Аппроксимирующая функция внешней границы диапира Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 517.946+681.3

THE APPROXIMATING FUNCTION OF THE OUTER BOUNDARY OF THE DIAPIR

Kuralbayev Z.

professor, Almaty University of Power Engineering and Telecommunications

Kazakhstan, Almaty

АППРОКСИМИРУЮЩАЯ ФУНКЦИЯ ВНЕШНЕЙ ГРАНИЦЫ ДИАПИРА

Куралбаев З.

профессор Алматинского университета энергетики и связи

Казахстан, Алматы

Abstract

The article discusses the problem of determining the approximating function of the data available in the scientific literature on the external border of a diapir (dome). According to geological studies, diapirs are often found in the upper regions of the earth's crust and play an important role in the formation and development of terrestrial structures. A function is proposed that is in good agreement with geological data and laboratory results. A study of the obtained function is given; a partial differential equation is shown that describes hydrodynamic instability, and whose solution is this function.

Аннотация

В статье рассматривается проблема об определении аппроксимирующей функции имеющихся в научной литературе данных о внешней границе диапира (купола). По данным геологических исследований диапиры часто встречаются на верхних областях земной коры и играют важную роль в формировании и развитии земных структур. Предложена функция, которая достаточно хорошо согласуется с геологическими данными и результатами лабораторных исследований. Приведено исследование полученной функции; показано дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает гидродинамическую неустойчивость, и решением которого является данная функция.

Keywords: salt domes, igneous substances, diaper, approximation, hydrodynamic instability, partial differential equations.

Ключевые слова: соляные купола, магматические вещества, диапир, аппроксимация, гидродинамическая неустойчивость, дифференциальные уравнения в частных производных.

Введение. Диапиры, куполовидные структуры, образующиеся при выдавливании пластичных горных пород в вышележащие более жёсткие толщи. Результаты многочисленных исследований [1-17] показывают, что причиной появления диапиров могут быть как тектонические силы, возникающие из-за разности плотностей горных пород, составляющих верхние слои Земли, или другие эндогенные процессы. В геологической литературе, посвященной исследованию куполовидных структур, рассматривают, в основном, три вида диапиризма: соляной, магматический (мантийный) и песчаный [57].

Соляной диапиризм. Было доказано, что образование соляных куполов (диапиров), вызвано ползучестью, которая обусловлена относительно низкой плотностью соли (от 1.6 до 2.2 г/см3). Если нижележащий пласт соли, перекрытый более плотными толщами горных пород, способен к пластическому течению, то он начнёт подниматься, деформируя окружающие породы [1,7,10,11].

По данным геологических исследований [1,4,7,11], накопление солей в высыхающих водных бассейнах формируют мощные соленосные толщи, и наблюдается их выход на поверхность земной коры. Причем этот процесс считается достаточно

широко распространенным в природе явлением. Структурные движения такого происхождения были установлены на территориях Германии, Казахстана, Таджикстана, Северной Америки и в других регионах Земли. Это явление получило название «соляная тектоника» или «соляной диапиризм».

Оказывается, что движение соли вверх происходит не равномерно по всей массе [1,4], а в нескольких отдельных зонах. Внутренняя структура даёт возможность представить себе механизм поднятия соляного купола. Окружающие купол осадочные толщи приподнимаются вверх и изгибаются под действием движения соли.

Магматический диапиризм. В качестве одной из главных причин тектонических процессов, происходящих в недрах Земли, считается движение расплавленных магматических веществ [2-4,8,1214]. Перемещения гранитоидных расплавов и контактирующих с ними вмещающих горных пород, которые приводят к движению веществ в астено-сферном и литосферном слоях Земли, включая ранее затвердевшие образования. Известно также, что плотность гранитоидных расплавов (2.2 г/см3) меньше средней плотности вышележащих горных пород (2.6-2.8 г/см3) [8,9].

Следовательно, в результате возникновения расплавов в верхних слоях земной коры возникает обстановка инверсии плотностей, т. е. будет создано условие гидродинамической неустойчивости, которое приводит к тектоническим движениям. Известно, что в результате этих движений возникают различные процессы и структурные образования на поверхности земной коры. В частности, над восходящими тектоническими движениями наблюдается вертикальные поднятия земной поверхности, а над нисходящими - ее опускания [11-14].

Мантийный диапиризм. В исследованиях, связанных с изучением глубинных недр Земли существует утверждение о том, что многие тектонические процессы возникают из-за подъема мантийных плюмов [5-9]. Эти процессы выражаются в виде гравитационной неустойчивости на границе астеносферы и литосферы. Поднимающиеся вещества астеносферы и связанные с ними потоки тепла являются причиной таких процессов как движения земной коры, формирования и эволюции ее структур, а также происхождения вулканизма, землетрясений и многих других проявлений [3-8].

Из данных исследований за перемещениями магматических расплавов следует, что они могут иметь достаточно большие значения. Они могут подниматься на такую высоту, при которой гидродинамическое давление столба расплава может быть значительным. Оно может быть соизмеримо с давлением, создаваемым толщами вышележащих горных пород. Отсюда следует, что расплавы мантийных веществ могут прорвать ограничивающие их движения вверх мощные пласты, и образовать на них вулканические возвышенности значительной высоты [3-8].

Из такого краткого обзора о диапиризме и их причинах, можно сделать некоторые предположения о механизме их возникновения и формах внешней границ куполов (диапиров). Согласно распространенного среди геологов мнения [2-7] о появлении соляных куполов в верхней части земной коры, механизм поднятия соли, плотность которой меньше чем плотность горных пород, окружающих ее, аналогичен поднятию мантийному диапиризму, когда расплавленные относительно легкие мантийные вещества поднимаются вверх из-за гидродинамической неустойчивости. Здесь может быть поставлена задача о гидродинамической неустойчивости, которая может быть приведена к решению

дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка [15-21].

Очевидно, механизм процесса возникновения диапиров (куполов) объясняется как движение вверх веществ нижележащего пласта соли или магматических веществ, перекрытый более плотными толщами горных пород. В результате этого движения происходит деформация окружающих пород. Актуальность исследования этих процессов связана с важностью для жизнедеятельности человека. Потому что многие процессы, происходящие на поверхности Земли, связаны с проявлением различных тектонических процессов: вертикальных и горизонтальных движений земной коры, сейсмических и вулканических явлений и т.д. Кроме этого, по данным геологов [1-4], соляные купола являются «ловушкой» для легких веществ как нефть или газ, что важно для разведки и эксплуатации месторождений углеводородного сырья.

Из вышесказанных следует, что любые исследования, связанные с исследованием возникновения и развития подобных куполов, являются актуальными. Они имеют как теоретический интерес для познания окружающей среды, а также практический интерес для разведки месторождений полезных ископаемых в регионах и эксплуатации их.

Имеются экспериментальные исследования возникновения куполов в лабораторных условиях, в частности, Рамберга [10], где получена форма верхней границы поднимающихся веществ. В книге [11] приведены результаты исследования Ховарда, которые были получены с помощью моделирования на ЭВМ наблюдений за поднятием соляных толщ. Им предложен графический вид внешней границы купола; этот график представлен на рисунке 1. Сравнительный анализ этих результатов показывает, что график функции, приведенный на рисунке 1, достаточно хорошо согласуется с результатами лабораторных исследований Рамберга.

Однако этот график показывает только общую форму внешней границы купола, по которой нельзя определить динамику происходящего процесса, т.е. изменение искомой функции по времени £. В данной статье предлагается один из вариантов аппроксимации верхней границы диапира, для чего использованы имеющиеся геологические данные. Предложена математическая формула, которая может быть использована для описания процесса возникновения и эволюции диапира.

Рисунок 1 Форма купола

Постановка задачи. Движение относительно легких веществ (соли или магмы) вверх происходит не равномерно по всей массе, а в нескольких отдельных зонах. Поэтому в данном случае рассматривается процесс, связанный с отдельно возникающем куполе. Гидродинамическая неустойчивость из-за разности плотностей определяет механизм поднятия купола. Окружающие купол осадочные толщи приподнимаются вверх и изгибаются под действием этого движения. Деформации развиты лишь вокруг внешней границы купола, масштаб и форма их обусловлены размерами купола.

Поэтому в данном случае рассматривается отдельный купол; пренебрегается существованием других куполов, и ставится задача об определении его внешней границы.

Решение задачи. Для решения поставленной здесь задачи вначале необходимо привести имеющиеся данные о форме купола, приведенные в вышеуказанных литературных источниках. Исходя из этих данных, можно сформулировать известные свойства графика внешней границы купола.

Вначале следует вводить обозначения:

х — горизонтальная координатная переменная;

г — вертикальная координатная переменная; ось Ог направлена вверх, обратно направлению вектора д;

1к = 1к (х, — функция, аппроксимирующая внешнюю границу купола;

£ — время.

В данном случае функция 2к (х, Ь) является неизвестной; требуется определить ее аналитическую формулу. Пока нельзя установить зависимость этой функции от времени Ь, так как отсутствуют какие -либо данные динамические характеристики, т.е. сведения об изменении внешней границы купола. Поэтому переменная £ рассматривается пока как некоторый параметр.

Из литературных источников известны следующие свойства функции, описывающей внешнюю границу купола:

10. Функция Zk(x, Ь) должна иметь некоторую точку максимума; не ограничивая общность,

можно предположить, что такой точкой является х = 0, т.е. начало координат. Пусть она называется центром поднятия купола.

20. Функция Zk (х, t) должна быть определена и непрерывна везде, т.е. —<х < х <

30. Функция Zk(x, t) должна быть четной и ее график симметричен относительно вертикальной оси z, т.е. Zk (—х, t) = Zk (х, t).

40. В точках, достаточно удаленных от центра поднятия (х = 0), функция Zk (х, t) имеет очень малые значения, т.е. limZk = 0 и lim Zk = 0.

х^ю х^ — ю

50. Из условия сохранения массы (объема) веществ, составляющих купол и окружающих его осадочных горных пород, при условии их несжимаемости, следует равенства нулю следующих интегралов:

f—+^zk (х, t)dx = f0+™Zk (х, t)dx =

S—mZk (x,t)dx =0.

60. Площадь области поднятия купола равна сумме площадей его опущенных областей:

f+x° Zk (х, t)dx = f—Ю0 Zk (х, t)dx + (х, t)dx>

где х0 и - х0 - точки пересечения графика функции Zk (х, t) с осью х.

Результат решения задачи. Общий вид функции Zk(x,t), удовлетворяющий вышеперечисленным условиям (10 - 60) может быть представлен в следующем виде:

Zk(x,t) = a(t) • e-<p(t)x2[l — ß(t) • x

(1)

В этой формуле: а(ь),р(ь), <р(Ь) - неизвестные пока функции; п — натуральное число. При этом предполагается, что а(ь) > 0, ф(ь) > 0.

Из условия равенства интегралов (из условия 60) следует следующая взаимозависимость между неизвестными функциями (р(Ь) и числом п:

ß(t) =

[2-<p(t)]n

(2)

1-3-5- ..••(2п-1)

Тогда формула (1) может быть записана в сле дующем виде:

Zk(x, t) = a(t) • е

{l

1-3-5- ...-(2п-1)

(3)

и искомая функция будет зависеть от двух функций а(ь) и ф(ь), а также от числа п.

В данной статье, для определенности принято, что параметр п = 1. Исследование функции (3) для других значений параметра п могут быть темой других (будущих) работ. В дальнейшем будет исследована функция (3), представленная в более упрощенном виде:

1к(х,€) = а(Ь) • е-,Р(*)х2[1 - 2(р(ь) • х2] (4)

Пусть теперь рассматриваются свойства функции (4).

Свойсто 1. В точке х = 0 достигается максимальное значение функции 2к (х, Ь), и она имеет следующее значение:

гк(х,1) = а(1).

На самом деле, из равенства нулю первой производной этой функции по переменной х

а(Ь) • т(Ь) • • [2(р(0х3 - 3х] = 0

ах

следует, что х0 = 0 является точкой экстремума, и отрицательное значение второй производной данной функции в этой точке доказывает этого утверждения:

дх2

— 2 a(t) • cp(t) • е

-ip(t)x2

02Zk(0)

• [-4 • cp2(t) • x4 + 12<p(t)x2 - 3]; = -6 a(t) • cp(t) < 0, при a(t) >

0x2

0,(р(ь) > 0.

Свойство 2. Из этого же равенства следует, что

в точках хл —

2<p(t) '

■ и Хп —

2<p(t)

также достига-

ются экстремальные значения данной функции; здесь имеется ее одинаковое минимальное значение:

а(ь)

гк(Х1) = гк(х2) = -2-0,431 • а(Ь).

Свойство 3. Нули функции Ек(х,Ь) достигаются в двух точках:

Хо

и хл=

Свойство 4. Из равенства нулю второй производной функции по переменной х следует, что график функции имеет четыре точки перегиба:

х5

У

3+46

Хп —

2y(t) ; 3-46

2<p(ty

Ха, —

3+46

Хо —

2УУУ 3-46 2<p(t).

— _г2 . " "К

01 = С 0x2 (5)

2

где с2 - некоторый заданный параметр для конкретного случая.

Следует заметить, что уравнение (5) отличается от обычного уравнения параболического типа отрицательным знаком в правой части. Доказательство этого утверждения не представляет особого труда. Для этого достаточно подставить в уравнение (5) формулы: для второй производной функции

d2Zk Ох2

по переменной х и для первой производной

Итак, исследуемая функция 1к(х,Ь) характеризуется такими девятью точками; причем координаты этих точек зависят от функции (р(ь), следовательно, от значений параметра Ь.

Свойство 5. Функция 2к(х,Ь) удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка следующего вида:

этой же функции по переменной Ь:

2*Ю%*2} (6)

В результате этих подстановок будет получено уравнение, из которого сравнением коэффициенты при различных степенях переменной х можно получить следующие три уравнения:

— =6 с2 • а(1) • <р(0;

3а(г)^= 24 • с2а(г)ср2(г) - 2 • ср(1)^ (7) 4с2 • <р2а\

Здесь предполагалось, что а(С) Ф 0 и ф(Ь) Ф 0; в противном случае рассматриваемая функция 1к (х, Ь) была бы равной нулю, что не имеет никакого смысла. Подставляя первую и третью формулу

, „ йа й(о

первых производных функций — и — во второе уравнение системы (7), можно убедиться, что оно обращается в тождество. Следовательно, будет получена система двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций а(Ь) иср(ь).

Решение полученных дифференциальных не представляет труда; после простых преобразований можно записать общее решение дифференциального уравнения (5) в следующем виде:

3 \ 2Х2Л

1к (х, 0=А^ср(с)]-^е ™ •[1-2^] (8)

где ср( 1) = В - 4 • с2Ь,А и В - неизвестные постоянные интегрирования; причем должно выполняться условие В > 4 • с2 .

Нетрудно убедиться в том, что функция (8) удовлетворяет уравнению (5) и граничным условиям на удаленных от центра координат (х = 0) точках.

Итак, получен общий вид функции, которая может быть использована для аппроксимации имеющихся в геологической литературе данных [10,11] о внешней границе диапира (Рисунок 1).

Примечание. Формула (8) может быть написана для трехмерного случая, когда рассматривается система координат (х, у, г).

В работе [21], в результате математического моделирования процессов, происходящих в периферийных слоях Земли, когда расплавленные магматические вещества (облегченные) поднимаются вверх, а вышележащие горные породы, имеющие сравнительно большую плотность, стремятся вниз, была рассмотрена задача о гидродинамической неустойчивости. Для моделирования такого процесса была поставлена и решена задача о ползущих движениях двух сильновязких слоев, когда плотность вышележащего больше чем плотность нижнего слоя. В результате получено квазилинейное дифференциальное уравнение следующего вида [21]:

вь вх у*

Здесь: г = £(х, Ь) - функция, определяющая границу между вязкими слоями; коэффициент а2

¡3

Ох)

(9)

d2Z

к

3

3

1

1

зависит от физических и геометрических характеристик рассматриваемых вязких слоев.

Уравнение (9) было получено в предположении, что наибольшие значения функции {;(х, Ь) сравнимы с вертикальными размерами слоев. Если рассматривать начальные этапы возникновения процесса диапира (купола), то для определения функции, описывающей внешнюю его границу можно использовать «линеаризованное» уравнение. Тогда линеаризованное уравнение будет иметь такой же вид, который был получен при аппроксимации геологических данных (5), а коэффициент с2 будет определен также из физических и геометрических характеристик материалов купола и окружающих его горных пород.

Заключение. В результате анализа существующих данных в геологической литературе о происхождении диапиров (куполов), а также исследования, проведенные для изучения такого феномена, существующего во многих регионах планеты, позволили получить определенную информацию о причинах их возникновения. Решена задача об аппроксимации данных о внешней границе диапира, имеющихся в геологической литературе, и был получен общий вид аппроксимирующей функции. Имеется надежда, что она может быть использована для описания, хотя бы приближенно, начальные этапы возникновения процесса диапиризма. Для описания следующего этапа этого процесса может быть использовано квазилинейное уравнение (9). Очевидно, что предложенная здесь функция (8) для описания внешней границы купола, в определенной мере может показать тенденцию происходящего процесса.

По результатам выполненных исследований можно

1. Получена функция, которая может быть использована для аппроксимации геологических данных о процессах, являющихся причиной возникновения диапиров (куполов), встречающихся во многих регионах. Следует отметить, что график полученной аппроксимирующей функции 2к (х, Ь) имеет полное сходство с формой внешней границы, имеющейся в геологической литературе, полученной в результате наблюдений, лабораторного эксперимента и моделирования на ЭВМ [10,11].

2. Полученная функция Zk(x, Ь), с другой стороны, оказалась решением уравнения, описывающего границу между двумя сильновязкими слоями, в задаче о начальной стадии возникновения процесса гидродинамической неустойчивости на границе, когда плотность нижнего слоя меньше чем плотность верхнего слоя. При любом начальном нарушении равновесного состояния границы между слоями приводит к возникновения движения материалов нижнего слоя вверх, а материалов верхнего слоя - вниз. В случае, когда динамические коэффициенты вязкости рассматриваемых слоев очень большие, то происходящий процесс будет медленным, безынерционным. Данная задача о гидродинамической неустойчивости может быть моделью процесса возникновения и развития диапи-ризма.

3. Для различных моментов времени значения функции 2к (х, Ь) могут быть представлены в виде следующих графиков, показывающих процесс диа-пиризма, т.е. подъем вверх материалов нижнего слоя и опускание материалов верхнего слоя. Графики одного из вариантов такой функции представлены на следующем рисунке:

сделать следующие выводы:

Рисунок 2 Графики функции Zk(x, Ь) для с2 = 0,0125:

На этом рисунке 2 представлены графики функции 2к (х, Ь) для различных моментов времени: при С = 0,1 — ряд 1; при С = 1,0 — ряд 2; при Ь = 2,0 — ряд 3. Здесь приведены данные для одного случая, когда коэффициент с2 = 0,0125. Эти графики демонстрируют в определенной мере эволюцию процесса диапиризма.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Дедеев В.А., Куликов П.К. Происхождение структур земной коры. - Л.: Наука, 1988. - 266с.

2. Полянский О.П., Коробейников С.Н., Бабичев А.В., Ревердатто В.В., Свердлова В.Г. Компьютерное моделирование диапиризма гранитной магмы в земной коре. // Доклады Академии Наук, 2009, том 429, № 1. - С. 101-105.

3. Свалова В.Б. Механико-математическое моделирование формирования и эволюции геологических структур в связи с глубинным мантийным диапиризмом // Мониторинг. Наука и технологии. -М.: 2014, Выпуск № 3. -С. 38-52.

4. Павленкова Н.И. Структура земной коры и верхней мантии и механизм движения глубинного вещества. // Электронный научный журнал «Вестник ОГГГГН РАН», № 4(19), 2001. - 17 с.

5. Lopez David E. Mantle plumes // Tectono-physics. - 1991. - Vol. 187, N 4. - P. 373-384.

6. Nakado Masao, Takeda Yoshitaka. Roles of mantle diapir and ductile lower crust on island-are tectonics // Tectonophysics - 1995. - Vol. 246. - P. 1-3.

7. Nalpas T., Brem J.P. Salt flowered diapirism related to extension at crystalscale // Tectonophysics. -1993. - Vol. 228. - P.3-4.

8. Walcott R.J. Flexural rigidity, thickness, and viscosity of the lithosphere. // Journal of Geophysical Research, 1970, 75.-p. 3941-3954.

9. Ranalli G. Viscosity of the asthenosphere // Nature (Gr.Br.), 1993, Vol 361, 6409, P 231.

10. Рамберг Х. Моделирование деформации в земной коре с применением центрифуги. - М.: «Мир», 1970. - 453 с.

11. 11.Харбух Дж., Бонэм-Картер Г. Моделирование на ЭВМ в геологии. - М.:Мир, 1974. - 319c.

12. Артюшков Е.В. Геодинамика. - М.: «Наука», 1970. - 375 с.

13. Добрецов Н.Л., Кирдяшкин А.Г., Кир-дяшкин А.А. Глубинная геодинамика. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, филиал «Гео», 2003. - 420с.

14. Кирдяшкин А.А., Добрецов Н.Л., Кирдяшкин А.Г., Гладков И.Н., Сурков Н.В. Гидродинамические процессы при подъеме мантийного плюма и условия формирования канала излияния. // Геология и геофизика, 2005, т.46, №9, с. 891-907.

15. Гершуни Г.З. Гидродинамическая неустойчивость. Изотермическое течение. // Соросов-ский образовательный журнал, 1997, № 2. С. 99106.

16. Crimínale W.O. , Jackson T.L., Josin R.D. Theory and computation of hydrodynamic stability. -Cambridge: Cambridge University Press, 2003. -P.453. - ISBN 0 521 63200 5.

17. Drazin P.G. Introduction to Hydrodynamic Stability. - Cambridge: Cambridge University Press, 2002. P. 276. - ISBN 0 521 80427 2.

18. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. - М.: Альянс, 2016. -312 с.

19. Захаров Е.В. Уравнения математической физики. - М.: Academia, 2017. - 400 с.

20. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 256 с.

21. Куралбаев З.К. Модельное исследование влияния локального поднятия мантийных веществ на тектоносферу. // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета, 2005. - № 1(19). - С. 37-49.

DETERMINATION OF NATURAL OSCILLATION FREQUENCIES OF A HOMOGENEOUS VISCOELASTIC PLATE BY THE METHOD OF G. I. PSHENICHNOV

Seitmuratov A.

Doctor of Philosophy, Professor of Korkyt Ata KSU

Mukeyeva G.

doctoral student of KSU named after Korkyt Ata

Nurgaliyeva A.

Master student of KSU named after Korkyt Ata

Abstract

When solving applied problems of oscillation of rectangular planar elements, a wide class of oscillation problems arises related to various boundary value problems: approximate equations of oscillation, various boundary conditions at the edges of a plane element, and initial conditions. In the theory of oscillations, an important point is the determination of the natural oscillations frequencies, the solution of problem-induced oscillations of a plane element, and the study of the propagation of harmonic waves. Depending on the particular types of planar element under consideration, in the general solutions of the three-dimensional problem, the main unknown functions are selected: displacements or deformations at points of a fixed plane of the planar element, in particular, in the median plane of a plate of constant thickness. Displacements and stresses at an arbitrary point of a plane element are expressed in terms of the basic unknown functions, which are determined from the boundary conditions on the surfaces of the plane element. The obtained equations for the basic unknown functions are the general equations of oscillation of a plane element, containing derivatives of functions with respect to coordinates and time of any arbitrarily large order.

Keywords: Displacement, stress, oscillations, frequency oscillations,, viscoelastic plate.

General solutions are given as power series according to flat element thickness. The general solution relates to an equation of hyperbolic type, which describes the oscillatory and wave process in a flat element. When defining a finite number of first members

of sum in series of general equation, we obtain approximate equations of oscillation of one or another plane element.