CC BY
176
ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «APRIORI. CЕРИЯ: ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ»
www.apriori-journal.ru
№ 4 2014
УДК 519.6
АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ТОЧЕК ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Швалёва Анна Викторовна
канд. пед. наук
Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» (филиал), Новотроицк
author@apriori-journal. ru
Аннотация. В статье приведены основные расчетные формулы, изложен алгоритм исследования зависимости механических свойств стали от химического состава с помощью программ Mathcad, Excel.
Ключевые слова: аппроксимация; метод наименьших квадратов; полином; линейная; квадратичная; кубическая парные регрессии; множественная регрессия.
APPROXIMATION OF EXPERIMENTAL POINTS BY POLYNOMIAL FUNCTION BY A METHOD OF THE SMALLEST SQUARES
Shvaleva Anna Viktorovna
candidate of pedagogic sciences National University of Science and Technology «MISIS» (branch), Novotroitsk
Abstract. The basic settlement formulas are given in article, the algorithm of research of dependence of mechanical properties of steel from a chemical composition by means of the programs Mathcad, Excel is stated.
Key words: approximation; method of the smallest squares; polynom; linear; square; cubic pair regressions; multiple regression.
В последние годы важным аспектом математического образования становится владение компьютерными технологиями. Влияние компьютера приводит к необходимости частичного пересмотра структуры и содержания курса математики, иной расстановке акцентов в задачах, требующих объемных вычислений. Особенно актуальным является использование компьютерных технологий при изучении «Математической статистики», для обработки полученных экспериментальных данных. Рассмотрим возможности компьютерных программ в описании (аппроксимации) зависимости, представленной в виде набора чисел аналитической функцией. В качестве примера рассмотрена зависимость временного сопротивления от химического состава и размера листа стали марки С345.
Аппроксимация зависимости, представленной в виде набора чисел аналитической функцией, решается в разделе математической статистики «Регрессионный анализ». Наиболее часто используется аппроксимация с помощью полинома степени п:
р / \ 2 3 п
у = / (х) = а0 + а1х + а2х + а3х +... + апх ,
причем, коэффициенты полинома а0, а1г а2, ...ап подбираются таким образом, чтобы кривая, описываемая полиномом, проходила максимально близко ко всем точкам, аппроксимируемым этим полиномом. Эта близость достигается с использованием метода наименьших квадратов (сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (у) от значений полинома (у) должна быть наименьшей (1)):
^ = X (у - у)2 ® т[п (1)
I=1
Для аппроксимации с помощью полинома, нужно чтобы выполнялось условие: п<т-1 (т - количество аппроксимируемых точек). Так, через три точки т=3 можно провести только прямую - полином первой степени, через 4 точки - полином первой или второй степени и т.д.
Для отыскания коэффициентов полинома, с учетом (1) условия необходимо все частные производные от Б по коэффициентам а0, а1; а2, ...ап приравнять к нулю. Решая систему линейных алгебраических уравнений порядка (п+1) найдем (п+1) коэффициентов полинома:
38 = 0
da,
0
“ = 0
da1
dS 0
dan
В данной работе была рассмотрена аппроксимация только полиномами первой, второй и третьей степенями.
Различают регрессию двух видов: парную и множественную. Разница между ними в количестве независимых переменных. В природе имеет место исключительно множественная регрессия, так как нельзя ограничить внешнее влияние на какое-то явление строго одним фактором.
Рассмотрим построение парных и множественных регрессионных моделей зависимости функции временного сопротивления от химического состава и размера листа.
Временное сопротивление (FVS) характеризует максимальное напряжение, предшествующее разрушению образца (предел прочности). Иными словами, временное сопротивление (предел прочности) - это максимальное механическое напряжение, выше которого происходит разрушение материала, подвергаемого деформации; предел прочности при растяжении обозначается ств и измеряется в килограммах силы на квадратный сантиметр (кгс/см2). В лаборатории были получены результаты испытаний временного сопротивления, химического состава и размера листа, объём выборки составил 366 результата замеров (рисунок 1).
Коэффициенты полинома первой степени y = f(x) = a0 + a1 x ; второй
y = f (x) = a0 + a1 x + a2x2 и третей y = f (x) = a0 + a1 x + a2x2 + a3x3, для дан-
ного исследования можно рассчитать, например, с помощью применения функций таких программ, как Mathcad и Excel.
Рис. 1. Выборка
Mathcad - универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета перед типичными языками программирования - естественный математический язык, на котором формулируется решаемая задача.
Выполним построение полинома первой степени (парной регрессионной модели) y = f (x) = a0 + a1 x (в качестве зависимой переменной
у - временное сопротивление, независимой переменной х - коэффициент химического состава). Для начала в отдельной папке создаем два текстовых документа. Например, в блокнотах записываем массивы X и У. В файле Mathcad с помощью команды READPRN выводим массивы X и У. Далее используем команду SLOPE, которая возвращает коэффициент при х в линейной регрессионной модели, а так же INTERCEPT, кото-
рая возвращает свободный член в линейной регрессионной модели. Получаем полином первой степени (парную линейную регрессионную модель) (рисунок 2).
Mathcad [копия] tЗЕК
l23 File Edit View Insert Format Tools Symbolics Window Help - 3 X
D ” У Ш Gk IB <n № и = П Ігащ V ®
11 Normal -v j Ariel lc в J и ж Ш М P
В 4і К® іі <? ?3 «в л
V
X := READPRN("l.txt")
Ответ у = -16,391х + 561,199
Y := READPRN(" 2.txt")
slope(X,Y) = -76.397 intercept<X,Y) = 567.799 Ответ у=-113.635x4614.377
<
0 I
0 0,38'
1 0,38:
2 0,38:
3 0,38
4 0,38
5 0,39
6 0,39!
7 0,39
8 0,39
9 0,39
10 0,39.
11 0,39-
12 0,39
13 0,39
14 0,39!
15
-
0
0 550
1 490
2 550
3 570
4 530
5 550
6 540
7 530
8 520
9 530
10 520
11 520
12 530
13 520
14 520
15
Press FI for help. AOTO NOM Page 1
I < ш пуск lb 3 Проводник t Урок математ,.. Протокол оце... фото - Microso... ’ ' Mathcad - [1] ' ' Mathcad - [коп... ЕЖ -&K
Рис. 2. Аппроксимация зависимости временного сопротивления от коэффициента химического состава (полином первой степени)
Полином второй и третьей степеней определим с помощью команды REGRESS, которая возвращает вектор, последние l координат которого - коэффициенты степенной регрессионной модели степени l - 1 (рисунок 3).
Microsoft Excel - является широко распространенной компьютерной программой, с помощью которой производятся расчеты, составляются таблицы и диаграммы, вычисляются простые и сложные функции.
Для того чтобы построить полином первой степени (парную линейную регрессионную модель) зависимости временного сопротивления от химического состава нужно записать два массива значений зависимой и независимой переменных.
б
I Mathcad - [копия] EH®
j^) File Edit View Insert Format Tools Symbolics Window Help _ з x
П-Еїу ІЙУ в'|*а Ш If = ФСр ГШ' v 0
Е
її к
11N Ш ffi!? ?-іаІ! *
! My Site
*\ f^Go
A
X := READFRN(" 1 .tat") Y := READPRN(112 .tat")
Ответ у = -76,397х + 567,799
slope(X ,Y) = -76.397 intercept^, Y) = 567.799
Ответ y=-113.635x4614.377
Квадратичное и кубическое уравнение Z1 := regress(X,Y,2) Z2 := regress(X,Y,3)
/ з 4
3 3
04
Z2 =
-9.164 x 10 V 1.147 x 104 j
2.779 x 10
-2.714 x 10'
-5.292 x 10‘
0 |
0 0.38;
1 0.38;
2 0.38:
3 0.38
4 0.38:
5 0.39;
6 0.39;
7 0.39
8 0.39'
9 0.39:
10 0.39.
11 0.39;
12 o.39:
13 0.39;
14 0.39;
15
0
0: 550
1 490
2 550
3 570
4 530
5 550
6 540
7 530
8 520
9 530
10 520
11 520
12 530
13 520
14 520
15
Ответ у—1.649*10АЗхл2-2.329*10Л3 x+1.357*10Л3
Ответ у=1.711*10л5хл3-3.425*10л5хл24-2.281*10л5х-5.003*10м
< Е\
-
Press FI For help. AUTO NUM Page 1
1J ПуСК lb 3 Проводник Урок математ... Протокол оце... фото -Microso... ' Mathcad-[1] йЩ
Рис. 3. Аппроксимация зависимости временного сопротивления от коэффициента химического состава (полиномы второй и третей степеней)
Рис. 4. Использование функции ЛИНЕИН
Для того чтобы определиться с формой связи (линейная, квадратичная и т.д.) можно построить точечную диаграмму. Затем воспользуемся функцией ЛИНЕЙН (рисунок 4).
Далее выделяем диапазон ячеек с двумя столбцами и пятью строками, после чего получаем следующие значения (рисунок 5).
Значения дополнительной статистики соответствуют следующим характеристикам (таблица 1).
Таблица 1
Дополнительная статистика
Коэффициент а1 линейной модели Коэффициент а0 линейной модели
Стандартная ошибка коэффициента а1 Стандартная ошибка коэффициента а0
Коэффициент детерминации Стандартная ошибка для у (яад)
Г-наблюдаемое (Еэ) Степени свободы (к ад = п -1)
Регрессионная сумма квадратов ((А7,- )2) Остаточная сумма квадратов (т )2)
Рис. 5. Дополнительная статистика
о
Коэффициент детерминации К равен 0,1 %, то есть построенная при таких условиях регрессионная модель зависимости временного сопротивления от коэффициента химического состава имеет низкое практическое значение. Коэффициент а1 линейной модели равен -76,397. Стандартная ошибка коэффициента а1 равна 124,0373.
Для того чтобы построить множественную регрессионную модель зависимости временного сопротивления от химического состава и технологических показателей нужно записать три (и более) массива зависимых и независимых переменных. При построении множественной регрессии требуется «Пакет анализа», который является довольно мощным инструментом в помощь аналитику. Этот инструментарий, помимо всего прочего, позволяет рассчитывать параметры регрессии по тому же методу наименьших квадратов, всего в несколько кликов. В активном окошке инструмента Анализа данных из списка возможностей ищем и выбираем Регрессия (здесь нужно указать интервалы исходных данных, а именно описываемого параметра (у) и влияющих на него факторов (*)). Данные представлены на рисунке 6.
Оя^ Л ^ ) - Итог [Режим совместимое
Ч/ Главная Вставка Разметка страницы Формулы Данные Рецензирование Вид
£ Из АССС5$ Из Веба Из других .□Изтекста источников - ■ Существующие подключения Л ^1 Подключения * Свойства Обновить ВСе - Изменить связи я 1 Сортировка У? & Очистить Применить повто Фильтр . , Дополнительно
Получить внешние данные Подключения Сортировка и фильтр
Е1 - ( &
А I в ; с | о I Ё I ¥ I о
1 X X V егрессия 1. У. —
2 к_хс ядгм Р\75
3 0,380 40 550 Входные данные Иуппной интрпвяп V- 1_ « J
4 0,380 40 490 Отмена
5 0,380 20 550 Входной интервал X: 5А53:585368
6 0,380 20 570 ! Метки I Константа - ноль ! Уровень надежности: 195 % | Справка
Т 0,380 20 530
г 0,390 25 550 Параметры вывода
э 0,390 25 540
10 0.390 20 530 в1 Выходной интервал: БЕ51 |н&1
11 0,390 20 520 О Новый рабочий лист:
12 0,390 20 530 Новая рабочая книга
13 0.390 20 520 Остатки 1 Остатки [г] График остатков ! Стандартизованные остатки [2] График подбора
14 0,390 20 520
15 0,390 20 530
16 0,390 20 520 Нормальная вероятность ] График нормальной вероятности
17 0,390 20 520
18 0,390 20 530
Рис. 6. Вычисление параметров регрессионной модели
Эти расчеты имеют следующий вид (рисунок 7).
Рис. 7. Вывод значений
Ключевые ячейки залиты желтым цветом, именно на них нужно обращать внимание в первую очередь. Остановимся на них.
0,04 - это Р - коэффициент детерминации, показывающий что на 4 % расчетные параметры модели, то есть сама модель, объясняют зависимость изменения изучаемого параметра - у от исследуемых факторов - х. Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем ближе модель к эмпирическим наблюдениям.
Теперь перейдем к коэффициентам модели:
1) 571,87 - это коэффициент, который показывает какой будет У в случае, если все используемые в модели факторы будут равны 0, подразумевается что это зависимость от других неописанных в модели факторов;
2) -58,48 - коэффициент при х1. Знак минус показывает, что это влияние отрицательно, то есть чем больше коэффициент химического состава, тем меньше временное сопротивление.
3) -0,4 - коэффициент при х2. Знак минус показывает, что это влияние отрицательно, то есть чем больше коэффициент химического состава, тем меньше временное сопротивление. Соберем рассчитанные коэффициенты в модель:
у=571,87-58,48x1-0,4x2 Собственно, это и есть линейная множественная регрессионная модель, которая для исходных данных, используемых в нашем исследовании, выглядит именно так.
Рассмотрение подобных задач при изучении дисциплин математического цикла, позволяет студентам демонстрировать многие важные приложения математики. Студенты начинают понимать необходимость изучения математических методов не только при изучении специальных дисциплин, в которых рассматривается решение прикладных задач, но значительно раньше.
