CC BY
19
Ггометрия срединных поверхностей оболочек
АРХИТЕКТУРНЫЕ КОМПОЗИЦИИ НА ОСНОВЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА
ИВАНОВ В.Н., канд. техн наук, профессор Российский университет дружбы народов
Поверхность Кунса образуется на произвольном 4-х стороннем контуре как сумма двух линейчатых поверхностей, построенных по двум противоположным контурным кривым за вычетом косой плоскости (гепара), проведенной через угловые точки контура [1,2].
Возможность построения поверхности с произвольными опорными кривыми (в вертикальной плоскости на сторонах четырехугольного плана) открывает широкие возможности для создания новых архитектурных форм тонкостенных пространственных конструкций при строительстве общественных, спортивных, зрелищных и промышленных сооружений.
Получим уравнение поверхностей Кунса.
Пусть Pi(t(), tiH < tt < tiK г' = 1,2,3,.4 - векторные уравнения контурных линий (нумерация контурных линий против часовой стрелки). При этом координаты начальных и конечных точек линий контура pj (71н ) = р4 (?4н )= Р\ \
Р\('\К) = Рг(hu)=Р2 '> Р2(Ьк)= Рз('зк)=Рз; РзОзн) = Ра(Uk) = Ра> гДе Pi (/ = 1, 2, 3, 4) - векторы угловых точек контура (рис. 1).
Противоположные линии контура Р\('1 ),Рз('з) и Р2(t2\ РА(¿4) параметризуются через общие параметры и е (ОД) и v е (0,l) соответственно по формулам ui = i,-(")=îîh(l -u)+tiKu , /'= 1, 3; (l,a)
Vj = tj (v) = tjn (l - v) + tJKv, j = 2, 4. (1,6)
Тогда уравнение поверхности Кунса получим в виде (рис. 2):
Г (и, v) = Г] (и, v) + г2 (и, v) - гр (и, v), (2)
г1(и,у) = р1(и1)-(1-у) + р3(из)-у;г2(и,у) = р4(у4)-(1-и)+р2(у2)-и - уравнения линейчатых поверхностей, проведенных через противоположные контурные линии Pi("i), Рз(мз) и P2(v2)' P4 (4v4 ) соответственно; гр(м,у)=[/>1(1-м)+/)2м](1-у)+[р4(1-м)+p3w]v - уравнение косой плоскости.
Контур опорных кривых может быть произвольным четырехугольником, квадратом, прямоугольником, параллелограммом, трапецией.
Две соседние опорные точки контура: р{ и р2, р2 и ръ, />3 и />4, />4 и Р] могут совмещаться в плане (иметь одинаковые координаты в плане). Тогда получаем поверхность Кунса на треугольном плане. Высоты совмещенных опорных точек при этом могут быть одинаковыми или различными.
Примеры формообразования оболочек на основе поверхностей Кунса рассматривались в работе [2]. В работе рассматривались в основном непрерывные поверхности на четырехугольном плане. Большие возможности формообразования сложных тонкостенных конструкций открываются при использовании
____
Р4( t4) p2(t2)
А
Pl(tl) Р2
Рис. 1. Контурные кривые
комбинаций отсеков оболочек из поверхностей Кунса. Комбинированные конструкции могут формироваться как из однотипных отсеков, так и отсеков различного очертания в плане. Контурные кривые могут совпадать на линиях сопряжения отсеков, но могут быть и различными. Из отсеков на трапециевидном и треугольном планах можно формировать тонкостенные конструкции на замкнутых и не замкнутых многоугольных планах. Примеры комбинированных тонкостенных конструкций из поверхностей Кунса приведены ниже.
Опорными кривыми поверхностей Кунса, приведенных на рис 2 и рис 3, являются: 1- парабола, 2, 4 -полуволновые синусоиды, 3 -многоволновая синусоида. На рис. 2 архитектурная композиция получается последовательным соединением однотипных отсеков поверхности Кунса на прямоугольном плане по одинаковым опорным кривым.
Рис. 2. а - поверхность Кунса на прямоугольном плане б - композиция из четырех отсеков
На рис .3 за основу берется отсек оболочки Кунса на равнобедренном трапециевидном плане. Последовательное объединение отсеков оболочки по наклонным опорным граням трапециевидного плана позволяет организовывать тонкостенную конструкцию на многоугольном замкнутом или не замкнутом плане.
Рис. 3. а - поверхность Кунса на трапециевидном плане
б - композиция на многоугольном незамкнутом плане
Если наклонные грани трапециевидного плана образуют угол при вершине угол ф = 2л/ п, то получаем тонкостенную конструкцию с планом в форме правильного л-угольника. На рис 4. наклонные грани отсека оболочки Кунса образуют угол 60°, опорные кривые: 1.- циклоида; 2,4- синусоиды, 3 - парабола. -тонкостенная конструкция на шестиугольном плане.
Рис. 4. Тонкостенная конструкция на шестиугольном плане
(ппппнмр: кпияые- птсттпиля пяпябпгтя гит/соитты">
Соединяя два отсека оболочки Кунса на трапециевидном плане по опорным кривым оснований, можно получить комбинированную тонкостенную конструкция на шестиугольном неравностороннем плане. Соединение отсеков по большему основанию трапеции дает конструкцию на выпуклом шестиугольном плане (рис. 5,а). Соединение по меньшему основанию - конструкцию на вогнутом шестиугольном плане (рис 5,6). На рис. 5,а и рис. 5,6 опорные кривые соответствуют опорным кривым оболочки на рис. 4.
Рис. 5. Конструкции на шестиугольном плане из двух трапециевидных секций (опорные кривые: циклоида, парабола, синусоиды)
На рис 6,а и 6,6 представлены оболочки на выпуклом и вогнутом шестиугольных планах из комбинации поверхностей Кунса с опорными кривыми: 1 - циклоида; 2, 4 - две полуволны синусоиды; 3 - многоволновая синусоида.
Рис. 6. Конструкции на шестиугольном плане из двух трапециевидных секций (опорные кривые: циклоида, синусоиды)
На рис. 1,а приведен отсек оболочки на равнобедренном треугольном плане с опорными кривыми: 1 - парабола» 2, 4 - синусоида на две полуволны.. Угол в вершине 360/5 = 12°. Последовательное соединение отсеков образует конструкцию на пятиугольном равностороннем плане. Варьируя подъем вершины отсека оболочки получаем пологую (рис. 6,6) или подъемистую оболочку (рис. 7,в). На рис. 6,в показан план - вид оболочки сверху.
Рис. 7. Оболочка на пятиугольном плане из отсеков оболочки Кунса на треугольном плане
На рис. 8,а приведена тонкостенная конструкция на квадратном плане из 8 отсеков оболочки Кунса на треугольном плане с различным подъемом вершины 2-й и 4-й опорных кривых. Отдельный отсек показан на рис 8,6. На рис 8,в показана оболочка без одного отсека.
Рис. 8. Оболочка на квадратном плане из отсеков оболочки Кунса на треугольном плане Опорные кривые: 1, 2 параболы; 4 - синусоида
Во всех предыдущих примерах объединение отсеков оболочек Кунса проводилось по совпадающим опорным кривым. Однако возможны композиции тонкостенных конструкций, не имеющих общей опорной линии. Соседние отсеки соприкасаются только в одной точке. На рис 8,а показан отсек оболочки Кунса на прямоугольном плане с опорными кривыми: 1,3- полупараболы; 2, 4 - синусоиды. На рис. 8,6 конструкция с точечным соприкосновением отсеков. На рис 8,в и 8,г оболочки из четырех отсеков соединенных по опорным кривым параболам и синусоидам.
Рис. 8. Варианты тонкостенных конструкций из отсеков оболочки Кунса
Из ромбовидных отсеков с центральным углом а = 2%/п конструируются я-угольные звездчатые покрытия. На рис. 9,а приведена шестиугольная конструкция покрытия. Изменяя размер внешнего треугольника ромба и превращая его в четырехугольник с одной осью симметрии, можно разнообразить звездчатые многоугольные покрытия. На рис. 9,6 представлено покрытие в форме 5-угольной звезды с вытянутым внешним треугольником. Опорные внешние и внутренние опорные точки могут располагаться на разном уровне, организуя пологие и подъемистые оболочки.
Рис. 9. Покрытия на плане в форме многоугольной звезды
Приведенные примеры не исчерпывают возможностей архитектурного дизайна на основе поверхностей Кунса. Во всех предыдущих примерах использовались комбинации из однотипных отсеков поверхностей. Однако возможны комбинации из отсеков различной формы в плане с различными опорными кривыми. На линиях сопряжения отсеков опорные кривые могут совпадать, хотя возможны комбинации и с различными опорными кривыми на линиях сопряжения.
Литература
1. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности// Научное издание. - М.: Наука, 2006. - 540 с.
2 Иванов В.Н., Тхома Анамария. Архитектура тонкостенных конструкций на основе поверхностей Кунса// Современные проблемы геометрического моделирования/ Материалы Украинско- Российской научно-практической конференции, Харьков, 24-27 апреля 2007 г. -Харьков, 2007. -С. 151-157.
Architectural compositions on the base of Coons surfaces
V.N. Ivanov
The Coons surfaces are formed on any polygonal plane with four different vertical curves от the sides of this polygon. The combinations of Coons surfaces are used for organization of different thinwalled structures. In the article are shown possibilities of architectural design on the base of Coons shells. There are given some examples of such structures made with the help of 'MathCad'.
