3

Асимптотическая теория гиперболического погранслоя в оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях тангенциального типа

И. В. Кириллова

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, д. 83

Кириллова Ирина Васильевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической теории упругости и биомеханики, iv@sgu.ru, https://orcid.org/0000-0001-6745-4144, AuthorlD: 179980

Аннотация. Работа посвящена построению асимптотически оптимальных уравнений гиперболического погранслоя в тонких оболочках вращения в окрестности фронта волны расширения при ударных торцевых воздействиях тангенциального типа. Соотношения выводятся методом асимптотического интегрирования точных трехмерных уравнений теории упругости в пространстве специальной системы координат, явно выделяющей зону действия погранслоя. Для этого анализируется поведение переднего фронта волны расширения, имеющего сложную форму вследствие кривизны оболочки. Построенная асимптотическая модель геометрии переднего фронта дает его представление через повернутые нормали к срединной поверхности. Эти повернутые нормали и дают возможность определить геометрию узкой, порядка квадрата относительной толщины оболочки, области применимости рассматриваемого гиперболического погранслоя. Построенные асимптотически оптимальные уравнения сформированы для асимптотически главных компонент напряженно-деформированного состояния: продольного перемещения и нормальных напряжений. При этом разрешающее уравнение относительно продольного перемещения является гиперболическим уравнением второго порядка с переменными коэффициентами у слагаемых первого порядка малости по сравнению с его главной частью, определяющей гиперболический погранслой в пластине.

Ключевые слова: асимптотическая теория, гиперболический погранслой, ударные воздействия тангенциального типа, волна расширения, оболочка вращения, нестационарные волны Для цитирования: Кириллова И. В. Асимптотическая теория гиперболического погранслоя в оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях тангенциального типа // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 2. С. 222230. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-2-222-230, EDN: SFYWBV

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0) Article

Asymptotic theory of the hyperbolic boundary layer in shells of revolution at shock edge loading of the tangential type

I. V. Kirillova

Saratov State University, 83 Astrakhanskaya St., Saratov 410012, Russia

Irina V. Kirillova, iv@sgu.ru, https://orcid.org/0000-0001-6745-4144, AuthorlD: 179980

Abstract. The present work is devoted to the construction of asymptotically optimized equations of the hyperbolic boundary layer in thin shells of revolution in the vicinity of the dilation wave front at shock

edge loading of the tangential type. These equations are derived by asymptotically integrating of the exact three-dimensional theory elasticity equations in the special coordinate system. This system defines the boundary layer region. The wave front has a complicated form, dependent on the shell curvature and therefore its asymptotical model is constructed. This geometrical model of the front defines it via the turned normals to the middle surface. Also, these turned normals define the geometry of the hyperbolic boundary layer applicability region. Constructed asymptotically optimised equations are formulated for the asymptotically main components of the stress-strain state: the longitudinal displacement and the normal stresses. The governing equation for the longitudinal displacement is the hyperbolic equation of the second order with the variable coefficients. The asymptotically main part of this equation is defined as the hyperbolic boundary layer in plates.

Keywords: asymptotical theory, hyperbolic boundary layer, shock loading of the tangential type, dilatation wave, shell of revolution, transient waves

For citation: Kirillova I. V. Asymptotic theory of the hyperbolic boundary layer in shells of revolution at shock edge loading of the tangential type. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2024, vol. 24, iss. 2, pp. 222-230 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-2-222-230, EDN: SFYWBV

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)

Введение

Работа посвящена построению асимптотически оптимальной теории гиперболического погранслоя в тонкостенных оболочках вращения произвольной формы с непрерывно изменяющейся срединной поверхностью при ударных торцевых воздействиях тангенциального типа, характеризующихся нулевыми значениями изгибающего момента и перерезывающей силы. Рассматриваемый в настоящей работе тип погранслоя соответствует одному из трех характерных видов ударных торцевых воздействий, которые, в соответствии с классификацией У. К. Нигула [1], приводят к принципиально разным типам нестационарного волнового напряженно-деформированного состояния (НДС), в частности, отличающихся принципиально разными свойствами в окрестностях передних фронтов волн расширения и сдвига. Отметим, что рассматриваемое продольное воздействие тангенциального типа, названное в [1] воздействием вида LT, приводит к особенностям решения в области переднего фронта волны расширения, соответствующим симметричному плоскому НДС для полуполосы.

В отличие от аналогичных НДС для оболочек вращения нулевой гауссовой кривизны, где передние фронты волн задаются нормалями к срединной поверхности оболочек, в нашем случае фронты волн искривляются и поворачиваются относительно нормали в зависимости от кривизны срединной поверхности. В данной статье показывается, что асимптотический анализ дает представление этих фронтовых поверхностей повернутыми нормалями к срединным поверхностям, что дает возможность определить геометрию узкой, порядка квадрата относительной толщины оболочки, области применимости рассматриваемого гиперболического погранслоя.

Асимптотическое представление искомых фронтовых поверхностей позволило ввести новую систему координат, позволяющую выделить явно зону действия гиперболического погранслоя и построить асимптотическое решение для этой составляющей. Выполнено асимптотическое интегрирование трехмерных уравнений динамической теории упругости в этих координатах при показателе изменяемости НДС по продольной координате (задающей в этом случае отклонение от волнового фронта), равной 2. Получены асимптотически оптимальные уравнения рассматриваемого погранслоя относительно асимптотически главных составляющих НДС (нормального напряжения и продольного перемещения). При этом нормальное напряжение выражается через продольное перемещение, а разрешающее уравнение относительно продольного перемещения является гиперболическим уравнением второго порядка и записывается с асимптотической точностью порядка относительной толщины оболочки.

Отметим также, что при переходе в полученном разрешающем уравнении искомого погранслоя к обычным криволинейным координатам, связанным со срединной поверхностью и нормалью к ней, получается упрощенная система уравнений, непосредственно выводимая методом асимптотического интегрирования из исходной трехмерной системы. Однако такая разрешающая система не позволяет в явном виде определить свойства погранслоя и построить в обычных координатах простое решение для узкой прифронтовой области.

1. Постановка задачи

Рассмотрим распространение осесимметричных ударных волн в полубесконечной оболочке вращения, возбуждаемых в начальный момент времени торцевой ударной нагрузкой вида ЬТ [1]. Общая схема расчленения такого нестационарного НДС на составляющие с различными показателями изменяемости и динамичности рассматривалась в монографиях [2,3] и работах [4,5].

Асимптотически оптимальные уравнения гиперболического погранслоя, имеющего место в окрестности фронта волны расширения, в оболочках вращения впервые были выведены в [6]. Там процесс асимптотического интегрирования проводился на базе уравнений теории упругости в координатах, связанных с областью порядка относительной толщины оболочки, соседней с нормалью, проходящей через точку срединной поверхности, определяемую передним фронтом волны расширения. Как показывают исследования, эта область содержит и фронт волны, и узкую, порядка квадрата относительной толщины, прифронтовую область применимости уравнений погранслоя. Целью настоящей работы и является построение уравнений искомого погранслоя в координатах, связанных непосредственно с поверхностью переднего фронта. Сравнение этих двух типов уравнений позволит окончательно сделать выводы относительно возможности применения этих систем.

Выпишем трехмерные уравнения теории упругости для рассматриваемой оболочки вращения, изображенной на рис. 1, где (а, 0, г) — криволинейные координаты: а — длина дуги вдоль образуюшей, 0 — угол в окружном направлении, г — координата внешней нормали к срединной поверхности:

ш

-2

дЧ + д2

VI

1 д2

VI

+

1

д2

с2 д£2 1- дадг

г ( -2 д2VI

да2 дг2

д2 VI 1 д2 VI ^ +ш-2 В дщ + М +

+

+ ■

1

дг 2

+

с2 д£2 ) 3-4^ 1

+

В да 1

^ + Я^ дг +

1 \ дvз

1 - 2^ Я 1 - 2^ Я2 / да

0,

1 — 2^ дадг д2 vз

д2 VI дЧ -2 д2 Vз + + ш 2

+ш

-2

да2

1 д2 vз

дг 2

с2 д£2

дг 2 3-4^ 1

1_ дЧ

с2 д£2 дvl

+

г

+ Я1 1

д2 V

Vз

(1)

да2

В7 дvl

1 — 2^ Я1 да 1 — 2^ В дг

+

+

В дvз

В да

з + ^ + ^ дvз = 0,

ЧЯ1 Я2/ дг

Е

^11

^22 =

^зз

1 + V

Е

1 + V

Е

1 + V

дvl дvз г дv1 В7

к2 ю +к1 — к2 я ю +к1 в"1 +

Я1 + Я2

Vз

, 7 дv3

да дг Я1 да

дvl 7 В7

+ к2 +

, ? дv3

--Ь --к1

да дг

Я1 / 1

к2 \

1 \

г дvl В7 7 . . . .

Я ю +к1 В"1 + Ч + vз

(2)

^1з

Е ^ дv1 + дv3

2(1 + V)\ дг да

г дv3 1

Я "да + яvз

f

Эти уравнения выписаны с асимптотической погрешностью 0(е2), необходимой для описания гиперболического погранслоя. Разрешающие уравнения движения в перемещениях и уравнения закона Гука имеют соответственно вид (1) и (2), где е — малый параметр тонкостенности оболочки: е = h/R, h — полутолщина, R — характерное значение радиусов кривизны, aj — напряжения, v — перемещения, t — время, E — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, р — плотность материала оболочки, R — радиусы кривизны срединной поверхности, ki = v/(1 — 2v), k2 = (1 — v)/(1 — 2v), ж2 = (1 — 2v)/(2 — 2v), B — расстояние от срединной поверхности до оси вращения, c1 и c2 — скорости распространения волн расширения и сдвига.

Рассмотрим следующий вид ударного LT воздействия на торец оболочки вращения, когда ударная нагрузка зависит от времени как единичная функция Хевисайда H(t):

a11 = IH (t), v1 =0, а = 0, где I — амплитуда. Однородные начальные условия записываются в виде

Рис. 1. Криволинейные координаты оболочки вращения

Fig. 1. Curvilinear coordinates of the shell of revolution

Ovi

Ж

0,

1, 2.

2. Асимптотическая геометрическая модель фронта волны расширения

Исследование решения для точных волновых уравнений в цилиндрической оболочке явилось базовым для анализа гиперболического погранслоя в оболочках вращения нулевой гауссовой кривизны [7]. В качестве базовой задачи для общего случая оболочек вращения выберем теперь задачу для сферической оболочки с радиусом срединной поверхности Д.

Картина распространения возмущений для сферической оболочки в момент времени ¿о представлена на рис. 2. Здесь схематически изображено сечение рассматриваемой оболочки через центр Оз. Считаем, что а0 = с1^о; А и В2 — граничные точки распространения возмущений по верхней и нижней лицевым поверхностям; А1А2, В1В2, О1О2 — нормали к срединной поверхности, проходящие через точки А1, В2 и а0. Поскольку мы рассматриваем сферическую оболочку, то эти нормали лежат на радиусах окружности срединной поверхности, проходящих через эти же точки.

Соотношения между длинами дуг и радиусами концентрических окружностей позволяют определить координаты точек А1 и В2:

Рис. 2. Формирование фронта волны расширения

в сферической оболочке Fig. 2. Formation of an expansion wave front in a spherical shell

а = а0[1 - £ + 0(е2)], а = ао[1 + е + 0(е2)],

(3)

которые являются точками фронта волны расширения на верхней и нижней лицевых поверхностях.

Аналогично (3) можно считать, что линии, проходящие через точки А, а0 и В2, определяются следующим выражением:

a

ao

i - R+о(£2)

ao

1 - < + O(£2)

(4)

Будем теперь рассматривать поверхность, определяемую уравнением (4), как поверхность переднего фронта волны и а0 как фронтовую точку на срединной линии. При этом с асимптотической погрешностью 0(е2) можно считать уравнение (4) уравнением прямой, а фронт волны можно считать поверхностью, образованной нормалями к срединной линии, повернутыми в точках ао = С1 ¿0 •

Перейдем к построению асимптотики фронта волны в оболочках вращения. Для определенности рассмотрим оболочку вращения положительной гауссовой кривизны, схематичное

изображение которой представлено на рис. 3. Обозначения на этой фигуре полностью соответствуют обозначениям на рис. 2. Так как первый коэффициент Ламе в рассматриваемой системе координат записывается в виде [8]

Hi

1+ж,

Рис. 3. Формирование фронта волны расширения в оболочке вращения Fig. 3. Formation of an expansion wave front in a shell of revolution

где — главный радиус кривизны срединной поверхности, то искомые расстояния по лицевым поверхностям до волнового фронта определяются следующим образом:

"«0

da

"«0

da

TiOi = ao + h/ —, T2O2 = ao - h/ —, Jo Ri Jo Ri

а отрезки кривых AiOi и O2B2 определяются выражениями

f a0 da

Ai Oi = O2 B2 = h —.

Jo Ri

(5)

Полученные результаты для сферической оболочки обобщим на случай оболочки вращения. Непосредственно из (5) следует, что поверхность, определяемую выражением

a = ao - zF(ao), F(ao)

ao

o

da

ж'

(6)

будем рассматривать в качестве волнового фронта волны расширения, образованного повернутыми нормалями к срединной поверхности. Легко видеть, что при этом длина отрезка повернутой нормали г(р задается следующим образом:

z o

V1 + F 2 (ao).

(7)

3.

Уравнения гиперболического погранслоя в окрестности фронта волны расширения

В соответствии с длиной отрезка повернутой нормали, задаваемой формулой (7), введем новую координату гр: гр = г^/1 + (а), которая при а = а0 = с1 Ь отсчитывается вдоль координатной линии новой системы координат (а, гр), совпадающей с передним фронтом волны.

Для вывода асимптотически оптимальных уравнений рассматриваемого гиперболического погранслоя отметим, что в случае оболочек вращения нулевой гауссовой кривизны он является

в асимптотическом смысле обобщением соответствующего погранслоя в полосе и отвечает плоскому типу НДС [6]. В рассматриваемом случае погранслой имеет симметричный тип, когда с асимптотической погрешностью О(е) функции у\, ац, а22, ^ээ по нормальной координате четны, а <иэ, а\э — нечетны.

В рассматриваемой новой системе координат (а, ) также можно выявить свойства четности и нечетности напряжений и перемещений по введенной координате гр с асимптотической погрешностью О(е), что обусловлено одинаковой формой асимптотически главной части разрешающей системы как для простейшего случая цилиндрической оболочки, так и для общего случая оболочек вращения. С учетом этого свойства разрешающие уравнения (1), (2) записываются в следующем виде:

V1 +(1 + F2)д2V1

+

:д!

да2

ZF F

R1

-2

д2

dzF

V1

1 д2 v1 л/1 + F2 + 1 — 2v

д2

V3

LV1 + F2 дадzF

V1 + F2 д2 V1 д2 V3

+

\ дг2

1 д2 V31

дадzF

+

+

zF

1 — 2v дадzf

1 д2 V1

+

1 — 2v дz2 j

+ ш-2 (1 + F2)

+ ш-2 B ^ = 0,

R1v/r+F2 E

«11 = т—;— I «2

L1 — 2v дz2

+

да2 2

д 2

V3

B да

1 д2 V3

(8)

ду 2 <JzF

c2 дг2

+

д2

V3

л/1 + F2 дадzF\

+ в у 1 + f 2 дУ1 + в ^Vi = 0

1 + V

E

«33 =

1 + V

И + £)5 «13 = 2(1 + V)

(1 — 2v)B дzF E

, - ( «1 —--h «1

+V

E

B даF

дzF.

1+F2 ^ + ).

дzF да /

(9)

Подобно случаю гиперболического погранслоя в оболочках вращения нулевой гауссовой кривизны введем безразмерные переменные, характеризующие НДС гиперболического погранслоя в малой, порядка О(е2), окрестности фронта волны расширения (6):

X =-1 (то — Со), то = C1 t/R, Со = а/R, Zf = zf/h,

(10)

где Я — характерное значение радиусов кривизны. Примем, что дифференцирование по введенным переменным параметрам не изменяет порядка искомых функций. Эти переменные позволяют явно выделить области применимости искомого погранслоя, которые схематично представлены на рис. 4.

z Ai

} a0 (

) -

B2

Ai " z

«0

B2

а / a

б / b

Рис. 4. Схемы областей применимости гиперболического погранслоя в цилиндрической оболочке (а) и

оболочке вращения (б)

Fig. 4. Schemes of the domains of applicability of the hyperbolic boundary layer in a cylindrical shell (a)

and a shell of revolution (b)

Здесь изображено расположение искомых областей применимости для цилиндрической оболочки (рис. 4, а) и оболочки вращения (рис. 4, б) в момент времени ¿0 с координатой фронта на срединной поверхности ао = с1 отрезки А1В2 задают прямолинейные фронты, которые в случае оболочки вращения образуются путем поворота нормали вокруг точки а0. Асимптотические величины компонент НДС зададим следующим образом:

V! = Де»*, »3 = Де2 V*, он = Ее-1 0^, 033 = Ее-1 0*3, 043 = Е0*3. (11)

Считаем, что величины со звездочками имеют одинаковый асимптотический порядок; звездочки в дальнейшем опускаем. Перейдем в уравнениях (8), (9) к переменным (10) с учетом (11). Учитывая также зависимость производных по а от производных по х и , приходим к следующим уравнениям:

œ2(1 + F2-, ev _ 2 gf! + 2_ VTTf2 д2V3 Bdzi = n

V R^VTTF2 datfC ardÇo 2(1 - v) dxdZF Bd! '

+ =

d!2

(12)

= 1 д»1 = V д»1 _ л/1 + ¥2 д»1 (13)

011 = - 2(1 + V)ш2 0х"' 033 = - (1 - 2v)(1 + V) 0х"' 013 = 1 + V дСР' ( )

Полученные разрешающие уравнения (12), (13) являются уравнениями с медленно изменяющимися коэффициентами, зависящими от функции В и функции ¥, которая стремится к нулю при стремлении к бесконечности главного радиуса кривизны Д1. При этом фронт волны переходит в положение нормали к срединной поверхности и оболочка становится оболочкой вращения нулевой гауссовой кривизны, а рассматриваемые уравнения переходят в уже полученные разрешающие уравнения для этих простейших оболочек.

Система уравнений (12) получена с погрешностью О(е), поэтому ее второе уравнение с медленно изменяющимся коэффициентом можно проинтегрировать по х, получая выражение для перемещения «3 через

Й = -^Й- ■ (14)

Подставляя (14) в первое уравнение системы (12), приходим к одному разрешающему уравнению относительно асимптотически главной компоненты :

(1 + ¥2)ач , 2 д2»1 2 ( д2«1 В^ = 0

( + ) дСр + дхд£о Д^ч/ТГГ2 дхдСр В дх '

1 д»1 V д»1 л/1 + ¥2 д»1

011 = -2(1 + V)^2 ах' 033 = -(1 -2v)(1 + V) ах"' 013 = 1 + V дсР■

В исходной размерной форме полученные разрешающие уравнения для асимптотически главных составляющих примут следующий вид:

о2 fi + ( 2 ) dîvi _ I d2vi + 2zf d2 f! + в: = n

da2 + ( + ) dzF c2 dt2 + R!yiTF2 dadzF + B da П'

E dv! ev dv! E г-— dv!

011 = 2(1 + V)œ ea' 033 = (1 -2v)(1 + V) to' 013 = TT^V 1 + FdZF

(15)

Полученные разрешающие уравнения (15) обобщают аналогичные уравнения погранслоя для оболочек вращения нулевой гауссовой кривизны, поскольку при стремлении R1 к бесконечности функция F (ao ) стремится к нулю и полученные уравнения (15) принимают вид

д2vi д2vi 1 д2vi B: dvi ^ -1 +__1___1 +___1 = n

da2 dz2 c2 dt2 B dC ' (16)

E dv1 ev dv1 E dv1

011 = 2(1 + v)œ2 dO"' 033 = (1 - 2v)(1 + v) â^' 013 = 1+VdF'

что является системой разрешающих уравнений гиперболического погранслоя, полученных в [6]. Отметим также, что при переходе в (15) к исходным координатам (а, z) также полностью приходим к уравнениям (16). Можно, таким образом, сделать вывод, что система (16) описывает гиперболический погранслой в рамках окрестности порядка O(e), внутри которой он и содержится с толщиной порядка O(e2), а для его определения и требуются уравнения системы (15).

Построенные разрешающие уравнения движения свелись для асимптотически главных компонент НДС к одному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами, для удовлетворения которых требуется только по одному граничному условию как на торце, так и на лицевых поверхностях. Поэтому граничные условия на лицевых поверхностях запишутся в

форме _

«33 = 0, zf = ±hy/1 + F2 (а),

а для нагружений на торце — в следующей форме:

«11 = IH (г), а = 0.

Вывод

Разработанная модель завершает построение асимптотической теории нестационарного НДС тонких оболочек вращения в плане вывода оптимальных уравнений, описывающих в простейшей форме его свойства в малой окрестности переднего фронта волны расширения. Также проведена привязка фронта к повороту нормали к срединной поверхности и выявление главных компонент НДС: продольного перемещения и нормальных напряжений. Полученное разрешающее гиперболическое уравнение второго порядка позволяет не только получить аналитическое решение, но и дать удобную форму для решения численного.

Список литературы

1. Nigul U. K. Regions of effective application of the methods of three-dimensional and two-dimensional analysis of transient stress waves in shells and plates // International Journal of Solids and Structures. 1969. Vol. 5, iss. 6. P. 607-627. https://doi.org/10.1016/0020-7683(69)90031-6

2. Коссович Л. Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов : Изд-во Саратовского ун-та, 1986. 176 с. EDN: VIOSWL

3. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. San Diego : Academic Press, 1998. 226 p. https://doi.org/10.1016/C2009-0-20923-8, EDN: WNSAFB

4. Kossovich L. Yu, Kirillova I. V. Dynamics of shells under shock loading: An asymptotic approach // Civil-Comp Proceedings. 2008. Vol. 88. P. 1-20. EDN: QPMORG

5. Коссович Л. Ю., Кириллова И. В. Асимптотическая теория нестационарных процессов в тонких оболочках // Актуальные проблемы механики сплошной среды : труды II междунар. конф. (Дилижан, 04-08 октября 2010 г.). Т. 1. Дилижан : ЕГУАС, 2010. С. 321-325.

6. Kirillova I. V., Kossovich L. Yu. Dynamic boundary layer at nonstationary elastic wave propagation in thin shells of revolution // AiM'96: Proceedings of the Second International conference «Asymptotics in mechanics». Saint Petersburg State Marine Technical University, Saint Petersburg, Russia, October 13-16, 1996. Saint Petersburg, 1997. P. 121-128.

7. Кириллова И. В. Асимптотический вывод двух типов приближения динамических уравнений теории упругости для тонких оболочек : дис. . .. канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1998. 122 с.

8. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. Москва : Наука, 1976. 512 с.

References

1. Nigul U. K. Regions of effective application of the methods of three-dimensional and two-dimensional analysis of transient stress waves in shells and plates. International Journal of Solids and Structures, 1969, vol. 5, iss. 6, pp. 607-627. https://doi.org/10.1016/0020-7683(69)90031-6

2. Kossovich L. Yu. Nestatsionarnye zadachi teorii uprugikh tonkikh obolochek [Unsteady Problems in the Theory of Elastic Thin Shells]. Saratov, Saratov State University Publ., 1986. 176 p. (in Russian). EDN: VIOSWL

3. Kaplunov Y. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. San Diego, Academic Press, 1998. 226 p. https://doi.org/10.1016/C2009-0-20923-8, EDN: WNSAFB

4. Kossovich L. Yu, Kirillova I. V. Dynamics of shells under shock loading: An asymptotic approach. Civil-Comp Proceedings, 2008, vol. 88, pp. 1-20. EDN: QPMORG

5. Kossovich L. Yu., Kirillova I. V. Asymptotic theory of nonstationary processes in thin shells. Proceedings of the Second International Conference Topical Problems of Continuum Mechanics. Dilijan, Armenia, 2010, vol. 1, pp. 321-325 (in Russian).

6. Kirillova I. V., Kossovich L. Yu. Dynamic boundary layer at nonstationary elastic wave propagation in thin shells of revolution. AiM'96: Proceedings of the Second International Conference "Asymptotics in mechanics". Saint Petersburg State Marine Technical University, Saint Petersburg, Russia, October 13-16, 1996. Saint Petersburg, 1997, pp. 121-128.

7. Kirillova I. V. Asymptotic derivation of two types of approximation of dynamic equations of the theory of elasticity for thin shells. Diss. Cand. Sci. (Phys.-Math.). Saratov, 1998. 122 p. (in Russian).

8. Goldenweiser A. L. Teoriya uprugikh tonkikh obolochek [Theory of Elastic Thin Shells]. Moscow, Nauka, 1976. 512 p. (in Russian).

Поступила в редакцию / Received 20.11.2023 Принята к публикации / Accepted 28.12.2023 Опубликована / Published 31.05.2024