Аппроксимация сплайнами экспериментальных данных и аналитических зависимостей упрочнения металла при пластической деформации Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вывод: разработанное устройство позволяет проводить упрочняющую, отделочную обработку конусов при помощи ППД с оптимально изменяющимся усилием. Это позволяет обеспечить высокое качество обработки.

Библиографический список

1. Одинцов Л.Г. Упрочнение и отделка деталей поверхностным пластическим деформированием. Справочник. М.: Машиностроение, 1987. 150 с.

2. Одинцов Л.Г. Упрочнение и отделка деталей поверхностным пластическим деформированием. Справочник. М.: Машиностроение, 1987. С. 153-175.

3. Косилова А.Г. Справочник технолога-машиностроителя. 411 с.

УДК 621.771

В.Г. Дорогобид, В.М. Москвин

ФГБОУВПО «МГТУ»

АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ упрочнения металла ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Сопротивление металла пластической деформации является наиболее важной величиной, от которой зависит точность расчёта силовых параметров процессов обработки металлов давлением. Кроме того, например, при расчёте напряжённо-деформированного состояния рабочего валка при прокатке методом граничных или конечных элементов требуется иметь эпюры напряжений на контакте металла с валком. Эпюры можно получить интегрированием дифференциального уравнения прокатки, в которое входят как сопротивление металла пластической деформации, так и скорость его изменения. В случае изотропной среды сопротивление деформации характеризуется одной физической величиной, в качестве которой обычно выбирают сопротивление деформации при одноосном растяжении или сжатии <т . Если металл испытывают на кручение и определяют предел текучести на сдвиг, то его обычно также приводят к эквивалентной величине <т .

Величина < зависит от степени деформации (8 =- или

К

К гт

8 = 1п —), скорости деформации и и температуры Т. Обычно опыты

К

на пластометре проводят при постоянной температуре и скорости деформации [1]. В результате экспериментов получается таблица значений

<Т 8 , и} ,Т )т = соп« ■

Аналитические зависимости <УТ (8, и, Т)

Автор Зюзин В.И. Андреюк Л.В.

Формула для <т т т\ <обА1А2А3е 8 и ^б""(108)Ь (>1000)С

Численные значения параметров для стали 45 <об А1А2 А3 = 1330, щ = 0,0025, т2 = 0,252, щ = 0,143 Saoб = 87,4, а = 0,143, Ь = 0,173, - с = 3,05

Авторы Шварцбарт Я.С. и Зуев И.Г.

Формула для <т • П1Т ^ , 8 Ч , • п1Т .пуТ . < в + ВТ8- ехр(- ) - <0ТВ -<уТв ) * 0 Т • 8 \т 8тт 8 Т Х1Т В * (1 ехр( )) •П 82Т 8Х * В 11 Л2Т Примечания. 1. Точка над 8 означает скорость деформации. 2. Индекс Т указывает на то, что коэффициенты зависят от температуры.

Численные значения параметров для стали марки 45 при Т = 1000°С < = 40, Б = 500,8^ = 0,31,8^ = 1,44, < = 56,п1 = 0,161, п = 0,155, пР = 0,081, пР = 0,03 пу ' 81 ^ 82

Совокупность таких таблиц при различных значениях Т образует базу экспериментального материала. В литературе предложены различные приёмы и методы использования экспериментальных данных для

определения сопротивления пластической деформации. Один из способов - использование графических зависимостей. Обычно экспериментальные данные представляют в виде зависимостей <УТ (б, и, Т)и=щ т=т ,

где аргументом является только деформация или <т (£, и, Т)Е т=т

где аргументом является только скорость деформации, которые группируются на отдельных графиках [1, 2]. На основе этих графиков в работе [1] введены в рассмотрение для различных марок сталей термомеханические коэффициенты ке (о), к{ (Т), ки (и) (соответственно деформационные, температурные и скоростные), которые также представлены в виде графиков и позволяют вычислить сопротивление металла пластической деформации.

<Т (Ои, Т) = <об ■ ке (о) ■ ки (и) ■ к (ТI (!)

где <об - базовая величина сопротивления пластической деформации металла при £= 10%, Т = 1000 °С, и = 10 1/с [3].

Для удобства использования термомеханических коэффициентов при выполнении расчётов на ЭВМ они были аппроксимированы В.И. Зюзиным [4] аналитическими зависимостями: к (о), к (и) — степенными, а kt (Т) - экспоненциальной. Конкретные формулы приведены в

таблице. Примерно также получены формулы для <УТ (б,и, Т) Л.В. Ан-

дреюком [5]. Они также приведены в таблице. Графическое представление экспериментальных данных по упрочнению сталей при пластической деформации и аппроксимация их аналитическими зависимостями была выполнена и другими авторами.

Другой - идентификационный подход к построению аналитической зависимости < (£, и, Т) предложил Я.С. Шварцбарт [6]. В его основе лежит дифференциальное уравнение для <т, которое учитывает

физические процессы, протекающие внутри металла при его пластической деформации - упрочнение, динамическое разупрочнение и рекристаллизацию. В результате решения этого дифференциального уравнения получена формула для вычисления <. В формулу вошли параметры, которые следует определять по результатам эксперимента. После уточ-

нения формулы И.Г. Зуевым она приобрела окончательный вид, представленный в таблице.

Формулу Шварцбарта-Зуева можно использовать только при фиксированной температуре T = T(i=1+n), так как только для этих значений температур Ti имеются коэффициенты, входящие в формулу. Для других температур T находятся ближайшие значения T1 ,T2 , для которых выполняется условие Tj<T<T2. Сопротивление деформации находится по формуле

T -T) /(T -T) (T-T) /(T -T)

ат (е, u, T) = стг (е, u, T) 2 (е, u, T2 У 1 . (2)

Для работы с данными в виде таблиц или графиков удобным математическим инструментом является сплайн. Он позволяет аппроксимировать таблично заданные функции одной или нескольких переменных. Для построения и дальнейшей работы со сплайнами воспользуемся функциями из пакета Spline Toolbox системы компьютерной математики MATLAB [7].

Однако информации, которая содержится в графиках <JT(е,u,T)u г=г и <JT(е,u,T)e r=r [1, 2] недостаточно, чтобы

построить полноценный сплайн. Поэтому в качестве исходных экспериментальных данных примем графики для термомеханических коэффициентов.

Введём массив деформаций e(i)i=1^n1, скоростей деформаций u(j)j=i^n2, температур T(k)k=i+n3 и соответствующие им значения согласно графикам KJi)^^, Ku(j)j=i^2 K(k)k=i^3. Количество точек nx, пъ щ выбрано таким, чтобы одномерные сплайны, построенные по приведённым парам массивов, точно воспроизводили графики термомеханических коэффициентов.

Сформируем трёхмерный массив

ЯаМЩ,], к) = ат (1,], к) = кЕ (I) ■ ки (]) ■ к( (к). (3)

В трёхмерном пространстве (е, и, Т) массивы Е=е(1)=\^п\, и=иф}-=1ъа, Т=1(к)к=\^п3 являются координатами узлов трёхмерной сетки, а элементы трёхмерного массива - значениями предела текучести в них. По найденным одномерным и трёхмерным массивам строим трёхмерный кубический сплайн ЕиТ=^сар1({Е,и.Т},810МА). Он позволяет определить аТ(е,и,Т) при любых значениях 0<е<етах, 0<и<итах, ТтПп<Т<Ттахс помощью функции/та1\ аТ= Jnуа1(ЕПТ,[е,и,Т]). В системе МЛТЬЛБ во всех расчётах сплайн имеет ту же область применения, что и функции заданные в аналитическом виде.

На рис. 1 и 2 для стали марки 45 приведены результаты расчётов (TT(s,u,T)u=05;5;50;T=iooo по сплайну EUT (кривая 2), по формуле В.И. Зюзина (кривая 3), по формуле Л.В. Андреюка (кривая 4), по формуле Я.С. Шварцбарта (кривая 5) и экспериментальная кривая 1. Из приведенных графиков видно, что термомеханические коэффициенты (а именно по ним был построен сплайн) хорошо аппроксимируют экспериментальные данные. Аналитическая формула В.И. Зюзина даёт отклонение от опытных данных до 8 %. Результаты, полученные по формуле Л.В. Андреюка, несопоставимы с результатами других авторов. Сопротивление деформации, которое даёт формула Шварцбарта-Зуева, приближается к экспериментальным данным по мере роста скорости h степени деформации.

Т=1000 °С,и=0.5 с"1

100

90

га 30

yf 70

60

50 4«

5 10 15 20 25 30 35 40

140 130 120 110

га

S 100

80 70

60-!-!-1-■-'-■-

5 10 15 20 25 30 35

8%

Рис. 1. Зависимость ат от степени деформации при фиксированных и,Т (и=0.5,5с1)

Трёхмерный интерполяционный сплайн позволяет строить графики и сплайны для любых одномерных зависимостей (кривые 2 на рис. 1 и 2), двумерные поверхности (двумерная поверхность оТ(е,и,1000), постро-

Т=1000 "C,U=5 с"'

енная по сплайну EUT, приведена на рис. 3), а также экстраполировать результаты экспериментов. В частности, можно определить значение оТ при s = 0 и u = 0.

Покажем применение сплайна для расчёта усилий при горячей прокатке листа. Примем следующие условия прокатки: сталь марки 45, h0 = 36 мм, hi = 20 мм, скорость прокатки v = 3 м/с, R = 590 мм, температура прокатки 990<T<1010 ° C.

Т=1000 uC,u=5D с-'

190 18Û 170 160 га 150 I 140 t!~ 130 120 110 100 90

_I-1-1-1-1-1-

5 10 15 20 25 30 35 40 Рис. 2. Зависимость слот степени деформации при фиксированных u,T(u=50 с"1 )

Т= 1DDD °С

200 -v.

150 ч

r4ZE

100 .

п=

50

О 3 60

Рис. 3. Пространственный график ст-в-и(изотермическая поверхность)

Сила прокатки определяется по среднему контактному давлению рср [2]. Формулы для определения рср содержат величину Офср=1.15оТср.

Средняя величина сопротивления металла пластической деформации (предела текучести) определяется по кривым упрочнения стали как значение функции нескольких переменных при средних в очаге деформации значениях её аргументов - scp, иср, Тср.

При заданных условиях прокатки величины s, u, Т являются известными функциями координаты (-L < х < 0), где L - длина очага деформации. Поэтому аТ является сложной функцией координаты x. Это позволяет по заданному вектору X, координаты которого являются узлами равномерной одномерной сетки для отрезка [—L, 0], с помощью трёхмерного сплайна EUT построить вектор X с координатами Оф(х(1)) и одномерного сплайна XF=scapi(X, X). Графики функций (Тф(х), построенные по сплайну XF (кривая 1) и по формуле Шварцбарта-Зуева (кривая 2), приведены на рис. 4.

Определим среднюю величину оТ ср в очаге деформации так:

—L

атсР = \ат (£( x),и ( x), T ( x))dx /L,

(4)

где Ь - длина дуги деформации. Проинтегрируем сплайн Х¥ по области его определения х(1) е [-Ь 0]. Получим

S = fn int(EF );

pcp = ( fnval( S, X (end )) — fnval{ S, X (1)) / L = 131,06

Н

мм

. (5)

160 160 140 120 И 00 80 60 40

-100 -80 -60 -40 -20 0

Рис. 4. Изменение величины Стф по длине дуги деформации

ь*2 '

1

i А

i \

f L______

! L.mm

0

Аналогично, построив одномерный сплайн для функции, заданной линией 2 на рис. 4, и проинтегрировав его, получим рср = 142,71 Н/мм2.

Для построения эпюр нормальных и касательных напряжений в очаге деформации необходимо проинтегрировать дифференциальное

уравнение прокатки [2]. В это уравнение входит производная _ф -

йх

скорость изменения сопротивления пластической деформации. Она определяется дифференцированием сплайна а именно В£=/та1([^ег(£Г,1)Х), где - массив значений производной в точках х(1) е [-Ь, 0]. Аналогично получена производная для функции, которая задана графиком 2 на рис. 4. Графики производных приведены на рис. 5.

ю о -10

N

Е

I -20

■9

ь -30 -40 -50

1 1 1 1

2 л

1

1_,мм

-100 -80 -60 -40 -20 0

Рис. 5. Скорость изменения аф(х) в очаге деформациии

Библиографический список

1. Зюзин В.И., Бровман М.Я., Мельников А.Ф. Сопротивление деформации сталей при горячей прокатке. М.: Металлургия, 1969. 270 с.

2. Теория прокатки: Справочник / А.И. Целиков, А.Д. Томлёнов, В.И. Зюзин [и др.]. М.: Металлургия, 1982. 335 с.

3. Третьяков А.В., Зюзин В.И. Механические свойства металлов и сплавов при обработке давлением. М.: Металлургия, 1973. 224 с.

4. Зюзин В.И. // Труды ВНИИметмаш, Сб. № 8. М.: ВНИИметмаш, 1963. С. 74-89.

5. Андреюк Л.А., Тюленев Г.Г. // Сталь. 1972. № 9. С. 825-828.

6. Жучин В.Н., Никитин Г.С., Шварцбарт Я.С. [и др.]. Расчёт усилий при непрерывной горячей прокатке. М.: Металлургия, 1982. 200 с.

7. Ануфриев И., Смирнов А., Смирнова Е. МЛТЬЛБ 7. СПб: БХВ-Петербург, 2005. 1080 с.