Аппроксимационное сжатие сейсмоданных полиномами наилучшего приближения Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

некоторого уширения самой спектральной полосы сильно подавляются ее боковые лепестки (до уровня - 45.. - 55 дБ, в зависимости от параметра а), и спектр более точно аппроксимирует спектр реального бесконечного сигнала.

Д.А. Беспалов, В.Е. Золотовский, Т.А. Головченко, Е.В. Ляпунцова

АППРОКСИМАЦИОННОЕ СЖАТИЕ СЕЙСМОДАННЫХ ПОЛИНОМАМИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Введение. Передача и хранение сейсмоданных в современных системах обработки подразумевает использование процедур сжатия информации. В настоящее время наибольший интерес вызывают алгоритмы, основанные на разложении сигналов по некоторому ортогональному базису [1,2]. Однако ввиду огромной информационной емкости обрабатываемых данных, остро стоит вопрос о создании процедур, минимизирующих временные и вычислительные затраты на этапах анализа, кодирования и декодирования.

Такие алгоритмы должны быть «быстрыми» и обеспечивать максимальную скорость работы с минимальными искажениями и потерями информации. Для существующих многочисленных базисов можно выделить ограниченный спектр преобразований, допускающих быструю реализацию. Это различные варианты дискретного преобразования Фурье, разложения по базису разрывных кусочно-постоянных функций (Уолша и Хаара), а также вейвлет-преобразование. В последнее время выполнен ряд работ, расширяющий этот список разложениями по базису классических ортогональных полиномов Эрмита, Якоби, Лежандра и Че-бышева [3, 4, 5]. Такие разложения (по результатам экспериментов) позволяют достичь максимального коэффициента сжатия с минимальными потерями и допускают применение «быстрых» алгоритмов.

В данной работе предлагается метод компрессии сейсмоданных с использованием «быстрых» алгоритмов кодирования анализируемого сигнала полиномами наилучшего приближения, спектрального сжатия, а также алгоритмов вторичного статистического сжатия без потерь.

Эксперименты показали, что специфика обрабатываемых данных не позволяет использовать классические методы компрессии «в чистом» виде. Так, например, представление данных в числах с плавающей запятой ограничивает применение алгоритмов словарного или статистического сжатия без потерь, а наличие шумов и высокая волотильность данных (быстрые изменения амплитуды сигнала) значительно снижают применение таких алгоритмов сжатия с потерями, как, например, JPEG.

Исходя из этого, был разработан адаптивный алгоритм компрессии сейсмоданных, включающий в себя следующие этапы:

1) пространственное разделение сигнала на подобласти высокой или низкой волотильности;

2) полиномиальное сжатие данных;

3) вторичное кодирование коэффициентов методами компрессии без потерь.

Рассмотрим последовательно каждый этап разработанного алгоритма.

Пространственное разделение сигнала необходимо для определения областей с плавными или резкими изменениями амплитуды. Участки малой воло-тильности легко аппроксимируются малым количеством коэффициентов, в то вре-

мя как участки резких изменений сигнала нельзя представить малым количеством коэффициентов.

В соответствии с этим было предложено использовать алгоритм сегмента -ции сигнала, основанный на разложении сигнала в ортогональном базисе функций Хаара.

Как известно [7], базис Хаара позволяет представить сигнал в виде двух подмножеств коэффициентов преобразования: коэффициентов аппроксимации и коэффициентов детализации. Набор коэффициентов аппроксимации представляет собой огрубленную «версию» исходных данных. Коэффициенты детализации содержат все «отсечные» особенности и мелкомасштабные изменения сигнала.

По диаграмме деталей достаточно легко определить границы областей с разной волотильностью. Для этого достаточно провести анализ амплитуд деталей сигнала внутри окон некоторого фиксированного размера. Оценка гладкости сиг-

п-1

нала в данном секторе может определяться величиной е; = 10 • ^ ^^ , где п -

к=0

размер окна, 1 - его номер, а 4 - значение детализирующего коэффициента сигнала [5].

Полиномиальное сжатие позволяет представить анализируемый сигнал при помощи коэффициентов полиномов наилучшего приближения. Как уже говорилось выше, на этапе пространственного разделения сигнала принимается решение о типе полинома наилучшего приближения. Для участков сигнала с большой волотильностью оптимальным является разложение сигнала в ряд Фурье [6].

Наличие быстрых перепадов амплитуды сейсмосигнала на анализируемом участке порождает большое количество коэффициентов Фурье, т.е. «перегрузку» спектра сигнала частотами с малыми «весами». Такие компоненты сосредоточенны преимущественно в высокочастотной части спектра и отвечают за локальные изменения сигнала малой амплитуды. Эту часть спектра можно попросту «отбросить», а оставшиеся коэффициенты Фурье сжать без потерь на следующем этапе алгоритма.

Участки сигнала с малой волотильностью можно представить в виде небольшого числа коэффициентов полинома наилучшего приближения, полученных при помощи следующей процедуры.

Представим кодируемые сейсмоданные в виде некоторой функции у=:(х) на интервале [х1,х2]. Для аппроксимации необходимо найти её значения в т точках, т.е. у1=:(х1) 1=1,2,.,.,т [8]. Дискретизация по х может быть равномерной (Ь=сопб1) или неравномерной И=И(х), где И=х1+1-х1.

По известным т значениям функции у1 построим полином степени п:

Р(х)=аохп+ а1хп-1+ а2хп-2+... +ап-1х+ аш (1)

так, чтобы в точках х1(1=1,2,.. ,,т) он принимал значение 5:

„ п , „ „ п-1

а0х1 + а1х1 + к + ап-1х1 + ап = :1;

аох2п + а^п-1 + к + ап-1х2 + ап = :2;

а0хтп + а1хтп 1 + к + ап-1хт + ап = ^т-

(2)

Из системы (2) необходимо найти (п+1) неизвестных коэффициентов полинома (1) а0,аь...,ап-1,ап. Так как т выбирается так, что т>(п+1), необходимо дополнительное условие для однозначного нахождения коэффициентов. Таким условием является минимум среднеквадратичной погрешности аппроксимации функции Дх) полиномом (1)

= Ё[Р(х1f (х1)] = т1п-

(3)

1=1

В соответствии с требованием (3) метод получил название метода наименьших квадратов. Для выполнения (3) достаточно, чтобы частные производные по каждому коэффициенту а0,а1,.. .,ап-1 ,ап, были равны нулю:

Зе

Зе 2

= 0,-= 0,.

Зао За1

Зе2 Зап

= 0.

Выполняя дифференцирование, получим

Зе

^ = 12[р(х!)-f1 ] Х!п = 0.

За,

(4)

(5)

0 1=1

Или

т т т т т

а01 Х12п + а1 X Х12п-1 + к + ап-11 х^1 + ап X х^ -X flХln = 0 . 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 Аналогично для остальных. Система уравнений для определения коэффициентов полинома имеет вид

т т т т т

а0XХ12п + а1ХХ12п-1 + к + ап-1 XХ1П+1 + апXХ1П -XflХln = 0; 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 т т т т т

а0 X Х12п-1 + а1 X Х12п-2 + к + ап-1 X ^ + ап X хГ1 -X flХln-1 = 0; 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1

а0XХ1п + а1 XХ1п + к + ап-1 XХ1 + ап *т-Xfl = 0. 1=1 1=1 1=1 1=1 В частности, для полинома первого порядка р(х)=а0х+а1, получим

(6)

т т

>1 ^ 1=1 1=1 т

а0 X х12 + а1 X х1 -X Ах1 =0; 1=1 т

а0 X х1 + а1т-X fl =

(7)

1=1 1=1

Теперь, когда мы имеем некоторое конечное количество коэффициентов полинома наилучшего приближения, можно провести их вторичное сжатие.

Вторичное сжатие коэффициентов полиномов позволяет увеличить коэффициент компрессии данных в несколько раз, за счет устранения структурной или статистической избыточности данных сохраняемых коэффициентов. Из особенностей анализируемых данных следует, что такие коэффициенты обладают достаточной взаимной корреляцией, а следовательно и некоторой статистической избыточностью. Это факт делает возможным применение алгоритма статистического сжатия Хаффмана без потерь [9].

Заключение. Таким образом, был предложен высокоэффективный алгоритм адаптивного кодирования сейсмоданных полиномами наилучшего приближения. Данный алгоритм также позволяет настраивать параметры каждого этапа сжатия (количество коэффициентов полиномов, пороги отсечения спектра, границы окон и т.п.), что, в свою очередь, приводит к повышению эффективности и расширению сферы применения предложенного метода.

2

2

ь

2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дворкович А. В., Дворкович В. П., Мохин Б. Н. Единые принципы сжатия цветных динамических изображений различного разрешения // Цифровая обработка сигналов. 1999. №1.

2. Цифровая обработка телевизионных и компьютерных изображений / Под. ред. Ю. Б. Зубарева, В. П. Дворковича. -М.: МЦМТИ, 1997.

3. Радченко Ю. С., Радченко М. Ю. Оптимальные быстрые алгоритмы представления изображений в базисе ортогональных полиномов // Тр. I Междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применения» Б8РЛ'98. -М.: 1998. Т. III.

4. Радченко Ю. С., Кожин А. Ю., Радченко М. Ю. Обнаружение и оценка параметра сдвига сжатых с помощью ортогональных полиномов сигналов // Радиотехника. 1999. №6.

5. Ермоленко Т., Шевчук В. Алгоритмы сегментации с применением быстрого вейв-лет-преобразования // Статьи, принятые к публикации на сайте международной конференции Диалог'2003. www.dialog-21.ru.

6. Васильева Л.Г., Жилейкин Я.М., Осипик Ю.И. Преобразования Фурье и вейвлет-преобразование. Их свойства и применение // Вычислительные методы и программирование. 2002. №2.

7. Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. _М.: Наука, 1989.

8. Дзядык В.К. Об эффективном построении многочленов, которые осуществляют близкое к наилучшему приближению функций ех, 8гпх и др. //УМЖ. 1973. Т.25. №4.

9. СэломонД. Сжатие данных, изображений и звука. -М.: Техносфера, 2004.

В.Е. Лялин, В.А. Титов, И.В. Пивоваров

РАСПОЗНАВАНИЕ И ОБРАБОТКА ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

ДЛЯ ПЕРЕДАЧИ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ

Бурное развитие телекоммуникационных систем привело к резкому расширению возможностей получения, хранения и обработки информации. Одной из наиболее удобных форм представления информации являются графические образы, или графические изображения (ГИ). Очевидно, что насколько бы ни расширялись возможности интеллектуальных телекоммуникационных платформ, всегда возникает потребность оперирования объектами большего объема, чем эти платформы могут обеспечить.

В настоящее время наиболее узким звеном для передачи графической информации являются цифровые каналы связи: их пропускная способность ограничивает возможности быстрой передачи больших объемов информации за короткое время передачи. Кроме того, достигнутые результаты в области цифровых методов представления и сжатия изображений, тем не менее, не решают в полной мере задачу их эффективного представления, что делает поиск эффективного представления изображений актуальным. Одним из путей ее решения представляется разработка интеллектуальных технологий обработки изображений, обеспечивающих не формализованное их кодирование, а распознавание их пространственной структуры, которая и является носителем заключенной в них информации, поскольку возможности извлечения полезной информации из изображений целиком и полностью определяются их пространственно-структурными свойствами и характеристиками.

Изображения являются трудными для анализа объектами ввиду неограниченной сложности их структуры и высокой степени изменчивости - разнообраз-