Асимптотическая нормальность ядерных оценок квантилей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 1 (1), с. 196-207

УДК 519.2

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ ЯДЕРНЫХ ОЦЕНОК КВАНТИЛЕЙ © 2013 г. Т.С. Бородина, М.С. Тихое

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского zhts.260980@mail.ru

Поступвла в редакцвю 18.09.2012

Рассмотрены непараметрические оценки квантилей. Показано, что эти оценки являются состоятельными и асимптотически нормальными. Указаны предельные дисперсии построенных оценок.

Ключевые слова: доза-эффект модель, непараметрические ядерные оценки, квантильный процесс.

1. Введение

Пусть U1v..,Un- независимые и одинаково распределенные случайные величины с непрерывной функцией распределения (ф.р.) Q(x) и плотностью распределения q(x) > 0 . Будем считать, что Р(0 < U, < 1) = 1. Пусть

Хх = Q-1 (А) = inf{x: Q(x) > А,} ,

Q;‘(A) = inf{x: Q„ (x) > А},

где Qn (x) = n - £ I(Ui < x) есть эмпирическая

функция распределения.

Оценка для xA вида

А j

4Jn (Qn) = h 1 j Q (x)K((Аj - x)h-1) dx =

= n-lh - K((Аj - i/n)h-l ),

где неслучайная последовательность h = h(n) ^ 0 при n , K(x) есть ограниченная и непрерывная на R плотность распределения с носителем на [-1,1], а м^) есть i-я порядковая статистика, была предложена в работе [1]. При условиях гладкости на Q( x) и отделимости плотности q( x) от нуля в [1] была доказана асимптотическая нормальность N (0, Е) вектора

n1/2(qjn (Qn ) - 4jn (Q))"=1, где Е = (а.),

а j = (Q1 У (А i )(Q4 )'(А j )А i (1 - А j), 1 < i < j < m ,

ст. = ст . Доказательство основывалось на

представлении Бахадура (см. [2-7]), которое позволяет вместо квантильного процесса

Sn (А) = nv2q(Q1 (А))(21 (А) - Q- (А)), 0 < А < 1,

рассматривать

эмпирический

процесс

Пусть Н(х) = Г К(u)du . В данной работе в

«/ —да

качестве оценки ф.р. Q(х) мы будем использовать оценку ()п (х) ядерного типа, именно,

Qn(x) = n

В [8] для оценок ядерного типа установлено,

что п141 Рп(Q-‘(А)) — 8п(А) I Г, где

Pn (x) = n1 / 2Q (x) - Q( x)),

Sn (А) = n1 / 2q(Q1 (А))(е1 (А) - Q-1 (А)).

В [8] показано, что

n1 / 4(lnn)-1 / 2 sup I Pn (Q-'(t)) - Sn (t) I

a <t<b

^(sup I5(t) |)[/

Pn (x) = n‘ 2(Qn (x) - Q(x)) , -* < x < * .

п^“ а<<

где {В(?), 0 < t < 1} есть процесс броуновского движения, а 0 < а < Ь < 1. Из этого замечания следует, что статистику

П (йп) = А 1 Г о0п—1 (х)К ((А ^ — х)А1) dх можно использовать в качестве оценки для квантиля Ха , и нетрудно показать, что предельным

распределением вектора п1П(чпп (<3п)—Ч пп т=, будет нормальное распределение N(0, £). В данном сообщении мы рассматриваем оценки вида

Х1,п (Ап) = п1 ^ Н ((Ап — йп (г/п))Ь-1) и доказываем, что распределения вектора п/ 2(Х[п (Ап ) — хА п при некоторых условиях регулярности сходятся к нормальному распределению N (0, Е1).

Мы рассматриваем также статистики

2> - Н ---------

п “Т1 п А

n

ДА) = - £—H i/i i/i

^А-Qn (i/n)Л

которые служат основой предложенной ниже оценки Х3п (А п).

Мы показываем, что

Х2,п (А)-

JL^ xl и

п1 2(Х2п (А) — хА) N (0, а2),

п^да

где а2 = 4А(1 — А) хА / Ч2 (хА), поэтому в качестве оценки хА рассматривается следующая статистика: Х3 п (А) = (Х2 п (А))1 /2. Использование теоремы 3.2 позволяет доказать, что если 0 < А1 <

< А2 <... < Ат < 1 то

п12(Хз,п (А п) — Ха п п N (0, Ез),

п п^да

где Ез = (т п), %п = Т щ, 1 п =А,. (1— Ап )(хА^ хАп)1/2 х7

/(Ч(хА )Ч(хап)).

Поскольку 0 < хА < 1, то предельная дисперсия оценки Х3 п (А) будет меньше, чем предельные

дисперсии оценки Х1 п (А) и оценки Чп (()п). Исследованы также оценки вида

2

(А) — H

7/7

^А-Qn &) ^ h

Х6,п (А) = VХ5,п (А) ,

где {£,, }п=; независимы, имеют равномерное распределение на отрезке [0,1], а их предельное распределение такое же, как и у оценок Х2 п (А)

и Х3,п (А).

2. Условия

Пусть {и г,г = 1,...,п} и и - независимые одинаково распределенные на отрезке [0,1] случайные величины с функцией распределения Q(u), Р = {и0,м1,...,ип,мп+1} - упорядоченное разбиение отрезка [0,1], где и0 = 0 < и1 <

< ... < ип < 1 = ип + 1 .

Сформулируем условия на параметры Аг и

к.

Условия (Н)

(Н1) к = к (п), ЬЛ = ЬЛ (п), причем Ьг ^ 0,

п^да

К ^ 0, но пАг ^ да , пАй ^ да .

п^да п^да п^да

(Н2) А / А ^ 0 .

п^да

(Нз) пК = 0(1) при п ^ да.

В качестве примера таких последовательностей рассмотрим hr = n-1/5, hd = n 1/3 [9]. Очевидно, что для них условия (H) будут выполнены.

2 С 1

Положим ЦК) =j K2(x) dx.

Сформулируем условия на ядерные функции

Kr(x) и Kd(x).

Условия (К)

(K1) Kr (d)( x) > ^ причем Kr (d)( x) = 0,

x Й [-1,1].

(K2) J Kr (x) dx = 1, J Kd (x) dx = 1.

(K3) Kr(d)(x) = Kr(d)(-x), x e R .

(K4) IKJ = sup IK. I = к. < да для j = r, d.

xeR

(K5) Существуют непрерывные ограниченные производные функций Kr (x), Kd (x) до третьего порядка включительно на отрезке [-1,1].

II 1|2

Замечание 2.1. При условиях (К) K <да и существуют четвертые моменты для распределений с плотностями Kr (x), Kd (x):

Л * Л *

v2 = j x2K (x)dx, ц4 = j x4K (x)dx,

J -* J -*

j = r, d.

Определим вариацию функции K [10, с. 234]. Пусть K :[a, b] ^ R . Вариацией функции K = K(и) на отрезке [a, b] называется величина

V(K) = Vab (K) = sup £n=01 Kи+1) - Kи) |, т.е.

точная верхняя грань по всем упорядоченным разбиениям P отрезка [a, b].

Замечание 2.2. Из условия ограниченности производных функций Kr (x), Kd (x) на отрезке [-1,1] (условие (K5)) следует, что их вариации ограничены (см. [10, с. 235]), т.е. V‘(Kr(d)) <* .

Условие(F)

(F1) Существует третья непрерывная ограниченная производная плотности распределения q(x) = Q'(x), причем q(x) > c0 > 0 для

0 < x < 1, т.е. плотность q(x) на отрезке [0,1] отделима от нуля.

Условие(P)

(Pi) При n ^ *

max max{|u, - k /n\,\и,^ - k/n\ [= O(n-1).

ke{0,1,...,n} 4 k 11 k+l 1’

k

Из условия (Р) следует, что ик = —+ O(n 1),

и

n

причем последовательность п | ик-------| равно-

мерно по 0 < к < п ограничена константой С .

Всюду в работе будем предполагать, что выполнены условия (Н), (К), ^), (Р), которые будем называть основными условиями.

3. Вспомогательные результаты

Пусть ЭТ - лебегова ст -алгебра на [0,1] и ц -лебегова мера на ЭТ . Определим

А(В, Р) = ]Г х в (и,),

і= 1

А(В, Р)

D: (в, P) =

_Ц(В)

< u2 <... < un < 1 вмєєм

1 n 1

- Т f (Ui) _ j f (u)du

n

< V0( f )D>1,..., Un).

1

Dn(ul,..., Un ) = ^ + max

2n

u_

2i _ 1

2n

Замечание 3.2. Если ut = —, то — _ 2—1

n n 2:

1 * 1

= T~ и Dn(ul,..., Un ) = “ .

2n n

Теорема 3.2 ([12, с. 299]). Е^в ф(:) ^ да npB п ^ да в nocлeдoвameльнocmь ощнок Тп mamea, чmo

ф(п)(Т: _0)—^N(0,т2(0)),

mo

ф(n)(g (T:) _ g (0)) —U N (0, x2(0)(g '(0)f)

п^да

прв условвв, что существует непрерыгвная не равная нулю провзводная g'(0) функцвв g(0).

Для дальнейшего нам понадобится также следующий вспомогательный результат. Рассмотрим функцию

~ = ~(u) = -1 k— h

есть

где хв (x) _ индикатор множества B .

Положим D*(P) = Dn (J*, P), где J* семейство подынтервалов [0, ui ] на [0,1].

Для любой ограниченной функции у: R ^ R положим ||у|| = supхє11 у |.

Теорема 3.1 [11] (KH-неравенство). Е^в

Функцвя f (u) (0 < u < 1) вмeem oгpaнвчeннyю

вapвaцвю V0 (f), mo для любых 0 < u1 <

d J

и оценим ее вариацию на отрезке [0,1] .

Лемма 3.3. Если выполнены основные условия, то

V(~) = sup £j=1 ~(и.) - ~(uj-1) 1 = O(h-1),

где супремум берется по всем возможным упорядоченным разбиениям P = {uj,...,ul}, 0 <

< u1 <... < ul < 1, отрезка [0,1].

Доказательство. Пусть 0 < u1 <... < ul < 1 есть произвольное упорядоченное разбиение отрезка [0,1]. Тогда

Т1 ~(uj) _ ~(uj—1)| =

j=1

1l

=-Т h ^

Приведем также еще две леммы из [11], которые проясняют суть этого неравенства.

Лемма 3.1. Еслв х1,...,хп, у1,...,уп,

х1, у1 е [0,1], удовлетворяют неравенствам I х1 — у1|< е для 1 < г < п, то

(хl,..., хп)—К(Уl,..., Уп) .

Замечание 3.1. Из леммы 3.1 следует, что Д*(х1,...,хп) есть непрерывная функция переменных х1,...,хп.

Лемма 3.2. Еслв 0 < и1 <... < ип < 1, то

K

Г Q(Uj) _М f Q(Uj—1) — ^

_ к

h

h

d J=1 V d J

1 Г l1 l2 l

1 Т+Т + Z

d V J= J_l1 +2 J=l2 + 2 J

к Г Q(uj) _:^

к— V hd J

Г Q(Uj—1) _M

h

K

K

Г Q(Ul1+1) _:^ f Q(Ul1)_V\

_ K

h

h

h

_ к

h

где /1 и 12 таковы, что

^и4) < А — к , ^ик +1) > А — к ,

^2) < А + к , +1) > А + к .

Поскольку Кл (х) = 0 для | х |> 1, то сумма

^11 + ^ ^ ^ будет равна нулю, а

k

n

h

d

+

h

d

1

+

+

h

d

1

K

Q(u- +1) _M

V h— J Г

= K— (_1) +

Лемма 4.1. npB n ^ да

+ K— G)

Q(u-+1) _J +-

V h—

x1,n (j) = xj + a2 ,dh— + o(hd^),

Kn_-w^,,2 _ v2q'(xx)

гд X: = Q-‘(^ a2,— = - (Q-1) "(j)v2 = _

2 2(q( X: ))

Доказательство. Используя KH-неравенство, лемму 3.3 и замечание 3.2, получаем:

Аналогично, K

Г Q(uJ _:л

h

x-,n(j) = І jj к

dudx + O

Г1л

— 0 -да V — J

V nh— J

V л J В оставшейся сумме все точки принадлежат отрезку [—1,1], и поэтому

1 1 - j dx J K— (z) dz + O

1

1 l2 — Т

Zi

к ГQ(Uj)к ГQJ-M K— , K— ,

V hd J V hd J

0 Q( x)—J

hd

V nh— J

1 l2

=-Т h ^

Q(uJ) _ Q(uJ—1)

К

2Mh— 2M

h— h—

Q(x) _J ,

Поскольку неравенства -------------------<_1 и

К

x < Q-’(:_ hd) < 1 равносильны, то

Q-'(}■—h— ) 1

X1n (J) = j dx j Kd (z) dz +

где п є [-1,1], \К’а (Е,п) |< М , М не зависит от п . Отсюда следует результат леммы.

4. Основные результаты

4.1. Асимптотика оценки Х1,п (А)

Рассмотрим оценку Х1п (А) и представим её в следующем виде:

1

1

+ j dx j K— (z) dz + O

Q-l(X—hd) Q( x)—j

hd

1

V nh— J

1n

x-n (J) = - Т и—

1/1

^J_ ^n (і/:)Л

= X1,n (j) + А(^

Первый интеграл равен Q ‘(А-На), а во

Q(х) — А

втором сделаем замену у =---------- и, замечая,

к

что А < Q(1) = 1, функция Q(х) трижды непрерывно дифференцируема (а следовательно, дифференцируема и обратная функция Q 1 (у)) и Q'(х) > с0 > 0, получим

где

X-,: (J) = Q-‘(:_ К) +

1n

Qn (X) = - Т Иг

7/7

J=1

Г x _ Uj Л

V

Q (-)—J hd 1

+O

1: о = - ^ fj_ 0(i/n) пТ^

п j

Т j к

nh

i=- V h— J

j Г Q(i/n) _ u Л

A(j)=nr ЇЯк

ПП— i = 1 _да

V h— J

f

+h— j dyjk— (z)(Q 1),(j+h—y) dz

—1 y

Так как

1 1 1 1 2

j dy j K— (z) dz = 1, j ydy j K— (z) dz

Г 1 л

V nh— J

—- y

v± _ -2 2

Qn (i/n) _ U

_K

n

=—Т

nh

ГГ

и— -

V V

Q(i /:) _ u л

V h— -J

A

_и

j_ Qn (i/n)

h

'—

к

•du =

hj-Qij/n)} Л V h— J

sup I (Q-1 )"(t) _ (Q-1 )"(x) _ (t _ x)(Q1)"(x) I<

t ,xe[0,1]

< - sup I(Q'T(x)|,

2 t^[0,-]

(Q-1)——(x) = 3(Q"(Q-‘(x)))2 _ Q" (Q--(x))

(Q ) (X) ґґ\*ҐҐЛ—-Ґ W\5 /л'/Л— -/ w\4 ,

(Q ' (Q --(x)))5 (Q (Q--(x)))

Асимптотическое поведение x-n (j) представлено в следующей лемме.

то в силу отделимости плотности от нуля и ограниченности производных плотности получаем, что

sup | (Q-1)' (t) - (Q-1) ' (x) - (t - x)(Q 1)"(x) |< С.

t ,xe[0,1]

h

d

— j—l- +2

J-4

h

d

Таким образом,

хт (А) = б-‘(А — А,) + А, ((0—1) ' (А) +

1 1

+ (0 (А)А, | У йу\К, (7) йх+0(к2)) + о

V пК

= 0-‘(А) + - к](0-1) ' (А)у , + о

к +

пА

■ У

КМ . Ч' (хА )

2 Ч 3(Ха )

+ ЧК2),

что завершает доказательство леммы 4.1.

Рассмотрим теперь величину Д(А) и представим её в следующем виде:

Д = Д(А) = Д, +1Д2 +1Д3 +—Д4.

1 2 2 6 3 24 4

Здесь

Д'=- пк- ^ К-

(А—0(г/п) То (О 0( 1_

а, А VпУ чпуУ

А — 0(г/п) V - (г Л А г ^Л

I "

Д3 =—п*3 Т Кй

Д 4 = 1К

■ г=1 V ■ /V

где 1 — 0(г / п) < 0п (г /п) — 0(г /п) 1 .

Лемма 4.2. Еслв А, = п 1/3, то прв п ^ да

■\[п (Д1 — а2гК) -^N(0, а]2), где

2

а2, =—^т 0'' (0 1 (А))(0 Ч) '(А) = —

2

а 2 = А(1 — А)[(0-1) ' (А)]2 =

У 0 ( Ха )

20' ( Ха )

А(1 — А)

Ч2( ХА )

Доказательство. Определим величины

1п ^ *2*

0(г/п) — А К

х (0п (г / п) — Е(0 п (г / п))),

1

0(г/п) — А

V К У

х (Е(0 п (г / п)) — 0(г / п)).

Тогда Д1 = Дп + Д12.

Из [13] получаем

Е(0п (х) — 0(х)) = 1У2#0 '(х) + о(К):

а из ограниченности второй производной 0' (х) следует, что

8ир|Е(^п (х) — 0(х)) |< 0(А2).

х

Используя это замечание, получаем Е(Д1) = Е(Д1,2) =

у \К2 ^ „ (0(г/п) — АЛ

2пК,

'I К,

к

2К

К

■ 0

0'' (г / п)(1 + 0(1)) =

■ У

(

0 ' (х) йх + о

V ■ У

V пК, у

1

| к, (х)(0-1) ' (А + хАЛ )>

X 0 ' (0 1 (А + хАЛ)) йх + о

( А2 Л

V пК, У

= 2”А;2 (01) ' (А)0 '(01 (А)) + о(К).

Далее, подсчитаем дисперсию величины Д1. Имеем:

Б(^) = Б(ДЦ) =

Б

п 2Н

IIК■

■ п=1

■ п=1

0(г/п)— А к,

<2(г/п)—А

V А, У

я.

г/п — и, ЛЛЛ

К

(г/п — и- ЛЛ

п3 А,2

Б

IК,

V К

(0(г/п) — АЛ„ (г/п — и ЛЛ

яг

V г=1 V ■ У

Е

IТ К■

г=1 Пй

0(1/п) — А

Л

А

я.

I г-К■

г=1

0(г/п) — А

■ У Л

А

я„

■ У

(г/п — и ЛЛ

К

г/п — и1

V г уу

АЛ

К

V г уу

= 1(^2п — /2 ).

Теперь вычислим: 1)

I к к

0(1/п) — А

К

я.

■ У

=11 - К =1 [к

^ 0(г/п) — аЛ| я (г/п — и

К

V К УУ

Л

■0(и) =

V ■ У 0 V г У

к

—К,

о V о

0(х) — А^я (х — ^ Л

К

V ■ У

А.

■х

■0(и) =

1

2

2

3

1

1

п

г=1

1

2

1

3

п

X

п

J( JKd (z)(Q-‘)'(А + hdz) X

x H.

0 __А_ hd

fQ'‘(А + hdz) - u ^

h

dz)dQ(u).

Заметим, что для фиксированного А

А 1 -А

^ - ж ,--> + ж .

h П^ж

d

h п^ж d

Так как плотность g( x) отделима от нуля, то sup \Q-‘(А + hdz) - Q-1 (А) \< Chd ^ 0

H

(Q-‘(A + hdz) - j1 „( Q(А) - j1

r /

(/1-1

= — K h

Q "(А) - J h

-H

1

r

((Q-l)'(A)hdz +

rr

f hi 1 v h j

+1(0-1) '' (А)К, 72 + аф) = о

где мы использовали, что

11

| К■ (х),2 = 1, | хКЛ (х),2 = 0 ,

—1 —1

функции Кг, (0 ’) ', (0 *) '', (0 *) "ограничены. Поэтому

bn ~ (Q_1)' (A)J Hr

h

dQ(u).

q( xa )

2)

12n = E

n ti Kd

n i=1 nd

Q(i/n) - А

v hd J

H,

(i/n-11

v r yj

'J(Jh

0 V 0 d

—K,

rQ(x)-А1 ( x - u 1 1

' H„ —— dx dQ(u)'

V hd J

h

J I J(Q-')'(А) Krf (t) Hr

fQ "(А) - u It ^

dQ(u) -

r у J

q ( xa ) -1

1

J ece 1 (А) - hrz)Kr (z)Hr (z)dz

2А

1

-J Kr (z)Hr (z)dz'

q () -1 1

так как I Kr (z)Hr (z) dz = — .

-1 2

Следовательно,

D(^)

q2(xx) ’

2

А(1 - А) nq2(XА)

Заметим, что ^пК, = п 1 /6 ^ 0 при п ^ да, поэтому при таком выборе Кг, К, имеем:

I- ■ т

л/пД1 ^ N(0, а2).

п^да

Теперь асимптотическая нормальность Д1,1

доказывается применением центральной предельной теоремы Ляпунова аналогично [13]. Замечание. Если мы рассмотрим оценки

1n

4n (А i) = -1 H

IS!

(А1 - Qn (i/n)1 h

J = 1,2,

0 V г у

Если сделаем в последнем интеграле замену

0 1 (А) — и

t =-------------, то при п ^ да

К

1уп - (04 )'(А) 1 -1 Кг [ 0 1(А) — и )0(и)йи -* К К

0 г V г у

0~1(А)

Кг

- (0 ’)'(А) | Кг а )0(0-‘(А) — ^ )dt -

0 1(А)—1 Кг

1

- (0 1 )'(А)IКг (t)0(0“‘(А), .

—1

Таким образом,

квантилей порядков А1 и А2 , где будем считать, что 0 < А1 < А2 < 1 , то для доказательства асимптотической нормальности вектора

(Х1п (А1), Х1п (А2))т достаточно теперь рассмотреть асимптотическое поведение ковариаций

а12п = С«ЧХ1,п (А1 ), Х1,п (А2 )) = Е(Х1,п (А1 ) • Х1,п (А2 )) — —Е(Х1,п (А1)) • Е(Х1,п (А2 )) оценок Х1,п (А1), Х1,п (А2 ) .

Имеем:

(Г

ПСТ12п = E (

nt1 hd

Q(i/n)-А |H | i/n-^1

X

-1K

n ^ h d

Vn j=1 r/d

Q( j / n) - А

h

H

j/n -

h

r vjj

А1А 2

—K 0 hd '

J dQ(u)IJ h1

0 Vl

X[J h K

q(xx1 )q(xx1)

Q( x) - А1

V hd J

H.

x - u

V hr J

dx

-0 hd

Q( J) - А 2

h

H

d J

J - u

V hr J

^ 1 dj

А1А 2

q(xx1 )q(xx2)

(Q ^1)'(АJ)(Q-*)'(А 2) X

2

А

z

и

X

d

r

А

1n

X

2

1 —1

х я.

г

0 V

0 (А1) — и

к

—1

я

0-‘(А 2) — и

А

■0(и) —

г

2

А1А 2

К

знаком интеграла, получаем, что

^2 ) — и , 0 1(А 2

0-‘(А2) — и = t + 0~‘(А2) — 0 1 (А1) ^да

К

к

Поэтому

па,.

Ч(0 '(А1))Ч(0_1(А2))

х

К

■0(и) —

А1А 2

0 V ' г /

Таким образом, а

Ч( ХА1)Ч( ХА 2)

А1(1 — А 2 )

пЧ(ХА1 )Ч(хА2 )

Лемма 4.3. Еслв К, = п 1/3, то прв п ^ да

Д 2 + Д 3 + Д 4 — о

( 1 Л

V пК, У

1п

|Д ■< пи I

К'

^А — 0(г /п)^

К

х|0я|-I — 01-11 = ¥

г ,,2 11

■ 0

■ У

К'

А — 0(х)

V к, У

пК,

К'

(а—0(х) л

(0 1 )'(А) ^ Г К, Ц)

пк.

V ■ У п

!

1}\пп

йX • (1 + о(1))-

пК

dt'

- (0 )'(А) - V(K■). пКй

Поскольку вариация V(К,) функции Кй конечна, К, = п—1/3, то

= о(п-1/6) ^ 0.

Аналогично предыдущему показывается, что

Ч(хА1 )Ч(хА2)

Замечая, что А1 <А2 ^ 0 1(А1) < 0 _1(А2) и

0 1(А1) — и

делая замену переменной t =------------^------ под

. . 1 + — |Д3<-К3-

■ 0

к;

А — 0 ( х )

V ■ У

|0п (х) — 0(х) |3 йх <

Ь3(\п п)3/2 1 п3/2 К2

■ —1

Тогда для К, = п~1/3 имеем

■ 11 К, (t)|dt • (1 + о(1)).

п17 2 Д3 = о

Т/Т 1, т.е. Д3 = 0

( 1 Л

4п

V V" /

Используя ограниченность третьей производной К,'(х) функции Кй (х) и соотношение (1), получим

^'fn| Д 4 < —3п4- I| 0п (х) — 0(х) |4йх <

nJ {

1/2 1

4п

■ 0

—3 Ь4(\п п)2

: п3/2 К4

-1/6

где | К"'(х) |< М 3, т.е. л/пД4 ^ 0 .

п^да

Таким образом, Д2 + Д3 + Д 4 = о куда следует 4п (Д2 + Д3 + Д4) ^ 0 .

1

V пКй У

от-

Доказательство. Рассмотрим сначала величину Д 2. Из КН-неравенства получаем

X (0п (X) — 0( X))2 йх • (1 + о(1)).

В работе [4] показано, что при условиях (Н), (К), (Г)

®ир 10п (х) — 0(х) |< Ьп—1 /2(\пп)1 /2 п.н. (1)

х

Используя этот результат, имеем следующие соотношения:

Пусть Х1,п (А) = (Х1,п (А1),..., Х1,п (А к )) ,

хА = (хА ,...,хч )т . Из лемм 4.1 —4.3 выводим следующую теорему.

Теорема 4.1. Еслв ЬЛ = п~1/3, 0 < А1 <

<... < Ак < 1 в выполнены основные условвя, то прв п ^ да

(п1 /2(Х1,п(А,) — Ха,)к= 1)Л N(0,Е1),

г п^да

где N(0, Е1) обозначает к-мерное нормальное распределенве со средним 0 в свмметрвчной

матрвцеи

коварвацвй

а, =

а, (1 — А)

А г. < А для г < , .

Ч( Ха, )Ч( Ха ,)

4.2. Асимптотика оценок Х2п (А) и

Х3,п (А)

Рассмотрим теперь оценку Х2п (А) следующего вида:

(

п (А)=-;!-я

пггп

А — 0п (г/п) К

Л

где

= Х2,п (А) + 2Л(А),

п

ДА) = -1—я

VI VI

■ У

1

х

х

х

2 і г „ ( Q(i / п) - и^

У1Г к

пк п *

а

а ,=1 да V а J

ад=пЬ Уп Як

пк, “ п

а , = 1 —да ^

<Зп (,/п) _ и к

аи, л

- к

к

•"и.

а J

Асимптотическое поведение х2 п (А) представлено в следующей лемме.

Лемма 4.4. При п ^ да

Х2,п (А) = ха + Ъ2,акл + °(кл ) ,

где ха = QЪ Л =У 2 ХА

Я'( ХА ) , 1

---3--------,----2------

Я (хА) Я (ха) J

,(А)=к- л*

2 г > „( Q(х) - и ^

" 0 1

= Л Х

"и"х + О

V а J

V пка J

2{хёх Г КЛ (х) "х + О|

0 Q( Х)-А

ка

V пка J

Q-1(А-ка) 1

= 2 Г х"х Г Кл (х) "х +

0 -1

11 + 2 Г хОх Г Ка (х) "х + О

Q -'(А-ка) О( х)-А

ка

1

V пка J

1

V пка J

= ОЧА) - (О~1)'(А)ка + ©^"(А)^ + о(ка2)}2 +

1 1

+ 2ка (Q1) " (А)Q1 (А) Г Оу | Кй (х) "х +

-1 у

11

■ 2к2 Г у ау Г Кй (г) йхт1) " (А)О-1 (А) ■

+ [(О-1)' (А)]2} + о(к").

Замечая, что

11

V! 1

Доказательство. Используя КН-неравенство, лемму 3.3 и замечание 3.2, получаем:

| йу| К■ (х) йх = 1, | уйу| К, (х) йх ■■

—1 у —1 у

получаем

Х2,п (А) = (0 ^‘(А))2 + ((0-1) ' (А))2 к] —

— 2(0-1) ' (А)0 1 (А)К, + (0-1) '' (А)0 1 (А)К, +

+ 2(0-1) ' (А)0 1 (А)К, + (у■ —1)0-‘(А)*,2 х х {(0-1) '' (А) + ((0-1) ' (А))2} + о(К2).

Вычисляя производные от обратных функций, получаем результат леммы 4.4.

Представим теперь величину Л(А) в следующем виде:

1 Л(А) = Л1 +1Л 2 +1Л3 + — Л 4.

2

2

6

24

Здесь

л=-^тУ- к

, „ (А-Q(i/п)Л(л ( і

пка 1=1 п

а J

<Э„| -I-Q| -

1

л2 = —тУ-ко

пК ТЇп

1 п

л 3=-А У1 к"

3 пк,3 £ п "

1

і „,(А-О(і/п)Л(л ( /

к

а J

А- Q(i / п)

л 4=-к- У-к:

пк

(

к

А-^,

Оп| -I-Q| -

(2п\1\-о(-

У

л2

V к" J

Л( ^п(11-Q( ,Л Л

Первый интеграл равен (0 ’(А — к,))2, а во

0(х) — А

втором сделаем замену у =---------------- и, замечая,

кл

что А < 0(1) =1 , а функция 0(х) трижды непрерывно дифференцируема (а следовательно, дифференцируема и обратная функция 0 1 (у)), 0'(х) > С0 > 0 , получим

6(1)—А к,■ 1

Х2,п (А) = (0_1(А — Кй ))2 + 2Кй | йу| Кй (х) х

—1 у

х (0-‘)'(А + К,у)0 1 (А + К,у) йх + о

где \ - ^ /п) \<\ <2„(і /п) - ^ /п) \.

, то при п ^ да

Лемма 4.5. Если к, = п 1/3,

Л1 - а2гкГ ) ~^М( 0, ст2)

где ~ =^2ХАЯ'(ХА) „2_4А(1 -А)ХА

Я( ХА )

Я (ХА )

Доказательство. Определим величины

1

Л„ =—^ К

(Q(i/п) - А^

пка 1=Т п

к

а J

X (О,(і/п) -Е(^2п(і/п))),

1

Л12 =------------К

’ пк ^ п '

і (О(і/п) - АЛ

к

х (Е(^п (г /п)) — 0(г /п)).

Тогда Л1 = Лп + Л12.

Из [13] получаем

Е(0 (X) — 0(х)) = 2У2К20"(X) + о(К2),

а из ограниченности второй производной 0"(х) следует, что

х

п

п

п

п

3

п

п

4

п

п

X

X

2

8ир|Е(0п (х) — 0(х)) |< о(кг2).

Используя это замечание, получаем

у г кг п

Е(Л1) = Е(Л1,2) -

2пКй и п

11К•

ТА

( 0(г/п) — аЛ

К

6"(//п)'

У22к21 хК ( 0(х) — А

2К

■0 2 7 2 1

У г К 2

К

■У Л

0"(х)йх-

V ■ У

1

I Кй(х) 0Ч(А+хКй) х

Б

1

п2 к

11пкК.

к

/У

п к

пп

I б| Щк.

■ ,= 1

0(,/п) — А V к, У

— АЛ (г/п — и, ЛЛ

я

V к

Б

п

^К,

и

0(г/п) — А

Е

— Е2

I ^к~К. пК.

' п

Ц-^Ка

V 1=1пК.

К

яг

■ У

(//и—и, ЛЛ

V Кг УУ

0(г/п) — А V К У

Л-

я.

ЛЛ

0(г/п) — А К

г

я.

г/п — и

V уу

ЛЛ

г/п — и1 к

■ У V 'V У У

Рассмотрим каждое из слагаемых.

1)

~1п = 1 Е п

±пктК.

г=1 пК.

=11—К п1=1 пК.

=1 (НК

0 V 0 ■

0(1 /п) — а

V к У 1 Л-

А г я.

г/п — и1

К

ЛЛ

0(г/п) —А

V К.

я.

к

V г уу Л

■0(и) =

//п — и

0(х) — А

V Кй У

(

1 кй

я

0 V 'V У

х—и

йх

\ г у

•0(и) =

У

I I кй(х)0~1(А+кйх) х

0 —_а_

V к.

х (0-‘)'(А + К,х)яг

Г0~\А + К.х) — И Л

К.

■х

УУ

■0(и).

Заметим, что для фиксированного А

А 1 — А

--------------> — да ,--------------------> +

к п^да к п^да

пй пй

8ир |0-‘(А + К.х) — 0-‘(А)|<

х

< (0-‘)'(А)Кй < СК. ^ 0,

я

( 0-‘(А + К.х) — у Л

—я

( 0 ‘‘(А) — у Л

= ККг

(0-‘(А) — у л

((0 1)'(А)К.х +

2

+ 2(0-1)" (А)К. х2 + о(К.)) = о

V к У

х (0-‘)'(А + хк, )0''(0-‘(А + хК.)) йх -

2

- — ■у'К0 1 (А)(0 ^1)'(А)0"(0-‘(А)).

Далее, подсчитаем дисперсию величины Л1. Имеем:

Б(Л1) = Б(ЛИ) =

где мы использовали, что

IКй (х) йх = 1,

—1

1

IхК.(х) ,х = ^ функдии кг, (0~‘У, (0_1)",

(0 'У ограничены. Поэтому

0—1 (А)(0 ‘/(А)! я г

1 (0 _1(А) — иЛ

К

•0(и) .

t =

0г

Сделаем в последнем интеграле замену

0 1 (А) — и

К

. Тогда при п ^ да

0 1 (А)(0 ^'(А^(0‘(А) — и

^к-

0 Кг

0 — (А)

0(и)йи-

' 01 (А)(01 )"(А) I Кг (t)0(01 (А) — V)Л ■

е-1(А)—1

'0—1 (А)(0 ^'(А^ Кг ^)0(0— (А))йt.

—1

Ах

В итоге получаем, что 11п

Ч(ХА )

2)

= Е

1 / 1

11 -Гк•

птг пк

г=1 •

(

0(г/п) — А

V к• У

я | г/п — и1

III хк^ к.

0 V 0 ■

0(х) — А,тт ( х — и Л Л

я..

V ■

йх

V г У

•0(и) -

'I [10—1 (А)(0 4 )'(А)К. (t):

х я.

/ /О— 1 Л Л! ^ Л

0 (А) — и

К

ж

■0(и) '

V г у у

2 1 —1

Ч (ХА )

я2

0 (А) — и

V Кг У

•0(и)'

К

К

г

г

К

г

й

К

а

1

,= 1

1

2

1

г

п

К

2

к

г

А

да

2 х:

2 1

І в(в 1 (А) - кгг)Кг (г)Яг (г) "г

2 Ах.

Я 2( ХА ) -!

Таким образом, D(Л1)'

21

А- ГКг (2)НГ (2)"2

Ах,

Я2(ха)

А(і- А) хА

пЯ 2( ХА )

Учитывая множитель 2 в определении оценки Х2п (А), получим результат леммы 4.5.

Заметим также, что л^к " — п-1/6 л 0 при п л да , поэтому имеем:

I- " г.

л/пЛ1 Л N(0,ст2).

плда

Асимптотическая нормальность Л11 доказывается аналогично предыдущему.

Замечание. Если мы рассмотрим оценки

2п

і

ДА,) —-У-Я,

п и п

I — 1,2,

( (

-Е

- У

пи пка

О(і/п) -А

к

Ґ ■

Я,

а J

і/п - ^ "к

ЛЛ

1^ . Л ОО'/п) -А

- У ~ТК:

V п .1 пка

Я,

А1А 2 ХА1ХА2

Я(ха1 )Я(ХА2) ( ,

І «Н г

—К

0 ка ‘

Я,

V а J

к.

"х

х|| к*

О( У ) -А; к

Л

Я

а J

А1А 2 ХА1ХА2

У - и к.

V г У у

^ Л "у

Я(ха1 )Я(хА2) о-‘(А1)О-‘(А 2)(О-1)'(А1>(О-‘)'(А 2) X

1 -1

х Я.

г

-1 V

О (А1) - и

к

-1

Я

Г УК

А1А 2 ХА1ХА2

Я(ха1 )Я(ХА2)

О~ (А2) - и к

«О(и) -

Заметим теперь, что А1 < А2 о

о 0 1(А1) < 0 *(А 2). Делая замену переменной

0 1(А1) — и t =------------, получаем, что

0 1 (А2) — и = t + 0~‘(А2) — 0 1 (А1) ^да

Кг Кг п^да

Поэтому

пст,,

х Я

О ‘(А^О-‘(А2) х

Я(О 1 (А1))Я(О-‘(А 2))

А1А 2 ХА1ХА

к

А1 хА х

"О(и) -

у

А1 хА2

Я(ха1 )Я(ХА2)

А1А 2 ХА1ХА2

квантилей порядков А1 и А2 , где будем считать, что 0 < А1 < А 2 < 1, то аналогично предыдущему достаточно рассмотреть асимптотическое поведение па12п, где ст12п есть ковариация оценок

Х2,п (А1) и Х2,п (А2 ) .

Имеем:

Я( ХА1 )Я( ХА 2) Я(хА1)Я(хА2) Таким образом,

~ А1(1 - А2 )ХА1 ХА2

ст ~----------------1—— .

12п пЯ( ха1)Я(ха2)

Лемма 4.6. При п л да

Л 2 + Л 3 + Л 4 — О

( 1 Л

л/п.

у

Доказательство. Замечая, что 0 < і / п < 1, и повторяя доказательство леммы 4.3, получим результат леммы 4.6.

Из лемм 4.4—4.6 выводим следующую теорему. Теорема 4.2. Если 0 <А1 <... <Ак < 1 и выполнены основные условия, то при п л да

(п1 /2(Х2,п(Аі)-хАі)к— 1) Л N(0,£2),

і плда

где N(0, £ 2) обозначает к-мерное нормальное распределение со средним 0 и симметричной матрицей ковариаций £ 2 — (р.. )к.=1,

4Аі (1 -А. )хАіХА.

Ру Ч(ХА, )Ч(хА, )

Рассмотрим оценку

Х3,п (А) = 4Х2,п (А) .

Воспользовавшись теоремой 3.2, получаем следующий результат.

Теорема 4.3. Прв п ^ да

п/ 2 (Х3,п(А) — ха ) N(0, а2^

где ст2 —

А(1 - А)ха

3 Ч2(Ха)

Так как 0 < хА < 1, то из теоремы 4.3 заключаем, что предельная дисперсия оценки Х3 п (А) меньше, чем предельная дисперсия оценки

х1,п (А).

2

X

X

к

а

X

плда

Обобщением теоремы 4.3 является следующая теорема.

Теорема 4.4. Еслв 0 <А1 <... <Ак < 1 в выполнены основные условвя, то прв п ^ да

(п1 /2(Х3,п(А,) — Ха,)к=1)Д N(0,£3),

г п^да

где N(0,£3) обозначает к-мерное нормальное распределена со среднвм 0 в свмметрвчной матрвцей коварвацвй £3 = (т,)к,=1.

4.3. Асимптотика оценок Х4п (А) и

Х5,п (А)

Рассмотрим теперь оценку Х4п (А)следую-

Е(х4,п (А)) — Jl — Е

1 п

1 £Я:

7/7

1

— Я

А- О(и) к

к

а J

0 V "І J

А

V ІК

1А

I «ЧТ І

а

аи —

Л

О(и) - х

" —да V " J

Q_1(А—к«) 1

Ох —

щего вида:

1п

'4,п (А) — - У Я,

пм

п

ДА) — - У^Я,

7/7

Л Л /к Л

— | "и |К" (г) — І Ои | КЛ (г) "г +

0 К-Ши )-А) 0 -1

11

+ | "и I Ка (г) °2 —

Ш- (А-к" ) к"1 (Ш (и)-А)

к- (0(1)-:) 1

— Ш-1 (А- к") + I "у|каКа(г)(Ш-1)'х

х(А + кау)аг — Ш 1 (А) + - к"(Ш _1)"(А> 2 +

+ О(к") — хА- к^аЯ (ХА

+О®.

2Я (Ха )

Представим статистику Х4 п (А) в следующем виде:

Х4,п (А) — Х4,п (А) + ^1(А),

где

1 2

Кроме того, D(х4 п (А)) — — (J2 - J1), где , п

Л —

1А

|| |к-1 К" (К- (Ш(х) - и))"и

-х.

1п

п (А) — - У Я«

7/7

1 Г А (

—„а у!>-

(

- К

) - и К

Л

V к- J

(Ш„ & ) - и'

V к- J

аи .

Аналогичными рассуждениями показывает-

ся, что Л — х - ^ + о(К).

К Я,( ХА )

2я3(Ха )

Значит, D( х4 „ (А))'

ХА (1 - ХА )

V а

Представим статистику Х5 „ (А) в следующем виде:

Х5,„ (А) — Х5,„ (А) + ^^2 (А) ,

где

Из неравенства Чебышева отсюда следует,

р

что Х4 „ (А) Л ХА .

„ лда

Точно так же (см. [14]) можно показать, что

е(х5,„ (а))—хА + к> а

1 - ХАЯ'(ХА)

Я2(ХА) Я3(ХА) J

+ о(к«2)

2-

Х5,„ (А) — ~У^Я, п

і—1

2 п А

^(А)—пк: У ^ I

^А- ) Л

V к- J (

їх х?,п <а)> - ^ V 3- Хм •

К

Шп &) - и

(

-К

) - и к

к

откуда х5„ (А) Л ХА.

„лда

Имеют место также следующие результаты. Лемма 4.7. При п л да

пи 2Т1(А) л N(0, ст2(А)),

аи .

где

V а УУ Исследуем сначала поведение величины

5 2(А) —

А(1 - А)

Я2(ХА)

х4 „ (А). Для этого найдем её математическое Лемма 4.8. При „ Л да

ожидание и дисперсию. Имеем:

п1/2Т2(А) л N(0,52 (А)),

2

х

где 2 (А) =

4А(1 -А)хА q2(xx)

Из этих лемм уже нетрудно получить следующие результаты.

Теорема 4.5. Прв п — да

п1/2(Х. (А) — Ха)(0,52(А)),

где ст2 (А) =

А(1 - А) q2(ха)

Теорема 4.6. При n — да

nl/2(x5jl (А) - хА) (0,5 3 (А)),

где 5 2 (А) =

4А(1 -А)хА q2(ха)

Как и в случае фиксированного плана испытаний, рассмотрим следующую оценку:

Х6,п (А) = 4Х5,п (А) .

Воспользовавшись теперь теоремой 3.2, получаем следующий результат.

Теорема 4.7. Прв п — да

п1/2(Хб,п (А) — Ха )—N (0,5 2(А))

где 52(А)=

А(1 - А)ха

q2(ха)

Список литературы

1. Falk M. Asymptotic normality of the kernel quan-tile estimator // Ann. Statist. 1985. V. 13. P. 428-433.

2. Bahadur R.R. A note on quantiles in large samples // Ann. Math. Statist. 1966. V. 37. P. 577-580.

3. Kiefer J. On Bahadur's representation of sample quantiles // Ann. Math. Statist. 1967. V. 38. P. 1323-1342.

4. Kiefer J. Deviations between the sample quantile process and the sample D.F. // In : Nonparametric Techniques in Statistical Inference (M.L. Puri, ed.). London: Cambridge Univ. Press., 1970. P. 299-319.

5. Reiss R.-D. Nonparametric Estimation of Smooth Distribution Functions // Scand. J. Statist. 1981. V. 8. P. 116-119.

6. Yang S.-S. A Smooth Nonparametric Estimator of a Quantile Function // J. American Statist. Assoc. 1985. V. 80. No. 392. P. 1004-1011.

7. Liu R., Yang L. Kernel estimation of multivariate distribution function // Journal of Nonparametric Statistics. 2008. V. 20. P. 661-667.

8. Csorgo M., Horvath L. On the distance between smoothed empirical and quantile process // Ann. Statist. 1995. V. 25. P. 113-131.

9. Shirahata S., Chu I.S. Integrated squared error of kernel-type estimator of distribution function // Ann. Inst. Statist. Math. 1992. V. 44. P. 579-591.

10. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

11. Niederreiter H. Random number generation and quasi-Monte Carlo methods. SIAM. Philadelphia, 1992. 241 p.

12. Леман Э. Теория точечного оценивания. М.: Наука, 1991. 448 с.

13. Tikhov M.S., Borodina T.S. Nonparametric estimator for effective doses in dose-effect dependence over random experiment plans // Proceedings of the 9th International Conference «Reliability and Statistics in Transportation and Communication» (RelStat’09), 21-24 October 2012, Riga, Latvia. P. 134-143.

14. Тихов М.С. Оценивание эффективных доз в зависимости доза-эффект по случайным планам эксперимента // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: межвуз. сб. научн. тр. Перм. гос. нац. иссл. ун-т. Пермь, 2012. С. 204-219.

ASYMPTOTIC NORMALITY OF THE KERNEL QUANTILE ESTIMATORS T.S. Borodina, M.S. Tikhov

Nonparametric quantile estimators are considered. These estimators are shown to be consistent and asymptotically normal. Limiting variances of the estimators constructed are presented.

Keywords: dose-effect model, nonparametric kernel estimators, quantile process.