Аппроксимация кривыми Пирсона плотности распределения суммы независимых одинаково распределенных случайных величин Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аппроксимация кривыми Пирсона плотности распределения суммы независимых одинаково распределенных случайных величин

Голик Феликс Валентинович

доктор тежическихнаук

профессор, Новгородский филиал, Российская академия народного хозяйства и государственной

службы при Президенте Российской Федерации

173003, Россия, Новгородская область, г. Великий Новгород, уп. Германа, 31, ауд. 401

Golik Felix Valentinovich __________

Doctor of Technical Science

Professor, Novgorod Branch of the Russian Academy of National Economy and Public Administration under

the auspices of the President of the Russian Federation

173003, Russia, Novgorodskaya oblast', g. Velikii Novgorod, ul. Germana, 31, aud. 401

El felix.golik@mail.ru

Статья из рубрики "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент"

Аннотация. Предметом исследования является плотность распределения вероятностей суммы m независимых одинаково распределенных случайных величин. Анализу распределения сумм случайных величин посвящены многочисленные фундаментальные исследования. Теория суммирования была и остается одним из важнейших разделов теории вероятностей. Доказанные в рамках этой теории предельные теоремы позволяют судить о том, какими распределениями можно аппроксимировать суммы случайных величин при больших m. При этом погрешность приближения оценивается предельной ошибкой. Однако в большинстве прикладных задач число суммируемых величин конечно и не велико, а оценки погрешности в виде предельной ошибки оказываются недостаточно точными. Целью настоящего исследования является разработка конструктивного метода аппроксимации плотности распределения суммы конечного числа независимых случайных величин с одинаковым распределением. В качестве аппроксимирующих распределений предложено использовать кривые Пирсона. Такая аппроксимация лишена недостатков, связанных с применением предельных теорем. Она применима при любом числе суммируемых случайных величин m>1. Решение поставленной задачи базируется на методе моментов. Автором предложена рекурсивная формула для расчета начальных моментов суммы независимых случайных величин, что позволило найти центральные моменты суммы, а затем и параметры кривых Пирсона. Доказано, что параметры кривых Пирсона для суммы m случайных величин связаны простыми соотношениями с соответствующими параметрами суммируемой величины. Найдена зависимость расстояния от точки, соответствующей распределению суммы случайных величин в системе координат параметров Пирсона, до точки (0, 3), соответствующей нормальному распределению. По величине этого расстояния можно косвенно судить о возможности применения аппроксимации нормальным

распределением. Рассмотрена возможность аппроксимации кривых Пирсона нормальным распределением. Погрешность приближения при этом оценивается как расстояние в -метрике. Получена приближенная формула для оценки погрешности аппроксимации суммы m случайных величин нормальным распределением.Приведены примеры аппроксимации распределения суммы случайных величин, часто встречающихся в задачах статистической радиотехники. В качестве справочного материала приведены

точные и полные формулы для основных типов кривых Пирсона.Все полученные результаты применимы при суммировании любых случайных величин, имеющих конечные первые четыре начальных момента. Корректность выводов подтверждена численными расчетами, выполненными в программе MathCad.

Ключевые слова: случайная величина, кривые Пирсона, плотность распределения, моменты случайной величины, нормальный закон распределения, сумма случайных величин, рекурсивный алгоритм, вероятностная мера, погрешность аппроксимации, метод моментов

УДК: 621.39.1

DOI: 10.7256/2306-4196.2017.2.22583 Дата направления в редакцию: 05-04-2017 Дата публикации: 09-05-2017

Abstract. The article is devoted to working out the constructive method of approximation the sum of independent random variables with the same distribution by Pearson curves. The summation theory was and still is one of the key parts of the theory of probability. The limiting theorems are proven within this theory, and they allow one to understand which frequencies may be used for the approximation for the sum so random values with large m. At the same time the approximation error is evaluated by the admissible error. However, in most practical cases the number of the summed values is not large, so the admissible error evaluation may not be sufficiently precise. The purpose of the study is to develop a constructive method for the approximation of the frequency function for the spread of the final sum of the independent random values with the same frequency. The Pearson curves are then used as approximative frequencies. Such an approximation lacks the defects related to the application of limiting theorems. It is applicable for any number of summed accidental frequencies m>1. The calculated ratios for the initial moments of the final sum of independent random variables are obtained. It is shown that the parameters of the Pearson curves for the sum m of random variables are related by simple ratios with the corresponding parameters of the summed value. The solution used in order to achieve the goal is based upon the moments method. Th^ author offers a recursion formula for calculating the starting moments of for the sum of independent random values, allowing to find the central moments of the sum, as well as the parameters for the Pearson curves. It is proven that there's a dependency between the distance from the point of The exact expression for the distance from the point, corresponding to the distribution of the sum of the random variables in the coordinate system of Pearson parameters to the point (0, 3), corresponding to the normal distribution is found. By the distance value, one can indirectly assess the possibility of applying normal approximation. The author studies the possibility for the approximation of Pearson curves with normal distribution. An approximate formula for estimating the error in approximating the sum of random variables by normal distribution is given. The author provides examples of approximations for the distribution of the sum of random variables are found, which are often met in statistical radio engineering tasks. The reference materials include complete formulae for the key types of Pearson curves. All the obtained results are applicable for any random variables having finite first four initial moments. The correctness of the conclusions is confirmed by numerical calculations performed in the MathCad program.

Keywords: probability measure, recursive algorithm, sum of random variables, normal distribution, moments of a random variable, density function, Pearson curve, random variable, approximation error, method of the moments

Введение

Исследование вероятностных характеристик сумм независимых случайных величин на протяжении длительного времени является одной из ключевых проблем теории вероятностей. И до сих пор анализу различных стохастических эффектов суммы случайных величин посвящается большое число исследований. Исторически интерес к схеме суммирования появился в связи с созданием и развитием теории ошибок измерений, когда возникло понимание, что ошибки наблюдения некоторой величины формируются под влиянием многих факторов. При этом предполагается, что вклады этих факторов в результат измерения малы и аддитивны, а сами факторы действуют независимо. В рамках этих допущений разработаны классическая и современная теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин. Предельные теоремы указывают на возможную аппроксимацию и дают погрешность приближения в виде неравенств. Такие результаты обычно достаточны для решения практических задач, связанных с оценкой погрешности измерения. Однако существует множество задач, в которых число суммируемых величин конечно. В этом случае оценка погрешности аппроксимации оказывается недостаточно точной. Поэтому задачи с конечным числом суммируемых случайных величин решаются путем непосредственного нахождения законов распределения прямыми методами, а предельные теоремы используются в качестве подтверждения правильности полученного результата.

Известно [1, с' 89], что распределение суммы независимых случайных величин можно найти одним из следующих способов:

1) путем вычисления свертки распределений отдельных слагаемых;

2) через характеристические функции;

3) с помощью моментов.

Первые два похода дают точное решение. Однако чаще всего они сопряжены со значительными вычислительными трудностями. Исключение составляют лишь безгранично делимые распределения, перечень которых ограничен.

Метод моментов дает приближенный результат, то есть некоторую аппроксимацию распределения суммы случайных величин. Но при этом расчеты сводятся к достаточно простым вычислениям.

Аппроксимация в этом случае выполняется с помощью:

1) полиномов,

2) нормального распределения с поправками в виде полинома (метод Крамера)или производных от нормальной плотности распределения (ряды Шарлье),

3) кривых Пирсона.

Методы Шарлье и Крамера пригодны лишь для приближенно нормальных распределений. Полиномиальная аппроксимация не имеет связи с природой случайной величины.

Метод Пирсона лишен этих недостатков. Система кривых Пирсона достаточно универсальна. Существует простой алгоритм определения типа кривой [2, с' 65]. Эти обстоятельства и определили выбор метода аппроксимации, реализованный в настоящей работе.

Целью исследования является разработка конструктивного метода аппроксимации кривыми Пирсона распределения вероятностей конечной суммы независимых одинаково распределенных случайных величин.

В ходе работы над статьей выяснилось, что, несмотря на обилие литературы, найти

полное и точное описание уравнений кривых Пирсона не просто. Например, в [1, с~ 133] приведены уравнения кривых, а параметры рекомендуется находить через решение вспомогательных уравнений. В других источниках ограничиваются ссылкой на результаты исследования У. Элдертона (W. Elderton), опубликованные в 1938 г. В этой связи считаем целесообразным привести точные и полные (с параметрами) уравнения кривых Пирсона основных типов.

Моменты суммы одинаково распределенных независимых случайных величин

Для определения параметров кривых Пирсона необходимо знание центральных моментов суммы случайных величин. Рассмотрим процедуру их расчета через начальные моменты.

Начальные моменты п -го порядка суммы № взаимно независимых случайных величин Хм,т-1,М можно найти по одной из формул:

»/ у «у у г

- J Л(# = J z^ ■лад =z ЪХщ* I Рь

-А(«1 ) -А(т) ) (*) ми)

где ^х(х)' ph плотность, функция распределения вероятностей и закон

распределения дискретной случайной величины соответственно.

Основная трудность, возникающая

необходимостью раскрытия суммы

при

вычислениях моментов, связана с

при произвольных целочисленных

значениях М и п. Расчеты можно существенно упростить, если ввести рекурсивную

функцию, построенную на биномиальное представление суммы

полиномах

Sb

Ньютона. Последовательно рассмотрим

’-‘Mil

при различном числе суммируемых случайных

величин.

При М-2

С.‘ = -

п\

где к\(п-к)\

При М=3

S^ = (x, + xj = ХС»Х?Х:

•и-А

2

, (1)

s* - Ui +X3+XiY= [X, + Ua + Х3)]" = ZUa + хг V = zCixtsZ

n-k

,2

В общем случае при т 3,^можно записать:

rt _______ .-"ft y-itrfM-A.

- ć-t А1 ЛМ,М-1

Искомые начальные моменты суммы случайных величин найдем, усреднив выражения (1) ...(3). Так, для начального момента n-vo порядка суммы двух случайных величин получим:

^ J - (Ul + У) = z С» (xUl~k) - ż ct{xt )(х^) - 2 ctw»

■ (4)

Здесь угловыми скобками обозначена операция математического ожидания, а начальный момент ^-го порядка случайной величины X :

■'(**>

(5)

Очевидно, что при №-3 момент равен

а при произвольном

It-0

. (6)

При решении задачи аппроксимации законов распределения методом моментов, используются центральные моменты, связанные с начальными соотношением -Ш-:

П

= Z <^(-4™)* А-*,™

к=° , (7)

1 = /&. Л = т ■ (X) „ ™ - уг

где ’ \ 1 начальный момент суммы т случайных величин л.

В дальнейшем нам понадобятся моменты не выше четвертого порядка, которые удобней рассчитывать по развернутым формулам:

А,

= Vt - V, т 2,т 1,т .

; (8)

A,m =V3,m-3v2,mVl,m +2V1,™ .

; (9)

4

А,™ =4™ -ĄvlmV2,m+6\mV2,rn “ 3vl,™ . (1Q)

Подставив в формулы (8...10) выражения для начальных моментов из (4) и (6) с учетом (5) получим более простые соотношения для центральных моментов суммы тслучайных величин:

А,™ =mA,i

, (8а)

А.™ = т Ад

, (9а)

A,m =3m(m-l)/& + ВД.1

(10а)

Здесь , '^’1, центральные

величины % .

Кибернетика и программирование, 2017 - 2 моменты соответственно порядка 2, 3, 4 случайной

Кривые Пирсона

Кривые Пирсона (распределения Пирсона) широко используются при аппроксимации распределений случайных величин. Они позволяют аппроксимировать практически все известные статистические распределения.

Пирсон предложил для описания статистического распределения случайной величины использовать решения дифференциального уравнения [3, с~ 631:

dy_

У

х- Мо ,

-----------У ах

Ь0 +blx + b2xi

, (11)

где №° - мода.

Коэффициенты в уравнении (11) могут быть вычислены с помощью центральных моментов. Они находятся из соотношений:

Ьп =

Mi (r +1) Д = -Мо = ^ + ^

г-2

2Мг-2)

где

г =

ОД- Д-1)

ЗД-2Д+6. (12) , (13)

А - fĄ ł iĄ

А _ /^4 ^/^2

(14)

Дискриминант знаменателя в уравнении (11) равен:

где

А

А(А+зУ

4Ь0Ь2 4(2Д2 -ЗД -6)(4Д - ЗА) (15)

Общий интеграл уравнения (11) зависит от вида корней квадратного уравнения

Ьд + Ь\Х + t^x2 = 0

и определяется критерием к («каппа Пирсона») и дополнительными

параметрами

Г2, с. 2781.

а=2$2 -ЗД - б с = 8Д -15А -36

rf = Ą-A-i

В табл. 1 приведены типы кривых Пирсона и соответствующие им критерии, а так же границы области кривых Пирсона. Граница 1 - это верхняя граница всех распределений, а граница 0 - граница кривых Пирсона.

Таблица 1

Тип кривой Граница 0 I II iii IV V VI VII Граница 1

Критерии к <0 к= 0 К = ±С0 0 < л:<1 к = 1 к >1 к= 0

d <0 А <з а = 0 fii >3 с >0 = 03

На рис. 1 приведен график областей кривых Пирсона, построенный по уравнениям, приведенным в [2, с' 278].

Рис. 1 График для определения типа кривой Пирсона в зависимости от

А

и

А

Область кривых типа I состоит из смежных областей типа I(U) (U-образные кривые плотности распределения) и типа I(J) (J-образные кривые). Точка с координатами (0;3) соответствует нормальному распределению.

Параметры и характеристики кривых Пирсона для суммы случайных величин

Найдем коэффициенты , критерий и дополнительные характеристики для

суммы

т

случайных величин.

Коэффициенты и рассчитываются по формулам (13, 14), в которых центральные

моменты определяются выражениями (8а...10а). Подставив соответствующие формулы (8а...10а) в (13, 14) после необходимых преобразований получим:

fil,™ ~

Pu

т

3 (m-!) + £,,

А,т=^

т , (16)

т

. (17)

Здесь

Ад „ fil;

коэффициенты суммируемой случайной величины X. при известных

начальных моментах

^ = (zk)

\ /он

они рассчитываются по формулам:

где

fhx = v2 - Ц

Al = ^з-3^1 +2Ч

Подставив в (15) выражения (16, 17) получим формулу для критерия г™ суммы m

случайных величин

=

(бт + р2 \ - З)2 Д

U

(12А, - 8Д , + 24)(12т -ЗД, + 4 Ад -12)

т

■ (18)

Аналогично преобразуем формулы для дополнительных параметров:

affl=-(2A,i-3A,i-6)

т , (19)

ст = (®Ад _13Ад -24)-12

™ ,(20)

dm - — (2m - Дд + Агд - 3)

m .(21)

Таким образом, коэффициенты^1’™,^’™,

критерий и дополнительные параметры ат>ст>^т суммы независимых случайных величин определяются непосредственно через

коэффициенты ^ и ^2

1 суммируемой случайной величины X .

При выборе распределения обычно представляет интерес информация о том, насколько сильно аппроксимирующее распределение отличается от нормального и нельзя ли нормальное распределение использовать для аппроксимации. Косвенно о близости

распределений можно судить по расстоянию в системе координат (А > А) между точкой

с координатами и точкой нормального распределения с координатами (0,

3). Это расстояние равно:

А, =л/Д2т + (А,т-3)2

После подстановки в эту формулу выражений (16), (17) получим:

Aj = — л/Ад + (Ад “ 3)"

т v

Можно показать, что точки (А,т>Аг,т) расположены на прямой, описываемой

уравнением

Д,, -3

А = з+^—а Ад

■ (23)

В заключение отметим, что все расчетные соотношения этого параграфа получены для суммы независимых одинаково распределенных случайных величин и справедливы для любого исходного распределения с конечными начальными моментами ^-го порядка, ^-4. Корректность полученных результатов подтверждается численными расчетами. Расчетные формулы весьма просты и легко реализуются в программе MathCad.

На рис. 2 и 3 для примера приведены результаты расчета для суммы независимых л с “ -распределением Фишера с параметрами 1 , 2 .

V'..,

ч IV (Pm)

V

(£l) \\ \\ \ VI III

Рис. 2. Траектория точек Аг суммы т случайных величин, распределенных по закону

Фишера

Рис. 3. Характеристики суммы случайных величин, распределенных по закону Фишера: а) зависимость типа кривой Пирсона от количества т суммируемых величин; б) график

расстояния в) график каппы Пирсона к™.

Примечание. На рис. 2а номера типов кривых обозначены латинскими, а не римскими цифрами вследствие ограничений, накладываемых программой MathCad, в которой проводились расчеты.

Рисунок 2 позволяет визуально оценить тип аппроксимирующего распределения в зависимости от т . Данные рис. 3 дают более точное представление об изменении типа

ш <Л сумма аппроксимируется распределением типа VI, затем -

распределения: при

распределением типа IV. Это подтверждается переходом критерия Л'т из области А+с0) в интервал (АО. при этом условие *" = 1 не выполняется. Следовательно, аппроксимация кривой типа III невозможна при заданных параметрах *, 2.

Аппроксимация нормальным распределением

Функции распределения Пирсона практически всех типов выражаются через специальные функции и не табулированы. При этом квантили приходится находить численными методами. Это затрудняет решение многих прикладных задач, особенно связанных с проверкой статистических гипотез. Ситуация существенно упрощается, если в качестве аппроксимирующего распределения используется нормальное. Предпосылкой

для такого решения служит тот факт, что расстояние Ая (см. (22)) с ростом т

Аз ~ (А,™ ’ Аз.т )

стремится

к нулю, а точки

находится в точке

с координатами

располагаются на прямой (23), начало которой

(А,1 > А.1 )

, а конец в точке (0, 3)

т

■ в точке

Р

точка ™

нормального распределения (см. рис. 2). С ростом числа слагаемых стремится к точке (0, 3), то есть к нормальному распределению. Это утверждение справедливо для суммы любых независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными начальными моментами и является наглядной иллюстрацией справедливости центральной предельной теоремы. Отметим, что распределения Пирсона всех типов имеют конечную дисперсию, следовательно, в рассматриваемом случае

выполняются условия теоремы Леви-Линдеберга с' 71].

Оценка точности приближения одних случайных величин другими определяется расстоянием между ними в предварительно заданной вероятностной метрике. В настоящей работе в качестве метрики выбрано расстояние полной вариации Это

«одна из самых сильных метрик, используемых в теории вероятностей» [4, с~ 110].

Привлекательность ^-метрики состоит еще и в том, что значения & ограничены

интервалом А При ^-0 ошибки аппроксимации нет, а при ^-1 величинами существует предельно возможное различие. Тогда по величине и можно

между случайными

судить насколько сильно распределения случайных величи собой по сравнению с предельно возможным случаем.

н X

отличаются между

Расстояние полной вариации задается соотношением:

tT(XJ)=U\d(Fx(x)-Fj(y)\

где А" функции распределения случайных величин Xи Y

В нашем случае плотности распределения существуют и ^"-метрику можно рассчитать по формуле

Здесь

(24)

w(x,m) _ плотность распределения суммы т случайных величин;

Г ^ Ч2 ■Д

плотность нормального распределения;

моменты суммы т случайных величин;

а, ,а

1 > “2

и

границы интервала существования плотности вероятностей w(x>m) _

Примечание. В социологии и экономике для оценки структурных сдвигов совокупностей используют дискретный аналог формулы (24), который называют индексом Лузмора-Хэнби J5-.

Численные расчеты для различных распределений суммируемой случайной величины X, показали, то выражение (24) с достаточной для практики точностью можно аппроксимировать формулой:

* ^*2

С = —f= » <Т

\/т

, (25)

где

сг_

метрика аппроксимации распределения

w(xf 2)

суммы

двух случайных величин X (с исходным распределением); т - количество суммируемых случайных величин.

Отметим, что выражение (25) с точностью до постоянного множителя совпадает с границей неравенства Бери-Эссеена [6, с 155].

Некоторые плотности распределения Пирсона заданы в интервале ограниченной длины. В этом случае важным критерием качества аппроксимации является вероятность

а2

Po,™ = J к (x,m)dx

Щ

. (26)

Р о,,

а, —> — со

строго равна единице только при 1

и а2 +w

Очевидно, что вероятность Тем не менее, если окажется, что она достаточно близка к единице, то аппроксимацию нормальным распределением можно считать практически приемлемой, при условии, что

значения малы. С другой стороны, если окажется, что вероятность

не допустимо

мала, то независимо от значений ^

от аппроксимации придется отказаться.

Далее приведены уравнения основных типов кривых Пирсона и примеры распределения суммы случайных величин, чаще всего встречающихся в задачах статистической радиотехники.

Кривая I типа

Ограничение: к < 0. Уравнение:

Примечание. В дальнейшем для сокращения записи в формулах не указывается область нулевых значений плотности вероятности. Если приводится функция с указанием ограничений ее аргумента, то это означает, что в области, где ограничения не выполняются, функция тождественно равна нулю.

Параметры:

щ U--1+

т2 J 2

— + г

\2 J

д

1бг + 4Д + ГД + 4гД +16

Й1 Д:: > 0 при 1 ^

берется >т 1, а при ^ - наоборот.

= v -т^ - Мо а2 = v -т2 + Мо

Мо = -

_ сг./ДСД+З)

2(5Д2-бД-9)

v = ■

где 2<г-2)

Нормирующий множитель

>,(, + 2)4l6(r + D ет=^

где

Г(г)

/о “

гамма-функция.

<Х2

r(mj + m2 + 2)

+ й2 (й[ +й2)т1+™2 Г(т! +1)Г(т2 +1)

Коэффициенты а1 и положительны. Показатели степени и больше -1. Пример 1 Квадрат нормальной случайной величины Плотность распределения [7, с 1051:

w(x) =

ехр

х + a 2Mi

ch

й J х>0

Примечание. В формуле (3.10) [7, с- 1051 допущена опечатка: в показателе степени экспоненты вместо у2 следует читать у.

Рис. 4 Графики плотности распределения Начальные моменты рассчитываются численно в среде MathCad:

оо

vk = Jxkw{x)dx

о

Рис. 5 Области кривых Пирсона: а)а °-25;б)а L5’^2 °'25 в)

а = 2.5, /^2 = 0.25

Распределение типа I. При 0<й <0.0164 переходит в тип VI.

Пример 2 Квадрат случайной величины с равномерным распределением

Плотность распределения можно найти по общей формуле распределения квадрата случайной величины, приведенной в [2j———ШЛ Плотность вероятностей квадрата равномерно распределенной случайной величины зависит от соотношения между ала ^

границами интервала

равномерного распределения:

w(x) =

2 (b-a)':Jx a> 0 a<b a2 < x <b2 или b < 0 a<b b2 <x<a2

w(x) =

(b-a)-^Jx 1 ,2

0 <x <aA

w(x) =

2(b-a'yjx 1

a“ <x<b2

a <0 -a <b 0 <x <b2

(b - a'yjx 1 ’-.2

0 <x <b2

2 (b - dyjx'

b <x <a"

a < 0 -a>b 0 <x < a'

Рис. 6 Графики плотности распределения: а) б) ^>0

Можно показать, что начальные моменты равны:

Л =

^2/г+1 _ ^2к+\

(2k + \)(a-ti) *г = 0,1,...

Рис. 7 Области кривых Пирсона: а) б) а-1,Ь-4

Распределение типа I(J) с переходом в I.

Пример 3 Распределение Релея

Распределение огибающей узкополосного нормального процесса.

Плотность распределения [7, с- 4231

w (х) = — ехр Mi

' х2^

2М) х >0

Рис. 8 Графики плотности распределения Релея Начальные моменты [7, с' 971

Лг = 0,1,

Рис. 9 Области кривых Пирсона: а) ^ 0.25. §) 2.25

Распределение типа I. Параметры $ и не зависят от дисперсии ^ .

Пример 4 Распределение Релея-Райса(Обобщенное распределение Релея [7, с-1231)

Распределение огибающей суммы узкополосного нормального процесса гармонического сигнала.

Плотность распределения [7, с- 1211

w(x) = — exp

^ х2 + ск2 V ГхаЛ

\

2/4

х >0

где

20(z) .

функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

5 i II р = ]

» = i

Vv ^ \ \ • i = 1.5

Рис. 10 Графики плотности распределения Релея-Райса Начальные моменты [7, с' 4241

' ( u j \

£ = 0,1,...

к

vk = (2/4 )2 Г| 1 + — I'! F\

к a 2Д,_2^

где 1 1 - вырожденная гипергеометрическая функция.

Рис. 11 Области кривых Пирсона: ^ а) б) ® = 1, в) & =

Распределение типа I.

Пример 5 Распределение Накатами (т -распределение)

Распределение огибающей гармонического сигнала со случайной амплитудой и фазой с. 591

и

!&.

Кибернетика и программирование, 2017 - 2

Ж 2 т-1 ГП 2

, — х ехр----------х

Г(т) { Q

0 <х <+<я

10.7256/2306-4196.2017.2.22583 Плотность распределения

w(x)

Частные случаи:

т = 1/2

плотность одностороннего нормального распределения; т“1 - плотность распределения Релея;

т>1 - используется для аппроксимации плотности распределения Релея-Райса.

Рис. 12 Графики плотности распределения Накатами. ^-1 На ча льные моме нты

Г(т) [mj £ = 0,1,..

Рис. 13 Области кривых Пирсона: а) т~б) т = 1, в) т = 1-^

Распределение типа I.

Кривая II типа

Ограничения: ^=0, & < 3 _ уравнение Г3- с- 691

m=i\

f х2Л V й 2

|х| < а

Параметры:

т- 5&~9 а'-УьЬ. Л= Т^ + 2У

2(3-Д) 3-Д " г’—ЦЦи-И)]1 п. с.1331

Коэффициент m > . При распределение унимодальное (U-образное).

Пример 6 Распределение арксинуса

По закону арксинуса распределено гармоническое колебание A$m(ai+(p)

известной амплитудой -4 и случайной фазой Ф, равномерно распределенной

интервале

с

в

Плотность распределения [8, с 184]

Рис. 14 График плотности распределения арксинуса

Можно показать, что первые четыре начальных момента равны

V) = 0

Рис. 15 Области кривых Пирсона

Сумма случайных величин аппроксимируется кривой типа II. Погрешность аппроксимации (°™ и ) не зависит от параметра -4.

Примечание. В ———80] приведена формула для плотности распределения суммы гармонических колебаний с неодинаковыми амплитудами и случайными равномерно распределенными фазами.

Пример 7 Распределение гармонического сигнала со случайной амплитудой и фазой

Случайный сигнал *(f) = ^0sin[a*+(£)], где случайные функции^)*0 и <•#) независимы в один и тот же момент времени. Амплитуда в интервале Фаза - равномерно в интервале

И - - V' / “ И

распределена равномерно

Плотность распределения мгновенного значения сигнала [8, с. 1861-

Пример 8 Распределение суммы гармонического сигнала со случайной начальной фазой и нормального шума

монического й фазой и

колебания

нормального

Плотность распределения нормированной описывается формулой [8, с' 188]

по Л/^"

случайной

величины

- со < JC < +СО

А

а =

где

-Jmi

отношение сигнал/шум по напряжению.

1 Ż. - IS / —Ч I

\ 3 = 2.5

3=5 Г7

-4-2 0 г 4

Рис. 18 Графики плотности распределения Начальные моменты рассчитываются численно по формуле

к = ОД,...,4

Рис. 19 Области кривых Пирсона: а) а ~ 0-5, б) <3=2.5 ^ в) а - 5 Пример 9 Равномерное распределение Плотность распределения

ь-a хе[а ,Ь]

Рис. 20 График плотности равномерного распределения Начальные моменты [1, с- 1171

Л

bk+1 -ak+l

(b-a)(k + l) А-= 0,1,.

Рис. 21 Области кривых Пирсона

Погрешность аппроксимации и ) не зависит от параметров й и ^ распределения. Кривая III типа.

Ограничения: к: = ±«з t (2Ą ^ _ ^Уравнение с- 2861-

\р -Р*

-а <х < +оо

/(х)=/0|1+-| е

Параметры:

р = — 1

А

а = а

2 УД"

.-JA 2 ,

Л , i ^+1

Уо - - '

й е^Г(р +1) Г3. с. 2681

Мода

>0

существует при й

Пример 10 Гамма-распределение Плотность распределения Г1, с 1211

W(x) = —ехр(-Лг)

Г (or) х >0

Частные случаи:

при ог = 1 гамма-распределение совпадаете показательным;

{X — п /2 А = 1/2

при ? - с - распределением с п степенями свободы;

Л= ntL(X= П

при ^ гамма-распределение называется распределением Эрланга с

{n,jĄ .

параметрами

|-у — vyj li 3 —— 1 Ь-VI — 1 ')

при ’ - показательно-степенное распределение с параметром ’ ’ "

При фиксированном ^ гамма-распределение является безгранично дел

тимым.

Рис. 22 Графики плотности гамма-распределения: а) 1 - показательное распределение с а = 1,Л=2 . -, „„„„„„„„„_____ _____ „ п = 2,/х.= 3.

параметрами

J2

; 2 - распределение Эрланга с параметрами ^ ; б) 1 -

% -распределение с п = 3 степенями свободы; 2 - показательно-степенное

а = 3 + 1,Л = 1

распределение с параметрами Начальные моменты [1, с- 1211;

ос(ос+ 1)...(ос+ к -1)

vk=-

к = 0,1,...

Рис. 23 Области кривых Пирсона: а) показательное распределение с параметрами

„2

ос 1,Л 2. б) распределение Эрланга с параметрами п = 2,ц=3. в)х*

-распределение с

я = 3 степенями свободы; г) показательно-степенное распределение с параметрами

а = 3 + 1,Л= 1

Кривая IV типа

Ограничения: 0<а:<1 А >^. Уравнение:

« < х < +«

где

2 .S' + 2

га =-------------

s = -r

, см. формулу (12).

Знак параметра v выбирается противоположным знаку момента ^. Нормирующий множитель

где

- табулированная функция.

Мо = 1/,

^0-2)

Мода 2^0 + 2) _

Кривая V типа

Ограничение: к = 1- Уравнение:

/00= fo~pe~yU 0 < х <

ВД

Параметры

р = 4 +

8 + 4л/4 + Д

/о -'

7

Д ? = <r(p-2),,[i^3 J0 Т(р-1)

! Г ’

Знак Y совпадает со знаком ^.

Кривая VI типа

Ограничение: к >1. Уравнение:

/О) = /о (х~ <з)т1х ™2 я < х < со гары. > О -со<х<я при щ < О

f f i

/г™г1Г(т2)

/о “

Г(т2 - - 1)Г(ш! +1)

Здесь

a = ±^VA0 + 2)2 +1б(г + 1)

2 , знак совпадает со знаком ^ ;

mi _ г-2 + г(г+ 2) _______А________

-maj 2 “ 2 li Д (г + 2)2 + 1б(г +1)

Пример 11 Распределение Вейбулла

, должно выполняться неравенство 2

Описывает случайную наработку до отказа, при которой интенсивность пропорциональна времени.

Плотность распределения

х >0

Стандартная форма плотности распределения при J- — 1 [8, с. 62].

> ml +1

отказов

Кибернетика и программирование, 2017 - 2

f{x) = к ■ {x)k~l exp I- (х)* I х > 0

интенсивность отказов уменьшается со временем, распределение относится к

Частные случаи при Л = 1:

0 <к <1 -типу VI;

к = 1 -

интенсивность отказов не меняется со временем, экспоненциальное распределение (тип III);

к >1

интенсивность отказов увеличивается со временем; - распределение близко к нормальному; к >13 - распределение относится к типу VI.

к = 0.5 I

1 к 15

V к = 1 / J к = 3

0 0.5 I 1.5

К

Рис. 24 Графики плотности распределения Вейбулла, ^-1 Начальные моменты

к) п = ОД,...

Рис. 25 Области кривых Пирсона

Распределение типа VI.

Кривая VII типа

Ограничение: *:-0, ^ , уравнение:

/(*)=/□

Г Х2Л-™ 1 + —

\ а J

- w < X < +w

10.7256/2306-4196.2017.2.22583 Параметры:

Кибернетика и программирование, 2017 - 2

3Ą-9 ^ _ 2аА

2(А -3) А -3

Распределение симметрично относительно

Коэффициент

Заключение

Получены расчетные соотношения (4) для начальных моментов суммы независимых случайных величин.

Показано, что параметры кривых Пирсона для суммы™ случайных

связаны простыми соотношениями (16), (17) с соответствующими параметрами суммируемой величины.

вел

ичин

Приведено точное выражение распределению суммы случайных

для расстояния от точки, соответствующей

величин в системе координат параметров Пирсона (

), до точки (0, 3), соответствующей нормальному

распределению.

Получена приближенная формула (25) для оценки погрешности аппроксимации суммы т случайных величин нормальным распределением.

Приведены точные и полные уравнения кривых Пирсона.

В качестве примеров найдены аппроксимации распределения суммы случайных величин, часто встречающихся в задачах статистической радиотехники.

Все полученные результаты применимы для любых случайных величин, имеющих конечные первые четыре начальных момента. Корректность выводов подтверждена чис ле нными рас ч е та ми.

Результаты настоящей работы могут найти применение при исследовании и проектировании каналов связи с т входами и общи выходом, многоканальных РЛС с ФАР, многоканальных следящих измерителей и других систем, подверженных аддитивному воздействию независимых факторов.

Библиография

1. Справочник по теории вероятностей и математической статистике/ В. С. Королюк, Н. И. Портенко, А. В. Скороход, А. Ф. Турбин. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,

1985. - 640 с.

2. Таблицы математической статистки/ Большев Л. Н., Смирнов Н. В.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.. 1983. - 416 с.

3. Рыжиков Ю. И. Управление запасами. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., - 1969.344 с.

4. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 416 с.

5. Казинец Л.С. Темпы роста и структурные сдвиги в экономике (Показатели планирования и анализа).-М.: Экономика, 1981.

б- Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. - 416 с.

7. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники, кн. 1. - М.: Сов. радио, 1966. - 728 с.

8. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. - М.: Сов. радио, 1966. - 680 с.

9. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - 3-е изд. перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1986. - 656 с.: ил.: ISBN 5-256-00264-3.

10. Мтропольский А. К. Техника статистических вычислений. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-ма т. лит., 1971.-576 с .

References (transliterated)

1. Spravochnik po teorii veroyatnostei i matematicheskoi statistike/ V. S. Korolyuk, N. I. Portenko, A. V. Skorokhod, A. F. Turbin. - M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1985. - 640 s.

2. Tablitsy matematicheskoi statistki/ Bol'shev L. N., Smirnov N. V.-M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit.. 1983. - 416 s.

3. Ryzhikov Yu. I. Upravlenie zapasami. - M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., - 1969.-344 s.

4. Zolotarev V. M. Sovremennaya teoriya summirovaniya nezavisimykh sluchainykh velichin. - M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1986. - 416 s.

5. Kazinets L.S. Tempy rosta i strukturnye sdvigi v ekonomike (Pokazateli planirovaniya i analiza).-M.: Ekonomika, 1981.

6. Petrov V. V. Summy nezavisimykh sluchainykh velichin. - M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1972. - 416 s.

7. Levin B. R. Teoreticheskie osnovy statisticheskoi radiotekhniki, kn. 1. - M.: Sov. radio, 1966. - 728 s.

8. Tikhonov V. I. Statisticheskaya radiotekhnika. - M.: Sov. radio, 1966. - 680 s.

9. Levin B. R. Teoreticheskie osnovy statisticheskoi radiotekhniki. - 3-e izd. pererab. i dop. - M.: Radio i svyaz', 1986. - 656 s.: il.: ISBN 5-256-00264-3.

10. Mtropol'skii A. K. Tekhnika statisticheskikh vychislenii. - M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1971.-576 s.