CC BY
10
УДК 531.3, 539.3 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4 (62). 2017. Вып. 1
МЯО 74Ы10, 74Л05, 74X25
УТОЧНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОГРАНСЛОЯ В ОБОЛОЧКАХ ВРАЩЕНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ НОРМАЛЬНОГО ТИПА*
И. В. Кириллова, Л. Ю. Коссович
Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Российская Федерация, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83
Данная статья продолжает работу авторов, в которой построены уравнения первого порядка приближения для погранслоя в окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея в оболочках вращения при ударных нормальных поверхностных нагрузках. Поскольку первый порядок асимптотического приближения недостаточен для определения всех компонент напряженно-деформированного состояния, в статье строятся уточненные асимптотические уравнения, позволяющие с асимптотической погрешностью порядка относительной толщины оболочки построить решения для всех компонент перемещений и напряжений. Библиогр. 10 назв.
Ключевые слова: оболочки вращения, асимптотические методы, ударные нагрузки, символический метод Лурье, волна Рэлея, погранслой.
В работе [1] построены уравнения первого порядка приближения для погранслоя в окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея в оболочках вращения при осесимметричных ударных нормальных поверхностных нагрузках. Рассматриваемый погранслой используется в общей асимптотической схеме расчленения нестационарного напряженно-деформированного состояния (НДС) на составляющие с различными показателями изменяемости [2-10]. Представленный в работе [1] асимптотический вывод уравнений рассматриваемого погранслоя позволил получить эллиптические уравнения, описывающие изменение погранслоя по толщине, и гиперболические уравнения, задающие граничные условия на поверхностях оболочки. Однако анализ показал, что первый порядок асимптотического приближения недостаточен для определения всех компонент НДС. Поэтому в данной статье строятся уточненные асимптотические уравнения, позволяющие с асимптотической погрешностью порядка относительной толщины оболочки построить решения для всех компонент перемещений и напряжений.
Приведем постановку задачи в соответствии с [1].
Рассмотрим оболочку вращения, изображенную на рис.1. Введем обозначения: а — длина дуги вдоль образующей срединной поверхности, в — угол в окружном направлении, г — внешняя нормаль к срединной поверхности. Обозначим напряжения и
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00769-а). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2017
Ил. 2.
«
Рис. 1. Оболочка вращения.
перемещения как а^ и VI (г = 1, 2, 3) соответственно. Граничные условия на лицевых поверхностях рассмотрим в виде
азз = — Р(а, £), а1з = 0 при г = ±Н, (1)
где Н — полутолщина оболочки, £ —время. Рассмотрим однородные начальные условия
«¿ = -^- = 0 (¿ = 1,2,3) при ¿ = 0. (2)
Введем безразмерные переменные
а г и2 / Е
е= й' с=ь: т = -' С2 = \/2(ТТ^' (3)
где Е, V, р — модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки соответственно. Разрешающие динамические уравнения в безразмерных координатах приведены в [1]. Аналогично случаю цитируемой статьи рассматриваем данный тип НДС как коротковолновый (в общем случае коротковолновый тип НДС описан в [3]) и представляем его в виде комбинации симметричной и антисимметричной составляющих. При этом асимптотически главной составляющей в случае граничных условий (1) является симметричная компонента. Приведем разрешающие уравнения для этой компоненты:
_2д2У1 д2п\ 1 д2Уз д2У1 _2 В' дю\
ж ае2"+ + 1 - 21/ ~ ~д¥2 + 7786 ~вЖ= '
1 д2v1 д^3 _2 д^3 д2v3 /1 В' дv1 В' дv3
1 — 2vд£дC д£2 дС дт2 ' \,1 — 2v В дС В д£
Е / дv1 V дv3 V В' \
2(1 + V )ж2Н \ д£ 1 — V д<, 1 — vB у Е ( V дv1 дv3 V В'
а33 = 2(1 + + 1К +
Е (дv1 дv3 а13 = 2(1 + 1у)1г
где В —расстояние до оси вращения, ж2 = (1 — 2v)/(2 — 2v), п = Н/Д — малый параметр, Д — характерное значение радиуса кривизны.
Построим уравнения погранслоя с помощью символического метода Лурье. Введем операторы д^ = д/д£, дт = д/дт. Решая систему (4) как систему обыкновенных дифференциальных уравнений по С, выпишем следующую форму общего решения, более простую по сравнению с соответствующей формой в [1]:
V! = д5 в4(1+с)а1 А + д5 е4(1-с)а1 ^2 + в1е4(1+с)в1 ^3 + в1е4(1-С)в1 А, v3 = ¿а1е4(1+с)а1 А — ¿а1е4(1-с)а1 £2+
+г + 64(1+0/31 " * (Ч + т?^)
(5)
где — произвольные параметры, а2 = <9| — ае2<92 + /З2 = <9| — д2 + г]^-.
Как ив [1], интерпретация символического решения (5) основывается на прямой аналогии представленного символического решения и изображения двойного интегрального преобразования Лапласа (по времени) и Фурье (по продольной координате) при дт ~ в, д£ ~ ¿х, где в и х — параметры преобразования Лапласа и Фурье. При этом слагаемые с множителями (1 — £) и (1 + С) в показателях степени экспоненты соответствуют волнам, инициируемым лицевыми поверхностями £ = ±1 и распространяющимся в отрицательном и положительном направлениях оси £ соответственно.
Подставляя полученные операторные решения в граничные условия на лицевых поверхностях, получим следующую систему алгебраических уравнений для В^:
В' \ _ Л В'
А + е*2"1 £>2 + (де + ^ № + (д^ + ^ Ае^А = д£ а 1 — д£ а 1ейа1 В2 + 7 2Вз — 7 ^^ В4 = 0,
Р,
71е 1 А + 7^2 + ( + гу^
Де^Д, + ( А А = ^^Р,
(6)
Е
д£ а 1е}2а1 В1 — д£ а 1В2 + 11е12в1 В3 — 11В4 = 0,
где 7? = ^-^/2 + 77^.
Получим уточненное, по сравнению с [1], приближение уравнений для граничных условий. Пренебрежем в (6) членами с множителями ег2а1, е®2^1. Это соответствует пренебрежению в асимптотике для первого корня уравнения Рэлея—Лэмба [1]
при х ^ членами с множителями е 2ах, е 2вх (а зед = сд/сг, сд— скорость поверхностных волн Рэлея, С2 = \]Е/2(1 + г/)р) по сравнению с первым членом «дх, играющим главную роль в формировании решения в окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея.
Рассмотрим большие значения времени, когда т ^ 1, т.е. когда фронты волн проходят расстояние, много большее толщины оболочки: т = 0(Т), Т ^ 1 (при Т = 0(1/п) фронты волн проходят вдоль срединной поверхности расстояние, соизмеримое с характерным значением радиусов кривизн Д). Введем новый малый параметр е и масштабированные переменные у, то:
С — «дт
то
1
Т'
Введем также новые операторы ду, дт0 по формулам
я 8
ду = 1Гу
дт
д
дто
(7)
(8)
Переходя в асимптотически упрощенном варианте уравнений (6) к новым операторам (8) и раскладывая полученные уравнения в ряд по малому параметру е, оставим в них асимптотически главные части:
\ п- = + ^в-
2едудТо +г)К—ду ) А
Е
Р,
3, 4,
ад2 + £^Ждудто + ц^^ду ) А+
+ ( дд2 + еаеддудТо + ) А+2 =0, ¿ = 1,2,
(9)
у
е
е
где
K = 2 + жд Бш, g
1 - œR/2, Бш = 2
œR
+
œœR
1 — авд 1 — зе2аед
4аед 2-^j
Выпишем асимптотическое представление выражений для перемещений и напряжений в новых операторах. Анализ показывает, что в выражениях для перемещений и напряжения <i3 достаточно рассмотреть асимптотически главные части, а в выражении для напряжения 733 необходимо учитывать малые члены порядков O(n) и O(£):
vi = dy eia(i+z)ôB Di + dy eia(i-OdB D2 + bdy eib(i+z)ô» D3 + bdy eib(i-Z)ô» D4, V3 = ¿adyeia(i+z)ô» Di - iadyeia(i-Z)ô» D2 + ¿dyeib(i+z)ô» D3 - ¿dyeib(i-Z)ô» D4,
E
< 33 =
7i3 = i
(1 + v)h E
Lieia(i+c)âB Di + Lieia(i-C)ô» D2 + L2eib(i+C)ô» D3 + L2eib(i-C)ô» D
4, (10)
(1 + v )h
ad2eia(i+z)ô» Di - ad2eia(i-Z)ô» D2 + gd2eib(i+z)ô» D3 - gdy2eib(i-Z)ô» D
где операторы Li, L2 определяются выражениями
Б'
¿1 = 5"92 + eieRdydTo + Ц—ду, ь2 = Ь92 + е^дудТ0 +v(b+^) §Л-
Как и в [1], введем объемные и сдвиговые потенциалы Ламе у>1, и —1, —2. Здесь индексами «1» и «2» будем обозначать положительное и отрицательное по С направления распространения возмущений. Вид операторных представлений потенциальных функций
i = eia(i±z)ôi D», = eib(i±z)Ô£Di+2, i =1, 2,
(11)
показывает, что в исходных размерных координатах они определяются эллиптическими уравнениями вида
д2 d2cpi d2cpi da2 dz2
0,
(12)
b
dd2-^
+
da2 dz2 при следующих граничных условиях:
= 0, i = 1, 2,
¿>Vi 1 ¿>Vi , 1 B'd^i (1 + и)вш „
+ ??— =—-— P, Z = ±K
œR Б da
da2
cR dt2
EhœR b
œ2œR\ d2^» œ2œR 1 d1 B' d^»
a+ 2a J 9a2 2a c2, <9t2 +??2a В да +
œR\ dœR 1 d, B' d^»
Перемещения и напряжения выражаются через потенциальные функции по формулам
г, =Н[д^1 | д| ЪЭф1 | 1 да да да да
О" 13
«з = Н ЕН
^зз = —
¿Уч 11 дф2\
дг дг Ъ дг Ъ дг ) '
1 ^ + Ьз(у2) + Ыф!) + Ь4(ф2)},
ЕН (д2<р1 д2<р2 д д2ф1 д д2ф2 \ 1 + V Vдадг дадг Ъдадг Ъдадг) '
(14)
» С- -0.99
¿"=-0.6
¿■=1.0
Рис. 2. Графики зависимости напряжения стзз от продольной координаты § в момент времени т = 10 при Ь = 0.25 и при различных значениях нормальной координаты £ = -0.99 (а), £ = -0.6 (Ь), £ = 1.0 (с).
где операторы L3, L4 определяются выражениями
( жД\ д2 ж2 1 д2 В' д / ж2 \ д2 ж2 д2 / 1 \ В' д
Рассмотрим в качестве примера искомое приближение той части эллиптического погранслоя в цилиндрической оболочке, которая инициирована поверхностью г = —к при Р = рН(Ь — С)Н(т) (С > 0) и Р = рН(Ь + С)Н(т) (С < 0), где р, Ь-постоянные, Н — единичная функция Хевисайда. Использование аппарата интегрального преобразования Фурье по пространственной переменной а и преобразования Лапласа по времени дает следующее выражение для асимптотически главной составляющей нормального напряжения в искомой области квазифронта С = ждт + Ь:
Вш
о" зз = i>-
ПЖй
- arete Г 2М1 + С) ,
+ arCtg< + 0
62(1 + С )2 — Ь2 + (С — жд т )2
Представленные на рис. 2 графики зависимости напряжения <733 от продольной координаты С показывают решение в окрестности условных фронтов поверхностных волн Рэлея С = ждт + Ь, С = ждт — Ь. Из графиков видно, как убывают решения при удалении от этих условных фронтов и как эволюционирует решение в зависимости от нормальной координаты. Если при £ = —0.99 решение близко к нулю (исключая скачки на квазифронтах) вследствие условия свободных лицевых поверхностей, то при £ = —0.6 оно стремительно возрастает, значительно убывая на противоположной лицевой поверхности £ = 1. Таким образом, предположение о возможности раздельного исследования волн, инициируемых противоположными лицевыми поверхностями, полностью оправдывается.
Литература
1. Кириллова И. В., Коссович Л. Ю. Эллиптический погранслой в оболочках вращения при ударных поверхностных воздействиях нормального типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та, 2016. Сер. 1. Т. 3(61). Вып. 1. С. 139-146.
2. Kaplunov J. D. On the quasi-front in 2D shell theories // C.R. Acad. Sci. 1991. Vol.313, N2. P.731-736.
3. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego: Academic Press, 1998.
4. Шевцова Ю. В. Погранслой в окрестности квазифронта в трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке // «Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами». Межвузовский научный сборник. Саратов: СГТУ, 2000. С. 114-117.
5. Коссович Л. Ю. Асимптотический анализ нестационарных, упругих волн в тонких оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях / Л. Ю. Коссович, Ю. Д. Каплунов // Известия Саратовского университета. Саратов, 2001. T.I, №2. С. 111-131.
6. Nigul U. Regions of effective application of the methods of three-dimensional and two-dimensional analysis of transient stress waves in shells and plates // Int. J. Solid and Structures. 1969. Vol.5, N6. P. 607-627.
7. Кушеккалиев А.Н. Решение задач о распространении волн в трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке при нормальных воздействиях // Механика деформируемых сред. Изд-во СГУ, 2002. Вып. 14. С. 106-115.
8. Кушеккалиев А.Н. Волны типа Релея в полубесконечной пластине при нормальном воздействии поперечного типа // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 66-73.
9. Ковалев В. А., Таранов О. В. Расчленение нестационарного НДС цилиндрических оболочек при ударных торцевых воздействиях нормального типа // Смешанные задачи механики деформированного тела: матер. V Рос. конф. с международным участием. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С.191-193.
10. Айнола Л. Я., Нигул У. К. Волновые процесса деформации упругих плит и оболочек // Изв. АН Эст. ССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук, 1965. Т. 14, №1. С. 3-63.
Статья поступила в редакцию 25 апреля 2016 г.; рекомендована в печать 6 октября 2016 г.
Сведения об авторах
Кириллова Ирина Васильевна — кандидат физико-математических наук, доцент; nano-bio@sgu.ru Коссович Леонид Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор; nano-bio@sgu.ru
REFINED EQUATIONS OF ELLYPTIC BOUNDARY LAYER IN SHELLS OF REVOLUTION UNDER NORMAL SHOCK SURFACE LOADING
Irina V. Kirillova, Leonid Yu. Kossovich
Saratov State University, ul. Astrakhanskaya, 83, Saratov, 410012, Russian Federation; nano-bio@sgu.ru
The first order approximations for boundary layer in the vinicity of the surface Rayleigh wave front in shells of revolution under shock surface loads were obtained. The proposed approach for asymptotic constructing of boundary layer equations allowed to obtain ellyptic equations describing boundary layer variation by thichness and hyperbolic equations defining boundary conditions on the shell surface. However, the analysis shows that first order approximations are insufficient for derivig all stress-strain state components. Therefore, the refined asymptotic equations were constructed, which allows to obtain all stress-strain components with the accuracy of realtive thichness of the shell. Refs 10. Figs 2.
Keywords: shell of revolution, asymptotic methods, shock loading, symbolic method Lourier, Rayleigh wave, boundary layer.
References
1. Kirillova I. V., Kossovich L. Yu., "Elliptic boundary layer in shells of revolution under normal shock surface loading", Vestnik of St.Petersburg University. Series 1 3(61), Issue 1, 139—146 (2016) [in Russian].
2. Kaplunov J. D., "On the quasi-front in 2D shell theories", C. R. Acad. Sci. 313(2), 731-736 (Paris, France, 1991).
3. Kaplunov J.D., Kossovich L. Yu., Nolde E.V., Dynamics of thin walled elastic bodies (Academic Press, San Diego, 1998).
4. Shevtsova Yu. V., Boundary layer in the vicinity of quasi-front in transversal isotropic cylindrical shell. In On the strength of the elements of constructions under the action of loads and working media,
114-117 (Saratov Technical Univ. Press, Saratov, 2000) [in Russian].
5. Kossovich L. Yu., Kaplunov J.D., "Asymptotic Analysis of the Non-stationary Elastic Waves in Thin-walled Shells of Revolution Initiated by the Edge Shock Load", J. Izvestiya Saratov University 1(2),
115-128 (2001) [in Russian].
6. Nigul U., "Regions of effective of application of the methods of 3D and 2D of analysis of transient of stress waves in shells and plates". Int. J. Solids and Structures 54(6), 607-627 (1969).
7. Kushekkaliev A. N., "Solution of the problems about the propagation of waves in the transversal-isotropic cylindrical shell under the normal loading", Continuum mechanics, Issue 14, 106-115 (2002) [in Russian].
8. Kushekkaliev A.N., "Rayleigh's wave in the semi-infinite plate under the transverse normal loading', The mechanics of the deformed media, pp. 66-73 (2004) [in Russian].
9. Kovalev V. A., Taranov O. V., "The separation of non-stationary SSS of cylindrical shells under normal type edge loading', Mixed Problems of Mechanics of Solid. Proceedings of the V Russian conf. with Intern. Participation, 191-193 (Ed. Acad. N.F. Morozov, 2005) [in Russian].
10. Ainola L. Ya., Nigul U.K., "Wave Strain Processes in Elastic Plates and Shells", Izv. AN ESSR 14(1), 3-63 (1965).
Для цитирования: Кириллова И. В., Коссович Л. Ю. Уточненные уравнения эллиптического погранслоя в оболочках вращения при ударных поверхностных воздействиях нормального типа // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 1. С. 113-120. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.113
For citation: Kirillova I. V., Kossovich L. Yu. Refined equations of ellyptic boundary layer in shells of revolution under normal shock surface loading. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4(62), issue 1, pp. 113-120. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.113
