Аппроксимация вероятностных характеристик модели сети P2P Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

21 декабря 2011 r. 16:21

"Инфокоммуникачионно-управленческие сети. Расчет и оптимизация систем связи"

Аппроксимация вероятностных характеристик модели сети P2P

Для модели одноранговой сети (peer-to-peer, Р2Р-сети) с потоковым трафиком исследована вероятность всеобщей передачи вероятность того, что все пользователи загружают видео поток на скорости, не ниже требуемой для воспроизведения видео с заданным качеством. Получена приближенная формула расчета вероятности всеобщей передачи с помощью нормального (гауссова) распределения, проведено сравнение с формулами, предложенными в предыдущих работах авторов .

Ключевые слова - одноранговая сеть, вероятность всеобщей передачи, приближенная формула.

Адаму Амину,

аспирант кафедры систем телекоммуникаций РУДН

[email protected]

Гайдамака Ю.В.,

доцент кафедры систем телекоммуникаций РУДН, к.ф.-м.н., доцент [email protected]

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 10-07-00487-а).

Введение

Традиционная модель предоставления мультимедийных услуг по IP-сетям является моделью типа клиент-сервер, в которой все пользователи напрямую связаны с единым сервером обслуживания. Основной проблемой этой модели является масштабируемость - для обслуживания растущей популяции пользователей ресурсы сервера должны постоянно увеличиваться. Сети P2P появились недавно как новая парадигма для построения приложений распределенной сети. Технология P2P мотивирует пользователей выступать в роле сервера и клиента: пользователь не только загружает данные для себя, но и отдает загруженные данные другим пользователям сети.

Таким образом, одновременно с потреблением ресурсов сети пользователь сам предоставляет сети новые ресурсы. В этом заключается преимущество модели P2P перед традиционной клиент-серверной моделью, где источником ресурсов является только сервер [1]. На сегодняшний день успешно функционируют такие Р2Р-системы для быстрого распределения больших файлов через Интернет, как BitTorrent, Gnutella, KazaA и другие, а не так давно технология P2P начала использоваться для предоставления мультимедийных услуг. Например, системы потокового видео PPLive, SoftCast, CoolStreaming и другие, созданные для предоставления услуг потокового видео по требованию и видео в режиме реального времени через Интернет, сейчас обслуживают сотни тысяч пользователей одновременно. Большинство видео потоков в этих сетях являются телевизионными каналами со всего мира, поэтому одноранговые сети с потоковым трафиком иногда называют P2PTV сетями [2-4].

В статье приведены результаты анализа модели сети P2PTV, в которой пользователи случайным образом подключаются к сети и уходят из нее, а также переключаются с одного канала на другой, предложены точная и приближенная формула для расчета одного из основных параметров качества обслуживания пользователей - ве-

4

роятности всеобщей передачи, проведен численный эксперимент для оценки точности приближенного метода.

Дискретная модель сети Р2РТУ

Рассмотрим сеть Р2РТУ, в которой находятся пользователи из множества N , |Ы| = .V, причем каждый

пользователь может просматривать один из телевизионных каналов сети. В сети транслируются каналы из множества М , |М| = М, рт - популярность тА/

канала, £ р =1 Под популярностью канала пони-

<и=1 т

маем долю пользователей, просматривающих т-канал, от общего числа пользователей сети. Каналы и пользователи в сети функционируют независимо друг от друга.

В предыдущих работах авторов [2-4] были построены модели такой сети в виде открытой и в виде замкнутой сетей массового обслуживания и получены формулы для расчета одного из показателей качества обслуживания Р2Р-сети - вероятности того, что все пользователи загружают видео поток на скорости не ниже требуемой для воспроизведения (так называемая вероятность всеобщей передачи). Согласно этим моделям х,т - состояние п-пользователя на т-канале:

хт = 1 если п-пользователь просматривает т-канал,

иначе х = 0. Состояние сети описывает матрица

X =(х|Ш) _м # а пространство состояний сети имеет

вид ЛГ = {\:.т_е{0.1). V ,х1т = 1./1 е N|■

Можно заметить, что в матрице X сумма ^ ^ х по п>столбцу соответствует числу пользо-

вателей сети, просматривающих т-канал, когда сеть

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

находится в состоянии X. Множество состояний сети, когда т-канал просматривают ровно к пользователей, имеет вид

Хт(А) = {х€ X :хт = А’}. А' = 0.N. те М .

Тогда маргинальное распределение числа

пользователей, просматривающих т-канал, определяется формулой:

Рт(к)=р{хеХт(к)}= I />(х), к = 0Л.теМ. (1)

В работах [2-6] был выполнен анализ сети с двумя типами пользователей: пользователи с высокой скоростью отдачи данных цн и пользователи с низкой скоростью отдачи //, I/7 <//;’. Обозначим соответствующие подмножества пользователей Ь1* и Г»«Г, где N = Nl,uN'.N',nNl=0 и |М*| = #\ |1М'| = ЛГ'. Для

модели сети, в которой пользователи случайным образом подключаются к сети и уходят из нее, а также переключаются с одного канала на другой, случайные величины (СВ) Л’* и Х'т числа пользователей с высокой (низкой) скоростью отдачи на т-канале принимают значения 0 < Х„ < N,,, 0 < Х‘я < АТ' • Случайные величины

К и К имеют распределение Пуассона с параметрами V* и у1 соответственно, где ук () - среднее число пользователей с высокой (низкой) скоростью отдачи на т-канале. При известных популярностях р каналов величины и ут имеют вид у* - |ицЛ**-/> (.V*)»

' У-м ^ '

г1=иш.\'.л(Лг')- где Р»1(Л"’) и Л.(л") ’ поп>'-

лярности т-канала, когда в сети имеются пользователей с высокой скоростью отдачи.

Пусть .ут - скорость отдачи сервером видео потока т-канала. Видео поток, доступный пользователям, просматривающим т-канал, формируется из потока, отдаваемого сервером, и потоков, отдаваемых всеми пользователями т-канала. Обозначим Ц скорость, необходимую для воспроизведения т-канала с высоким качеством. Для воспроизведения т-канала с высоким качеством каждому пользователю необходимо загружать видео поток из сети со скоростью не меньше Ит .

Считаем, что т-канал находится в состоянии всеобщей передачи (событие Лт), если все пользователи, просматривающие его, получают видео данные т-канала на скорости не ниже /?т. Для сети с двумя типами пользователей событие Ат имеет вид:

Ат = |лш + X1: ■ II1' + Х'т •!/' >(х‘ + Х'„ )«„,}.

0<ХЦ<^, 0йХ',йХ'. (2)

а вероятность пт всеобщей передачи для т-канала сети Р2РТУ определяется формулой [4]

*„=! £ 1(^)-/>(х:)-/'(^1). о)

где 1(Д*) - функция-индикатор события Ат, т.е.

Ц.4и) = |, если событие произошло, и 1(.4ж)в0 в

противном случае.

В [4] также показано, что маргинальные распределения (1) в формуле (3) рассчитываются по следующим формулам:

,4)

Поскольку вычисления по формулам (3) и (4) являются весьма трудоемкими, то задача состоит в нахождении эффективного приближенного метода для оценки вероятности 7Гт.

Аппроксимация характеристик дискретной модели сети Р2РТУ нормальным законом

Пусть К = _ отношение числа пользовате-

лей с высокой скоростью отдачи в сети к числу пользователей с низкой скоростью отдачи; ~ ~и -

" "'-К

отношение разницы между скоростью воспроизведения канала и скоростью отдачи пользователя с низкой скоростью отдачи к разнице между скоростью отдачи пользователя с высокой скоростью отдачи и скоростью воспроизведения канала; £ =.

-Д.

- отно-

шение скоростью отдачи сервера к разнице между скоростью отдачи пользователя с высокой скоростью отдачи и скоростью воспроизведения канала.

Теорема 1. Вероятность п состояния всеобщей передачи т-канала в сети Р2РТУ с бесконечным числом пользователей аппроксимируется нормальным законом N (о.еп, +£,;), т е.

ж,п = Л {(-О) -* ф

(5)

- стандартное нормальное

распределение и

1- <6) Доказательство. Воспользуемся центральной предельной теоремой в условиях Линденберга-Леви [7]. Нормируем случайные величины Д'* и V1 , которые распределены по закону Пуассона (4), следующим образом:

г. =

Х'-гі

[7]

№ “ &

Тогда СВ 2'1 и имеют стандартное нормальное распределение, т е. _ Л’(0. |) и 2'т ~ Л'(<). |) - Из (2) с учетом обозначений для ет и £п событие Ат определяется следующим образом:

л. = к+ху+ху > (дг;+х'Х }=

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА Литература

1. Setton E., Girod В. Peer-to-Peer Video Streaming // Springer. - 2007. - 150 p.

2. Адаму A., Гайдамака Ю.В., СамуйловА.К. Анализ производительности одной схемы многоканальной передачи потоковых данных в одноранговых сетях // Труды 4-й отраслевой научной конференции-форума «Технологии информационного общества» 5-7 апреля 2010 г., Москва, МТУСИ - T-Comm - Телекоммуникации и Транспорт. 2010. - № - C. 14-18.

3. Адаму А., Гайдамака Ю.В., Самуйлов А.К. Построение и анализ модели воспроизведения каналов вещательного телевидения в P2P сети // «Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика».» - М.: Изд-eo РУДН. -2010. - в(1).-С47-53.

4. Adamu A., Gaidamaka Yu., Samuylov A. Analytical Modeling of P2PTV Network // Proc. of the 2-d International Con-

gress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems (IEEE ICUMT 2010), Oct. 18-20, 2010. - Moscow, Russia.-2010. Pp. 1115-1120.

5. Kumar R., Yong Liu Y., Ross K. Stochastic Fluid Theory for P2P Streaming Systems // In Proc. of the 26th Annual IEEE Conf. on Computer and Communications (IEEE INFOCOM 2007), 6-12 May 2007. - Anchorage, Alaska, USA. -Pp. 919-927.

6. Wu D., Liu Y., Ross K.W. Queuing Network Models for Multi-Channel Live Streaming Systems // IEEE Infocom, Rio de Janeiro, April 2009. Pp. 73-81.

7. Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Том I. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики // Изд. 2-е, дополненное и исправленное. - М.: МЦНМО. - 2011. -486 с.

APPROXIMATION OF PROBABILISTIC CHARACTERISTICS FOR THE P2P STREAMING NETWORK MODEL

Adamu Aminu,

PhD student, Telecommunication Systems Department, Peoples' Friendship University of Russia, [email protected]

Gaidamaka Yuliya V,

An associate professor. Telecommunication Systems Department, Peoples' Friendship University of Russia,

[email protected]

Abstract

Probability of universal streaming for the model of P2P streaming network was studied, which is the probability that all users in network are receiving video stream with the rate not below the defined video playback rate with a specified quality. An approximation formula for the calculation of universal streaming probability was obtained using normal (Gaussian) distribution; a comparison with the other formulas proposed by the authors of this work in their previous papers was conducted.

Keywords P2P network, universal streaming, approximation formula.