Аргумент и аргумент с помехой Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.37, 621.3.07, 621.3

К.И. Волошиновский

АРГУМЕНТ

И АРГУМЕНТ С ПОМЕХОЙ

Разработка алгоритмов управления САУ требует уточнения ряда вопросов получения связей между координатами системы в комплексной форме. Один из наиболее известных способов увязать мнимую и действительную часть между собой - применение функции Arg или обратной функции ArgA(-1). Однако, как правило, в книгах рассматривается лишь иллюстрация вопроса, которая требует существенного уточнения для дальнейшего практического применения. Тем не менее, в таких книгах, посвященных методам теории функций комплексного переменного (ТФКП), их применению, содержатся готовые формулы и выкладки, которые являются смежными к прямому практическому построению алгоритмов САУ, т.е. после того как предложены методы идентификации и обеспечения базовой управляемости годится любая формула из ТФКП, но такие формулы требуют проверки, а иногда и уточнения. Типичный пример, здесь, - уточнение схемотехнического, а затем формульного решения для функции Arg с устранением помехи, для аналогового или цифрового блока САУ.

Ключевые слова: аргумент, Arg, сумма ряда, ряды, формула Муавра.

Введение

Комплексный аргумент или координату требуется представить в виде магнитуды и фазы, причем допускаем в комплексной форме с расчетом на решение задачи в общем виде:

В [1] приводится следующее решение из двух частей, которое требуется уточнить в виде универсального схемотехнического решения, в котором особые точки были бы исключены, чтобы схема была абсолютно валидна в любой среде моделирования, независимо от того если там пункт вида Ignore\Inf_or_ Nan, как в MatLab2007\Prefernces\WorkSpace:

Однако в знаменателе особая точка х = 0. В более современных релизах Ма1ЬаЬ 2013, 2014 ошибка в схеме все равно приводит к остановке модели в случае появления нежелательной особой точки. Такой подход, приводит к появлению в схемо-

ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2017. № 1. С. 66-84. © 2017. К.И. Волошиновский.

z = х + iy = r(cos ф + j sin ф) = Me

(1)

ф = Argz

arctg(y / х) + 2kn I, IV (квадранты) arctg(y / х) + (2k +1)п II, III (квадранты)

(2)

Рис. 1. Представление sin и cos для разных квадрантов в виде круговой диаграммы

техническом решении еще и условного оператора. На приведенном графике хорошо просматривается идея отказа от применения обратных тригонометрических функций (см. ниже).

Действительный аргумент и аналитические аспекты его уточнения. Сложности уточнения универсальной схемы с учетом особых точек

Для получения компактных выкладок в задачах, в которых используется аргумент удобно записывать выражения в векторной форме. Например для ПФ САУ на некоторой рабочей частоте: - . — .

W = w + jv =| W | (cos a + j sin в) =

= k | W | (cos{5 - a} + j sin{5 • a})

I w =| W | cos a I v =| W | sin в

w

a = arceos , _ , = a cos | W |

v

в = arccos , - , = a cos | W |

w

V2 2 W + V

(3)

(4)

V-> -> w + v

Требуется получить такие представления, в которых углы 5а = 5' Р = ф. _ _

11 W | cos а = w = k | W | cos(a5)

[| W | cos в = v = k | W | cos(a5) cos(a) = k cos(a + A) = k cos(a5) = w / л/ sin(в) = k sin(a + A) = k sin(a5) = v / Vw2 + v2

9 9

w + v

(5)

(6)

v

Очевидно, что удовлетворяют основному тригонометрическому тожедству:

[w /Vw2 + v2]2 + [v /Vw2 + v2 ]2 = 1 (7)

Тогда, можно возвести оба уравнения в квадрат и сложить:

1 = k2(cos2{a + A} + sin2 {a + А}) (8)

Тогда модуль коэффициента можно определить:

к2 = 1 |= 1 (9)

Таким образом, коэффициент k имеет смысл знака действительной или мнимой части ПФ. Для определения k приходится применить сторнирование, и сначала получив схемотехническое решение, которое не содержит условных операторов представить в виде одной удобной формулы, но она может оказаться громоздкой, поэтому сразу приходится задуматься и о последующем шаге, так чтобы искомая формула была компактной. В приведенных выкладках устранен недостаток формулы (2), т.е. допустимы w = 0 при v<>0, и v = 0 при w<>0. Но нельзя использовать w = v = 0, поэтому приходится усовершенствовать схемотехническое решение. А коэффициент условной помехи k является последовательностью импульсов бесконечной малой длительности для ПФ со случайными w и v.

Попробуем искать аргумент в комплексной форме.

W = W \ ex+jy; tg(x + jy) = v / w w =\ W \ cos(x + jy); v =\ W \ sin(x + jy) I w = Vw2 + v2 (cos xchy - j sin xshy) [v = Vw2 + v2 (sin xchy + j cos xshy)

1 , . ч v sin xchy + j cos xshy

tg(x + jy) = — =--—--—

w cos xchy - j sin xshy

v _ (sin xchy + j cos xshy)(cos xchy + j sin xshy) w cos2 xchy + sin2 xshy

v w

sin xchy cos x - cos xsh2y sin x + j cos2 xshychy + j sin2 xshychy

(10) (11)

(12)

(13)

(14)

cos2 xchy + sin2 xshy

(15)

v _ sin xch2 y cos x - cos xsh2y sin x w cos2 xchy + sin2 xshy

cos2 xshychy + sin2 xshychy = 0

v sin2x(ch2 y - s h2 y)

w cos2 xchy + sin2 xshy 2shychy = О

2

= О

;(Ç +1/Ç)(Ç-l/Ç) = О

%=ey

(17)

(18) (19)

- 1/= 0; - 1 = 0; S = 1 ^ y = 0

Таким образом, существует действительное решение, однако отсутствие комплексного решения, не доказано. Такая выкладка все равно требует дополнительного сторнирования по знаку, т.е. в изменении знака аргумента есть импульсность, что показывают приведенные ниже схемотехнические решения.

Комплексный аргумент и аналитика аргумента

без обратных тригонометрических функций

В формуле (18) очевидна «ординарность» решения уравнения, так как ординарны параметры, рассмотрим параметры в виде комбинации суммы величин:

sin[x + j(x + y)] = sin xch(y + x) + j cos xsh(y + x)

a + jb = sin x -

-(y+x )

2

-(y+x)

a = sin x-

j cos x 2a

ey+x - e-(y+x)

b = cos x 2a

ey+x - e-(У+x)

+e 2b

-(y+x)

ey+x - e~(y+x)

= sin x

= cos x

(20) (21)

- (y+ x)

= sin x

2a

' y+x+n/2 . -y-x-n/2 x=x+n/2 e + e

e" + e

Можно допустить и другой подход:

= cos x (22)

sin[A + jA] = sin(x + y + j(x + y)) = = sin(x + y)ch(y + x) + j cos(x + y)sh(y + x)

2

2

Ничего, не меняет: брать ли x или x + y, тогда: 2b 2a

ey+x _ е-(y+x)

= cos x =

^y+x+n/2 + e-y_x_n/2

2b

2a

2ae

n/2

exp(x+y)=Z 2b

(24)

Z _ Z_ Ze"/2 + Z^e^2 ' Z2e" + 1 Z2 _ 1 2ae%/2(Z2 _ 1) = 2b(Z2e* + 1); (2ae*/2 _ 2beя)Z2 = 2b + 2ae%/2 (25)

z =

2b + 2ae%/2

—; Л = x + y = ln

b + ae"/2 ae%/2 _ beя

(26)

' 2aeя/2 _ 2be%

a + jb = j(b _ ja) (27)

j(b _ ja) = j sin(Л + jA) (28)

Очевидно, А имеет либо чисто действительную, либо чисто мнимую часть.

cos[x + j(x + y)] = cos xch(y + x) _ j sin xsh(y + x)

c + jd = cos x 2c

ey+x + e _(у+x)

j sin x 2d

ey+x _ e_(у+x)

/ \ — cos x.

_(y+x) '

ey+x _ e-(у+x)

= sin x

(29)

(30)

2d

ey+x _ e~(у+x)

= sin x

2d

x=x+n/2

, —ттт = cosX (31)

ey+x+n/2 _ e^^^/i v /

2c

2d

ey+x + e_(y+x)

= cos x =

ey+x+n/2 _ e-y_x_n/2

2c

2d

exp(x+ y)=Z

2de%/2 2c

(32)

(33)

Z + Z_1 Ze"/2 _ Z^e^2 ' Z2e" _ 1 Z2 +1 2de%/2(Z2 + 1) = 2c(Z2e" _ 1); (2ceя _ 2de%/2)Z2 = 2de%/2 + 2c (34)

Z =

2de%/2 + 2c

-/2-; В = x + y = ln

den2

ce" _ delí/2

(35)

' 2ce" _ 2de*

Представление по формуле Эйлера для единичной магнитуды: we + jve = c + jd + j(b _ ja) = cos(B + jB) + j sin(A + jA) (36) we + jve = c + jd + jb + a; we = c + a; ve = d + b (37)

Добьемся сопряженных компонентов формулы Эйлера, тогда:

А = В (38)

при одинаковой структуре параметров достаточно равенства под-логарифмических выражений, поэтому логарифм и радикал, в виде 1/2 перед логарифмом, не мешают:

¿в

п/2

ав

п/2

ев* - ¿вя/2

ав

п/2

- Ьв%

(39)

; За, Ь, е,

(40)

Достаточно рассмотреть частное решение, в виде системы линейных уравнений СЛАУ:

'¿вя/2 + е = Ь + авя/2 евж - ¿вя/2 = авя/2 - Ьвя

<

да = е + а а = d + Ь

Далее выкладка приводит ко второй формуле Муавра.

Здесь возникает вопрос о правомерности перехода от х к г в формуле Эйлера, т.е. от г к х можно переходить, а от х к г — нельзя.

вх+]у = в](у-1х) = в/(а+/в) (41)

Требуется выяснить вопрос о применимость формулы Эйлера, т.е. есть ли случаи, в которых равенство (43) выполнимо:

в/(а+/р) = ? = ^(а + /р) + / sin(а + /р); в2 = ? (42)

Аналитическое сторнирование (сторно) для Аргумента, как показывают приведенные ниже схемотехнические решения можно представить в следующем вдие:

',Re(z)[cos(sgn п • ^ г) + /sin(sgn р • Im г)] =

п р (43)

cos( ^ Im г) + / Т sin( ^ ^ г)] =

в = sgn хв

^(г) [ Т

= sgn х в . _

ch/sh=±1 sh/ch=±1

Таким образом, уравнения (40), (41) представимы в виде си-

стемы:

¿в

п/2

ав

п/2

ев% - ¿вя/2 ав Жх + у) = ±1 еh(x + у) = ±1 т = е + а V = d + Ь

п/2

- Ьв%

(44)

Вычисление факториала через интеграл

n! = Г( n + 1)

Гамма-функция Эйлера при условии, что Re(z) > 0 (Re(z) = = n > 0): «

r(z) = J tz-Vdt (46)

Определение Лежандра для Гамма-функции Эйлера:

r(z) = j (- ln x)z-1 dx

(47)

Свойство Гамма-функции, позволяет предположить существование компактного решения:

Г(1 - z)Г(z) = п / sin nz (48)

Логарифм Гамма функции по сути сумма ряда логарифмов числа из произведения факториала:

ln n! = У ln(¿)

t=i

1 1 гГ 1

ln r(z) = (z —) ln z - z + — ln 2n + j

1 1

ex -1 x 2

x

(49)

-dx (50)

ln r(z) = j

1 1

ex -1 x 2

x

■ dx; ln r(z) = z • ln z + O(z) (51)

Аргумент в действительной форме

w + jv =| W | ejx =| W(cos x + j sin x) |

1 1 n k 1 j f (x)dx = lim - У f (-) + O(—) =

J П^г Y! ^T^ Yí Yí

= lim-

n^T n

f (1) + f (2)... + f (n)

n n n

O(1)

n

3 5 7

■у ЛГ "Y* "Y*

Л/ Л/

cos x =---

Л^ Л^ Л/ Л/ ж >

---+---+... = у

1! 3! 5! 7! n=1

N x2n-1

= ^ У Nx2n-1

\т

1

nx

n=1 (2n -1)!

2—-1

(52)

N tí (2n - 1)! n -=1 exp[(2{ — +1} - 1) ln(2{ — + 1} - 1)]

=Т i

nx

2n-1

n (2{n + 1} - 1) exp[(2{n +1} -1)]

1 2—-1

A 1 ..

= T i

1/n

x

1/n

n k=1 (2{—4— +1} - 1) exp[(2{—^— + 1} - 1)]

1/n

1

J

Ф

2/x -1

/x

1/n

dx

^=ф

0 (2 / x +1) exp[(2 / x +1)]

Ф=Ф:Г£Л- =const

x2 x4 x6 x8 n

, , Л Л/ Л/ v \

sin x = 1--+---+ — + ... = >

2! 4! 6! 8! ^

2n-2

,2n-2

x~" " = 1 ^ nx~ n=1 (2n - 2)! n (2n - 2)!

n

1 >>

пф

2n-2

Ф

2/x-2

x

n=1

exp[(2{n +1} - 2) ln(2{n +1} - 2)]

dx

x exp(2 / x)(54)

w + jv =| W | ejx =| W | (cos x + j sin x) =

y/w2 + v2

(J

Ф

2/x -1

/x

0 (2 / x + 1)exp[(2 / x + 1)]

dx

+jJ

Ф

2/x-2

/x

2/ x exp(2/ x)

dx)

(55)

Уточнение автономного действительного решения

для схетехнического и формульного решения аргумента

Аргумент на основе арктангенса

Чтобы получить схему без условных операторов приходится применить сторнирование из условия, что коэффициент коррекции по амплитуде имеет модуль равный единице. Поэтому обратимся к формуле (2) данной статьи из [1] и уточним ее в виде схемотехнического решения (рис. 1).

Чтобы проверить аргумент на случайных числах параметр seed нужно брать разный. В противном случае в результате корреляции можно пронаблюдать частные решения, которые иногда также могут быть интересны. В данном случае полное совпадение исходных и оконечных после задания угла и магнитуды, кроме особой точки (рис. 2).

Рис. 1.1. Схемотехническое решение на базе арктангенса

Рис. 1.2. Переходные процессы на выходе схемотехнического решения на базе арктангенса

Рис. 2. Альфа и бета — разные углы

Рис. 3. Схемотехническое решение для аргумента на базе арккатангенса

Аргумент на основе арккатангенса

В Матлаб нет функции Агс^, поэтому можно воспользоваться сдвигом по оси абсцисс (рис. 3).

Графики выходов практические такие же, как и на рис. 1, т.е. графики сливаются в один и наблюдается полное совпадение, за исключением особой точки.

Аргумент на основе арккосинуса

Графики выходов также совпадают, за исключением особой точки (рис. 4).

Аргумент на основе арксинуса

Графики выходов также совпадают, остается учесть особые точки, объединив два решения в одно. Заметив, что если подавать не случайные числа, а нули на оба входа, то на выходе также будут нули, а арктангенс или арккатангенс имеет в такой ситуации одну особую точку. Поэтому следует защитить расчет

Рис. 4. Схемотехническое решение для аргумента на базе арккосинуса

Рис. 5. Схемотехническое решение для аргумента на базе арксинуса

только от двух ситуацией, рассмотренных ниже, а арктангес с арккатангенсом казалось бы не объединять, однако с учетом режима МаЛаЬ 2007 ^поге\1п^ог_№п можно. Арктангенс и арккатангес в этом режиме не приводят к появлению ошибки в процессе работы схемы, а выходы совпадают, как при одном нулевом входе, так и при двух, т.е. иногда особую точку можно не устранять. Тогда схема на основе арктангенс наиболее компактная (рис. 5).

Объединение в общую схему без особых точек с точным выходом Для объединения схем на основе арксинуса и арккосинуса следует предусмотреть инверсию модуля знака входа, чтобы при нулевом не удачном оставить нулевой удачный (рис. 6). Сложности объединения и устранения особых точек Т.е. не совпадает действительная часть на выходе, при нулевой мнимой на входе (рис. 7—10).

Рис. 6. Схемотехническое решение для аргумента без особых точек и условных операторов

Рис. 7. Ноль на входе, аргумент-агсо (совпадение на Scope2, 3, 1)

Рис. 8. Переходные процессы в схеме аргумент-ао

Рис. 9. Ноль на входе, аргумент-arcsin (несовпадение на Scope3)

Рис. 10. Ноль на входе, аргумент-arcsin (несовпадение на Scope3)

Рис. 11. Аргумент на базе асов и Sgn2

Варианты приближенного исключения особых точек Схема на основе арктангенса компактнее, но если особые точки все же требуется исключить. В приведенной схеме ниже действительные части практически полностью совпали для двух данного распределений на входе, однако могут быть не совпадения, так как в данном случае с мнимой частью. Отношение (комплексная ошибка, scope3) может быть учтено в виде возмущения при управления схемой с помехой. Суть предложенного решения в том, чтобы применить функцию Sgn2, реализованную в виде SubSystem на базе стандартного Sgn Ма^аЬ (рис. 11).

Управление схемой САУ аргумента с помехой и устранение помех по фазе и амплитуде

При управление схемой Аргумента требуется добиться ортогональности с единицей в системе приближенных (иррациональных) вычислений [2] или в стохастической аналоговой модели [3].

Идентификация текущих параметров САУ Аргумента значительно упрощена поскольку для системы с ПФ имеющей комплексный вход и возмущающее воздействие известна мнимая часть на входе и на выходе.

Устранение помехи, как по амплитуде, так и по фазе требует введение ОС поэтому подача сигнала выявленной помехи приводит к недостаточности управления. Поэтому управление необходимо выполнять по другому принципу.

a + ^ = ^п(®раб +

UOUT = c + jd

Рис. 12. Выявление помехи воздействующей только по фазе с проверкой

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 *5 11

'1П11С: *

Рис. 13. Валидный аргумент на базе acos для выявления помехи воздействующей по фазе (Сигналы Scope3 и Scope4 совпадают)

Аргумент с помехой

Аргумент с помехой по фазе, уточнение помехи и проверка

Использовать для управления сигнал помехи нельзя, так как обратная связь изменит коэффициент воздействия, но выявить и проверить помеху таким образом можно. В МатЛаб для такой схемы (рис. 11) требуется выставить тт/тах 1оИегапсе не более

Рис. 14. Выявление помехи, обусловленной системой иррациональных вычислений

н

и

Um=10 Seed 2 Uniform Random Numberl

Math Function Sqrt

u2 Math L

Br

Real-lmag to Complex

Complex to Ree I-knag

[*л j 1

I- -> a cos

Magnitude-AngläDomptex к to Comp let ReeMmegl

M

JUL

smplex to--4

jeHmagl |_ _J ►

•ЧЙ

О

Scope

О

Scopel

Q Ппирнл l <=> 1 ®

1

i 08 OS 0.4 02 0 \ ! 1

i i

""0 1 2 3 4 5 6 7 8 S 10

Рис. 15 Выявление помехи по амплитуде

1e-3 в версии 2013, 2014, а версии 2007 min и max должны быть различны, можно 1e-3 и 1e-4 (рис. 12—13).

Аргумент с помехой по амплитуде, уточнение помехи и проверка

Прежде всего заметим, что в системе иррациональных вычислений имеет место примерно следующая ситуация (рис. 14).

Заметим, что помеха является малой величиной определенного порядка, поэтому воздействие ее на алгоритм управления зависит от того стоит ли она в числителе или в знаменателе, как раз такая ситуация имеет место в формуле для ПФ замкнутой системы (рис. 15).

Заключение

Решение задачи об уточнение аналитического и схемотехнического решения для функции Arg приводит к двум решениям: действительному и комплексному. Комплексное решение приводит ко второй формуле Муавра, для которой решение приходится искать с одинаковыми мнимой и действительной частями, как следствие, второе оконечное решение содержит ненулевые, в общем виде разные действительную и мнимую часть. Второе решение все равно может потребовать уточнения знаков

ветвей схемы или уточнения структуры, важно понимать чего оно есть.

Аргумент имеет универсальное схемотехническое решение, в которое имеет смысл ввести возмущающее воздействие или помеху. Наиболее компактная схема для MatLab на основе арктангенса, которая не вызывает ошибок в режиме Ignore\Inf_ or_Nan.

Вторая формула Муавра встречается в разных видах записи, которые в общем виде для всех четырех квадрантов требует уточнения. Почему так? Потому что, можно записать отдельные формулы, которые можно проверить отдельно либо только для положительной, либо только для отрицательной ветви.

Алгоритм устранение воздействия помех не требует их детектирования, но можно получить помехи в виде сигналов. Получение корректирующего коэффициента между выходом и входом приводит к: ПФ схемы с помехой, как (в виде) объекта управления, а коррекцию, в виде коэффициента коррекции в прямом тракте системы, можно искать на основе результата логарифмирования уравнений схемотехнического решения аргумента, в виде САУ с операторным представлением используемых промежуточных функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лаврентьев М. А., Шабат В. Б. Методы теории функций комплексного переменного. 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — 749 с.

2. Даугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. — Л.: Изд-во Ленинградского Университета, 1977. — 184 с.

3. Солодовников В. В., Дмитриев А. Н., Егупов Н. Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. — М.: Машиностроение, 1986. — 440 с.

4. Демидович Б. П. Сборник задач по мат. анализу. — М.: Наука, 1990. - 624 с.

5. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. — М., 1966, 992 с.

6. Певзнер Л. Д. Теория систем управления. — М.: Изд-во МГГУ, 2002. — 472 с.

7. Даугавет И. К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. 2-е изд. — СПб.: БХВ-Петербург, 2006. — 288 с.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. —531 с. ti^re

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ

Волошиновский Кирилл Иванович — кандидат технических наук, доцент, e-mail: gas7dev@gmail.com, МГИ НИТУ «МИСиС».

Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2017. No. 1, pp. 66-84. K.I. Voloshinovskiy

ARGUMENT AND ARGUMENT WITH INTERFERENCE

Development of automatic control system algorithms requires refining some issues on connections between a system's coordinates in a complex form. One of the most popular methods of dovetailing imaginary and real components is the use of the function Arg or the inverse function ArgA(-1). However, the books, as a rule, consider an illustration of the issue, which needs essential improvement to be applied. Nonetheless, the books on the methods of the theory of complex-variable function (TCVF) and the applications contain ready-to-use formulas and computations that bridge the gap to the construction of algorithms for the automatic control systems; this means that as soon as the methods of identification and basic controllability have been proposed, any formula from TCVF is applicable but needs verification and, sometimes, clarification. A typical example for an analog or digital unit of an automatic control system is clarification of the schematic and, then, formula solution for the function Arg with the elimination of interference.

Key words: argument, sum of series, series. Moivre formula.

AUTHOR

Voloshinovskiy K.I., Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, e-mail: gas7dev@gmail.com,

Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.

REFERENCES

1. Lavrent'ev M. A., Shabat V. B. Metody teorii funktsiy kompleksnogo peremennogo. 4-e izd. (Methods of the theory of complex-variable function, 4th edition), Moscow, Nau-ka, 1973, 749 p.

2. Daugavet I. K. Vvedenie v teoriyu priblizheniya funktsiy (Introduction to the theory of approximation of functions), Leningrad, Izd-vo Leningradskogo Universiteta, 1977, 184 p.

3. Solodovnikov V. V., Dmitriev A. N., Egupov N. D. Spektral'nye metody rascheta i proektirovaniya sistem upravleniya (Spectral methods of the control system generation and design), Moscow, Mashinostroenie, 1986, 440 p.

4. Demidovich B. P. Sbornikzadach po mat. analizu (Book of problems in mathematical analysis), Moscow, Nauka, 1990, 624 p.

5. Besekerskiy V. A., Popov E. P. Teoriyasistem avtomaticheskogoregulirovaniya (Theory of automatic control systems), Moscow, 1966, 992 p.

6. Pevzner L. D. Teoriya sistem upravleniya (Theory of control systems), Moscow, Izd-vo MGGU, 2002, 472 p.

7. Daugavet I. K. Teoriyapriblizhennykh metodov. Lineynye uravneniya. 2-e izd. (Theory of approximated methods. Linear equations, 2nd edition), Saint-Petersburg, BKhV-Peterburg, 2006, 288 p.

8. Korn G., Korn T. Spravochnikpo matematike (dlya nauchnykh rabotnikov i inzhene-rov) (Handbook of mathematics (For researchers and engineers)), Moscow, Nauka, 1973, 531 p.

UDC 621.37, 621.3.07, 621.3