Антиплоская задача для трещины, проникающей в упругое включение при неидеальном контакте фаз Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 539.3

В.В. Тихомиров

АНТИПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТРЕЩИНЫ, ПРОНИКАЮЩЕЙ В УПРУГОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ ПРИ НЕИДЕАЛЬНОМ КОНТАКТЕ ФАЗ

Исследованию взаимодействия трещин с включениями различных конфигураций, начиная со второй половины 60-х годов прошлого столетия, посвящено большое количество публикаций. Неослабевающее внимание к этой проблеме обуславливается потребностями механики неоднородных сред и механики композиционных материалов, поскольку изучение упругих полей на микромеханическом уровне дает как понимание происходящих в гетерогенных структурах процессов, так и позволяет прогнозировать сопротивление подобных сред появлению и развитию трещин.

Рассмотрение проблемы проводилось как в рамках плоских задач, так и при антиплоской деформации композиции. В качестве математического аппарата применялись различные аналитические методы (метод комплексных потенциалов Колосова — Мусхелишвили [1—3], метод дислокаций [4, 5]) и численные подходы (метод граничных интегральных уравнений [6] и метод конечных элементов [7, 8]). При этом в аналитических исследованиях дело, как правило, сводилось к решению сингулярных интегральных уравнений, которое строилось с помощью численных процедур. Замкнутые аналитические решения подобных задач практически отсутствуют. Исключение составляет работа [9], в которой получено приближенное решение для полубесконечной трещины моды III, а также статья [10], где найдено точное решение антиплоской задачи о радиальной трещине конечной длины, частично проникающей в круговое включение. К сожалению, решение,

построенное в [10], не позволяет рассмотреть случай, когда вершина трещины совпадает с центром включения.

Подавляющее большинство работ рассматриваемого направления основано на предположении об идеальном контактировании матрицы и включения. Фактически условия идеального контакта фаз игнорируют присутствие интерфейсной поврежденности между матрицей и включением, возникающей вследствие несовершенства адгезии, наличия микротрещин и пор. Заметим, что только в работах [11,12] на основе метода комплексных потенциалов построены приближенные аналитические решения задач о взаимодействии трещины с включением, имеющим интерфейсный слой, с несовершенным контактом.

В настоящей работе на примере антиплоской задачи для полубесконечной трещины, проникающей до центра упругого кругового включения, применен новый подход, не использовавшейся ранее в этом классе задач. Композиция матрица — включение рассматривается как гетерогенная среда, содержащая особую линию — интерфейсную границу, на которой имеет место разрыв упругого модуля материала, а в случае несовершенного контакта — разрыв перемещений. С этой точки зрения граница раздела может рассматриваться как своеобразный дефект. Действенным методом решения двумерных задач математической физики, содержащих дефекты структуры, служит аппарат обобщенных интегральных преобразований (преобразований через дефект),

развитый в книге [13]. В отличие от указанных выше традиционных методов решения подобных задач, в которых используется процедура сшивания решений, построенных для отдельных подобластей, в рассматриваемом подходе строится единая разрывная функция, определяющая упругие поля во всей области.

В работе используется обобщенное интегральное преобразование Меллина, применяемое к дифференциальному уравнению антиплоской деформации гетерогенной среды с кусочно-постоянным модулем сдвига. В ходе реализации этой процедуры (при интегрировании по частям) удовлетворяются условия контакта на интерфейсной границе. Ранее указанный подход использовался в задаче о трещине продольного сдвига, проникающей в круговое включение с промежуточным слоем при идеальных контактах на межфазных границах [14]. В данном случае принимается, что контакт матрицы и включения является неидеальным. В отличие от модели идеального контакта, в которой предполагается, что на границе раздела фаз имеет место непрерывность перемещений и напряжений, в рассматриваемом случае неидеального контакта используется так называемая модель линейных пружин, согласно которой напряжения на интерфейсе непрерывны и пропорциональны скачку перемещений. Для коэффициента интенсивности напряжений (КИН) в вершине трещины получена простая точная формула, структура которой наглядно отражает влияние на КИН неоднородности композиции и неидеальности контакта на интерфейсной границе. Рассмотрены две предельные ситуации, отвечающие случаям идеального и скользящего контакта на интерфейсе.

Постановка задачи и получение гиперсингулярного интегрального уравнения

Рассмотрим неограниченную упругую среду, находящуюся в состоянии антиплоской деформации и содержащую полубесконечную трещину, проникающую в упругое круговое включение до его центра. Модули сдвига матрицы и включения будем считать постоянными и равными и соответственно. Будем считать, что к берегам трещины приложены самоуравновешенные сосредоточенные силы величины Т0 на расстоянии г0 от ее вершины. Благодаря наличию симметрии задача сводится

к решению дифференциального уравнения для неоднородной среды:

dw Л 1 д г'

д_ дг

Ц

дг ) r дф

Vdw | + = 0

r дф J r дг

(1)

( 0 < r < 0 < ф < п ) при граничных условиях на берегах трещины

w(r ,0) = 0; Хф2 (r, п) = T)S(r - r0)

(2)

и условиях неидеального контакта матрицы и включения (непрерывность напряжений и их пропорциональность скачку перемещений):

Trz (ri - 0, ф) = Trz (ri + 0, ф) = т(ф);

т(ф) = X[w(r1 - 0, ф) - w(r1 + 0, ф)].

(3)

Здесь w(r,ф) — перемещения в полярных координатах г, ф с началом в вершине трещины, ^ = р,(г) — модуль сдвига композиции, причем р,(г) = для 0 < г < г1 и р,(г) = для г1 < г < 8(г) — дельта-функция.

Касательные напряжения, входящие в условия (2) и (3), определяются формулами

ц дw r дф

дw

Тф2 r дф , Trz Ц дr

(4)

Входящая в условия (3) величина А = const > 0 характеризует несовершенство интерфейса и может быть названа параметром интерфейсной жесткости. В общем случае этот параметр является функцией координаты точки межфазной границы [15] (неоднородный несовершенный контакт). В предельном случае при А = ^ из условий (3) вытекают условия идеального контакта, а при А = 0 — условия скользящего контакта фаз.

Для решения задачи воспользуемся обобщенным интегральным преобразованием Меллина (преобразованием через дефект) [13]:

да

W (p, ф) = jV(r )w(r, ф)гр-1dr;

0

ц(г)w(r, ф) = jW(p, r)r~pdp, 2ni L

где L — контур интегрирования.

В результате интегрирования по частям слагаемых в уравнении (1), а также использования условий (2) и первого условия из (3) приходим к следующей неоднородной краевой задаче:

Ж '(р, ф) + рЖ( р, ф) = рг{ и(ф); (5)

Ж (р,0) = 0; Ж'(р, п) = 7оГ0р,

где м(ф) = — — неизвестная

функция, обусловленная скачком модуля сдвига и перемещений на границе раздела фаз; при этом

^±(ф) = w(r1 ± 0, ф).

(6)

Согласно работе [13], решение задачи (5) может быть представлено в форме

W(p, ф) = prf JG(ф, 9)u(9)d9-

sin Рф

pcos рп

где функция Грина имеет вид

G(ф 9) = 1 [cos р(п - 9) sin рф, ф < 9; р cos рп [cos р(п-ф)зт р9, ф>9.

Отсюда, используя обратное преобразование Меллина, получаем:

п

ц(г)w(r, ф) = w0(r, ф) + Ju(9)/(r, ф, 9)d9, (7)

о

где ^0(г,ф) — решение задачи о полубесконечной трещине, находящейся в однородной среде, которое определяется формулой

T

Wo(r, ф) = -°ln 2п

r + r0 + 2 J rr0 sin

ф

r + r0 - 2Jrr0 sin

,ф

2

(8)

а ядро интегрального слагаемого имеет вид

J (r, ф, 9) = R(r )x(r, ф, 9); (9)

x(r, ф,9) =

R(r) = (ri -r(2п)); cos[(9 + ф)/2]

2 2

r1 + r - 2r1r cos(9 + ф)

вершенством контакта. Подчеркнем, что левая и правая части в соотношении (7) являются разрывными функциями вследствие разрыва модуля упругости и перемещений на границе раздела материалов.

Переходя в соотношении (7) к пределам при г ^ г1 ± 0, с учетом формул (9), а также второго условия из (3), приходим к системе двух уравнений относительно предельных значений перемещений (6) на границе матрица — включение

Ц1 (ф) + Ц0 (ф) = 2®01(ф); w- (ф) _ (ф) = т(ф)/ ^,

где ®01(ф) = ^0(1, ф).

В результате подстановки решения этой системы в формулу (7) получим представление для перемещений во всей области через неизвестное контактное напряжение т(ф):

ц(г )w(r, ф) = w0 (r, ф) +

п

+2mR(r) J®0i(9)x(r, 9, ф)d 9

+

(10)

+

2lrR(r )}x(9)x(r, 9, ф^ 9,

cos[(9_ф)/2]

2 2 * г1 + г _ 2г1г cos(9_ф)

Таким образом, согласно соотношению (7), перемещения в рассматриваемой задаче представляются в виде суммы перемещений соответствующей задачи для однородной среды и добавки (интегральное слагаемое в (7)), обусловленной наличием включения и несо-

где т = — М-0)/(Ма + М-0) — биупругая постоянная, характеризующая соотношение модулей сдвига материалов, которая при 0 < < ^ изменяется от —1 до 1; для включения более жесткого, по сравнению с матрицей, 0 < т < 1, а для мягкого включения берется — 1 < т < 0; случаю же т = 0 соответствует гомогенная среда. Предельные ситуации, когда т ^ ± 1, отвечают абсолютно твердому включению и отверстию, соответственно.

Второй параметр, входящий в представление (10), I = ^0^1/[(^1+^0)Лг1] — параметр несовершенства интерфейса (0 < I < <^>); значению I ^ ^ соответствует идеальный контакт, а 1 = 0 — скользящей контакт матрицы и включения.

Вычисляя на основе представлений (4) и (10) касательные напряжения тгг(г,ф) и переходя к пределу, например, при г ^ г1 — 0, приходим к интегральному уравнению вида

т(ф) + — рТ(9, ф)х(ф)^9 = (1 + т)х01(ф), (11)

где

0

0

2

K (0, ф) =

Т01<Ф> =

^[(0 + ф)/2] ссв[(0-ф)/2].

sin2[(0 + ф)/2] sin2 [(0-ф)/2]

To_ р(р2 - 1)ап(ф/2), Щ 1 + 2p2cos ф + р4

P = J^ - (12)

K (0, ф) = -2 sin 0 sin—— Y 2 2/

2 0 2 ф cos — + cos2 ^

2

2

4

2 0 2 ф cos — cos —

2 2

-• (13)

т(ф) = —°sin ф t r12

ф

cos—

2

(14)

t (5) - 2- í4-_2f)d 5 =f (x);

2n_J1 (5- x )2

f (x) =

Поскольку

1 + m р(р2 -1) n (р2 -1)2 + 4р2x2

Знак минус в правой части уравнения (11) отвечает случаю р > 1, т. е. когда сосредоточенные силы приложены к берегам трещины вне включения, а знак плюс — когда эти силы приложены внутри включения (р< 1).

Отметим, что интегральное уравнение (11) является гиперсингулярным [16] (интеграл понимается в смысле конечной части по Адамару) с симметричным ядром.

Если контакт на интерфейсе является идеальным, т. е. А, = ^ (1 = 0), то уравнение (11) вырождается и контактные напряжения определяются формулой

т(ф) = (1+те)тох(ф);

это совпадает с их представлением в данном предельном случае, полученном в работе [14].

Точное решение гиперсингулярного интегрального уравнения

Ядро уравнения (11) допускает следующее представление:

V щИца% _ V %

|(%-х)2 _ dx -1 %-х '

где интеграл в правой части представляет собой сингулярный интеграл типа Коши, из уравнения (15) для безразмерного контактного напряжения окончательно получим уравнение вида

t(5)-2-d fix). (16)

2n dx

-1

5-x

Решение уравнения (16) будем искать в виде ряда по полиномам Чебышева второго рода и2к(х):

t(x) = X A2kU2k(x) . k=0

(17)

Подставляя представление (17) в уравнение (16) и учитывая, что [17]

d i^U2k (5)d5 = -n(2k + 1)U2k (x),

dx

-1

5-x

На основании формул (12) и (13) решение интегрального уравнения (11) будем искать в виде

где t[cos^/2)] — безразмерная четная функция своего аргумента.

Тогда после замены переменных ф 5 0

x = cos—, 5 = cos— 22

и использования свойства четности функции t(|) уравнение (11) можно представить в следующей форме:

получим для определения коэффициентов ряда (17) соотношение

да

X ALk [1 +1(к + 1/2)]U2k (x) = f (x).

к=0

С учетом вида функцииf(x) в уравнении (15) коэффициенты Л2к вычисляются отсюда проще всего с помощью представления производящей функции для полиномов Чебышева [17]:

1 да

—^ = X Uk (x )tk .

1 - 2tx +1 k=0

В итоге получаем

(-1)k+1(m ± 1)p±(2k+1)

A2k =■

п[1 +1 (k +1/2)]

где верхний знак отвечает случаю р < 1, а нижний — р>1.

Таким образом, точное решение гиперсингулярного интегрального уравнения (16) примет вид

,( ) т ± 1 ^ (-1)к+1 р±(2к+1)гг ( )

I(X) _- > ------;-и2к (X) .

( ) п 1 + 1(к +1/2) 2к ()

да

2

Отсюда на основании формулы (14) приходим к следующему представлению для контактного напряжения:

. . T>(m± 1) . ф » (-1) т(Ф) = —-sm^ X

k+1p±(2k+1)

ПГ,

2 k=> 1 + l(k +1/2)

xU

2k

Ф

cos— 2

(18)

Коэффициент интенсивности напряжений

С точки зрения механики разрушения интерес представляет коэффициент интенсивности напряжений (КИН) в вершине трещины, который определяется формулой

Km = Нтл/2Пгтф2 (г, 0).

r ^0

(19)

Вычисляя согласно формулам (4), (8) и (10) касательные напряжения на продолжении трещины при г0, будем иметь выражение

fl - v

Хф2 (r, 0) = KIi [1 - mh(p) - lp jx(9)sin - d 0]r"/2,

-1

2

где ^р) = 1 для р < 1, h(p) = р2 для р < 1, а Хщ = ^2 / (пг0 )Т0 представляет собой КИН для полубесконечной трещины при том же виде нагружения в однородной среде [14].

Отсюда по определению (19) приходим к следующей формуле для нормализованного КИН:

N =

KI

III

K о

KIII

1 - mh(p) -1 pjT(0)sin2d 0. (20)

Структура выражения (20) такова: первое слагаемое определяет нормализованный КИН в неограниченной однородной среде, второе учитывает неоднородность композиции (наличие включения), а третье отражает влияние несовершенства контакта фаз на интерфейсной границе.

Подставляя в (20) представление для контактных напряжений (18) и выполняя интегрирование, получаем простые выражения для КИН, зависящие от положения точки приложения нагрузки:

N (m, l, p) = 1 + [(m +1) l/ (l + 2) - m]p2 при p < 1,

(21)

N (m,l ,p) = 2(1 - m)/(l + 2) при p > 1. (22)

Обсуждение результатов

Таким образом, нормализованный КИН зависит от трех механических параметров: би-упругой постоянной m (—1 < m < 1), характеризующей степень неоднородности композиции, параметра несовершенства интерфейсного контакта l (0 < l < <^>) и относительного расстояния p = yj r>/ r1 , определяющего место приложения сосредоточенной нагрузки (при 0 < p < 1 силы приложены внутри включения, а при 1<p<ro силы приложены вне включения).

В случае идеального контакта (l = 0) на границе матрица — включение, из выражений (21) и (22) вытекает формула

N(m,0, p) =1- mh(p),

согласующаяся с результатом, полученным в работе [14]. В случае жесткого включения, когда > и, следовательно, 0 < m < 1, величина КИН снижается по сравнению с однородной средой, и распространение трещины тормозится. Мягкое включение, у которого > а —1 < m < 0, напротив, приводит к возрастанию КИН и способствует распространению трещины.

Во втором предельном случае (скользящего контакта), когда lиз формул (21), (22) получаем, что

p) = 1 + p2 при 0<p<1,

p) = 0 при 1<p<ro.

Как и следовало ожидать, при скользящем контакте фаз КИН не зависит от соотношения модулей сдвига материалов, а нагрузка, приложенная вне включения, не влияет на напряженное состояние в вершине трещины.

Так же как при идеальном контакте, несовершенство интерфейса приводит к отсутствию зависимости КИН от точки приложения сил, когда эта точка расположена в матрице (p > 1). В то же время, в отличие от классической модели контакта, КИН при l =£ 0 терпит разрыв в точке p = 1, т. е. когда силы приложены на межфазной границе.

Если силы приложены к берегам трещины вне включения (p > 1), то из формулы (22) вытекает, что N(m,l, p) < N(m, 0,p). Это означает, что несовершенство контакта на межфазной

x

П

0

П

U

границе усиливает уменьшение КИН, по сравнению с идеальным вариантом в случае жесткого включения (0 < т < 1), т. е. способствует торможению трещины. Для мягкого включения (—1 < т < 0) несовершенство взаимодействия матрицы и включения ослабляет возрастание КИН и тем самым снижает способность трещины к распространению.

Если же сосредоточенная нагрузка приложена внутри включения, то согласно формуле (21), N(m,l, р) > N(m, 0,р). Следовательно, в этом случае неклассическая модель контакта на границе раздела фаз вызывает противоположный эффект, т. е. уменьшает способность жесткого включения к торможению трещины и, наоборот, усиливает способность мягкого включения к ее развитию.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tamate, O. The effect of a circular inclusion on the stresses around a line crack in a sheet under tension [Text] / O. Tamate// Int. J. Fracture Mech. - 1968. - Vol. 4. -№ 3. - P. 257-266.

2. Bhargava, R.R. A misfitting elastic inclusion in an infinite plane containing a crack [Text] / R.R. Bhargava // J. of Elast. - 1977. - Vol. 7. - № 2. - P. 201-211.

3. Cheeseman, B.A. The interaction of a curved crack with a circular elastic inclusion [Text] / B.A. Cheeseman, M.H. Santare// Int. J. Fracture. - 2000. - Vol. 103. -№ 2. - P. 259-277.

4. Erdogan, F. Interaction between a circular inclusion and arbitrary oriented crack [Text] / F. Erdogan, G.D. Gupta, M. Ratwani//Trans. ASME. Ser.E. J. Appl. Mech. - 1974. - Vol. 41. - № 4. - P. 1007-1013.

5. Liu, Z.G. Interaction of the mode-III antiplane shear crack with a circular inhomogeneity [Text] / Z.G. Liu, R. Wang, J.J. Ma // Acta Mechanica. - 2005. -Vol. 178. - № 1. - P. 101-109.

6. Williams, R.C. SGBEM analysis of crack-particle(s) interaction due to elastic constants mismatch [Text] / R.C. Williams, A.V. Phan, H.V. Tippur, [et al.] // Eng. Fract. Mech. - 2007. - Vol. 74. - № 2. - P. 314-331.

7. Li, R. Variation of the energy release rate as a crack approaches and passes though an elastic inclusion [Text] / R. Li, A. Chudnovsky // Int. J. Fracture. - 1993. -Vol. 59. - № 4. - P. R69-R74.

8. Lipetzky, P. Crack-particle interaction in two-phase composites. Part I: Particle shape effects [Text] / P.Lipetzky, S. Schmauder // Int. J. Fracture. - 1994. -Vol. 65. - № 3. - P. 345-358.

9. Steif, P.S. A semi-infinite crack partially penetrating a circular inclusion [Text] / P.S. Steif // Trans. ASME.

Ser.E. J. Appl. Mech. - 1987. - Vol. 54. - № 1. -P. 87-92.

10. Wang, X. Closed-form solutions for a mode III radial matrix crack penetrating a circular inhomogeneity [Text] / X. Wang, E. Pan, W.J. Feng //Appl. Math. Modelling. - 2008. - Vol. 32. - Р. 2925-2935.

11. Kim, K. Interaction between a radial matrix crack and three-phase circular inclusion with imperfect interface in plane elasticity [Text] / K. Kim, L.J. Sudak// Int. J. Fracture. - 2005. - Vol. 131. - № 2. - P. 155-172.

12. Park, P.G. Stress intensity factor for an interface Griffith crack interacting with two imperfect interfaces [Text] / P.G. Park, L.J. Sudak// Math. Mech. Solids. -2010. - Vol. 15. - № 3. - P. 353-367.

13. Попов, Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений [Текст] / Г.Я. Попов. - М.: Наука, 1982. - 344 с.

14. Тихомиров, В.В. Трещина продольного сдвига, частично проникающая в упругое круговое включение с покрытием [Текст] / В.В. Тихомиров// Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2011. - № 2(122). - С. 142-149.

15. Sudak, L.J. A circular inclusion with inhomo-geneously imperfect interface in plane elasticity [Text] / L.J. Sudak, C.Q. Ru, P. Schiavone, A. Mioduchovski// J. of Elast. - 1999. - Vol. 55. - № 1. - P. 19-41.

16. Линьков, А.М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости [Текст] / А.М. Линьков. - М.: Наука, 1999. - 382 с.

17. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст]: справочник / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.