CC BY
18
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 27-35. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-27-35
УДК 517.5
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ОБОБЩЁННЫХ ГЁЛЬДЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ИХ МОДИФИКАЦИЯХ
М. P. Голава
Абхасзский государственный университет, Pеспублика Абхазия, г. Сухум,
ул.Университетская 1
E-mail: [email protected]
В статье изучается скорость аппроксимационных свойств средних Валле Пуссена рядов Фурье в обобщенных гёльдеровых пространствах.
Ключевые слова: ряды Фурье, пространства Гёльдера, средние Фейера, средние Валле Пуссена.
© Голава М.Я, 2018
MSC 40H05
APPROXIMATION OF FUNCTIONS IN GENERALIZED HOLDER SPACES AND THEIR
MODIFICATIONS
M. R. Golava
Abhaszsky state university, Republic Abkhazia, of Sukhum, street University 1 E-mail: [email protected]
We study rate of approximation of Valle Poussin means of Fourier series in generalized Holder spaces.
Key words: Fourier series, Holder space, Fejer means, Valle Poussin means.
© Golava M.R., 2018
Введение
В 1975 г. известный немецкий математик З. Прёсдорф ([1]) исследовал аппроксимационные свойства средних Фейера тригонометрических рядов Фурье непрерывных 2п-периодических функций в так называемых гёльдеровых пространствах, в которых норма учитывает как максимальные значения, так и гладкостные характеристики элементов этих пространств.
Пусть C := (0,2п) - пространство непрерывных 2п-периодических функций f с нормой
1с := max 1 f (x)|,
- её ряд Фурье,
S [/] = ^т + £ (an cos nx + bn sinnx)
2 n=1
Sn (/) = Sn(/,x) := — + £ (akcoskx + bk sinkx) 2 k=i
- частичные суммы порядка n ряда Фурье S [f].
В качестве аппаратов приближения будем рассматривать средние Валле Пуссена
1 n
On,p (f) = Ощр (f,x) = — £ Sk(f,x), 0 < p < n - 1.
P + 1 k=n—p
При n = p, cp (f) = cPjP (f) - суммы Фейера, при 0 < p < |, on,p (f) - средние, близкие к суммам Фурье, при П < p < n — 1, on,p (f) - средние, близкие к суммам Фейера.
Введём понятие обобщённых гёльдеровых пространств и их модификаций. Пусть
Ahf (x) := f (x + f) — f fx — f) ,h > 0
Ah/(x) := AÄ (AÄ/)(x) = /(x + h) + /(x-h) -2/(x), - первая и вторая симметрические разности в точке x с шагом h соответственно,
m l|At/||с ,, ||А|/ ^
/|»-:= 5 W, |/1»'.2 := -Р^да
где а * ) - некоторая неубывающая и положительная при ? > 0 функция. Пусть, далее,
На * := {/ е С : | / |ш * < -}, На *,2 := ( / е С: | / |ш *,2 < -
1а * : = {/ е С : | / |а * < 00 } , На *,2 : = ^ / е С : | / *,2
Множества На* и На*,2, называются обобщёнными гёльдеровыми и обобщёнными модифицированными гёльдеровыми пространствами, которые являются также банаховыми пространствами относительно норм
II/ 11а* := II/ 11с + I/ 1а*, II/ 11а*,2 := II/ 11с + I/ 1а*,2
соответственно.
В частности, если а*(?) = гр, 0 < р < 1, На* := Нр - пространство Гёльдера с показателем р (при р = 0 считаем, что Н0 := С). В случае 0 < р < 2, На*,2 := Нр,2 -пространство Зигмунда с показателем р.
2. Постановка задачи
За последние 40 лет появилось большое количество работ, посвящённых исследованию вопросов приближения функций различными линейными средними их рядов Фурье в пространствах Ию. К их числу относятся работы З. Прёсдорфа [1], Л. Лейндлера [2], П. Чандры [3], Л. Лейндлера, А. Меира, В. Тотика [4], P. Мохапатры и П. Чандры [5], Т. Сингха [6], P.А.Ласурия [7,8], В.В. Жука [9], Б. Лэндона [10], Б^. Драганова [11], С.А. Теляковского [12] и др. Приведем следующий результат З. Прёсдорфа относительно средних Фейера.
Теорема А. ([1]). Пусть 0 < р < а < 1- Тогда V/ е Иа с Ир имеют место соотношения
I f - On(f)\\ß = | O(1) Ki-ß " <
I O(1) ^ 1 ß, а = 1, ß > 0, n > 1,
где 0(1) - величины, равномерно ограниченные по п и, зависящие, вообще говоря от /, а, р
P.А. Ласурия ([7,8]) было замечено, что ряд результатов по приближению функций в пространствах Ию* могут быть уточнены. В частности, имеет место следующий усиленный вариант теоремы Прёсдорфа.
Теорема В ([7, 8]). Пусть 0 < р < а < 1- Тогда V/ е Иа с Ир
„/- / . 0(1) (• а-в < 1
" в ' 0(1) (), а - р = 1 (а = 1, р = 0).
Откуда видно, что при а = 1, р > 0, имеем порядок приближения п—р, в то
время как из теоремы А, в этом случае, следует порядок приближения ^"-р ^ и,
значит, множитель (1п п)1-р может быть опущен-
Как хорошо известно, из результатов С.Н. Бернштейна и Г. Алексича следует, что в пространстве С средние Фейера оп (/) не могут доставлять приближение функциям, отличным от постоянных, по порядку лучше чем 1. Однако, отправляясь от работы P.А. Ласурия [8], Б^. Драгановым [11] было замечено, что переход от пространств Ию* к пространствам Ию*,2 позволяет в соответствующих случаях добиться оптимального порядка приближения, нежели в пространствах Ию*. В связи с этим встаёт актуальность рассмотрения вопросов приближения функций и в обобщённых модифицированных гёльдеровых пространствах Ию*,2. Pяд результатов в этом направлении получены P.А. Ласурия [13].
В нашей работе исследуются оценки скорости сходимости средних Валле Пуссена в пространствах Ию*,2.
3. Основные результаты и следствия
Относительно средних Валле Пуссена, близки к средним Фейера имеют место следующие утверждения.
Теорема. Пусть 0 < ß < n < 2, 2 < Р < n — 1 • Тогда для V/ е Ню,2 с Ню*,2 справедливо неравенство
|on,p (/) — / ||ю*2 <
ю*,2 < IM Ню,2
в/п
h>0 ю*(h)
V/п + 4sup
1 n f f 1 хх1—в/п f f 1 xx1—в/п
ncpVry k=n— p (•(!)) +0««
Следствие. Пусть ю (t) = tа, ю* (t) = tв, 0 < в < а < 2, n = а, n < Р < n — 1 Тогда для V/ е На,2 справедливы соотношения
II/ — ön (/)Нв,2 =
' O(1) (noh) , О < а — в < 1,
O(1) fplnn—РО, а — в = 1,
0(1) (тг^а—j) , а — в > 1.
>—р)ь
Доказательство теоремы основывается на следующих вспомогательных утверждениях.
Лемма А [15]. Пусть / е C Тогда при 2 < p < n — 1 справедливо равенство
1/(n—p)
kn.p(/,x)—/(x)i = п^Р+гу / ^Vo^,n)). (1)
1/(n+1)
Лемма 1. Пусть / е C Тогда при 2 < p < n — 1 справедливо неравенство
iön,Р (/) — /iic < п^11 р/, ^ + о(/, ^ (2)
Доказательство. В силу равенства (1), с учётом определения модуля гладкости функции /, следует
1/(n—Р)
(/)—/Ic<П0Р+Т) / /^К*n))
n,pW7 Л IC < J 12
1/(n+1)
ПОР^Т) ^=1 p ./ + 0(/, 1), <
k=n p 1/(k+1)
1/k
1 Д Л 1\ / -г. „(( Л
<
п(Р + 1) k-^p V 'k,
p 1/(k+1)
I ю^ /, k t—2dt + О ю^ /, n =
п^ kj^—p Ч/, ^+Ч Ч/,1
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть 0 < р < п < 2, 2 < р < п - 1 - Тогда для V/ е И©,2 с И©*,2 справедливо неравенство
1°П,p (f) - f|«*2 < 4|fL,2suP «* (h)
G)ß/n (h)
A>0
1 n ( (1 )) 1-ß/П ( (1 W1-ß/n
iö^J-рИШ +o(1)Kn
Доказательство. Оценим полунорму
(an,p (f) - f )|
|an,p (f) - f |ffl*2 = suP
' A>0
C
а * (h)
при условии, что / е И©,2 с И©*,2. Вследствие неравенств
©2 (/,*) < 4"/"с, ©2 (/ + &, *) < ©2 (/, *) + ©2 (&, *)
будем иметь
© (К2/И < 411л2/1
®2 (Л2^, о < 4|^2f ||C, (3)
©2 (Л2/, 0 < 4©2 (/, *). (4)
В силу равенства
l^f | h>0 « (h)
If I«,2 = sup^^, f е Ha,2,
имеем
И/ 11с <1 /I©,2© (й). (5)
Принимая во внимание равенство
Л2 Кр (/) - /) = Оп,р (Л2/) - Лй/, с учётом неравенств (3)-(5) и (2), получаем
||ЛЙ(оп,р (/) -/)||с = |оп,р (Л/ -Лй/|с <
< ±, © (л/ к)+0 (© (л/1 '
1 V ©р© 1-рл^ 1
£ «2 /Ч( Л2f, k) ■ a2 "( ^f, k) +
- <
п(Р+1)k=r-p 2 V
+O (1) «ß/n (^f, n) «21-ß/n(л^, 1
< ^ ,£ p ем f ncß(-. (,;))1-'"+
31
i-ß/п
n
+O(1) (4|K/¡с)ß/П(Ц/.n))
= (4|Ah/ ¡с )ß/пП(Р+Г) J p 41-ß/n»2-ß/n (/. 1) +
+O(1) (4|jAj/¡с)ß/П41-ß/n»2-ß/П (/. 1) =
= WA/ИсГ £ 41-ß/n»21-ßk) + O(1)41-ß"»2-ß/П (/.n
П (p +1) k=n-p
=4 ¡Ah/¡ß /п {П0Р+Т) j>2-ß/n (/. 1) + O (1) ¿2-ß/n (/. 1
< 41 f |©,/2' ©>/n (h) | i(p+ijtE I f ii—f/П ©1—в/П (1) + O (1) If ii—f1—в /n (1
= f,2ie/n (h) {n(p+T) J—p»1—e/n (1) + O(1)»1—e/n (1
Отсюда заключаем
I f fI ^ 4|f Ii,2«e/n (h)
l°n-p (jf)—f I»,-2 < h>P—s^h)—
■{i(^) k=n—p© 1—e/n (1)+O (1) s 1—e/n (1
= 4I.fis,2h>p©ЭДПО^+Г)kjr—pi1—e/n (1) + O(1)s-(1)
Лемма 2 доказана.
Переходим к доказательству теоремы. Пользуясь неравенством (2) леммы 1,
с учетом неравенства © (f,t) < 4||f ||с, для любой функции f е Hs,2 с Hs*,2 будем иметь ( ) ( ( ))
Кp(/) — /«с< ^ J—p<»(/,k) + O(<*(f,1
^ J p ¿2-ß/. 1) *( /. D + о( ¿2-ß/п( /. Э)/п( /.
S i p»2-ß/n (/. 1) (4|/ 11с)ß/n + O(1) »2-ß/n (/. 1) (4|/ 11с)ß/П =
32
<
=4в/п"f£р/п(f' 1)+о(1)/п(f' 1)
4в/пшв/п{П(р+т) i j^4«^ (1)+о(i)jfii
1-е/п 1 =
<
В силу полученного соотношения и леммы 2 находим
IIаи,р(f) - f II * 2 = 11on,р(f) - f IIC + Iаи>р (f) - f I*2 <
<4в/П»f».П^ i_pю1-в/ч(1) + о(1)" 1-в/п(D
< 4е/п»f»
1
Ю ,2
П (р + 1)
n ю1-e^ + о (1) Ю1-в1
n
k=n-р
Юв/п (h)
П(р +1) к=»-р\ Vk
1
Ю I -
= 4e/n»f» ю ,2 + 4jfj
1Ю Ю* (h)
*+1У1р(• (1Г" + о(Ю (• (П
= If 1ю ,2 + 41f 1Ю ,2/>р ^ «¡b 1 р (• (1))'-'" + "(1) (• (1
1-в/П ( ( 1
+ о(1)( ю( n
Юв/п (Ä)'
1-е/п ■
+
1-е/п ■
1-е/п ■
Ю,2
4е/п + 4
sup
Й>0
Юв/п (h) '
ю * (h)
1- /п
,£,(©( {))""+«»(Ч1
Теорема полностью доказана.
Аналогичные оценки для средних Фейера были установлены в работе [14].
Список литературы
[1] Prossdorf S., "Zur Konvergens der Fourierreihen Holder stetiger", Math. Nachr, 69 (1975), 7-14.
[2] Leindler L., "Generalizations of Prossdorfs theorems", Stud. Math. Hung., 14 (1979), 431439.
[3] Chandra P., "On the generalized Fejer means in the metric of the Holder space", Math. Nachr, 109 (1982), 39-45.
n
1
[4] Leindler L., Meir A., Totik V., "On approximations of continuous functions in Lipchitz norms", Acta Math. Hung., 45:3-4 (1985), 441-443.
[5] Mohapatra R.N., Chandra P., "Degree of approximation of functions in the Holder metric", Acta Math. Hung., 41:1-2 (1983), 67-76.
[6] Singh U., "The approximation of continuous functions in the Holder metric", Mat. april., 43:3-4 (1991), 111-118.
[7] Ласурия P.A., "О приближении периодических функций линейными средними сумм Фурье в обобщённой гёльдеровой метрике", Докл. АМАН, 5:1 (2000), 24-39.
[8] Ласурия P.A., "О приближении функций, заданных на всей действительной оси, операторами типа Фейера в обобщенной гёльдеровой метрике", Мат. заметки, 81:4 (2007), 574-552. [Lasuriya P.A., "O priblizhenii funkcij, zadannyh na vsej dejstvitel'noj osi, operatorami tipa Fejera v obobshchennoj gyol'derovoj metrike", Mat. zametki, 81:4 (2007), 574-552].
[9] Жук В.В., "Приближение периодических функций в метриках типа Гёльдера суммами Фурье и средними Pисса", Зап. науч. Сем. ПОМи, 350 (2007), 70-87. [ZHuk V.V., "Priblizhenie periodicheskih funkcij v metrikah tipa Gyol'dera summami Fur'e i srednimi Pissa", Zap. nauch. Sem. POMi, 350 (2007)].
[10] Landon B.A., Degree of approximation of Holder continuous functions, A dissert. For the degree of D-r of Phil. in Math. in the Depart. Of Vath. at the Un-ty of Central Florida, Orlando (USA)., 2008, 76 pp.
[11] Draganov B.R., "Simultaneous approximation of functions by Fejer-type operators in a generalized Holder norm", East J. Approx, 14 (2008), 439-449.
[12] Теляковский С.А., "О скорости приближения функций в липшицевых нормах", Труды ин-та мат-ки и мех-ки УрО РАН., 16:4 (2010), 297-299. [Telyakovskij S.A., "O skorosti priblizheniya funkcij v lipshicevyh normah", Trudy in-ta mat-ki i mekh-ki UrO PAN., 16:4 (2010), 297-299].
[13] Ласурия P.A., "Аппроксимация и группы отклонений рядов Фурье в обобщённых гёльдеровых пространствах", Ряды Фурье и их приложения, Материалы IX межд. симп. Ф.Н. и обр. Ю.ФУ., 2016, 9-20. [Lasuriya P.A., "Approksimaciya i gruppy otk-lonenij ryadov Fur'e v obobshchyonnyh gyol'derovyh prostranstvah", Pyady Fur'e i ih prilozheniya, Materialy IX mezhd. simp. F.N. i obr. YU.FU., 2016, 9-20].
[14] Ласурия P.A., Голава M.P., "Средние Фейера в обобщённом гёльдеровом пространстве", Труды АГУ. РО АГУ, 2015, 5-11. [Lasuriya P.A., Golava M.P., "Srednie Fejera v obob-shchyonnom gyol'derovom prostranstve", Trudy AGU. PO AGU., 2015, 5-11].
[15] Ефимов А.В., "О приближении периодических функций суммами Валле Пуссена", изв. АН CCCP (сер. матем), 23:5 (1959), 737-770. [Efimov A.V., "O priblizhenii periodicheskih funkcij summami Valle Pussena", izv. AN SSSP (ser. matem), 23:5 (1959), 737-770].
Список литературы (ГОСТ)
[1] Prossdorf S. Zur Konvergens der Fourierreihen Holder stetiger // Math. Nachr. 1975. vol. 69. pp. 7-14.
[2] Leindler L. Generalizations of Prossdorfs theorems // Stud. Math. Hung. 1979. vol. 14. pp. 431-439.
[3] Chandra P. On the generalized Fejer means in the metric of the Holder space // Math. Nachr. 1982. vol. 109. pp. 39-45.
[4] Leindler L., Meir A., Totik V. On approximations of continuous functions in Lipchitz norms // Acta Math. Hung. 1985. vol. 45. no. 3-4. pp. 441-443.
[5] Mohapatra R.N., Chandra P. Degree of approximation of functions in the Holder metric // Acta Math. Hung. 1983. vol. 41. no. 1-2. pp. 67-76.
[6] Singh U. The approximation of continuous functions in the Holder metric // Mat. april. 1991. vol. 4. no. 3-4. pp. 111-118.
[7] Ласурия P.A. О приближении периодических функций линейными средними сумм Фурье в обобщённой гёльдеровой метрике // Докл. АМАН. 2000. Т. 5. №. 1. С. 24-39.
[8] Ласурия Р.А. О приближении функций, заданных на всей действительной оси, операторами типа Фейера в обобщенной гёльдеровой метрике // Мат. заметки. 2007. Т. 81. № 4. С. 574-552.
[9] Жук В.В. Приближение периодических функций в метриках типа Гёльдера суммами Фурье и средними Рисса // Зап. науч. Сем. ПОМи. 2007. Т. 350. С. 70-87.
[10] Landon B.A. Degree of approximation of Holder continuous functions. A dissert. For the degree of D-r of Phil. in Math. in the Depart. Of Vath. at the Un-ty of Central Florida, Orlando (USA). 2008. 76 p.
[11] Draganov B.R. Simultaneous approximation of functions by Fejer-type operators in a generalized Holder norm // East J. Approx. 2008. vol. 14. pp. 439-449.
[12] Теляковский С.А. О скорости приближения функций в липшицевых нормах // Труды ин-та мат-ки и мех-ки УрО РАН. 2010. Т. 16. no. 4. C. 297-299.
[13] Ласурия Р.А. Аппроксимация и группы отклонений рядов Фурье в обобщённых гёльдеровых пространствах. Ряды Фурье и их приложения. Материалы IX межд. симп. Ф.Н. и обр. Ю.ФУ. 2016. C. 9-20.
[14] Ласурия Р.А., Голава М.Р. Средние Фейера в обобщённом гёльдеровом пространстве // Труды АГУ. РО АГУ. 2015. C. 5-11.
[15] Ефимов А.В. О приближении периодических функций суммами Валле Пуссена // изв. АН СССР (сер. матем). 1959. Т. 23. №5. С. 737-770.
Для цитирования: Голава М. Р. Приближение функций в обобщённых гёльдеровых
пространствах и их модификациях // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23).
C. 27-35. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-27-35
For citation: Golava M. Р. Approximation of functions in generalized Holder spaces and
their modifications, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 23: 3, 27-35. DOI: 10.18454/20796641-2018-23-3-27-35
Поступила в редакцию / Original article submitted: 10.06.2018
