CC BY
23
Malikov Andrey Andreevich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, andrej-malikov@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Sidorkin Andrey Victrovich, candidate of technical sciences, docent, alan-a@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Razuvaev Mikhail Lvovich, teacher, alan-a@,mail. ru, Russia, Tula, N. Demidov 's Tula State Engineering College,
Smolyaninov Nikita Sergeevich, undergraduate, smuffus19991@,gmail. com, Russia, Tula State University
УДК 621.914.2
АППРОКСИМАЦИЯ ПРОФИЛЯ ЗУБА ДИСКОВОЙ ЗУБОРЕЗНОЙ МОДУЛЬНОЙ ФРЕЗЫ СПЛАЙНАМИ БЕЗЬЕ
Р.М. Грубка, А.Н. Михайлов, И.А. Петряева
Приведены зависимости аппроксимации координат точек профиля зуба дисковой модульной фрезы сплайнами Безье пятого порядка, которые могут быть использованы при решении пространственных технологических задач и анализе процессов, происходящих во время формообразования зубчатых венцов, в том числе и с пространственными геометриями боковой поверхности зубьев. На примере стандартного инструмента оценена точность выполнения аппроксимации геометрии профиля зуба дисковой модульной фрезы сплайном Безье пятого порядка.
Ключевые слова: дисковая модульная фреза, аппроксимация, сплайн Безье, режущая кромка, цилиндрическое зубчатое колесо, система уравнений.
В настоящее время довольно актуальным направлением усовершенствования машин и механизмов является применение в их конструкции цилиндрических зубчатых передач с пространственно-модифицированными зубьями. Различные эксплуатационные и производственные факторы определяют многообразие возможных вариантов пространственной модификации зубьев. При этом процессы, происходящие во время формообразования зубчатых венцов и во время эксплуатации изделий с зубчатыми венцами со сложной геометрией боковых поверхностей зубьев, обуславливают необходимость совершенствовать существующие и разрабатывать новые методики их математического описания.
262
Сложность геометрии самих изделий, геометрии режущего инструмента, а также кинематики относительных движений инструмента и заготовки затрудняют анализ процессов зубообработки рассматриваемых зубчатых венцов. В процессе обработки на зуборезный инструмент действуют значительные и неравномерно распределенные по режущей кромке нагрузки. Анализ закономерностей изменения параметров срезаемого слоя и силового нагружения режущих кромок инструментов, особенно при решении пространственных технологических задач на различных этапах технологического процесса, может способствовать интенсификации режимов резания, выравниванию нагрузки, повышению качества обработки зубчатых венцов, управлению параметрами поверхностного слоя обрабатываемых поверхностей, совершенствованию геометрии режущей части инструмента, совершенствованию технологического оборудования и процессов формообразования изделий с зубчатыми венцами.
Поэтому актуальной является задача детального анализа закономерностей процессов формообразования зубчатых венцов со сложной геометрией, определения зависимостей для описания геометрии рабочих поверхностей зубьев и режущих инструментов с использованием возможностей современных компьютерных технологий.
В настоящее время достаточно хорошо разработаны способы задания геометрии профиля инструмента, в том числе и зуборезного, такого как дисковая модульная фреза. Координатным способом профиль зуба дисковой модульной фрезы принято задавать в виде радиусов окружностей в сечении поверхностью параллельной торцовой поверхности фрезы и расстояний до этих сечений от оси симметрии фрезы или в виде таблицы значений координат [1, 2]. То есть задание профиля координатами выполняется дискретно. Такой способ применяется при построении двухмерных изображений, при этом применение автоматических расчетов с описанием координат точек принадлежащих режущей кромке инструмента весьма затруднено, поскольку результаты расчетов могут быть получены для ограниченного количества таких точек.
Второй из наиболее известных способов задания геометрии профиля зуборезного инструмента - матрично-векторный, позволяет задавать множество точек принадлежащих режущей кромке инструмента. В этом случае геометрия режущей части инструмента задается в виде функций координат точек, что позволяет автоматизировать расчеты и получать непрерывную последовательность значений координат точек принадлежащих режущей кромке инструмента [3, 4, 5]. Однако в случае сложной геометрии режущей кромки, характерной для зуборезного инструмента, когда кромка состоит из нескольких участков с различной геометрией (сопряжение прямолинейных участков, дуг окружностей и эвольвентного участка) каждый отдельный участок описывается собственной системой уравнений. Это в свою очередь ведет к увеличению количества расчетных модулей и
263
выполняемых операций в соответствии с количеством участков на режущей кромке. Такое рассмотрение участков в трехмерных постановках технологических задач не позволяет в одном расчетном модуле или подпрограмме рассчитать некоторые величины, например параметры среза, в местах сопряжения двух соседних участков режущей кромки фрезы.
В прогрессивных трехмерных постановках технологических задач при анализе взаимодействия режущего инструмента со сложной геометрической формой профиля и заготовки следует рассматривать аналитически описанные гладкие, дважды и более дифференцируемые кривые, с минимальным количеством управляемых элементов.
Известен универсальный способ описания геометрии профиля зуба цилиндрического зубчатого колеса с применением кривых Безье [6], которые широко используются в системах автоматизированного проектирования благодаря ряду их свойств [7, 8].
Таким образом, сложность геометрии режущей кромки дисковой модульной фрезы, состоящей из сопряжений прямолинейного участка (или нескольких участков), дуг окружностей и эвольвентного участка не позволяет в полной мере использовать автоматические методы расчета таких параметров как параметры срезаемого слоя ввиду ограниченности существующих методов описания геометрии режущей кромки инструмента.
Геометрия режущей кромки дисковой модульной фрезы зависит от величины модуля и количества зубьев обрабатываемого зубчатого колеса. В нормативно-технической документации на дисковые модульные фрезы приводятся три варианта геометрии режущей кромки [2]. В данной статье рассмотрим геометрию профиля зуба дисковой модульной фрезы для числа зубьев обрабатываемого колеса от 80 шт. (рис. 1).
Рис. 1. Профиль зуба дисковой зуборезной модульной фрезы при т>80
Профиль зуба дисковой модульной фрезы, предназначенной для обработки зубчатых колес с числом зубьев от 80 шт. состоит из прямолинейного участка, дуги окружности и эвольвентного участка (рис. 1.). Гео-
264
метрия участков задается в нормативно-технической документации таблично - координатами узловых точек, для участка дуги окружности так же задаются координаты центра окружности [2].
Участки профиля зуба фрезы можно аппроксимировать с высокой степенью точности сплайнами Безье. Прямолинейный участок профиля зуба можно описать сплайном Безье первого порядка для чего необходимо задать координаты двух точек, определяющих концы рассматриваемого отрезка. Для аппроксимации дуги окружности и эвольвентного участка необходимо использовать сплайны Безье третьего порядка, и в этом случае необходимо задаваться 4 точками на каждой кривой. Исходя из геометрии рассматриваемого профиля зуба дисковой модульной фрезы для его аппроксимации сплайн Безье не менее чем 5-го порядка.
Значение координат точек, принадлежащих сплайну Безье произвольного порядка, определяется зависимостью вида [7, 8]
N ЛГ
р (1)= I (1)-Р, (1)
г=0
где X - параметр сплайна Безье, 0 < X < 1; N - степень полинома; Рг - координаты опорных точек, мм; (1) - аппроксимирующие многочлены Бернштейна
- N(1) = СN -А? -(1 -1)*, (2)
где сN - биномиальные коэффициенты
С* = . (3)
? И-^ - г)! 4 '
Найдя биноминальные коэффициенты (3) и аппроксимирующие многочлены Бернштейна (2) при степени полинома N=5 и подставив в зависимость (1), получим уравнение для определения координат точек, принадлежащих сплайну Безье пятого порядка,
Р(1) = Р0-(1-1)5 + 5Р1 -1-(1 -1)4 + 10Р2-12-(1-1)3 + + 10Р3 -13 -(1 -1)2 + 5Р4 -14 -(1 -1) + Р5 -15.
Подставив в зависимость (4) координаты опорных точек Р, получим систему уравнений для определения координат точек профиля зуба дисковой модульной фрезы
X(1) = Хр -(1-1)5 + 5Хр -1-(1 -1)4 + 10Хр -12 -(1-1)3 + + 10Хр • 13 -(1 -1)2 + 5Хр -14 -(1 -1) + Хр -15;
У(1) = УРо -(1-1)5 + 5Ур -1-(1 -1)4 + 10Ур -12-(1-1)3 + + 10УР -13-(1-1)2 + 5УР -14-(1 -1) + УР -15.
В систему уравнений (5) входят 9 неизвестных: это параметр сплайна X и координаты опорных точек Хр1 - Хр4, Ур1 - Ур4. При решении системы задаются координаты точек, принадлежащих профилю зуба Х(Х) и У(к). Записав уравнения системы (5) для координат 8 точек, принадлежащих профилю зуба Х(к) и У(к) дисковой модульной фрезы, в том числе и для координат точек начала и конца кривой профиля Хр0 и Хр5, Ур0 и Ур5, получим систему уравнений для определения неизвестных параметров и величин, входящих в систему уравнений (5):
Х(1о ) = Хр • (1 - 1о )5 + 5Хр • 1о • (1 -1о )4 +1 оХр2 • 1о2 • (1 -1о )3 + + 1оХрз • 1о3 • (1 -1о )2 + 5Хр4 • 1о4 • (1 -1о)+Хр5 • 1о5; У (1о ) = Уро • (1 -1о )5 + 5Ур • 1о • (1 -1о )4 +1 оУр2 • 1о2 • (1 -1о )3 +
+1оУрз V-(1 -1о)2 + 5Ур4 V -(1 -1о)+Ур5 V; (6)
............................................ >
Х(17) = Хр -(1 -17)5 + 5Хр -17 -(1 -17)4 + 1оХр -172 -(1 -17)3 + + 1оХр -173 -(1 -17)2 + 5Хр -174 -(1 -17) + Хр • 175;
У(17) = Уро-(1 -17)5 + 5Ур1 ^7-(1 -17)4 + 1оУр2-172 • (1 -17)3 + + 1оУр -173-(1 -17)2 + 5Ур -174 -(1 -17) + Ур -175.
Выполним расчеты по определению параметров сплайна, который аппроксимирует профиль зуба дисковой модульной фрезы предназначенной для обработки зубчатого венца с числом зубьев 8о шт. и модулем 3 мм. В расчетах будем использовать координаты точек, принадлежащих левому профилю режущего инструмента, которые приведены в табл. 1 [2]. Точки о и 1 принадлежат отрезку, точки с 1 по 4 - участку дуги профиля, точки с 4 по 27 - эвольвентному участку.
В нормативно-технической документации дуга задается центром и двумя точками [2]. Для аппроксимации сплайном участка дуги необходимо определить координаты еще двух точек, принадлежащих ей. Определим недостающие координаты точек, используя уравнение окружности
где хц и уц - координаты центра участка дуги профиля зуба, мм; г - радиус дуги участка профиля, мм.
Решив уравнение (8), получим два корня:
Один из корней позволит определить координаты точек принадлежащих участку дуги профиля зуба дисковой модульной фрезы. Подставляя значения хц, уц и хВ, с учетом того, что в нормативно-технической докумен-
Л,2 =
2
тации приведены безразмерные значения координат точек, отнесенные к модулю и увеличенные на 100, определим соответствующую им координату у: т. 2 при х = -0,575 мм, у = 0,097 мм; т. 3 при х = -1,095 мм, у = 0,44 мм. Результаты расчетов дополнительных координат точек, принадлежащих участку дуги, заносим в табл.1.
Таблица 1
Координаты точек на профиле зуба дисковой модульной фрезы при числе зубьев нарезаемого колеса от 80 шт. модуль 3 мм
Табличные зна-
№ п/п чения координат точек на профиле Значения координат точек сплайна
Х, мм У, мм X Х(Х), мм АХ(Х), % У(Х), мм АУ(Х), %
0 0 0 - - - - -
1 -0,055 0 - - - - -
2 -0,575 0,097 0,10856 -0,575 0,011 0,097 0,026
3 -1,095 0,440 0,28668 -1,095 3,38х10-3 0,440 8,55х10-3
4 -1,441 1,031 0,53051 -1,441 1,75х10-3 1,031 6,87х10-3
5 -1,489 1,191 0,57027 -1,495 0,393 1,191 5,08х10-3
6 -1,582 1,489 0,62727 -1,589 0,456 1,489 6,74х10-3
7 -1,677 1,788 0,67056 -1,683 0,311 1,788 8,49х10-3
8 -1,776 2,087 0,70548 -1,779 0,121 2,087 7,75х10-3
9 -1,877 2,385 0,73491 -1,878 2,39х10-3 2,385 5,57х10-3
10 -1,982 2,684 0,76047 -1,98 -0,099 2,684 8,01х10-3
11 -2,089 2,982 0,78312 -2,086 -0,161 2,982 4,68х10-3
12 -2,199 3,28 0,80351 -2,195 -0,169 3,280 6,56х10-3
13 -2,311 3,578 0,82211 -2,308 -0,158 3,578 8,12х10-3
14 -2,368 3,727 0,83083 -2,365 -0,144 3,727 6,90х10-3
15 -2,485 4,024 0,8473 -2,482 -0,13 4,025 5,19х10-3
16 -2,604 4,322 0,86264 -2,602 -0,094 4,322 8,40х10-3
17 -2,725 4,619 0,877 -2,724 -0,048 4,620 6,04х10-3
18 -2,849 4,917 0,89053 -2,849 6,36х10-3 4,917 8,67х10-3
19 -2,974 5,214 0,90331 -2,977 0,073 5,214 7,02х10-3
20 -3,105 5,510 0,91545 -3,107 0,048 5,511 8,99х10-3
21 -3,236 5,807 0,927 -3,239 0,087 5,807 6,55х10-3
22 -3,370 6,104 0,93804 -3,373 0,101 6,104 7,72х10-3
23 -3,506 6,400 0,9486 -3,510 0,112 6,400 5,55х10-3
24 -3,644 6,696 0,95875 -3,648 0,111 6,697 8,55х10-3
25 -3,928 7,288 0,9779 -3,931 0,086 7,288 7,07х10-3
26 -4,073 7,583 0,98696 -4,075 0,057 7,583 5,29х10-3
27 -4,295 8,026 1,00002 -4,296 8,11х10-3 8,026 8,66х10-3
Подставив в левую часть уравнений системы (6) вместо функций Х(к) и У(к) значения координат точек участков профиля дисковой модульной фрезы с номерами о, 1, 2, 3, 4, 9, 18 и 27, получим систему для определения параметров сплайна Безье пятого порядка, описывающего геометрию кривой профиля зуба рассматриваемой дисковой модульной фрезы. Данную систему можно решить численными методами в математическом пакете МаШСЛО. В результате расчета получим неизвестные, входящие в систему уравнений (6): координаты опорных точек в мм - Хр1 =-1,3298, Хр2=-1,2о41, Хр3=-1,7856, Хр4=-о,81о6, Ур=-о,о2о2, Ур2=1,1725, Ур3=о,4725, Ур4=1,о743; параметр сплайна Безье - 1о=о, 11=8,49428хЮ"3, 12=о,Ю854, 13=о,28666, 14=о,53о49, 15=о,7349, Х6=о,89о51,17=1
Подставив полученные в результате решения системы уравнений (6) координаты опорных точек в систему уравнений (5), получим зависимости для определения координат точек, описывающих геометрию профиля зуба дисковой модульной фрезы, предназначенной для обработки цилиндрических зубчатых колес с числом зубьев от 8о шт. и модулем 3 мм:
Х(1) = -6,6491 • (1 -1)4 - 12,о4112 • (1 -1)3 -
-17,85613 -(1-1)2 - 4,о5314 -(1 -1)- 4,29515;
У (1)= -о,Ю11 • (1 -1)4 +11,72512 • (1 -1)3 +
+4,72513 • (1 -1)2 + 5,37214 • (1 -1) + 8,о2615. ^
Выполнив расчеты по зависимостям (7), изменяя параметр сплайна 1 от о до 1 с шагом о,1, получим координаты точек, принадлежащих сплайну, который описывает профиль зуба дисковой модульной фрезы (табл. 2). По результатам расчета строим сплайн в декартовой системе координат (рис. 2).
Таблица 2
Результаты расчетов координат точек сплайна
№ п/п 1 2 3 4 5 6
1 о о,1 о,2 о,3 о,4 о,5
Х(1), мм о -о,539 -о,889 -1,12 -1,278 -1,4о3
У(1), мм о о,о83 о,265 о,467 о,674 о,93
№ п/п 7 8 9 1о 11
1 о,6 о,7 о,8 о,9 1
Х(1), мм -1,541 -1,762 -2,175 -2,943 -4,295
У(1), мм 1,334 2,о36 3,227 5,136 8,о26
Из рис. 2 видно, что полученные параметры сплайна позволяют достаточно точно аппроксимировать профиль зуба дисковой модульной фрезы сплайном Безье 5-го порядка. Выполним оценку точности аппрок-
симации профиля зуба фрезы сплайном, для чего определим параметр сплайна 1 , соответствующий заданному табличному значению координаты У, подставив во второе уравнение системы (5) соответствующее значение координаты У:
У (1) = ур0 - (1 -1)5 + 5Ур -1 - (1 -1)4 + 10УР2 -12 - (1 -1)
4
12
\3
+
2 ' ' (8) + 10УР3 -13 -(1 -1)2 + 5Ур4 -14 -(1 -1)+ Ур5 -15.
Уравнение (8) можно решить численными методами в математическом пакете МаШСЛО. Для этого составим программный блок в соответствии с блок-схемой, представленной на рис. 3.
У, мм 7
ч
-1 0
X, мм
Рис. 2. Сплайн, описывающий профиль зуба дисковой
модульной фрезы
0
4
3
2
Рис. 3. Блок-схема программного модуля для решения
уравнения (8)
269
Найденный из уравнения (8) параметр сплайна 1 подставим в уравнения системы (5) и определим соответствующие значения координат Х(1) и У(1) точки сплайна. Выполним расчеты для всех координат У точек заданных в табл. 1, по зависимостям (11) и (5). Полученные значения параметра сплайна 1 и координат запишем в табл. 1. Сравним полученное значение координат Х(1) и У(1) с табличными стандартными значениями координат. Для рассчитанных значений координат точек сплайна определим относительную погрешность.
В работе приведены основные зависимости, позволяющие выполнить аппроксимацию геометрии профиля зуба дисковой зуборезной модульной фрезы сплайном Безье 5-го порядка. Проведены расчеты для дисковой модульной фрезы, предназначенной для обработки цилиндрических зубчатых колес с числом зубьев от 8о шт. с модулем 3 мм. Проверка точности выполнения аппроксимации позволила установить, что она выполнена с высокой точностью, так как относительная погрешность в определении координаты Х(1) не превышает о,456 %, а координаты У(1) - не более о,о26 %.
Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при решении пространственных технологических задач при анализе процессов, происходящих во время формообразования зубчатых венцов, в том числе и с пространственными геометриями боковой поверхности зубьев.
Список литературы
1. Романов В.Ф. Расчет зуборезных инструментов. М.: Машиностроение, 1969. 251 с.
2. ОСТ 2И-41-14-87. Фрезы дисковые зуборезные модульные. Технические условия. 21 с.
3. Равська Н.С., Охрiменко О. А. Визначення товщини зрiзу при зу-бофрезеруванш черв'ячними фрезами зубчатих колю // Надшшсть шстру-менту та оптимiзацiя технолопчних систем. Збiрник наукових праць. Кра-маторськ, 2о11. Вип. №28, С. 3 - 12.
4. Андросов С.П. Уравнение режущих кромок червячной модульной фрезы // Приволжский научный вестник. 2о13. 2(18). С. 4 - 7.
5. Отт О.С. Формирование эвольвентных поверхностей деталей дисковым инструментом // Вестник МГТУ Станкин. 2о1о. №3. С. 67 - 71.
6. Воронцов Б.С. Математическое обеспечение интерактивного синтеза передач зацеплением // Сборник научных трудов "Вестник НТУ "ХПИ" : Проблеми мехашчного приводу". 2о1о. №27. С. 49 - 54.
7. Роджерс, Д., Адамс, Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 2оо1. 6о4 с.
8. Белов В.В. Компьютерная реализация решения научно-технических и образовательных задач: учеб. пособие / В.В. Белов, И.В. Образцов, В.К. Иванов, Е.Н. Коноплев // Тверь: ТвГТУ, 2015. 108 с. [Электронный ресурс]. URL: https://www.sunspire.ru/articles/ (дата обращения: 05.06.2017).
Грубка Роман Михайлович, канд. техн. наук, доц., grubka_roman@,mail.ru, Украина, Донецк, Донецкий национальный технический университет,
Михайлов Александр Николаевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, tmafimm. donntu. org, Украина, Донецк, Донецкий национальный технический университет,
Петряева Ирина Алексеевна, канд. техн. наук, ассистент, irina_petryaeva@mail.ru, Украина, Донецк, Донецкий национальный технический университет
APPROXIMATION TOOTH PROFILE BY DISK MODULAR MILLING CUTTER
WITH BEZIER SPLINES
RM. Grubka, A.N. Mikhaylov, I.A. Petryaeva
The article presents the dependencies for the approximation of points coordinates belonging to the profile of disk modular milling cutter with Bezier splines of the fifth order. It can be used in solving spatial technological problems and analyzing the processes of shaping the toothed rims with spatial geometry of the teeth lateral surface. Using the example of a standard tool, the accuracy of the approximation of the profile geometry of disk modular milling cutter with a Bezier spline of the fifth order is estimated.
Key words: disk modular milling cutter, approximation, Bezier spline, cutting edge, cylindrical gear wheel, system of equations
Grubka Roman Mikhailovich, candidate of technical sciences, docent, grubka romanamail. ru, Ukraine, Donetsk, Donetsk National Technical University,
Mikhaylov Alexcandr Nicolayevich, doctor of technical sciences, professor, manager of department, tmafimm. donntu. org, Ukraine, Donetsk, Donetsk National Technical University,
Petryaeva Irina Alexceevna, candidate of technical sciences, assistent, irina petryae vaamail. ru, Ukraine, Donetsk, Donetsk National Technical University.
