Научная статья на тему 'Аристотелевская аподиктическая силлогистика: метод получения избыточной информации; фрагментарность'

Аристотелевская аподиктическая силлогистика: метод получения избыточной информации; фрагментарность Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
281
36
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Логические исследования
ВАК
zbMATH
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мчедлишвили Л. И.

The article exemines some defects of the Aristotelian theory of apodeictic syllogisms. 1) To demonstrate the invalidity of some mixed apodeictic moods, for example Barbara (An. Pr. 30a 24-28), Aristotle, except contrasted instances, used the method of argumentation to derive such consequence from the apodeictic prеmise and conclusion of a mood, the negation of which is consistent with the other, assertoric prеmise. It is argued that this Aristotelian method involves application of the formally incorrect rule: if G⎥F and F®H, then G®H. 2) It is shown, that there are the apodeictic syllogisms (Barbari, Camestorp and so on) for which with use of Aristotelian means neither proving, nor rejecting is possible. A survey of all such moods is given in the article.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Аристотелевская аподиктическая силлогистика: метод получения избыточной информации; фрагментарность»

Л.И.Мчедлишвили

АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ АПОДИКТИЧЕСКАЯ СИЛЛОГИСТИКА: МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ИЗБЫТОЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ; ФРАГМЕНТАРНОСТЬ

Abstract. The article exemines some defects of the Aristotelian theory of apo-deictic syllogisms. 1) To demonstrate the invalidity of some mixed apodeictic moods, for example BarbcPrcP (An. Pr. 30a 24-28), Aristotle, except contrasted instances, used the method of argumentation to derive such consequence from the apodeictic premise and conclusion of a mood, the negation of which is consistent with the other, assertoric premise. It is argued that this Aristotelian method involves application of the formally incorrect rule: if GhF and F^H, then G\hH. 2) It is shown, that there are the apodeictic syllogisms (Barba^ri^, Ca^mestor^p and so on) for which with use of Aristotelian means neither proving, nor rejecting is possible. A survey of all such moods is given in the article.

Аподиктическая силлогистика Аристотеля [ПА, I, 3, 8-12] является расширением его же ассерторической силлогистики. Наряду с простыми категорическими высказываниями в аподиктический силлогизм могут входить аподиктические высказывания SaDP, SeDP, SinP и SoDP, в которых связки "присуще", "не присуще" снабжены аподиктической квалификацией "небходимо". В аподиктической силлогистике верным формулам ассерторической силлогистики добавляются формулы верные в силу специфических свойств аподиктических форм aD, eD, iD и oD. Целью построения теории аподиктических силлогизмов является описание упомянутого класса формул. Такая теория строится по образцу ассерторической силлогистики. Аподиктические силлогизмы подразделяются на те же фигуры, выделяются совершенные схемы силлогизмов и схемы, сводимые к ним. Аналогия распространяется и на неправильные модусы - неправильность модуса устанавливается либо с помощью опровергающего примера, либо с помощью рассуждения, в котором могут быть использованы утверждения об опровержимости или доказуемости других формул. Есть и существенное различие: если в каждой фигуре ассерторической силлогистики Аристотель анализирует каждую возможную комбинацию посылок, в аподиктической силлогистике объектами исследования являются только такие схемы силлогизмов, из которых после опу-

щения аподиктических квалификаций связок получаются корректные ассерторические модусы, и кажется, что Аристотель руководствуется ограничивающим предположением - из любого неправильного ассерторического модуса произвольной квалификацией связок получается неправильный аподиктический модус. Модальный тип модуса определяется модальным статусом каждой из посылок и заключения, и можно вслед за Макколлом обозначить его упорядоченной тройкой букв X и L; например, LXL обозначает модальный тип силлогизма, в котором большая посылка и заключение являются аподиктическими высказываниями, а меньшая посылка - ассерторическим высказыванием. ХХХ - модальный тип ассерторического силлогизма. При анализе силлогизмов Аристотель имел в виду модальные типы, хотя для этого он специальным термином не пользовался.

Вопрос о правильности силлогизмов типов ХЬХ, ЬХХ, ЬЬХ и ХХЬ Аристотелем не рассматривался, по-видимому, из-за тривиальности его решения в силу того, что им принимаются силлогистические частные случаи T-закона модальной логики

SaDP з SaP, SeDP з SeP и т.д., а их конверсии отвергаются. Для силлогизмов остальных трех типов картина следующая: 1) модус типа LLL является правил-ным, если и только если является правилным ассерторический модус, получающийся из него опусканием всех аподиктических квалификаций; 2) модус аподиктической силлогистики, получающийся из верного ассерторического модуса аподиктической квалификацией одной посылки и заключения, является правильным, если и только если аподиктически квалифицирована а) (в I фигуре) большая посылка, б) (во II фигуре) общеотрицательная посылка, в) (в III фигуре) общеутвердительная посылка, если обе посылки утвердительные, и общеотрицательная посылка в противном случае.

Очень трудным оказалось воссоздание модальной, в частности, аподиктической силлогистики Аристотеля в виде осмысленного единого логического исчисления, а также семантическое обоснование совмещения принятия некоторых смешанных модусов с отбрасыванием других, т.е. совмещения класса принимаемых формул с "легитимностью" всех методов рассуждения, применяемых Аристотелем, и т.д. Такое совмещение оказалось настолько трудным, что исследователи модальной силлогистики Аристотеля, начиная с его непосредственных преемников в перипатетической школе и кончая А. Бекером, Я. Лукасевичем и И. М. Бохенским в XX веке, причиной возникновения этих трудностей признали не до конца продуманные конструкции и ошибки, содержащиеся в самой ари-

стотелевской концепции. Но в таком случае изучение модальной силлогистики Аристотеля, исторический подход к ее оценке подразумевает выявление и анализ недостатков и ошибок, содержащихся в ней. Цель настоящей статьи - описание двух дефектов аподиктической силлогистики Аристотеля: 1) формальной некорректности процедуры рассуждения, протекающей по схеме ге^сйо а^ тро88Ме, для показа опровержимости некоторых смешанных модусов и 2) существования таких осмысленных выражений (модусов) аподиктической силлогистики, для которых средствами, используемыми в ПА, невозможно решить вопрос о приемлемости или опровержимости в аристотелевском смысле.

§1. Один из методов отбрасывания неправильных смешанных модусов, применяемых в ПА, состоит в показе того, что из заключения отбрасываемого модуса совместно с аподиктической посылкой выводится утверждение, содержащее избыточную информацию и поэтому могущее быть ложным при истинности другой, ассерторической посылки (т.е. выводится утверждение, отрицание которого совместимо с другой посылкой), что, как становится ясным из текста, считается недопустимой ситуацией. В первый раз с рассуждением такого рода встречаемся при доказательстве некорректности модуса ХЬЬ-БагЬага [ПА, I, 9, 30а 24-28]: если бы из посылок МаР и 8апМ следовало заключение 8апМ, то стало бы возможным и получение заключения МРР (в самом деле оно следует из 8апР и обращения 8апМ посредством ЬЬЬ-Оаги), "но это неправильно", говорит Аристотель, ибо при истинности МаР возможен такой подбор терминов М и Р, чтоб выполнялось Ме°Р (т.е. —МРР) (следует заметить, что Аристотелем принимается равнозначность функторов "возможно" (в унилатеральном смысле, ◊) и "не необходимо не" (—□—) [4, р.84], частными случаями которой являются равносильности [6, р. 35]:

8а°Р = —8опР, 8е°Р = — 81ПР, 81°Р = —8епР, 8о°Р = —8апР). Далее указывается возможность такого же рода опровержения модуса ХЬЬ-Се1агеи1;, а еще ниже [I, 10, 30Ь 24-30] с помощью точно такого же рассуждения отбрасывается ЬХЬ-Саше81хе8.

Согласно Д. Россу [2, р. 319], Александр Афродизийский верно подметил, что это рассуждение, хотя имеет сходство с ге^сйо ad тро88Шйе, полностью не совпадает с ним. В нем допускается не ложность доказуемого модуса с тем, чтобы из этого допущения извлечь невозможное следствие (так поступает Аристотель, например, при доказательстве ассерторического модуса Вагосо), а чтобы доказать, что определенное заключение не следует из посы-

лок, допускается, что следует, и показывается, что оно приводит к знанию, которое не может быть получено из первоначальных посылок и поэтому является возможно ложным (ysu5og [a27]). С помощью метатеоретических кванторов это различие можно было бы выразить следующим образом: при доказательстве модуса тезисом является утверждение вида VSVMVP[(FaG)3H], а антитезисом утверждение вида 3S3M3P [FaGa—H], а при отбрасывании -наоборот (в дальнейшем описанный выше метод рассуждения будем называть у-методом).

Тем же методом из правильного модуса LXL-Barbara нельзя получить возможно ложное следствие. Это позволило С. Макколлу высказать предположение, что Аристотель мог удовлетворительно различать LXL-Barbara и XLL-Barbara касательно их правильности [6, р. 13]. Нельзя ли обобщить предположение Макколла для каждой пары смешанных модусов с аподиктическими заключениями и одними и теми же схоластическими названиями, один член которой принимается, а другой - отбрасывается? Единственным препятствием для такого обобщения является отбрасываемый модус XLL-Felapton, к которому не применяется у-метод (о том как следует применить у-метод к неправильным модусам Darii и Ferio типа XLL и об интерпретации фразы I, 9, 30b 2-4 из ПА см.

Более того, существует обстоятельство, вынуждающее подвергнуть сомнению возможность применения этого метода в качестве критерия некорректности модуса. Дело в том, что возможно ложное следствие МРР, которое получается из некорректного модуса ХЬЬ-БагЬага, можно получить также из правильного модуса ХЬХ-БагЬага с ассерторическим заключением (этот факт, согласно В. Виланду [9], был замечен еще Г. Майером). Для этого в первом выводе (из ХЬЬ-БагЬага) достаточно заменить применение ЬЬЬ-Баги на применение ЬХЬ-Баги и лишний раз использовать обращение:

Аналогичные следствия можно вывести из Баги и Бай81 типа ХЬХ и ЬХХ-018аш18. Но корректность этих модусов в системе аподиктической силлогистики не вызывает сомнений. Согласно Я. Хин-тикке, подозрение может пасть на средства, с помощью которых в данном контексте осуществляется вывод избыточного, возможно ложного следствия. Таковыми являются ЬХЬ-Баги и законы апо-

[8]).

(1) (MaPASa°M) з SaP

(2) SaP з PiS

(3) (Sa°MA PiS) з PiDM

(4) PiDM з MiDP

- XLX-Barbara

- обращение

- LXL-Darii

- обращение

диктического обращения. Возникает дилемма: отвергнуть LXL-Darii, либо законы аподиктического обращения [5].

Отбросив законы аподиктического обращения, потеряем всякую надежду понять, что имел в виду Аристотель, когда строил свою аподиктическую силлогистику. Исходя из этой справедливой оценки, Хинтикка склоняется к другой альтернативе. Но следует заметить, что и в результате такого шага наступают невосполнимые потери, так как вместе с LXL-Darii придется отбросить также LXL-Datisi, XLL-Disamis и, возможно, оба смешанных модуса Darapti. Таким образом, решение хинтикковской дилеммы вряд ли обеспечивает удовлетворительное решение проблемы.

Однако существует нерассмотренная возможность. Получив следствие MiDP, Аристотель утверждает его [возможную] ложность, т.е. утверждает опровержимость импликации

(a) (MaPASanM) з MiDP

и выдвигает довод, что в MaP не подразумевается MiDP, или, что

(b) MaP з MiDP

является опровержимой (хотя MaP и MiDP совместимы). Следовательно, утверждение об опровержимости (b) по какому-то правилу X выводится из утверждения об опровержимости (а). Теперь все доказательство опровержимости XLL-Barbara можно представить по обычной схеме reductio ad impossibile: с одной стороны, из XLL-Barbara выводится (b), а с другой - показывается опровержимость (b) (в силу опровержимости (а) и правила X); тем самым получается противоречие и отбрасывается XLL-Barbara. Аналогично можно представить все отбрасывания по у-методу.

Становится очевидным, что для полной реконструкции у-метода необходимо выявить и оценить правило X. В ПА ни одно из рассуждений, явно применяющих у-метод для демонстрации опровержимости, не содержит даже намека, что при переходе от опровержимости (а) к опровержимости (b) кроме (а) используется еще какая-либо посылка, и, таким образом, текст ПА почти однозначно исключает альтернативные возможности реконструкции правила Х: анализируемый нами вывод (то, что не следует из MaP, не следует и из MaP совместно с SaDM) является частным случаем общей, логически некорректной схемы - что не следует из более слабого, не следует также из более сильного:

(Х) F h G, G I H F I H

(F, G и H - произвольные утверждения), - которая и представляет собой правило Х.

Применение Аристотелем некорректного правила Х в описанном выше контексте не является случайным. В ПА имеются и другие его применения; и хотя некоторые из них легко исправляются, все-таки порождают убеждение, что он просмотрел ошибочность правила Х, принимая его за верное.

Сравним два места из ПА - доказательство ЬХЬ-Се8аге [I, 10, 30Ь 9-12] и отбрасывание ХЬЬ-Се8аге [I, 10, 30Ь 20-24]. 1) Поскольку из посылок Б модуса ЬХЬ-Се8аге посредством аподиктического обращения следуют посылки О модуса ЬХЬ-Се1агеп1;, а из О в силу ЬХЬ-Се1агеШ; следует заключение Н (оба модуса имеют одно и то же заключение), то из Б следует Н (т.е. является верным ЬХЬ-Се8аге). Рассуждение протекает по логически корректной схеме

т Б ь О, О ь н Б ь н '

2) Поскольку из посылок Б модуса ХЬЬ-Се8аге следуют посылки О модуса ХЬЬ-Се1агеШ; посредством ассерторического обращения, а из О не следует Н (ХЬЬ-Се1агеП не является правильным модусом), то из Б также не следует Н (т.е. и ХЬЬ-Се8аге не является правильным модусом). Очевидно, что рассуждение протекает по некорректной схеме Х и содержит формальную ошибку. Однако в этом случае ошибка легко исправляется, так как закон простого обращения имеет форму равносильности и в рассуждении следование БьО можно заменить на ОьБ. Скорректированное рассуждение протекает уже по верной схеме - что не следует из более сильного, не следует также из более слабого:

(г) ОьБ, о 1А н

Б 1А Н

Но аналогичное рассуждение для отклонения ХЬЬ-Бе1ар1оп (ПА, I, 11, 32а 37-31Ь 4) не поддается исправлению, так как в этом случае применяется обращение с ограничением, имеющее форму импликации, а не равносильности. А. Бекер, комментируя указанное место, прямо говорит о формальной ошибке [3, 8. 72-73] (у него находим и другие ссылки на аналогичные ошибки).

Из факта логической некорректности у-метода не следует, что статус отброшенных с помощью этого метода модусов должен измениться. Не исключено, что принятие или отвержение модуса Аристотелем определялось на основе интуитивно-семантических соображений, а потом обосновывалось неверными средствами.

§2. В отличие от ассерторических, аподиктические силлогизмы IV фигуры в ПА вообще не упоминаются, но тем не менее не трудно решить вопрос об их статусе точно таким же способом,

каким на аналогичные вопросы для II и III фигур отвечает Аристотель. В частности, все пять модусов IV фигуры типа LLL, Braman-tip, Camenes и Dimaris типа XLL и Fesapo и Fresison типа LXL должны быть приняты; остальные же смешанные модусы с аподиктическими заключениями отбрасываются с использованием законов обращения и выше упомянутого правила Z. В каждой фигуре легко можно обосновать также "ослабленные" аподиктические модусы, получающиеся из модусов с аподиктическими заключениями заменой заключений SaDP и SeDP, соответственно, на SiDP и SoDP.

В то же время текст ПА, по всей вероятности, не дает ключа для решения вопроса - должны ли быть приняты или отброшены в аподиктической силлогистике "ослабленные" модусы, получаемые из отброшенных модусов с аподиктическими общими заключениями? Таковыми являются:

(Ui)

Bramantip (LXL), Cesaro (XLL), Camestrop (LXL), Barbari (XLL), Celarоnt (XLL), Camenop (LXL) (модусы, стоящие в одной колонке - дедуктивно эквивалентны). Модусы III фигуры Darapti и Felapton составляют образец решения подобной проблемы Аристотелем. Из комбинаций посылок этой фигуры

aa, ea, aDaD, eDaD, eDa, eDa, aaD, eaD не следует общего заключения, ассерторического в первых двух случаях и аподиктического - в остальных; во всех случаях, кроме последнего, следует ослабленное частное заключение, ассерторическое в первых двух случаях, аподиктическое - в остальных; из восьмой комбинации eaD не следует даже ослабленного аподиктического заключения SoDP.

Можно установить, что ни один из методов, используемых Аристотелем для сведения модусов II и III фигур к совершенным модусам I фигуры, применительно к модусам из списка Ui не дает положительного результата. С другой стороны, невозможно установить и их опровержимость применением законов обращения и првила Z. Но вместе с тем к модусам XLL-Barbari и XLL-Celaront можно применить некорректный у-метод и из предполагаемого заключения SinP (соответственно, SoDP) совместно с аподиктической посылкой получить следствие, отрицание которого совместимо с ассерторической посылкой (для этого в первом случае достаточно применить обращение и LLL-Darii, во втором - метод аподиктического эктезиса [7, с. 233] и LLL-Bocardo). К членам последной пары не применим и этот метод. Таким образом, мы оказываемся перед другой дилеммой: следуя тексту ПА, либо ни один из вопросов о статусе модусов из списка U1 не имеет

решения в духе Аристотеля, либо из-за того, что некоторые из этих модусов посредством у-метода дают избыточную информацию, Аристотель отбросил бы их, если бы они попали в поле его зрения.

Принимая равносильности, определяющие унилатеральную возможность в языке силлогистики (об этом было сказано выше), Аристотель трактовал синтаксический аспект этого понятия как квалификацию связки, т.е. подобно необходимости, как составную часть силлогистических форм а°, е°, 1°, о°. Если иметь в виду привлечение проблематических (в унилатеральном смысле) высказа-ний при построении контрпримеров, при применении у-метода, те места из проблематической силлогистики (ПА, I, 13-22), где устанавливается, что из определенных посылок следует заключение о возможности не в смысле случайности, а только в унилатеральном смысле, а также тот факт, что из аподиктических силлогизмов с помощью законов контрапозиции или ге^сйо ad тро88Ме, часто применяемых Аристотелем, получаются силлогизмы, содержащие отрицания аподиктических высказываний, покажется весьма вероятным, что он осознавал существование силлогизмов с возможными посылками и заключением.

Тогда почему же мы не находим в ПА результатов систематического исследования таких силлогизмов? Почему они опущены? Может быть, потому, что хотя аподиктический силлогизм наряду с ассерторическими и аподиктическими высказываниями может содержать также отрицания аподиктических высказываний, т.е. проблематические (в унилатеральном смысле) высказывания, такой силлогизм посредством гeductio аd тро88ШИе сводится к обычному аподиктическому силлогизму (силлогизму только с ассерторическими и аподиктическими составляющими)? Например, таким способом, в частности, из ЬХЬ-ВагЬага можно вывести МХМ-БосаМо и тем самым установить его логическую правильность, а из МХМ-БагЬага - отбрасываемый Аристотелем модус ЬХЬ-БосаМо, на основе которого по правилу Ъ устанавливается, что МХМ-БагЬага должен быть отброшен (буква М в обозначении модального типа означает проблематические в унилатеральном смысле высказывания).

Нас интересует логическая, а не психологическая сторона вопроса. Исходя из этого следует считать аристотелевским не только то, что явно утверждалось Аристотелем, но и то, что можно дедуцировать из его эксплицитных утверждений его же методами, а именно правилами пропозициональной логики (прежде всего методом гeductio ad тро881Ы1е), определениями а°, е°, 1° и о°, а также Т-законами для унилатеральной возможности.

8аР з 8а°Р, 8еР з 8е°Р, 81Р з 81°Р, 8оР з 8о°Р.

В частности, к числу таких следствий принадлежат и некоторые унилатерально возможные модусы. Поэтому первая часть нашего предположения верна. Однако существуют такие унилатерально проблематические модусы, что для решения вопроса об их приемлемости или опровержимости в аристотелевском смысле в тексте ПА не находим никаких аргументов, т.е. существуют модусы неразрешимые средствами ПА, или модусы с неопределенным статусом принятия и отбрасывания в аристотелевском смысле. В этом заключается один из недостатков аристотелевской аподиктической силлогистики - ее фрагментарность, незавершенность.

Класс U2 модусов с неопределенным статусом принятия и отбрасывания в аристотелевском смысле, являющийся расширением U1, отношением дедуктивной эквивалентности разбивается на восем групп:

I LML-Celarent, LML-Cesare, MLL-Camestres, LML-Camenes,

II XLL-Barbari, LXL-Bramantip,

III LMX-Barbari, MLX-Bramantip,

IV LML-Barbari, MLL- Bramantip,

V MMM-Barbari, MMM- Bramantip,

VI XLL-Celaront, XLL- Cesaro,

VII MLL- Celaront, MLL- Cesaro,

VIII LML- Celaront,

LML-Festino, LML-Ferio, LML-Ferison, LML-Fresison,

MMM-Disamis, MMM-Datisi, MMM-Darii, MMM-Dimaris.

XMM-Camestrop, MLX-Felapton, XMM-Camenop, MLX-Fesapo.

LXL-Camestrop, LXL-Camenop,

LML-Camestrop, LML-Camenop,

MLL-Camestrop, MLL-Camenop,

XMM-Cesaro, XMM-Celaront,

MMM-Cesaro, MMM-Celaront,

XMM-Felapton, XMM-Fesapo

MMM-Felapton, MMM-Fesapo.

LML-Felapton, LML-Fesapo.

MLX-Darapti, LMX- Darapti.

MLL- Darapti, LML- Darapti.

LMM- Cesaro, MMM- Darapti

В каждой группе модусы, стоящие на одной строке, эквивалентны в силу пропозициональных законов контрапозиции, а модусы, стоящие в одной колонке - эквивалентны в силу законов обращения. Следовательно, разрешение хотя бы одного модуса в группе -доказательство его правильности или опровержимости, означает разрешение с тем же исходом всех модусов группы.

Если исключить из рассмотрения ослабленные модусы и модусы неаристотелевской IV фигуры, неразрешимых модусов окажется 18 вместо 51, хотя количество групп и, следовательно, число открытых проблем о статусе не изменится. Если же ослабленные аподиктические модусы и модус LXL-Bramantip отбросить в силу вышеприведенных соображений (применимость у-метода), то число неразрешимых модусов будет опять 18, но существенно сократится число открытых проблем о статусе - из них останутся только I, V и VIII.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аристотель. Первая аналитика (ПА) // Аристотель. Сочинения. Т. 2, М., 1978.

2. Aristotle. Aristotle's Prior and Posterior Analytics. A Revised Text with Introduction and Commentary by W. D. Ross. Oxford, 1949.

3. Becker A. Die Aristotelischе Theorie der Muglichkeitsschlbsse. Berlin, 1933. 2

4. Bochenski I. M. A History of Formal Logic. New York, 19702.

5. Hintikka J. An Aristotelian Dilemma // Ajatus, 22 (1959), P. 87-92.

6. MacCallS. Aristotle's Model Syllogisms. Amsterdam, 1063.

7. Мчедлишвили Л. И. К семантике аподиктической силлогистики Аристотеля // Логические исследования. Вып. 6. М., 1999, С. 230-240

8. Мчедлишвили Л. И. Об интерпретации одного утверждения из "Первой аналитики" Аристотеля // К истокам против течения. Тбилиси, 2003, С. 198-204.

9. Wieland W. Die Aristotelische Theorie der Notwendigkeitsschlbsse // Logik und Erkenntnislehre des Aristoteles. Darmstadt. 1972, S. 308-338.

The Aristotelian theory of apodeictic syllogisms: the method of derivation of the superfluous information; the fragmentarity

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.