CC BY
21
УДК 338.5.01
Использование нечетких множеств при определении цены профилактического нектара «Витанект»
Байченко Л.А.,Байченко А.А., [email protected]
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В статье показано, как с помощью теории нечетких множеств можно определить цену профилактического нектара «Витанект».
Ключевые слова: цена, нектар, нечеткие множества.
Application of fuzzy sets in determination of the price of the prophylactic nectar “Vitanect”
Baychenko L.A., Baychenko A.A., [email protected]
Saint-Petersburg state university of refrigeration and food
engineering
The article shows how to use the theory of fuzzy sets to determine the price of the prophylactic nectar “ Vitanekt ”.
Keywords: price, nectar, fuzzy sets.
В работе [1] показана возможность использования теории нечетких множеств для оптимизации рецептуры профилактических плодово-ягодных нектаров «Витанект», предназначенных для людей, контактирующих с фенолом и анилином. Органолептические оценки по своей математической природе можно рассматривать как объекты теории вероятностей или как лингвистические переменные теории нечетких множеств [2] . Это позволяет одновременно в одной серии экспертных исследований оптимизировать биотехнологические (содержание ингредиентов) и экономический параметр продукта (цена).
Поскольку статья ориентирована на использование теории нечетких множеств в экономической задаче ценообразования, то не будем уточнять физико-химической природы биотехнологических ингредиентов нектара. Обозначим ингредиенты через порядковые номера 1 и 2 ( это может быть, например, содержание витаминов и сахаров) и сосредоточим внимание на цене.
В результате органолептической оценки дегустаторами
профилактического нектара «Витанект» было получены три матрицы оценок следующего вида.
Таблица № 1
Обозначен ие матриц Показатели Средние арифметические величины показателей
№ 1- матрица ингредиен та 1 Содержание мг/100 г, g 20 21.4 23 25 27.2 28.6 30
Средние оценки экспертов 0.12 0.32 0.68 0.88 0.82 0.38 0.06
{л2 - матрица ингредиен та 2 Содержание мг/100 г, Ь 10 11.7 13.4 15 16.7 18.4 20
Средние оценки экспертов 0 0.33 0.65 1 0.63 0.32 0
цЪ - матрица цены Цена нектара руб/100 г , И 3.5 4 5 6 10 20 30
Средние оценки экспертов 1 1 1 1 0.64 0.35 0
В таблице приведены три пары нечетких множества , которые принимают некоторые информативные значения по отношению содержания ингредиентов 1 и 2 в нектаре Витанект и ее цены. Мнения экспертов представляли собой степень принадлежностей : вкусно -1, почти вкусно -0.8, не очень вкусно - 0.3, невкусно - 0, а также дешево -1, довольно дешево - 0,8, дороговато - 0,3, слишком дорого -0. Поскольку экспертов пять человек, то их оценки отличаются и в таблице уже приведены математические ожидания
оценок экспертов. Для матрицы оценок /л! применим функцию
принадлежности в виде нормального закона распределения и программу МаШсаё 14 [3]. В обозначениях программы :
(ё, А1, Ы) = ехр[- А1 ■ (В1 - ё )2 ]
где g - содержание ингредиента 1 в таблице № 1 ,
А1 - статистическая дисперсия строки § в таблице №1,
В1 - среднее арифметическое строки § в таблице №1.
Расчет дал величины В1=25.029, А1=0.083. На рис.1 видно, что ломанная сплошная линия, которая проходит через экспериментальные точки, хорошо апроксимируется функцией принадлежности виде нормального закона распределения ( точечная линия).
Рис.1. Сопоставление функции принадлежности № (g, А1, В1) и
точек нечеткого множества /л\ из таблицы № 1.
:
:
0.8
ИЬ(Ь,А2Г ЕЙ) fl.fi
о.-
0.
о
о
/А / і \ \ \
// \\
/ // \\ \\
!/ // V
/? V
":о 12.3 116 13.4 24
10 Ъ:ц20:, ; 24
Рис. 2. Сопоставление функции принадлежности ЛЬ(Ь, А2, В 2) и
точек нечеткого множества /л2 из таблицы № 1. А2=0.09; В2=15,03
По данным таблицы № 1 очевидно, что для нечеткого множества /лЪ ,
нельзя построить такую простую функцию принадлежности, как для двух предыдущих. Не останавливаясь на промежуточных операциях , приведем
вид функции (3) принадлежности для второго множества в обозначениях МаШсаё 14 и график этой функции на рис.2 :
!Л{Н, А3, В3) = г/[к < 12,6, ММ А3, В3)] ,
где И - цена в таблице № 1 ,
А3 - статистическая дисперсия правой части строки И таблице №1, В3 - среднее арифметическое правой части строки И в таблице №1.
(2)
:.2
1.2
о.;?
ИЫХАЗ, В 3)0.72
Н-':.
0.-3
\ \ \ \
V \
..
ч
й.З
12.6 13,- 24.2
Ъ.. 1_и?
Рис.3. Сопоставление функции принадлежности 1^Н(И, А3, В3) и точек нечеткого множества /л3 из таблицы № 1. А3 = 0,011; В3 = 11,21
С целью оптимизации находим пересечение трех функций принадлежности виде функции трех переменных:
/^ЬН( g, Ь, Н) = тт
' № (g, А1, В1) рЬ(Ь, А2, В2) {МН, А3, В3)
(3)
Составим программу расчета в Маткаде. В программе величина О0 - это максимальное значение функции ( 3). В программе каждый участок изменения величин §, Ь и И делится на 500 отрезков и для каждого сочетания величин , Ь и ^ на этих отрезках вычисляются значения ё1 , (начиная с ё = 0) которое сравниваются с предыдущим значением ё . Если новое значение ё1 больше предыдущего, то величины О0 , 01 , 02 и 03 запоминаются в
векторе О. В конечном счете получаем четырехмерную функцию принадлежности, где О1 = 25 , и О2 = 15 - оптимальные с точки зрения
экспертов величины ингредиентов, а О3 = 3,5 наилучшая цена. Этот результат на первый взгляд банален, поскольку естественно, что эксперты считают наилучшей ценой минимальную -3.5 руб. Но важно другое - третий график принадлежности (рис. 3) показывает, что потребитель еще при цене 6.5 склонен покупать нектар, а при 12 рублей и выше число желающих резко падает, что следует учесть при построение планов продаж, маркетинге. Остальные элементы вектора важны с позиции биотехнологической оценки рецептуры. Пример показывает, что теория нечетких множеств позволяет проводит оптимизацию по факторам совершенно разной природы, используя один и тот же состав экспертов на одной одновременной сессии .
Список литературы
1. Колодязная В.С., Байченко Л.А. Оптимизация рецептуры профилактического нектара «Витанект» с использованием нечетких множеств: Электронный научный журнал «Процессы и аппараты пищевых производств»— Санкт-Петербург: СПбГУНиПТ. — №1. — март 2012.
2. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. - с. 165
3. Яньков В.Ю. Лабораторный практикум по Маткаду . Модуль 3. Моделирование в Маткаде. -М.: МГУТУ, 2009.- с. 68.
