Асимптотическая разделимость гармоник методом анализа сингулярного спектра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 4 УДК 519.254+519.651+512.643.8 МБС 65G99, 65F30; 65F15

Асимптотическая разделимость гармоник методом анализа сингулярного спектра*

В. В. Некруткин

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Некруткин В. В. Асимптотическая разделимость гармоник методом анализа сингулярного спектра // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10(68). Вып. 4. С. 720-735. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.409

Статья посвящена достаточным условиям асимптотической разделимости отдельных членов линейной комбинации гармоник методом Анализа сингулярного спектра (АСС). А именно, рассматривается ряд х0,...,х^-1 с хп = Х)Г=1 Л", где = Ъг cos(ш^n + ^г), а амплитуды и частоты € (0,1/2) попарно различны. Тогда, как доказано в работе, при определенном соотношении амплитуд \Ъг | и выборе стандартных параметров метода АСС для этой задачи восстановленные значения Дп оказываются близкими к f^>n, причем для любого г шахп(|Дп — f^>n |) = 0(Ы-1), если N ^то.

Ключевые слова: обработка сигналов, анализ сингулярного спектра, линейная комбинация гармоник, разделимость гармоник, асимптотический анализ.

1. Введение. Постановка задачи. Одним из наиболее ярких экспериментальных результатов применения метода Анализа сингулярного спектра (далее — АСС) является выделение отдельных гармоник из их суммы. А именно, если рассмотреть ряд х0,...,хм-1 с

Г

Хп 1г,п, где /г,и = Ьг СОв(шгП + ^г), (1)

г=1

о различными амплитудами \Ьг\ и частотами шг € (0,1/2), то при больших длинах ряда N и выборе стандартных параметров метода АСС для этой задачи (берется длина окна Ь « N/2, а для восстановления г-го слагаемого в сумме (1) используются две соответствующие последовательные главные компоненты, см. [1, гл. 1]) в результате полученные восстановленные значения оказываются близкими к .

Например, если взять в (1) г = 3, 7г =0, = 1, Ь-2 = 0.8, Ьз = 0.6 и

0.35356, ш2 = л/3/4 « 0.43301, = л/б/5 « 0.44721,

то, обозначив ) = /г,^ — и определив максимальные ошибки восстановления как шах0<г<^ )\, а среднеквадратические ошибки восстановления формулой

^Еос^ Г1 мы получим данные табл. 1 и 2, подтверждающие приведенные

рассуждения.

Таблица 1. Максимальные ошибки восстановления

при Ь = N/2

N 1-е слагаемое 2-е слагаемое 3-е слагаемое

500 0.051 0.094 0.092

1000 0.031 0.077 0.071

2000 0.026 0.064 0.055

5000 0.004 0.007 0.009

Таблица 2. Среднеквадратические ошибки восстановления

при Ь = N/2

N 1-е слагаемое 2-е слагаемое 3-е слагаемое

500 0.0434 0.0209 0.0196

1000 0.0025 0.0124 0.0125

2000 0.0010 0.0069 0.0070

5000 0.0001 0.0006 0.0006

Как уже говорилось, все подобные результаты являются экспериментальными, т. е. формально не доказанными. В настоящей работе приведены достаточные условия асимптотической (при N ^ ж) разделимости гармоник (точную постановку задачи и полученный результат см. в разделе 4).

Эти условия проще всего объяснить при г = 2 с |&1| > |&2|. В этом случае компьютерные эксперименты показывают, что для успешного восстановления обоих слагаемых в (1) достаточно, чтобы (кроме условия Ш1 = ш2) у гармоник были различные (и сколь угодно близкие) амплитуды |Ь1|, |Ь2|.

В утверждении, доказанном в настоящей статье (см. теорему 3 и Заключение), между |Ь11 и |&2| предполагается некий «зазор», т.е. отношение |&2| к |Ь11 считается достаточно малым (точнее, требуется, чтобы |b2/bl| < 0.5). При г > 2 все в целом аналогично.

Конечно, подобные ограничения являются весьма обременительными, однако при этом удается доказать, что все ошибки восстановления имеют порядок ОN-1).

Перейдем теперь к изложению содержания работы. Определяющим для доказательства теоремы 3 является следующее утверждение.

Обозначим при п > 0, г > 2, 1 < к < г и шг € (0,1/2) с шг = при г = ]

к г

/п = /Пк) =^2 вг С0в(2пШгП + ^г) и вп = в^ = ^ вг С0в(2пШгП + ^г), г=1 г=к+1

где 1 = в1 > Ш >..> Ш > |вк+1| >...> вг | > 0. (2)

Ряды с элементами /п и вп обозначим соответственно Р и Е, а при 0 < п < N — 1 их отрезки /о,..., -1 и в0,..., вN-1 будем записывать как и .

Рассмотрим ряд Хк = Рк + 5Ек с элементами хп = /п + 5вп, 0 < п < N — 1, где 5 — параметр возмущения.

Общая задача состоит в том, чтобы выделить сигнал Рк из суммы Хк при больших N с использованием метода АСС. Согласно [1] (см. также [4]) это происходит следующим образом.

* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 23-21-00222).

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2023

После выбора длины окна L < N ряд XN преобразуется в ганкелеву (траек-торную) матрицу H(S) размера L х K с элементами H(S)[ij] = xi+j-2, 1 < i < L, 1 < j < K := N — L + 1.

Затем осуществляется сингулярное разложение матрицы H(S). В [1] эта операция называется вложением.

Заметим, что rank H(S) = 2r при min(L, K) > 2r. Поскольку в дальнейшем предполагается, что N ^ ж, а L/N ^ a G (0,1), то можно считать, что сингулярное разложение матрицы H(S) состоит из суммы 2r элементарных (т. е. имеющих ранг 1) матриц.

Далее, обозначим через H(S) сумму 2k главных (т. е. имеющих наибольшие нормы Фробениуса) элементарных матриц и найдем ближайшую (тоже в норме Фро-бениуса) к H(S) ганкелеву матрицу. Применив к этой матрице операцию, обратную вложению, получим ряд Fn(S) = (fo(S),... ,/n-i(S)), который и объявляется приближением к сигналу Fn .

Согласно [1] ряд FN(S) называется результатом восстановления ряда FN по первым 2k главным компонентам ряда XN, а ряд с элементами Ti(S) = (S) = fi — fi(S) при 0 < i < N — 1 — рядом ошибок этого восстановления.

Тогда имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Если N ^ж и L/N ^ a G (0,1), то maxi \r(k (S)| = O(N 1) при

Доказательство этого факта основано на теории, развитой в [2], которая, в свою очередь, базируется на фундаментальных результатах Т. Като (см. [3]). В целях краткости изложения необходимое утверждение, фактически содержащееся в [2], сформулировано в теореме 2 раздела 3, все остальное в этом разделе — это применение теоремы 2 в конкретных условиях настоящей задачи.

Для этого применения оказалось необходимым доказать многочисленные вспомогательные утверждения, сосредоточенные в разделе 2. Так, в раздел 2.1 представлено несколько элементарных тождеств, связанных с суммированием произведений синусов и косинусов, раздел 2.2 посвящен доказательству предложения 1, необходимого для нахождения асимптотик положительных собственных чисел нужных нам матриц, а в разделе 2.3 содержатся факты, относящиеся к асимптотическому поведению равномерных норм некоторых матриц растущей размерности.

Собрав все эти утверждения вместе, мы и получаем доказательство теоремы 1. Наконец, раздел 4 посвящен собственно доказательству теоремы 3, являющейся, как уже говорилось, целью настоящей работы и дающий достаточные условия разделимости гармоник в терминах их амплитуд [см. формулу (17)].

2. Вспомогательные факты. 2.1. Элементарные тождества. Следующие тождества, необходимые для всего дальнейшего, легко доказываются представлением синусов и косинусов через мнимые экспоненты.

Лемма 1. Пусть ш1,ш2 € (0,1/2). Обозначим сов- 1(7) = cos(2пш1j + 7), сов-2(7) = сов(2пш2^ + 7), вш-1(7) = в\п(2пш1] + 7), и вт-2(7) = вт(2пш^ + 7).

Тогда

EsinW^i + W2)n) / N

cosj-1(71) cosj 2(72) = 2sin(7r(o;i +о;2)) °°S ^ + ~ + 71 + 12' +

{sin(^(wi — W2)n) , N

■ , ,-— cos(7T(wi-w2)(n-lj+71-72) при Ш! / ш2,

Sin(7r(wi — U>2j) (3)

n cos(7i — 72) при wi = W2,

E" 1 . , N . , N sin(^(wi + W2)n) , . w \

sinj 1 71 SIII3 2 72 = ~0 . , ,-;-77 cos (тг(wi + ш2 n - 1 + 71 + 72) +

j=0 2sin(^(wi + w2))

fsin(^(wi — W2)n) / N

■ , ,--—cos(7T(wi-w2)(n-lj+71-72) при Ш! / ш2,

Sin(7r(wi — U>2j) (4)

n cos(yi — 72) при wi = W2,

и

" -1

Esin(^(wi + W2)n) / \

cosj 1 (71) smj 2(72) = 2sin(7r(a;i +ц2)) + w2)(n - 1) + 7i + 72)-

{sin(^(wi — W2)n) / n

■ , ,-Г7- Sin(7r(wi - W2)(n - 1) +71 - 72) npiwi/w2,

sin(7r(o;i - w2)) (5)

n sin(Yi — 72) при wi = W2.

2.2. Асимптотика собственных чисел матриц HHT и EET. Обозначим H и E как ганкелевы матрицы размера L х K, построенные из рядов Fn и En точно так же, как матрица H(J) строится исходя из ряда Xn . Если L и K достаточно большие, то rankH = 2k и rankE = 2(r — k).

В дальнейшем нам понадобятся результаты о поведении положительных собственных чисел матриц HHT и EET при больших значениях длины ряда N. Эти результаты получаются с использованием леммы 2.1 статьи [5]. Сформулируем сначала эту лемму.

Рассмотрим матрицу G : ^ RL и обозначим d = rank G. Предположим, что G = Е k=i Pk QT, где Pk е RL и Qk е , причем вектора Pi ,...,Pd (и вектора Qi,...,Qd) линейно независимы. Обозначим Xi = P^HP^I, Yi = Q/IQ^I,

X =[Xi : ... : Xd], Y = [Yi : ... : Yd], U = [Pi : ... : Pd] и V = [Qi : ... : Qd]. Также положим

п

IIPil 0

0

IIP2I

0 \

0

n,

Q

fllQil 0

0

0

IIQ2I 0

V 0 0 ... цр^/

и ПpQ = Пр Пд. Наконец, обозначим С = ХтХПрдУтУПрд.

0 0

IIQdIIj

Лемма 2. Пусть X — положительное собственное число матрицы GGT, соответствующее собственному вектору Z. Тогда X — собственное число матрицы C, соответствующее ненулевому собственному вектору XTZ.

Как уже говорилось, доказательство этой леммы можно найти в [5, лемма 2.1]. Применим ее результат для наших целей.

Рассмотрим ряд yn = ^Де cos(2nuen + Ye) с ие € (0,1/2), ше = Uj при í = j и |Д^ > |Д2| > ... > |Др| > 0. Обозначая cos^e(ye) = cos(2nkue + ye) и sinfce(ye) = sin(2nkue + ye), положим

Cje = (cosое(Фе),.. .,cosj_iе(Фе))T и Sje = (sinое(Фе),.. .,sinj_iе(Фе))T, где фе = Ye/2. Кроме того, введем обозначения

ísign Де CLe/\\CLe|| при 1 < í < p,

Xe = \

^^-signДp_e SLe_r/\\Sbe_r\\ при p <í < 2p,

v \Ске/\\Ске\\ при 1 < í < p, Ye — \

ySKe_P/\\SKe_P\\ при p <í < 2p,

X = [Xi,...,X2p], Y = [Yi,...,Y2P], Cl,x = XTX и Ck,y = YTY. Далее, введем 2r x 2r диагональные матрицы n_p,L, Пц,к и D с элементами

ГП 1 ={Дe\\CLe\\ при 1 < í < p,

L P,Le'e \-Дp_e\\SLp_e\\ при p<í < 2p,

[П 1 í\\CKe\\ при 1 < í < p, L Q'Ke'e \\\SKp_e\\ при p<í < 2p,

D[í,í] (Де при 1 < í <p,

I -Др_е при p < í < 2p

и положим nPQ = ПР, LnQ , к. Наконец, пусть G — траекторная матрица ряда yn размерности L x K, а Xi > X2 > ... > X2p — положительные собственные числа матрицы GGT.

Предложение 1. Если min(L, K) ^ ж при N ^ ж, то Xi/LK ^ Д^/2] /4. Доказательство. Так как

Уп+т = Де cos(2этnw£+ фе) cos(27гmw£ + фе) — Де sin(2пnw£ + фе) sin(27гmw£ + фе),

е=1 е=1

О может быть представлена в виде

р р

О ДеОьеСКе — ДеSLеS]ке = XПpQYT. е=1 е=1

Согласно лемме 2 множество положительных собственных чисел матрицы GGT совпадает со спектром матрицы C = CL хХnPQCK,уnPQ. Так как элементы матрицы Ck, у имеют вид

{CK(Скт/||Скг||||СКт|| при t,m < p,

SKiSKm/||SK£||SKm| при t,m>p,

CK ^кт/ЦСкеЦ^ктЦ при t < p и m>p,

CK mSKij ||CKm|ySKi| при t>p и m < p,

то, согласно лемме 1, матрицы YTY = Ск,у поэлементно сходятся при K — ж к единичной матрице I2p размера 2p х 2p. Точно так же матрицы XTX = Cl,x сходятся к I2p при L — ж.

Далее, л/^П^ь/л/Х—> D при L —> оо и соответственно а/2 Hq^/VK—> I2r при K — ж. Это означает, что 4C/KL — D2 при L, K — ж.

Поскольку D2 — диагональная матрица с диагональными элементами

Д2 Д2 Д2 Д2 Д1, •••, Др, Д1, •••, Др,

а Д2 > ... > Д2 > 0, то утверждение доказано. □

Следствие 1. Рассмотрим траекторные матрицы H и E размером L х K, построенные из рядов F^ и E^ соответственно. Пусть L ~ aN с а е (0,1) при N —у ж.

Обозначим ¡l,•••, j2k и j2k+1, •••, j2r как положительные собственные числа матриц HHT и EET соответственно. Тогда, согласно Предложению 1, при 1 < i < 2r

ji/N2 — a(1 - а)0\фЛ /4.

В частности, если обозначить ¡max и ¡min как максимальное и минимальное положительные собственные числа матрицы HHT, то окажется, что

¡max ~ N2а(1 - а)/4 и ¡min ~ ^fcN2а(1 - а)/4^

При этом все ji при 1 < i < 2r имеют порядок роста N2, а ||H|| и ||E|| растут линейно по N при N — ж.

2.3. Об асимптотике равномерной нормы некоторых матриц. В настоящей работе используются две матричные нормы. Спектральная норма ||K|| матрицы K — это максимальное ее сингулярное число, иначе говоря, ||K||2 — максимальное собственное число матрицы KKT.

Равномерная норма | K| max — максимум из модулей элементов L х K матрицы K. Эти нормы связаны следующими неравенствами (см. [7, §2.3.2]):

||K||max<||K||<V^K||K||max. (6)

Кроме того, если K1 и K2 — матрицы размера соответственно L х K и K х M, то

|| K1K2 || max < K ||K1||max Mmac (7)

В этом разделе помещены оценки скорости сходимости равномерных норм некоторых траекторных матриц для длинных рядов.

Так как H = ^k=1 eiHi, где Hi — ганкелева матрица, порожденная рядом fin = cos(2nuin + Yi) c i < k, то ||H|max < E¿=1 |А|. Аналогично ||E||max < Er=fc+1 |A|.

Лемма 3. Рассмотрим сингулярное разложение матрицы И:

2к

г=1

причем предположим, что Ь/N ^ а € (0,1). Обозначим Р^ = игиТ как ортогональный проектор на одномерное пространство, порожденное собственным вектором иг матрицы ИИт с собственным числом /лг, г < 2к.

Тогда ||Р^ЕЦтах = О^-1), ||Р^ИЦтах = 0(1) и ||Р^ИЕТЦтах = 0(1).

Доказательство. Начнем с ||Р^Е||тах. Обозначим при 1 < ] < к Рз1 = (1, соб(2пшз),... ,соб(2П^^(Ь — 1))Т,

Pj2 = (0, sin(2^wj),... ,sin(2^wj(L — 1))T, Qji = (1, cos(2^Wj),... ,cos(2^Wj(K — 1))T, Qj2 = (0, sin(2^wj),... ,sin(2^wj(K — 1))T.

Тогда и = £ к = 1 агз1 р1 ^РдУ + Ек=1 агз2Р]2/|р21, причем

кк

1 = 1|иг|2 = ^ а2л + ^ а^2 + 2 £ агт1а«1(Рт1,Р«)/||Рт1|| ||Р«|| +

3=1 3 = 1 т=г

+2^2 агт2аге2(Рт2,Ре2)/ЦРт2ИРе2Ц+2 агт1 ац2(Рт1 ,Р*2)/||Рт1||||РЫ|. (8)

т=£ 1<т/<к

Поскольку, согласно лемме 1, все скалярные произведения в (8) ограничены по модулю, а нормы 11Ртг11 растут как то коэффициенты и а,ц2 тоже ограничены. Далее,

кк Р^ = Щи? = ^2 агз1 агт1 Р^Р?/Щ^Рш^ + ^2 (нз2агт2Рз2Рт2/р2||||Рт2|| +

Vi ~ ^i^i — / j ij i^'imiJ-ji* jH ji

j,m=i j,m=i

k

aiji aim2 I Pj i Pm2 + Pm2Pjij / IIPjiIIIIPm2I

j,m=i

k

+ 2 ^ j aim^PjiPT2 + Pm2PjTi)/IPji IIP

Заметим, что Е = ЕГ=к+1 вгЕг. Так как, согласно неравенству (7), ЦРзеРШдЕг||тах <

от е

тд

I Pj£ I max IIPkTEiII max, а ^P^q EIImax = 0(1) ввиду леммы 1, то первое утверждение

доказано.

kk

Далее, У = ^к=1 Ьгз1 Яп/ИЯзЛ + ^к=1 Ьгз2Яз2/|10з2||, где, как и в первом случае, \Ьгз1\ + \Ьгз2 \ = 0(1) при N для любых г,]. Поскольку

Р/.Н = уДцУгУ? а»3тР3т/||Р3т||) (У] У2 Ьг£рЯеР /\\Qep\l) =

3=1 ш=1,2 1=1 р=1,2

к

= \/7ч ^ ] ^ ] aгjmi,гepPjmQJp/\\Pjm\\\\Qep\\:

3,£=1 т,р=1,2

a \\PjmQjp\\max = 0( 1) и JjH/\\Pjm\\\\QeP\\ = 0( 1) при Ж —» оо, то ||P^H||max = O(l). Аналогичным образом, так как

r k

Р^НЕ T = V№E^E Е ^mbiepPjmQjpE^/WPjmWWQepl

q=k+1 j/=1 m,p=1,2

|| Qm,ET У max = 0(1) (см. лемму 1), а по неравенству (7)

IIPjmQjpETlUxll < ||Pjm||max IQjpEjlmax = 0(1),

то все утверждения леммы доказаны. □

Введем следующие обозначения: U° — линейное пространство столбцов матрицы H; Pg- — ортогональный проектор на это подпространство, а P0 = I2k — P° — ортогональный проектор на ортогональное дополнение Uo к U(.

Лемма 4. Пусть L/N ^ a G (0,1) при N ^ж. Тогда

1. ||HET||max = |EHT|max = 0(1).

2. Существуют такие постоянные Cf и Ce, что

k

||HHT||max < 0.5* + Cf = 0(N) и (9)

i=i

|EET||max < 0.5^ E et + Ce = 0(N). (10)

i=k+1

3. ||B(5)||max = 0(N).

4. UB(S)P^ H max = 0(N).

5. |P0E|max = = 0(N-1).

6. ||PoB(£)PMi H| max = 0(N)

7. ||B(<*)PW E| max = 0(N).

8. |Po B(£)PM E| max = 0(N)

Доказательство. 1. Следует из того, что НЕТ = ^¿=1 2Г=к+1 вгвэHíEj согласно равенству (3) для случая Ш1 = Ш2, ЦН^ЕТУшах = 0(1).

, IAJ,

а,

HjH/ Umax < 0.5К + 0.5 —

3

2. Следует из равенства HHT = J2i=1J2i=1 PiPjHjHj, а также из того, что

1

sin(^Wj) '

а при i = j

IIHiHjlLax <0.5 ' 1

4sin(^|wj — шзI) + sin(^|wj + шзI) J ' Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10(68). Вып. 4 727

(см. равенство (3) леммы 1 при wi = W2 и wi = W2). Для случая EET все абсолютно аналогично.

3. Следует из определения B(S) и уже доказанных соотношений.

4. Используя неравенство (7) и лемму 3, получаем

IIB(5)PW HI max < |S| IIHE^ H I max + H IEHTPW HI max + S^EE^ HI max < < 2|S| LIHETImax IIPMi HI max + 52 L2 IEImax I Pw E^max^H^max = 0(N).

5. Так как Pg = E2=i PVi, то требуемое соотношение следует из леммы 3.

6. Заметим, что IPoB(S)P ^ HI max < IB(S)PW HI max + IIPg-B(£)PMi HImax. Далее,

IIPo B(^)PMi H I max <HIIHETPMi HImax+

+ HIIPg-EHTPMi HI max + S2 IP0EETPMi HI max.

Так как

HHETPMi H I max < LIHETImaxIPMi HI max = 0(N), IPOEHTHImax < L2IPOEImaxIHTImaxIPMi HI max = 0(N), IP0EETPMi H I max < L2IPOEImaxIPMi E Ц max II H Ц max = 0(1),

то IPoB(S)HImax = 0(N) и, следовательно, утверждение доказано.

7. Следует из неравенства IB(S)PW EI max < L IB(S)ImaxIPMi EI max и леммы 3.

8. Так как P0 = I2k — Pg, то

IIPo B(J)PMi EI max < IIB(J)PMi EI max + IP B(S)PW E^max.

Первое слагаемое уже изучено (см. п. 4 настоящей леммы). Что касается второго слагаемого, то

IIPo B(S)PW EI max < H IIPo HETPMi E^ax + H IP EHTPW E^ax+

+ S2 II PO EETPMiEI max = |S| Ji + |S| J2 + H2 J3.

Далее,

Ji = IIHETPMi EI max < L IIHETIImax II P^i EI max = 0(1), J2 < L2 IIPOEIImax II P^i EI max I H I max = 0(1) и аналогично J3 = 0( 1), откуда и следует требуемое. □

3. Основная теорема и ее применение. Обозначим, следуя [2], A(i) = HET+ EHT, A(2) = EET, B(S) = SA(i) + S2A(2). Пусть, кроме того, ^min — минимальное положительное собственное число матрицы HHT и B(S) := |S| IA(i)I + H21 A(2) I.

Следующее утверждение является основным для получения окончательного результата — теоремы 3. Обозначим A02) = PoA(2)Po и So — псевдообратную матрицу Мура — Пенроуза к матрице HHT с ЦSo I = 1/^min. Как и в лемме 3, пусть PMi — ортогональный проектор на одномерное пространство, порожденное собственным вектором Ui матрицы HHT с собственным числом при этом = ^max и Ц2к = Mmin-

Теорема 2. Пусть существует такое 5к > 0, что В(5к) < ¡тт/4. Тогда при

/2) /о)

|5| < 5к имеет .место неравенство ||5А0 Уя-тт|| < 1 и матрица I — 5А0 )/^т;п

обратима.

Обозначим гг(5) = гг(5, N), 0 < г < N — 1, ошибки восстановления ряда Xу по X первым 2к главным компонентам методом АСС. Кроме того, положим Ь(5) = Ь (5) + ^(5) с

= (п)

И'г

= 1

Тогда при |5| < 5к

тах г,- о < С-„„.„„ ,- Н +

+ ||Ь(5)Н||тах +|5| ||Ь(5)Е||тах +|5| ||Р^Е||тах, (12)

где С > 0 — некоторая абсолютная постоянная.

Доказательство. Доказательство этого факта непосредственно вытекает из [2, теор. 2.5 и § 5.3], а также левого из неравенств (6). Заметим, что неравенство (12) фактически использовалось в [2, §5.3.1] и в разделе 3 статьи [6]. □

Лемма 5. Пусть N ^ ж и Ь ~ aN с а € (0,1). Тогда существуют такие 5к > 0 и что при N > Nk и |5| < 5к выполняется неравенство В(5) < ¡т;п/4. При этом 1 — 4||Б(5)||/Мт;п > 0 при |5| < 5к и достаточно большом N.

Доказательство. Первое утверждение следует из того, что ^т;п и В(5) имеют одинаковый порядок роста при N ^ж.

Действительно, ^т;п ~ а(1 — а)№/4 при N ^ ж. Из п. 1 леммы 4 следует, что ||А(1)||тах = 0(1), поэтому ||А(1)|| = О^) [см. неравенство (6)].

Так как ||А/2)|| = №к+2 - вО+1 а(1 — а^2/4, то В(5)/^п ^ 52 в\+х/в\ при любом 5, откуда и следует требуемое с 5к = 0.5^^/^н+а].

Второе утверждение следует из того, что ||В((5)|| < В(6). □

Дальнейшее действие состоит в получении оценок сверху всех слагаемых в правой части (12). Для этого нам понадобится еще несколько лемм, причем везде будет предполагаться, что N ^ж и Ь/N ^ а € (0,1).

Лемма 6. Если N ^ ж и Ь/N ^ а € (0,1), то ||80В(5)|| = О^-1).

Доказательство. Поскольку ||80|| = 1/^т;п х N-2, а, как уже отмечалось, ||А(1)|| = О(М), то нужно разобраться с нормой ||80А(2)||. Так как ННТ = ^2=х ИгР^, то во = Р^/№ и

2к 2к |8оЕЕТ|^|РМгЕЕТ||/№<£||Р№Е||||Е||/№ <

г=1 г=1

г=1

что и заканчивает доказательство. □

Следствие 2. Если ^ < 5к = 0.5\вк\/\вк+1\, то в условиях леммы 6

—;-.пр/гм! /- н = )■

1 — 4||В(6)||/Мтт

Доказательство. Согласно лемме 6

11®оВ(6)|| |8оВ(5)Ро|| < ||8оВ(5)|2 = 0(N-2). Поскольку ||И|| = 0(N),

а 1 — 4||В($)||/^тт > 0 при \6\ < 5к, то утверждение доказано. □

(2) Т

Лемма 7. Обозначим Zi = 6Ао /^г = 6РоЕЕ Ро/^г при г = 1,..., 2к. Тогда

^п = о^-1) (13)

Zn

1

при достаточно малых 6.

Доказательство. Докажем сначала, что |^г||тах < \6\ c/N при некотором О 0.

Заметим, что РоЕЕТРо = ЕЕТ — Р^ЕЕТ — ЕЕТР°0 + Р^ЕЕТР^. Далее, согласно п. 2 леммы 4,

Г

|ЕЕТ|тах < 0.5^ + Се.

3 = к+1

Кроме того [см. п. 5 леммы 4 и неравенство (7)],

||Ро~ЕЕТ||тах < Ь |Р^Е|тах ||Е||тах = 0(1)

и ||Р(0ЕЕТР(0|тах < Ь|Р0Е|тах = О^-1).

"Л ''>\г/2\

Тогда, так как (см. следствие 1) ^ а(1 — а)02ц2-\ /4, то

» ■>'< % + л.. «в а]

^ ) аР\г/2\

- 11 а N

при некотором ю > 2. Поэтому неравенство |^г||тах < \6\ c/N доказано при

_ 33

а

Далее, если взять

И < 5{К2) ■= 2Г 1 о2,о2 < 1/С, (14)

2 3=к+1 в3 / вк

то мы получим неравенство \6\с < 1. При этом условии легко показать, что |^п||тах < \S\ncn/N для любого п > 1. Действительно, так как |^П||тах <

Zг тах

L||Zn 11|max||Z||max и L^Zj^max < |О|с, то это доказывается с помощью простой индукции. Отсюда сразу же следует нужное нам неравенство

II ^^ <15>

II max 1 — О С N

£>1 1 1

и утверждение доказано. □

Теперь рассмотрим матрицы L(0)H.

Лемма 8. ||L(0)H||max = O(N_1) при N и достаточно малых 6. Доказательство. Так как P0H = 0, то Z,H = 0 и L1(0)H = 0. Поэтому

L(<5)H = L^H = ¿L^H с = (i - Z<)Р°В(<5)Р^ , причем

j=1 Hi

Lim = Р0В((5)Р-Н + i vzfl В((5)Р"Н

H ^ J Щ

Далее, по пп. 4 и 6 леммы 4, ||B(0)PwH||max = O(N) и ||PoB(0)PwH||max = O(N). Поэтому, согласно лемме 7,

Еz£)B(0)PMih < l|EZ£ ||B(O)PwH|max = O(N),

Mi

£>1

max

и утверждение доказано. □

Лемма 9. При достаточно малом 5 и N ^ ж, ||Ь(5)Е||тах = О^-1). Доказательство. По определению Ь(5)Е = Ьх(5)Е + ЬТ(5)Е с

и № = Е Ы*)Е = Е Р"в(<5)Ро (I - ъ) _1Е.

¿=1 ¿=1 ^

Начнем с |Ьх(5)Е|тах. Так как

РЛВ(<5)Р0 _ Рм,В(<5)Ро ^ , Р^В(<5)Р0 ^

£>1

LU(J)E = (i - ъ) Е = WW Е + WW ( V Zf) Е :

Hi \ J Hi Hi к '

Hi Hi Hi ■ ^ 1

||PW B (О) || max < |О| ||PW HET|max + |О| || Pw EHT||max + О2 || PMi EET||max < < |О| ||PW HET|max + |О| L||PW E|max|H|max + О2 L ||PW E||max ||E||max = O(1),

||PW B (0)E|| max < L |РМг B (О) || max ||E||max = O(N), и ||PW B (0)Pq~ E || max < L |РМг B (О) || max |PE||max = O(1),

то

НЫад|тах < цр№в^)Е||та*/и + цр№в(г}р^Еутах/^<+

II В(")|| тах

|| Е | тах/Иг = О^-1).

\ . / тах

Перейдем к ||ЬТ(^)Е

^ " ' тах •

ыт= (I-= Р°В(*)Р*Е + ,Е2л В^Е

у ; Иг Иг ; Иг

Так как (см. пп. 7 и 8 леммы 4) ||В(5)Р№Е||тах = 0(М) и ||РоВ^)Р№Е||тах = 0(М),

а 1 = 0(Ж-1) (см. лемму 7), то

||Ь?^)Е||тах < ||Ь?1(<*)Е||тах + || Ь^ (¿)Е|| тах = 0(М-1).

Утверждение доказано. □

Собрав вместе результаты следствия 2, лемм 8 и 9, а также п. 5 леммы 4, получаем из неравенства (12) теоремы 2 окончательный результат работы — теорему 1, приведенную во введении.

4. Выделение гармонических слагаемых из их суммы. Теперь перейдем к выделению гармонических слагаемых из их суммы. Рассмотрим ряд хо,..., хN-1 с

г

Хп = ^2 1г,п, где Д„ = Ък СОв(шгП + ^г) (16)

г=1

с попарно различными частотами шг € (0,1/2) и амплитудами |Ъг|, удовлетворяющими неравенству 1 = Ъ1 > |Ъ2| > ... > 1ЪГ| > 0.

Пусть N ^ ж>. Для асимптотического выделения каждого слагаемого в сумме (16) применим метод АСС со следующими параметрами: ширина окна L/N ^ а € (0,1), а для восстановления г-го слагаемого в сумме (16) используются две главные компоненты с номерами 2г — 1, 2г (см. [1, гл. 1]).

Обозначим соответствующие восстановленные значения и положим

гг,п(N) Iг,п Iг,п.

Теорема 3. Обозначим при 1 < к < г ¿к = Ък+1/Ък. Если при всех к

|4| <0.5---1——--— (17)

1 + ХЗ=к+2 ( Пг=&+1 ¿'<

^] = к+2 \1 Н=к+1

то шах0<п^ )| = О^-1) при 1 < г < г.

Доказательство. Обозначим для краткости cosj = со8(2^^-п + ^з) и перепишем (16) в терминах ¿г:

Г 3-1 \

Хп = СО81 +¿1 СОЭ2 +¿1^2 СО8з + ... + ¿1 ... ¿Г-1 СО8Г = СОЭ1 + ^^ I ^ ¿г I СО8з' . (18)

3=2 V г=1 /

Зафиксировав 1 < k < r, запишем (18) в виде

k 3-1 \ /k-1 r /3-1 \ \

Хп = cosí + I ¿Л COSj +Sk I Si COSk+1 + ( П<4 /5к cos3 I (19)

3=2 \i=1 / \i=1 3=k+2 Vi=1 ) J

и, введя обозначения вз = П3=i Si при j < k и

/3-1 \ k-1 3-1 3-1

вз = П Si /Sk = П * П Si = вк П Si \i=1 / i=1 i=k+1 i=k+1

при j > k, переписываем (19) в стандартном виде

k r

Хп = COS1 в3 COS3 +Sk в3 COSj

3=2 3=k+1

и тем самым приходим к результату теоремы 1: если

\Sk\ < 0.5min I п^т1, 'Зк _,), (20)

Ifo+il Pl

то максимальные ошибки восстановления сигнала fn = COS1 + Е3=2 в3 COS3 от помехи S^r=k+1 в COS3 будут иметь вид O(N-1).

Заметив теперь, что |ek+1| = |ek|, а при j > k

/3-1 \ k-1 3-1 3-1

в3 = ( П ^ /Sk = П * П Si = ek П Si \i=1 / i=1 i=k+1 i=k+1

получим, что условие (20) приобретает вид (17).

Пусть теперь (17) выполнено при любом k. Взяв k =1 и k = r — 1, мы получим, что maxo<n<N lri¡n(N)| = O(N-1) при i = 1 и i = r, а из того, что (17) выполняется при к = i — 1 и к = i, следует, что тахо<„<дг \ri,n(N)\ = при 1 < i < г. □

5. Заключение. Конечно, результат теоремы 3 дает только достаточные условия для разделимости гармоник. Так, при r = 2 (и k =1) условие (17) превращается в |S11 = |&2| < 0.5, в то время как вычислительные эксперименты показывают, что на самом деле условие должно быть |62| < 1.

Для r = 3 условия (17) имеют вид |62| < 0.5/(1 + S^), |S2| = |63/62| < 0.5, что не выполнено в примере, приведенном во введении, где 63/62 = 0.75, а 62 = 0.8 > 0.5. Это связано с применением общей техники возмущений самосопряженных операторов, развитой в [3]. Возможно, адаптация этой техники к решению конкретных задач метода АСС позволит по крайней мере ослабить эти достаточные условия.

Отметим также, что скорость сходимости maxi |ri(N)| = O(N-1) для ошибок восстановления является, по-видимому, стандартной для решения задач выделения сигнала из суммы с осциллирующей помехой. По крайней мере именно такой результат получен в [6, разд. 2] для растущего экспоненциального сигнала и синусоидальной помехи при наличии дискретизации сигнала (как показано в [6, разд. 1], без дискретизации maxi |ri(N)| не стремится к нулю при N ^ ж).

Аналогичные оценки maxi |ri(N)| = O(N_1) можно найти в [8], где рассматривается линейный сигнал, а также в [9], где обсуждаются вопросы так называемого рекуррентного прогноза в АСС.

6. Благодарности. Автор благодарит обоих анонимных рецензентов, замечания которых, несомненно, способствовали улучшению работы.

Литература/References

1. Golyandina N., Nekrutkin V., Zhigljavsky A. Analysis of Time Series Structure. SSA and Related Techniques. Champan & Hall/CRC, Boca Raton, London, New York, Washington D.C. (2001).

2. Nekrutkin V. Perturbation expansions of signal subspaces for long signals. Statistics and Its Interface 3, 297-319 (2010).

3. Kato T. Perturbation theory for linear operators. Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag (1995).

4. Golyandina N., Zhigljavsky A. Singular Spectrum Analysis for Time Series, 2nd ed., Springer Briefs in Statistics, Springer (2020).

5. Nekrutkin V., Vasilinetc I. Asymptotic extraction of common signal subspaces from perturbed signals. Statistics and its Interface. 10, 27-32 (2017).

6. Ivanova E., Nekrutkin V. Two asymptotic approaches for the exponential signal and harmonic noise in Singular Spectrum Analysis. Statistics and its Interface 12, 49-59 (2019).

7. Golub G.H., Van Loan Ch. F. Matrix computations, 4th ed. Johns Hopkins University Press. (2013).

8. Zenkova N.V., Nekrutkin V. V. On the Asymptotical Separation of Linear Signals from Harmonics by Singular Spectrum Analysis. Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 55 (2), 166-173 (2022).

9. Nekrutkin V. V. Remark on the Accuracy of Recurrent Forecasting in Singular Spectrum Analysis. Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 56, 1, 35-45 (2023).

Статья поступила в редакцию 18 февраля 2023 г.;

доработана 12 мая 2023 г.; рекомендована к печати 18 мая 2023 г.

Контактная информация:

Некруткин Владимир Викторович — канд. физ.-мат. наук, доц.; vnekr@statmod.ru

Asymptotical separation of harmonics by Singular Spectrum Analysis*

V. V. Nekrutkin

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Nekrutkin V. V. Asymptotical separation of harmonics by Singular Spectrum Analysis. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2023, vol. 10(68), issue 4, pp. 720-735. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.409 (In Russian)

The paper is devoted to the sufficient conditions for the asymptotical separation of distinct terms in the linear combination of harmonics by Singular Spectrum Analysis (briefly, SSA). Namely, let x0, • • • ,xN-1 be the series with xn = ^I=i fi,n, where fin = bi cos(^in + Yi), and both amplitudes |bi| and frequencies ui € (0,1/2) are pairwise different. Then it s proved that under some relationship between amplitudes |bi| and the standard choice of

*The research was funded by the Russian Science Foundation (project no. 23-21-002220).

SSA parameters the so-called reconstruction values fin become very close to fin for big N. Moreover, maxn(\fi>n — fi,n\) = O(N-1) for any i as N ^ to.

Keywords: signal processing, singular spectral analysis, linear combination of harmonics, separability of harmonics, asymptotical analysis.

Received: February 18, 2023 Revised: May 12, 2023 Accepted: May 18, 2023

Author's information:

Vladimir V. Nekrutkin — vnekr@statmod.ru

ХРОНИКА

26 апреля 2023 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Доме ученых им. М. Горького (Санкт-Петербург) выступил кандидат физ.-мат. наук Д. С. Ролдугин (Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН) с докладом на тему «Динамика космических аппаратов с активной магнитной системой ориентации».

Краткое содержание доклада:

Изучается динамика космических аппаратов под управлением магнитной системы ориентации в основных режимах углового движения. Это — гашение угловой скорости, поддержание ориентации аппарата с ротором, одноосная стабилизация аппарата в режиме вращения и, отдельно, в режиме стабилизации на Солнце, стабилизация в произвольном трехосном положении. В ходе работы установлены конкретные приближенные выражения, характеризующие решение и его ключевые параметры — амплитуды колебаний, степень устойчивости и др. Эти выражения позволяют получить общее представление о свойствах движения аппарата в зависимости от его параметров, в первую очередь инерционных, и от параметров управления. Для актуальных режимов движения предложены новые алгоритмы ориентации.