CC BY
22
УДК 519.2
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 4
А. Ю. Зайцев
УМЕРЕННЫЕ УКЛОНЕНИЯ ДЛЯ Ьх-НОРМЫ ЯДЕРНЫХ ОЦЕНОК ПЛОТНОСТИ*
Пусть X, Х\, Х-2,... —последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью /. Пусть {Ьп}п>1 —последовательность положительных постоянных, стремящаяся к нулю при п ^то. Классическая ядерная оценка определяется формулой
^ пТГ ^ К ( Ж И Х ) при Х е
п ¿=1 \ п /
где К — ядро, удовлетворяющее соотношениям К (и) = 0 при |и| > 1/2, ЦК ||то = вириеа К (и)| = к < то и К (и) ¿и = 1. Пусть || • || обозначает Ь^И^-норму. Тогда ЦК2|| = /аК2(и) ¿и.
Деврой и Гьерфи [3] предложили задачу об исследовании асимптотического распределения Ц/п — /1|. Холл [6], Черге и Хорват [2] и Хорват [7] доказали центральную предельную теорему (ЦПТ) для расстояния в Ьр-норме Ц/п — /||р, р > 1, при некоторых дополнительных условиях регулярности на плотность /. Хорват [7] использовал пуас-сонизацию при доказательстве ЦПТ для Ц/п — /||р. Бейрлант и Мейсон [1] предложили общий метод для доказательства асимптотической нормальности Ьр-норм эмпирических функционалов. Мейсон (см. теорему 8.9 Эггермонт и Ляриччиа [5]) применил этот метод к специальному случаю Ьх-нормы ядерной оценки плотности и доказал следующую ниже теорему 1. Жине, Мейсон и автор [8] распространили ЦПТ теоремы 1 на процессы, индексированные ядрами К. Следует упомянуть работы Лукач [11] и Гао [12], в которых исследуется логарифмическая асимптотика вероятностей умеренных уклонений. Близкие вопросы рассматриваются в работах [4] и [13].
Теорема 1 [Мейсон (см. теорему 8.9 в Эггермонт и Ляриччиа [5])]. Для любой плотности / и для любой последовательности положительных постоянных {Ьп}п> удовлетворяющей Нп ^ 0 и пЬП ^ то при п ^ то, мы имеем
||/п-Е/п|| - Е||/п- Е/»||
-, --> И ¿1
^Уаг(||/„- Е/„||)
где
Иш пУаг(\\/п — Е/п\\)= а2
п—
(К) ^ \\к2\\ £ соу (| Vх!+ р№|, \у\) л
22 а = а '
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00911), РФФИ-ННИО (грант №04-01-04000), Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ 2258.2003.1), ИНТАС (грант №03-51-5018) и Программой фундаментальных исследований РАН «Современные проблемы теоретической математики».
© А.Ю.Зайцев, 2005
и
Z и У — независимые стандартные нормальные случайные величины и, для любого
ге И,
p(t) = p(t, K) =
def Jr. K(u) K(u + t) du
\\K 2||
Хорошо известно, что p(t) является характеристической функцией симметричного вероятностного распределения (см., например, Лукач [9], теорема 4.2.4). Ясно, что p(t) —непрерывная функция t, \p(t)\ < 1, р(0) = 1 и p(t) = 0 при \t\ > 1. Дисперсия а2 допускает и другое представление с помощью формулы
где
COV - p2(t) Z + pit) У | , |У|) = <р (p(t))
f(p) =f ^ (р arcsin р + \j\ - р2 - 1 j , р е [-1,1].
(1.1)
Теорема 1 показывает, что случайная величина \\/п — Е/п\\ асимптотически нормальна без каких-либо ограничений на плотность /. Центрирование математическим ожиданием Е /п более естественно с вероятностной точки зрения. Оценивание величины \\/ — Е/п\\ (если оно необходимо) представляет собой чисто аналитическую задачу. Основные результаты работы автора [10] (см. теоремы 2, 3 и 4) дают оценки точности сильной аппроксимации и размеры зон умеренных уклонений в ЦПТ теоремы 1. Эти результаты имеют весьма общие формулировки и дают оценки для произвольных плотностей. Указанная общность привела к тому, что формулировки имеют довольно громоздкий и абстрактный вид. Они выражены в терминах некоторых множеств Еп. Грубо говоря, /п близко к Е /п на множестве Еп. Для получения оценок точности аппроксимации в терминах Нп требуются дополнительные рассуждения. В работе автора [10] приводится несколько конкретных примеров вычисления этой точности.
Цель настоящей работы — исследовать точность аппроксимации для плотностей с особенностями степенного типа. Мы оценим величины, участвующие в формулировках результатов автора [10], предполагая что плотность / (х) стремится к нулю степенным образом при х ^ ±сю, и имеет конечное число нулей степенного характера и точек со степенным стремлением к бесконечности. Для таких плотностей мы найдем размеры зон умеренных уклонений.
Ниже мы формулируем результаты работы автора [10]. Для борелевских множеств В и Е введем величину
Кп(В,Е) (У \дп(х,1,Е) — д(х,г,Е)\ ¿^ ¿х,
где
g(x,t,E) = 1Е(х) cov (| Vх! - P2(t) Z + p(t)Y|, |У|) f(x),
gn(x,t, E) =f 1e{x)1e{x +thn) Cn (x,x + thn) л/f(x) f(x + thn), C„ (ж, у) d=f cov ( ^ 1 - pltXtVZ + pn,x,y Y , |У|) , а Z и Y — независимые стандартные нормальные случайные величины и
def
pn,x,y
E
X
E K2
x-X
ЕК2 У_Х
Здесь и далее 1е = 1{Е} —индикаторная функция множества Е.
Следующая лемма 1 необходима для формулировки основных результатов работы [10], теорем 2-4.
Лемма 1. Если Ьп — 0 и пЬП — то при п — то, то существуют такие последовательности борелевских множеств
Ех С Е2 С ••• С Еп С ••• и постоянных {рп}'^=1 и {Оп}'^=1, что справедливы соотношения
фп / /(х) ¿х — 0 при п — то, (1.2)
0 < вп = М /(у) < /(х) < Бп = вир /(у) < то при х е Еп, (1.3)
УеЕп уЕЕп
def
= sup sup
HeUa xeEn
h-1 J^ f(z) H {j-f^j dz - f(x) J^ H(z) dz
^ 0 (1.4)
при n ^ ж, где
Ho =f {K, K2, \K\3 ,1{x : \x\ < 1/2}} . (1.5)
Более того,
Dn2 ( 1 , е» V о V ^ , X(En) , n , , Dnpn
---
- + ]+Rn(En,En) + -)4^ + Dnhn + ^^+Nny/K^0 (1.6)
Ш2 \(Pnnhn)^ !3n) — л/пЩг П П ft
при n ^ ж, где A( •) — мера Лебега,
Nn A= i f3/2(x) dx и Pn d=f max P {[x,x + 2hn]} .
Je„ xeR
Теорема 2. Существует такая абсолютная постоянная А, что, если Ьп — 0 и пЬп — то при п — то, то для любой последовательности борелевских множеств Ех, Е2, ..., Еп,. .., удовлетворяющей (1.2)-(1.6), существует такое натуральное число пх, что для любого фиксированного х > 0 и для достаточно большого фиксированного п > пх можно построить на одном вероятностном пространстве такую последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин Хх, Х2,. .. и такую стандартную нормальную случайную величину Z, что
Р {\V™ Win — Е/„|| — а/пЕ ||/„ — Е/„|| — >y„ + z + x} <
< А (exp {-A-1 a-lx/rn) + exp {-A-1 к-1 i\-1/2z log* log*(z/AK ^П/2)} +
+ P {\5nZ \>z/2для любого z> 0,
где log* b = max {1, log b},
Tn d=f А ФП/2 (Pn + -Фп)1/2 ^ 0 при n ^ж,
и
£
n
def AX(En) \\K3\\ ANnVK п
у„ = - -\--, --> U при п —> оо,
\\кЦу/Щ ^ЩЦ
, det А\\К2\\ ( епШп\
+ АкП1/2 + - ( ^ 1 при п —> оо,
L „d= / l{\x-y\<hn}yif{x)J{y)Kn(x,y)dxdy,
J En J En
Kn(x,y) d= min <M - рП
' En J En
\K 3\
"n,X,V1 (1 - P2n,x,y)3/2 \\K2t'2 Vnhnf(x) .
M„ =
[ i 1{|x - y\<hn} f 1/2(x) f-1/2(y) dxdy,
En En
En En
о def ^op ^o^ , 4 \\K2\\ Rn(En, En) , T(
tin = ап + 2Рп + 2фп-\--5--h L(n, R) —>■ 0 при n —>■ oo,
def 1296 2 1 T def = —T^log-
J In
r2 log—, Ф„ = К2 Dnß-1n1a-\
Фп d=f 256 к2 а 2 min {Pn, Dn hn} ,
L(n, R) d= / |h-1 P{X G [x - hn/2,x+ hn/2]}-f (x)| dx.
J R
Теорема 3. Существует такая абсолютная постоянная A, что если hn ^ 0 и nhn ^ ж при n ^ ж, то для любой последовательности борелевских множеств Ei, E2, ..., En,. .., удовлетворяющей (1.2)-(1.6), существует такое натуральное число П2, что для достаточно большого фиксированного n > П2 и для любого фиксированного b, удовлетворяющего Tn < A-1b, b < 1, можно построить на одном вероятностном пространстве такую последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин Xi, X2,. .. и такую стандартную нормальную случайную величину Z, что
Р{|^||/п-Е/п||-^Е||/п-Е/„||-а^|>Ааехр{-Ь2/72 (r„)2}+y„ + z+x} < < A ( exp {-A-1 a-1x/rn) +exp{-A-1 к-1 ü-1'2z log* log*(z/AK йЩ2)}+
+ P{ b \Z \ > A-1 a-1x} + P {\SnZ \>z/2}^ для любых x,z> 0.
a
n
В формулировках теорем 2 и 3 числа и\ и П2 зависят от {Нп}пу\, {Еп}п>1, / и К. Обозначим теперь Е (•) и Ф( •) —функции распределения случайных величин а/п (||/„ — Е/„|| — Е ||/„ — Е/„||)/сг и Z соответственно. Например, Ф(ж) = Ф {(—с,х]}. Следующее утверждение о размерах зон умеренных уклонений следует из теоремы 2.
Теорема 4. В условиях теоремы 2 мы имеем
F(-x) 1 ~ F(x)
-;-г--> 1 и -—--> 1 при п —> 00,
Ф(-ж) 1-Ф(ж) у
0 < x = xn = О (min{T-1/3, П-1/6 (log* log*(1/ 0п))1/3 , y-1, S-1/2}) .
Выбор множеств En, которые участвуют в формулировках наших результатов, не единствен. Лемма 1 влечет для любой плотности f существование таких множеств En, что величины Tn, yn, Q.n и Sn стремятся к нулю. Оптимизация выбора En представляет собой отдельную задачу. Однако, для достаточно регулярных плотностей f нетрудно выбрать En так, что точность аппроксимации достаточно хороша, см. примеры ниже.
Мы рассмотрим несколько примеров конкретного вычисления порядка зависимости наших оценок от hn. Для этого нам потребуются некоторые упрощающие предположения о K и f.
Мы будем предполагать, что ядро K таково, что
p(t) < 1 - (Co\t\)d для \t\<1, (1.7)
с некоторыми 0 < Co < 1, 1 < d < 2. Пользуясь тем, что p(t) —характеристическая функция некоторого вероятностного распределения, легко показать, что все рассматриваемые в данной статье ядра удовлетворяют этому условию с d =2 и некоторым Co. Но для некоторых стандартных ядер это условие выполнено и при меньших d. Например, для K(x) = 1{x : \x\ < 1/2} неравенство (1.7) выполнено с Co = 1 и d =1. Заметим, что существуют ядра, удовлетворяющие (1.7) с 0 < d < 1, но для большинства естественных ядер (1.7) выполнено при 1 < d < 2. Обозначим
qn(x) = sup \f (z) - f (x)\. (1.8)
\z-x\ <3hn/2
Выбор En в наших примерах будет осуществляться таким образом, что
„ def qn(x) „ /1 n\
Q„ = sup——-->0 при тъ ^ oo (1.9)
xeEn J(x)
и
sup An(x) ^ 0 при n ^ ж, (1.10)
xeEn
где
A„(x) = -J\K3} (1.11)
Заметим, что при применении теорем 2-4 множества En должны удовлетворять условиям (1.2), (1.4) и (1.6).
Ниже мы будем оценивать величины, фигурирующие в наших теоремах, используя упрощающие условия (1.7), (1.9) и (1.10). Обозначим
Gn(x) = sup f (z) (1.12)
\z-x\Khn
Bn(x) d=f inf f (z).
\z-x\ <hn
Согласно (1.8) и (1.9), мы имеем
Gn (x) < 2 f (x) при x e En (1.13)
для достаточно большого n. Легко видеть, что
E K1 н (^г)= K1 it/(z) я (тг)dz = Lf{x ~Ky) H{y) dy (L14)
и, если H(x) = 0 при \x\ > 3/2, то
С f /(*)# fci) dz-f(x) f H(y)dy <qn(x) f \H(y)\dy. (1.15)
J R \ n / ./ R ./ R
Это неравенство позволяет оценивать £n и L(n, R). Напомним, что
g(x,t,E) = 1e (x) v (p(t)) f (x),
дп(х,г,Е) = 1Е(х)1Е(х + Огп) ср л/¡(х) ¡(х + Шп),
где у = х + ¿Ьп. При рассмотрении наших примеров мы будем использовать то, что функция ф(р) в (1.1) удовлетворяет 0 < у>(р) < 1 и условию Липшица \^(р{) — ^(р2)| < \рх — Р2 \. Наиболее сложно оценивается величина
Нп(Еп,Еп) = J ^J \дп(х,г,Еп) — д(х,г,Еп)\ ¿^ ¿х =
= [ + / = + 12, (1.16)
■) ЕП -'Еп \Е П
где Еп = {х е Еп : х + 1Нп е Еп при всех 4 : Щ< 1}. Множество Еп\Еп содержит точки, принадлежащие Еп и Ьп-окрестности границы множества Еп. Интегрируя по Еп\Е*, мы используем тривиальные неравенства
\дп(х,г,Еп) - д(х,г,Еп)\ < т&х^1Еп(х) /(ж), 1Еп(х)1Еп(х + Шп) \/ ¡{х) /(ж + ¿/г„)} и
/2 < А(Еп\Е*) тах /(у), (1.17)
где максимум взят по таким точкам вида у = х + 1Нп е Еп, что х е Еп\Е* и ^ < 1. Для х е Е*, Щ< 1 мы имеем
\дп(х, t, Еп) - д{х, t, Еп)\ < \<р (p(t)) - <р (р„,х,у)| f(x)+ip (р„,х,у) f(x) - л/f(x) f(y)
< W) - Рп,х,у\ f(x) + f(x) - y/f(x)f(y)
<
и
где y = x + thn. Далее,
E
EK2 Eif2 Is^x+t
Используя (1.9) и применяя (1.15) при Н(х) = К2( х), Н(х) = К2(х + г) и Н(х) = К(х) К(х + г), мы получим
\р(г) — Рп,х,у\ /(х) < 3 вир \/(г) — /(х)\ = 3дп(х) (1.18)
\х-х\ <3Нп/2
для достаточно большого п. Более того,
f(x) ~ Vf(x)f(y) < sup |f(z) - f(x)\ < qn{x).
\z-x\ <hn
Таким образом,
I1 < 4 / qn(x) dx (1.19)
JE*
для достаточно большого n. По определению,
Кп{х,у) = тат\\-р2пху,--^ 3/2 > , (1.20)
I (1 — рп,х,у) )
где Д = Дп(х). Оценивая
Ьп = кп ! (/ 1{х + е Еп} \]/(ж) /(ж + Шп) К„(ж, х + Шп) dx
в примерах, мы будет использовать то, что, согласно (1.20), мы имеем
Кп(х,у) < Д 2/5. (1.21)
Оценим интеграл f 1
x
J = j 1{х + thn € Еп} y/f(x) f(x + th n) Kn(x, x + thn) dt. Согласно (1.12), он оценивается сверху величиной
Gn(x) l{x + thn e En} K n(x, x + thn ) dt = Gn(x)[ + = Gn(x)(Ji + J2),
J-1 \J\t\<s Js<\t\<iJ
где S = (6 qn(x)/f (x) + A2/5)1/d /C0. Используя (1.7), (1.18) и (1.21), мы видим, что если 2/3 < d < 2, то
J1 + J2 < 2 SA2/5+[ -АЛ <
Js<\t\<1 ((Co|t|)d/2) '
< 2SA2/5 + c(d) A(2+2d)/5d/Co <
< c(d) A2/5 (qn(x)/f (x) + A2/5)1d /Co
P
'n.'X.y
для достаточно большого п. Следовательно, учитывая (1.13), мы получаем
LAVBiqn{x)/f{x) + A2/5y/df{x)dx (122)
C0 JEn V J
для достаточно большого п.
При рассмотрении примеров мы всегда будем предполагать, что ядро K удовлетворяет (1.7), и проверять справедливость (1.2), (1.4), (1.6), (1.9) и (1.10). Мы будем обозначать ln = log log 77-.
h n
Пример 1. Рассмотрим плотность f, удовлетворяющую f (x) = 0 при x <// [0,1],
С1 хх < / (х) < С2 х» при 0 < х < 1
и условию Гельдера
\/(х) - /(у)| < С3 \х - у\7 при х,у е [0,1], (1.23)
где С1, С2, С3, 0 < ц < \ < то, и 0 < ^ < 1 —некоторые положительные постоянные. Не нарушая общности, предположим, что Нп < 1/8. Выберем
Еп = [ип, 1 - 2Нп\,
где
1
ип = тах
| (hn log ^ , (nhny2/7X J ,
hnJ ) 1 + ЗА + /
и 1 < кп ^ж при п ^ж — произвольная последовательность положительных чисел, стремящаяся к бесконечности таким образом, что un < 1/2 и un ^ 0. Теперь мы получим оценки фп = O , в-1 = O (u-X), Dn = O (1). Более того, согласно (1.4), (1.8), (1.15) и (1.23), мы имеем supKeEn qn(x) = O (hn), £n = O (hn), Qn = O (Щи-Х). Соотношения (1.9) и (1.10) таким образом выполнены. Далее, Pn = O(hn), Фп = O (u-X),
фп = О {hn), А(Еп) = О (1), N„ = О (1), уп = ЦщК) = О {hi),
тп = 0(hi/2UnSX/2), ап = o(u-3Xhn log М„ = 0{hn). Согласно (1.16), (1.17) и (1.19), мы получим Rn(En, En) = O (hn). Следовательно,
tin = 0 (ч-зхК log 1- + ui+H + . Используя (1.10), мы получим грубые оценки
Ln = O fa+Y/d + hn (nhn)-(d+1)/5d)
и
<*n = о (V2 + Wjd + (nhn)-W5d + .
^.-(d+1)/5d l"n + hn + ("-hn)
Заметим, что h?Jd < КП/2 и
(nhn)-(d+i)/5d < (nhn)-3/10 = hjf4 (("nhna-6/5)1/4 < hn5+(nhna-6/5. (1.24)
Легко проверить, что справедливы соотношения (1.2), (1.4) и (1.6). Теперь утверждение теоремы 4 выполнено при
О < х = хп = о(ктт { 1оё
2 Л 1/2
(nhn)t3 (loglog (nhn))1/3 ,h-Y/%/3, (nhl)1/2 }) ,
где ¿1 = б(1+зл+м)' = "^эл^' = ШдГ • При оценивании размеров зон умеренных уклонений мы пользуемся тем, что стремление кп к бесконечности может быть сколь угодно медленным. Аналогичное замечание справедливо и для последующих примеров.
Пример 2. Рассмотрим плотность /, удовлетворяющую условиям /(х) = 0 при х < 1,
С4х-Г < /(х) < С5х-р при х > 1 (1.25)
и условию Гельдера
\/(х) — /(у)\<С6 \х — уГ при х > 1, у > 1,
где С4, С5, Сб, 1 < р < г < с и 0 < ^ < 1 —некоторые положительные постоянные. Не нарушая общности, мы предполагаeм, что шах{Л.п, 1/п Ь2п} < 1/8. Выберем Еп = [1 + 2кп,Тп], где
Тп = min I (hn log " 3"+1р-1 , h-;<>\ (nhl)3/{p+5)
Kn hn 1
n n n n
(nhn)2/7r}
и 1 > Kn ^ 0 при n ^ ж — произвольная последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю таким образом, что Tn >2 и Tn Теперь легко проверяется
(иногда с огрублением оценок), что Фп = O (T^-?), в-1 = O (ТЩ), qn(x) = O (hn),
Dn = O (1), en = O (hn), Qn = O (WnTrn) = о ( hn/3). Соотношения (1.9) и (1.10), таким образом, выполнены. Далее, Pn = O (hn), Фп = O (ТГ), Фп = O (hn), X(En) < Tn, Nn = O (1),
Уп = О (-¡^ + vàj=0 ((nhlf + vC) ,
L(n, R) = O^J qn(x) X = O (hnTn), r„ = OiT^/2^/2), an = О (rlrhn log i-) , ^n(En, En) = O(hn + Je qn(x) dx^j = O (hnTn), ti„ = o (rlrhn log i- + Ttp + ■
Чтобы оценить Ьп в (1.22), мы сначала оценим для достаточно большого п интеграл Г С ъ1/л
/ Д2/5(ж) {qn{x)/f{x))l|df{x)d,x < / --" 1/2 (1(х))1/2-1/с1+1 3,X <
^ Еп Л Еп (вп пкп) ' вп
< hn/d f (f (x))1/2 dx < hn/dT1/2, (1.26)
En
E
используя соотношения 1 < d < 2, (1.6) и (1.25). Более того, обозначив в = (4d — 1)p, мы имеем
{O ((nhn)-(d+1)/5^ при в > 5d, ohnhny{d+1)IZd logj^) при в = 5d, (1.27)
O ((nhn)-{d+1)/5d T—/5d) при в < 5d.
и, согласно (1.22), (1.26) и (1.27),
i O (hi+Y/dT1/2 + hn (nhn)-(d+1)/5d) при в> 5d, L n=\ О fc+7/dT„1/2 + К (пК)-{й+1)/Ы log при в = bd, (1.28)
( O (ihn+Y/dT1/2 + hn (nhn)-(d+1)/5d T—/5d) при в < 5d,
и Mn = O (hnTn). Применяя (1.28) с d =2 и используя (1.24), мы получаем
in = O (nn/2 + hnTn + h2n/5 + (nh2na(1-p)/(P+5)) .
Соотношения (1.2), (1.4) и (1.6) снова выполнены. Теперь утверждение теоремы 4 справедливо при
0 < х = хп = о (min | [hn log i-) ft*, K4lJ\ (nh2nf-1)/2{p+5) j) ,
ГЛР f.--P^l_ fr - -iiP-1) f. _ 7(P~1)
1ДВ i-4 — 6(3r+p-l)' 5 — 9r ' ® 6p ■
Пример 3. Рассмотрим плотность f, удовлетворяющую соотношениям f (x) = 0 при x / [0,1],
C7 < f (x) < C8x-v при 0 < x < 1
и ( а
I f (x) — f (y)| < C (\x — y\Y x-v + \x — y\ x~1-v) при 0 < x < y < 1,
где C7, Cg, C9, 0 <7 < 1, 0 < v < 1 —некоторые положительные постоянные. Например, эти условия выполнены, если
f (x) = x-v g(x), при 0 < x < 1,
где функция g удовлетворяет условию Гельдера с параметром 7. Не нарушая общности, мы предполагаем, что hn < 1/8. Выберем En = [wn, 1 — 2hn], где
®„ = max I log , ^/(1+2,0,2/(1+2^
и 1 < кп — с при п — с — произвольная последовательность положительных чисел, стремящаяся к бесконечности таким образом, что шп < 1/2 и шп — 0. Теперь мы получаем оценки фп = О {чип-""'), в-1 = О (1), Бп = О (ш-"), </п(х) = О (Кп х-" + Кп х-""-1), при 3Кп/2 < х < 1 — 3Кп/2, и Цп = О (^ш-" + Кпш-"-1). Соотношения (1.9) и (1.10), таким образом, выполнены. Согласно (1.15), мы имеем еп = О (Кп^-" + Кпш-У-1). Далее, Рп = О (К-), Фп = О (ш-"), фп = О (К'-") и
= О {V < 2/3} + 1 {« = 2/3} 1оё + 1 {« > 2/3} .
Чтобы оценить Шп 3"/2, мы заметим, что шп > Кп и, следовательно, Шп 3"/2 < Кп1/2Шп-'". Таким образом,
Чтобы получить грубую оценку для Ьп в (1.22), мы сначала оценим (для достаточно большого п) интеграл
[ Д2/*< \ < < МН fi U <r (° (K^nv +hnW--1))1/d
/ A„ W (qn(x)/f(x)) f(x)dx < --- <
•Е (nhn) '
1
< О (hZw~" +hnw-v-1) + —^—. (1.29)
(nhn J
Более того,
i A^d+1)/5d(x) /(x) dx = О f(nh„r(d+1)/5d) . (1.30)
■JEn V У
Используя (1.22), (1.29) и (1.30), мы видим, что
Ln = О {hn {h?nw-v + hnw-v-1 + (nh„)-(d+1)/5^ . (1.31)
Согласно (1.9), Mn = О (hn). Более того, X(En) = О (1), Rn(En, En) = 0(hn + hnw-v), ~v)/2\ — П f„.,-3v Ll-tl 1
= 0(1лп3у/2кп а.п = О {го^Ь^ ^ ^^ . Согласно (1.15), мы имеем Ь(п, И.) =
О(Нп + ). Собирая наши оценки воедино и используя (1.24), мы получим 5п =
n + t(,nWn ). Собирая на^чи оценки воедино и используя (1.24), мы! получим Un
0(ЪУ2 + hlw~v + Kw-v-1 + hl/5 + = О (w;-3"^-'' log + + fez). 3a-
=o(l)
метим, что
w-3v h1-v wn hn „ 1-viv
nhn wn+2v n n nh2
и, следовательно, D\/2 / (nhn)l/5 = o(1). Теперь легко проверить, что соотношения (1.2), (1.4) и (1.6) справедливы.
Утверждение теоремы 4 выполнено при
ТПТТО + — l-f J- _ т(1—") J- _ -Ц J- _ 1-11 j. _ -Ц + 1 л 1Де 17 — 6(1+2щ); <-8 — 2(1+2«)' ^ - 1+2«' iw ~ 4(«+2)' Ll1 ~ 2(v+2) ' ''i2
Мы будем говорить, что плотность д принадлежит классу Т>к, если ее можно представить в виде
д(х) = \Ъ\ /(Ь(х - а)), (1.32)
где а и Ъ = 0 — вещественные постоянные, а / — плотность, удовлетворяющая условиям примера с номером к. Ясно, что если мы заменим плотность / плотностью д из (1.32) в примере к, то формула для х = хп из соответствующего утверждения теоремы 4 будет той же самой.
Пример 4. Рассмотрим плотность / вида /(х) = ^р^/^ (х), где 0 < р^ < 1,
Pj = 1' Функции fj (x) = rj (x) 1jj (x) являются плотностями, принадлежащими
Uk=1Vk и Jj = (Xj, yj), Xj < yj, j = 1, 2,...,m, —конечное множество непересекающихся (возможно бесконечных) интервалов. Очевидно, что множества En следует выбирать в виде En = у "Li Ej, где Ej —иножества En, которые соответствуют плотностям fj. Теперь утверждение теоремы 4 выполнено при
0 < x = xn = о ( min x(j)
n ~ I 1 J > n
у 1<j<m
(j) -f где x„ —это xn, которые соответствуют плотностям fj.
Summary
A. Yu. Zaitsev. Moderate deviations for the Li-norm of kernel density estimators.
The rate of normal approximation for the integral norm of kernel density estimators is investigated in the case of densities with power-type singularities. We estimate the quantities from the formulations of recently published author's results. We assume that the density tends to zero as a power-type function when the argument tends to infinity. Moreover, the density may have a finite number of power-type zeroes and of points with power-type tending to infinity. For such densities we find the size of zones of moderate deviations.
Литература
1. Beirlant J., Mason D. M. On the asymptotic normality of Lp-norms of empirical functionals // Math. Methods Statist. 1995. Vol.4. P. 1-19.
2. Csörgo M., Horvath L. Central limit theorems for Lp-norms of density estimators // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1988. Vol. 80. P. 269-291.
3. Devroye L, Gyorfi L. Nonparametric Density Estimation: The Li View // Wiley, New York, 1985.
4. Dumbgen L., Fatalov V. R. Asymptotics of the rate of convergence for nonparametric density estimators: a new approach based on the Laplace method // Math. Methods Statist. 2002. Vol. 11. P. 465-476.
5. Eggermont P. P. B., LaRiccia V. N. Maximum Penalized Likelihood Estimation. Vol. 1; Density Estimation. New York: Springer, 2001.
6. Hall P. Central limit theorem for integrated square error of multivariate nonparametric density estimators //J. Multivar. Analys. 1984. Vol. 14. P. 1-16.
7. Horvath L. On Lp-norms of multivariate density estimators // Ann. Statist. 1991. Vol. 19. P. 1933-1949.
8. Gine E., Mason D. M., Zaitsev A. Yu. The L1-norm density estimator process // Ann. Probab. 2003. Vol. 31. P. 719-768.
9. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979. 424 с.
10. Zaitsev A. Yu. Estimates of the rate of approximation in the Central Limit Theorem for L1 -norm of kernel density estimators // High Dimensional Probability. III, Progress in Probability, v. 53. (E.Gine, M.Marcus, J. A. Wellner Eds.) Basel: Birkhaüser, 2003. P. 255-292.
11. Louani D. Large deviations for the L1 -distance in kernel density estimation // J. Statist. Plann. Inference. 2000. Vol. 90. P. 177-182.
12. Gao F. Moderate deviations and large deviations for kernel density estimators // J. Theoret. Probab. 2003. Vol. 16. P. 401-418.
13. Lei L., Wu L., Xie B. Large deviations and deviation inequality for kernel density estimator in L1(Rd)-distance // Development of modern statistics and related topics. Ser. Biostat. Vol.1. River Edge, NJ: World Sci. Publishing, 2003. P. 89-97.
Статья поступила в редакцию 1 сентября 2005 г.
