Арифметическая и гиперарифметическая вычислимость относительно вычислений с ограничениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 5l7.ll:5l8.5

В.Р. Карымов

Арифметическая и гиперарифметическая вычислимость относительно вычислений с ограничениями

Ключевые слова: оракулы, гиперарифметические функции, относительная вычислимость.

Key words: oracles, functions, relative calculations.

Продолжаются исследования, начатые в [l], рассматриваются обобщенные вычисления на абстрактных вычислительных машинах с оракулом, работающих с ограничением на число тактов работы. Главная особенность машин с оракулами - наличие спрашивающих команд, выполнение которых означает нахождение ответа на заданный вопрос. В общем случае вопросы вычисляет машина механически согласно своей программе, а ответ дается машине извне, как значение некоторой нерекурсивной функции, называемой оракулом. При этом вопросы кодируются числами и могут содержать коды программ других таких же машин, а ответы связаны с поведением этих машин. В результате возникает язык программирования, в котором допустимы некоторые неалгоритмические шаги.

Введение различных ограничений в работу машины с оракулом осуществляется с целью максимально приблизить эти абстрактные вычисления к реальным вычислениям. Это позволит моделировать некоторые неалгоритмические процессы в современных языках программирования. С другой стороны, вычисления с ограничениями обладают специфическими особенностями по сравнению с обычными вычислениями, и потому их исследования имеют определенный интерес.

Фиксируется эффективная нумерация программ машин с оракулом, оракул F - некоторая числовая функция. Кодом машины называется номер ее про-f f __________________

граммы. Через {z\t (x) обозначается значение, которое вычисляет машина с кодом z на аргументах X , работающая с оракулом F и ограничением t. Считается, что если машина z не остановилась за t

тактов, то значение {z} (X) не определено. Запись X является сокращением записи кортежа (,..., xn). Инициальной машиной называется геде-

левский номер пары (z, Xj , где z - код машины; х -

ее аргумент. Если инициальная машина соединена с оракулом F и работает с ограничением t, то пишут

(z, XjFt . Если машина вычислила некоторый вопрос

v и значение оракула F(v) не определено, то ее дальнейшая работа не определена, говорят, что машина застряла на вопросе v. Через Bt(F) обознача-

ется множество всех (г, X) таких, что (г, Х^ получает ответы на все свои вопросы; ВГ(Г) - множество машин из В1(Р), которые останавливаются с некоторым результатом. Если соответствующие машины работают без каких либо ограничений, то в данных обозначениях символ Г опускается.

Числовая функция /(X) называется Г-вычисли-мой с ограничением Г, если существует машина ъ такая, что для всех X выполняется: {г}} (X)

= / (X). При этом код г называется Г-кодом / (X). Естественным образом определяются Г-разреши-мые множества и отношения и их Г-коды. В качестве оракула можно использовать характеристическую функцию произвольного числового множества А. В этом случае оракул обозначается через А и используются термины: А-вычислимые функции и А-разрешимые множества и отношения.

В работе [1] доказывается, что числовые операции над Г-вычислимыми с ограничением Г функциями дают также Г-вычислимые функции, но которые вычислимы уже с другим ограничением Г1, при этом Г1 находится рекурсивно по Г и Г-кодам исходных функций. В таких случаях говорят, что данное утверждение выполняется равномерно по Г и Г-кодам исходных функций. Для вычислений с ограничениями выполняются естественные аналоги теоремы о существовании универсальной функции, 5-ш-и-теоремы и теоремы о неподвижной точке. Кроме того, доказывается, что в случае всюду определенного оракула Г существует Г-вычислимая функция, которая не является Г-вычислимой ни с каким ограничением.

В этой работе для дальнейшей характеристики рассматриваемых вычислений привлекаются известные конструкции, связанные с арифметическими и гиперарифметическими множествами.

1. Арифметическая вычислимость относительно ограничений

В данном разделе рассматриваются две формы определения множеств, арифметических относительно некоторого ограничения Г: с помощью кван-торных форм и вычислений относительно специальных числовых оракулов. Доказывается эквивалентность этих определений.

Определение 1. Пусть А - произвольное числовое множество и А' = {(X, у)/ (у) - определено}.

Говорят, что А есть результат применения джамп-операции к множеству А.

В этом определении машина ^х, у) работает с

оракулом А, но без ограничения. Главная особенность джамп-операции в том, что с оракулом А' разрешима проблема остановки для машин, работающих с оракулом А.

Индукцией по п определяется следующая последовательность оракулов:

Еь • • • , ■■■ ,

где Ео = 0 и Еп+1 = ЕП.

Известно, что класс множеств, разрешимых с некоторым оракулом Еп, совпадает с классом арифметических множеств [2, с. 15]. Теперь вводится следующий аналог арифметических множеств, использующий вычисления с ограничениями.

Определение 2. Для данного числа Г множество М называется арифметическим относительно ограничения Г, если оно является разрешимым (без оракула) с ограничением Г или может быть получено из некоторого множества 8, разрешимого с ограничением Г, путем последовательного применения конечного числа операций проектирования и взятия дополнения.

Аналогично соответствующим рассуждениям из [3, с. 388] доказывается, что множество М является арифметическим относительно Г тогда и только тогда, когда оно разрешимо с ограничением Г или может быть выражено в следующей кванторной форме:

И = {х / (ал) ... (йтУт ) (( у^..., Ут )Ь

где Qi - кванторы V или 3 , а 8 (х, У1,..., ут) - отношение, являющееся Г-разрешимым с ограничением Г. Геделевский номер указанной кванторной формы называется арифметическим кодом М.

Теорема 1. Если отношение 8 (х, у) Еп-разрешимо с некоторым ограничением Г, то множества {х / (3у)Б(х, у)} и {х /^у)Б(х, у)} являются Еп+1-

разрешимыми с некоторым ограничением равномерно по Г и Еп-разрешающему коду отношения

8 (х у).

Доказательство. Пусть машина ъ такая, что для любых х, у

ЛЕп , ч [1, если 8(х,у),

г }п (х, у) = < г [0, если —8 (х, у).

Строится машина р, которая с оракулом на аргументе х последовательно вычисляет значения

{г} (х,0), {г} (х,1),... и останавливается, если

встретится 1. Машина р работает без ограничений, но ее код находится рекурсивно по г . Тогда

Е

{р} п (х) определено о (Эу)5(х, у).

Теперь строится машина н, которая вычисляет вопрос (р, х} и выдает полученный ответ в качестве результата. Эта машина работает с некоторым ограничением, и она с оракулом Еп+1 разрешает множество {х /(3у)8(х, у)} . Аналогично рассматривается второе множество. Теорема доказана.

Теорема 2. Каждое арифметическое относительно некоторого ограничения Г множество И является Еп-разрешимым с ограничением 11 равномерно по I и арифметическому коду М.

Доказательство использует теорему 1 и осуществляется индукцией по числу кванторов в определении М.

Теперь рассмотрим обратное утверждение.

Теорема 3. Каждый оракул Еп является арифметическим относительно некоторого ограничения Г равномерно по п.

Доказательство. Вводится следующая процедура. Пусть (г, х} - произвольная инициальная машина и Ди, Ду - конечные множества чисел, имеющие геделевские номера и, у соответственно и такие, что Ди п Ду =0 . Производится моделирование

работы (г, х) за исключением тех моментов, когда она задает вопросы оракулу. Пусть н - некоторый вопрос машины (г, х) , тогда, если н е Ди, то ей дается ответ 1, а если н е Ду - ответ 0, в остальных случаях работа (г, х^ не определена. Так как

Ди, Ду - конечные множества, то данная процедура рекурсивная. Теперь вводится предикат Т(г,х,Г,у,и,у), который истинен, если описанная

процедура моделирования (г, х} заканчивается не

более чем за Г тактов и ее результат равен у. Ясно, что этот предикат разрешим с ограничением Г. Легко видеть, что

х) е Еп+1 о

о (3Г, и, у, у)(Т(г, х, Г, у, и, у) а аДи С Еп а Ду с Еп а Ди п Ду = 0) .

Далее индукцией по п доказывается утверждение теоремы. При п = 0 это утверждение очевидно. Пусть множество Еп является арифметическим относительно некоторого ограничения Г1, которое находится рекурсивно по п. Пусть (г, х) удовлетворяет правой части предыдущего соотношения при некоторых I, и, у, у. Тогда машина (г, х) с оракулом Еп работает не более Г тактов, в частности, она задает конечное число вопросов. Следовательно, множества Ди, Ду содержат ограниченное число элементов и, по индукционному предположению, отношения Ди с Еп, Д, с Еп , Ди п Д, =0 -

а — н V — /I а V

арифметические относительно некоторого ограничения, которое находится рекурсивно по п. Отсюда, в силу так называемого алгоритма Тарского-Кура-товского [3, с. 394], следует, что Еп+1 является арифметическим относительно некоторого ограничения, которое находится рекурсивно по п. Теорема доказана.

Теорема 4. Каждое Еп-разрешимое с некоторым ограничением Г множество И является арифметиче-

ским относительно некоторого ограничения ^ равномерно по Г и Еп-коду М.

Доказательство. Пусть М удовлетворяет условию теоремы и г - его Еп-код. Работа машины г осуществляется рекурсивным способом, кроме моментов, когда она задает вопросы оракулу Еп. В силу предыдущей теоремы, такие шаги представимы формулами, являющимися арифметическими относительно некоторых ограничений, которые находятся рекурсивно по п и задаваемым вопросам. А так как работа г ограничена одним и тем же числом, то стандартным способом доказывается, что множество М является арифметическим относительно некоторого общего ограничения, которое вычислимо по Г и Еп-коду М. Теорема доказана.

Таким образом, замена рекурсивной вычислимости на вычислимость с рассматриваемым ограничением в определении арифметических множеств сохраняет эквивалентность двух известных форм этого определения. Дальнейшая цель работы проверить такую согласованность подобной замены на примере гиперарифметической вычислимости.

2. Гиперарифметическая вычислимость относительно ограничений.

Известно, что классические гиперарифметиче-ские множества охватывают полностью класс классических арифметических множеств. В данном разделе сначала исследуются соотношения между ги-перарифметическими и арифметическими множествами, определенных относительно некоторого ограничения Г.

Пусть 3 - множество всех одноместных всюду определенных функций вида N ^ N , и буквы /, g обозначают переменные, пробегающие 3.

Определение 3. Функционал О (/, х) вида

3’xNxNx...xN ^ N называется вычислимым с ограничением Г, если существует машина г с оракулом такая, что для любых допустимых значений /, х

выполняется соотношение: {г} (х) = О(/, х). Другими словами, функция / используется в качестве оракула. При этом код машины г называется кодом функционала О(/,х).

Естественным образом определяются предикаты от функциональной переменной / и числовых переменных х . Предикат Я (/, х) называется разрешимым с ограничением Г, если его характеристическая функция является функционалом, вычислимым с ограничением Г. Для таких предикатов вводятся кванторные формы вида: (3/)(У)уЯ (/, х, у) и

(V/)(3у)Я (/,х, у), и фиксируется эффективная нумерация таких форм.

Определение 4. а) Класс П\ есть класс множеств М, представимых в виде: М ={х/ (V/)(3у)Я(/, х, у)} , где Я (/, х, у) - некоторый разрешимый с ограни-

чением Г предикат; при этом номер формы, указанной в определении М, называется п\ -кодом М.

б) Класс Е1 есть класс множеств М, представимых в виде: М ={х / (3/)^у)Я (/, х, у)} , где

Я(/,х, у) - некоторый разрешимый с ограничением Г предикат; при этом номер формы, указанной в определении М, называется Е1 -кодом М.

в) Класс Д | = Е1 П П1. Множество М, принадлежащее классу Д 5, называется гиперарифметиче-ским относительно ограничения Г, при этом <г1, г2> называется Д1 -кодом множества М, где г1, г2 - его Е1 -код, П1 -код соответственно.

Аналогично определяются гиперарифметиче-ские относительно Г отношения.

Теорема 5. Каждое арифметическое относительно ограничения Г множество М является гиперариф-метическим относительно того же ограничения Г.

Доказательство. Согласно определению 2, множество М представимо в виде (1). Можно считать, что в соответствующий предикат 5 (х, у) фиктивно

входит функциональная переменная /, и тогда М представимо следующими кванторными формами:

М = / у) - {йтуш )(х УН =

= {х / (у/ На у) ••• (вшуш) у)}.

Следовательно, множество М является гипер-арифметическим относительного того же ограничения Г. Теорема доказана.

Теорема 6. Существует гиперарифметическое относительно некоторого ограничения Г множество, которое не является арифметическим.

Доказательство. Пусть Ею ={ ( г, п) / г £ Еп}.

От противного пусть для некоторой машины ' выполняется соотношение: для любых г, п

М£- (<г,»>) = I1, г£ Еп,

11 ' ' [0, если г е £„.

Тогда существует машина н\, которая на аргументе х вычисляет значение а = {н }Еш (((х,х),п +1}) и,

если а = 0, то н1 останавливается с результатом 0,

а если а = 1, то н1 работает бесконечно. Стандартным способом доказывается, что {н,1}Еш (н,1) определено о {н^}” (н1) не определено. Полученное

противоречие доказывает, что множество Е не является арифметическим. Далее,

(г, п) £ Ею о (3/)(/ = Хеп А /(2) = 1) о о (V/)(/ = Хеп ^ / (2) = 1),

где Хе - характеристическая функция множества Еп.

По теореме 3 существует предикат 5 (х, у1,..., уш), являющийся разрешимым с некоторым ограничени-

ем Г и с помощью которого множество Еп представимо в виде (1). Тогда отношение / = Хеп представимо формулой:

(Ух)(/(х) е {0,1}) л (Ух)(/(х) = 1 о

о(б1У1) ••• (йтУт)(x,у^...,ут))).

Из этого и предыдущих соотношений следует, что множество Ет является гиперарифметическим относительно некоторого ограничения. Теорема доказана.

При втором способе определения классические гиперарифметические множества и отношения вводятся с помощью вычислений с так называемым гиперарифметическим оракулом Н. Этот оракул является частичной числовой функцией, поэтому в работе машин с оракулом Н возникает качественно новая ситуация, когда машина застревает на некотором вопросе. Поэтому Н определяется следующим образом:

0, если < г, х >е В(Н);

Н( < г, х >) = < 1, если < г, х >е В(Н)\ В(Н);

неопределено, если < г, х >2 В(Н).

Построение оракула Н описано в [2, с. 20]. Известно, что Н-разрешимые множества совпадают с классическими гиперарифметическими множествами. Здесь же вычисления с Н будут ограничены некоторым I

Теорема 7. Каждое Н-разрешимое с ограничением Г множество М является гиперарифметическим относительно некоторого ограничения 11 равномерно по I и Н-разрешающему коду М.

Доказательство. Пусть ъ - Н-разрешающий код М. Тогда

х е М о {г}Н (х) = 1 о оЗи, v(T (г, х, Г, 1, и, V) л л Ви с Н л Dv с Н л Ви п Dv =0).

Здесь используется введенный выше предикат Т(г, х, Г, у, и, V), являющийся разрешимым с некоторым ограничением. Формулы Du с Н л Dv с Н означают, что конечные множества Du и Dv состоят из вопросов, на которые оракул Н дает ответ 1 и 0 соответственно. Машина г с оракулом Н вычисляет всюду определенную функцию, поэтому любой ее вопрос принадлежит множеству В(Н), а в этом случае (аналогично соответствующим рассуждениям теоремы 6) доказывается, что отношения е В(Н)\В(Н) и е В(Н) гиперарифметиче-ские относительно некоторых ограничений равномерно по вопросу н1. Кроме того, время работы г ограничено одним и тем же числом. Следовательно, отношение {г}Н (х) = 1 также является гиперариф-метическим относительно некоторого ограничения равномерно по Г и г. Теорема доказана.

Для доказательства обратного утверждения вводятся следующие объекты.

Понятие числового дерева широко известно [3, с. 502], его вершинами являются кортежи натуральных чисел, упорядоченные отношением «быть начальным отрезком кортежа». Такое дерево обозначается буквой Т с некоторыми индексами. Для кодирования вершин используются геделевские номера соответствующих кортежей, и вершины принято отождествлять с их кодами. В частности, пусть функция / представляет некоторую ветвь данного дерева, тогда код (п+1)-й вершины этой ветви есть число / (п), являющееся номером кортежа (/(0), /(1),... , /(п)). Дерево называется с обрывом всех ветвей, если верна формула:

(V/)(Зп)[ /(п) 2 т ]. Стандартным способом определяются высоты таких деревьев.

Определение 6. Дерево Т называется вычислимым с ограничением Г, если его характеристическая функция вычислима с ограничением I Код машины, вычисляющей характеристическую функцию дерева Т, называется кодом этого дерева.

Пусть символ Т обозначает множество всех кодов деревьев с обрывом всех ветвей, являющихся вычислимыми с ограничением I. Для каждого г е Т через тг и |г| обозначаются дерево с кодом г и его высота, соответственно. Если число V не входит в Т, то полагают, что VI превосходит высоты деревьев из Т;.

Лемма 1. Для каждого г е Тг отношение VI < |г| является Н-разрешимыми равномерно по г.

Доказательство. Аналогично рассуждениям из [2, с. 26].

Верен следующий аналог теоремы Клини из [3, с. 483].

Лемма 2. Пусть М1 е^1 и М2 е п\ . Тогда существуют машины г1, г2, которые работают с некоторым ограничением 11, и данные множества представимы в виде:

М = { х / (З/)^п)Т* (^, / (п), х)},

М2 = { х / (V/)(Зп)Т (г2, / (п), х)},

где Т (г, /(п), х) - рекурсивный предикат (аналогичный предикату из доказательства теоремы 3), означающий: «машина г на аргументе х вычисляет результат 1 и при этом ее вопросы оракулу входят в {0, 1, ..., п}».

Доказательство. Непосредственно из определений классов Е, п\.

Аналогично соответствующему утверждению в [3, с. 507] доказывается, что для каждого I множество Т принадлежит п\. Затем с помощью леммы 2

доказывается следующее утверждение.

Лемма 3. Для каждого ограничения I рекурсивно находится ограничение 11 так, что выполняется соотношение: (УМ )[М е А1 о М <1 Тг]. При этом

отношение М <1 Т выполняется равномерно по Г и а; -коду М.

Доказательство аналогично соответствующим рассуждениям в [3, с. 507].

Теорема 8. Каждое гиперарифметическое относительно ограничения , множество М является Я-разрешимым с некоторым ограничением 11.

Доказательство. Пусть М еД^, тогда, по лемме 3, существуют ограничение 11 и рекурсивная функция й(х), которая сводит М к Т^ . При этом найдется г е Т такое, что для всех х верно |й(х)| < |г|. Действительно, если такое г не существует, то

Т, = { г /(Зх)[хе Ма | г | < | й(х) | ]}. А так как М еД1, то множество Т1 будет принадлежать классу Д1, что невозможно. Для указанного выше г отношение |й(х)| < |г| является Я-разрешимым с некоторым ограничением ,2. Следовательно, множество М также Я-разрешимо, что и требовалось доказать.

Таким образом, доказано, что замена вычислимости на вычисление с ограничением в понятии ги-перарифметического множества сохраняет эквивалентность двух формы определения этого понятия.

Библиографический список

1. Ганов, В.А. Ограниченные вычисления с оракулами 2. Ганов, В.А. Обобщенная вычислимость и джамп-

/ В.А. Ганов, В.Р. Карымов // Известия АлтГУ. - 2009. операция / В.А. Ганов. - Барнаул, 1980.

- №1(61). 3. Роджерс, Х. Теория рекурсивных функций и эффек-

тивная вычислимость / Х. Роджерс. - М., 1973.